Antud on parempoolne ringkoonus tipuga m Teema: Parempoolne ringkoonus. Koonuse läbilõige tasapindade kaupa. Ellipsi põhiomadus

Sissejuhatus

Uurimisteema asjakohasus. Koonuslõikeid teadsid juba Vana-Kreeka matemaatikud (näiteks Menechmus 4. saj eKr); nende kõverate abil lahendati mõned ehitusprobleemid (kuubiku kahekordistamine jne), mis osutusid kättesaamatuks lihtsaimate joonistusvahendite - sirklite ja joonlaudade - kasutamisel. Esimeste meieni jõudnud uuringute käigus said kreeka geomeetrid koonuselõike, joonistades lõiketasandi, mis on risti ühe generaatoriga, kusjuures olenevalt avanemisnurgast koonuse ülaosas (st generaatorite vahelisest suurimast nurgast). ühe õõnsuse lõikejoon osutus ellipsiks, kui see nurk on terav, on see parabool, kui see on täisnurk, ja hüperbool, kui see on nüri. Kõige täielikum nendele kõveratele pühendatud töö oli Perga Apolloniuse (umbes 200 eKr) "koonuslõiked". Edasised edusammud koonuslõigete teoorias on seotud loomisega 17. sajandil. uued geomeetrilised meetodid: projektiivne (prantsuse matemaatikud J. Desargues, B. Pascal) ja eriti koordinaat (prantsuse matemaatikud R. Descartes, P. Fermat).

Huvi koonuslõigete vastu on alati toetanud asjaolu, et neid kõverusi leidub sageli erinevates loodusnähtustes ja inimtegevuses. Teaduses omandasid koonuslõiked erilise tähenduse pärast seda, kui saksa astronoom I. Kepler avastas vaatluste põhjal ning inglise teadlane I. Newton põhjendas teoreetiliselt planeetide liikumise seaduspärasusi, millest üks väidab, et Päikesesüsteemi planeedid ja komeedid liiguvad mööda koonust. lõigud, millest ühes asub Päike. Järgmised näited viitavad teatud tüüpi koonuslõigetele: horisonti viltu visatud mürsk või kivi kirjeldab parabooli (kõvera õiget kuju moonutab mõnevõrra õhutakistus); mõnes mehhanismis kasutatakse elliptilisi hammasrattaid (“elliptiline käik”); hüperbool toimib looduses sageli täheldatava pöördproportsionaalsuse graafikuna (näiteks Boyle'i-Mariotte'i seadus).

Töö eesmärk:

Koonuselõike teooria uurimine.

Uurimise teema:

Koonilised lõigud.

Uuringu eesmärk:

Uurige teoreetiliselt kooniliste lõikude omadusi.

Õppeobjekt:

Koonilised lõigud.

Õppeaine:

Koonuslõigete ajalooline areng.

1. Koonuslõigete moodustamine ja nende tüübid

Koonilised lõigud on sirged, mis moodustuvad parempoolse ringikujulise koonuse lõigus erinevate tasanditega.

Pange tähele, et kooniline pind on pind, mis moodustub sirgjoone liikumisel, mis läbib kogu aeg kindlat punkti (koonuse ülaosa) ja lõikub kogu aeg fikseeritud kõveraga - juhikuga (meie puhul ringiga). ).

Klassifitseerides need jooned lõiketasandite asukoha olemuse järgi koonuse generaatorite suhtes, saadakse kolme tüüpi kõverad:

I. Koonuse lõigu poolt moodustatud kõverad tasapindade abil, mis ei ole paralleelsed ühegi generaatoriga. Sellised kõverad on erinevad ringid ja ellipsid. Neid kõveraid nimetatakse elliptilisteks kõverateks.

II. Koonuse lõigu poolt moodustatud kõverad tasapindade abil, millest igaüks on paralleelne ühe koonuse generatriksiga (joonis 1b). Sellised kõverad on ainult paraboolid.

III. Kõverad, mis on moodustatud koonuse lõigust tasapindade kaupa, millest igaüks on paralleelne mõne kahe generaatoriga (joonis 1c). sellised kõverad on hüperboolid.

Enam ei saa olla IV tüüpi kõveraid, kuna ei saa olla paralleelset tasapinda kolme koonuse generaatoriga korraga, kuna kolm koonuse generaatorit ise ei asu samal tasapinnal.

Pange tähele, et koonust saab ristuda tasapindadega ja nii, et lõigus saadakse kaks sirget. Selleks tuleb koonuse tipust läbi tõmmata lõiketasandid.

2. Ellips

Koonuslõike omaduste uurimiseks on olulised kaks teoreemi:

Teoreem 1. Olgu antud sirge ringikujuline koonus, mis on lõigatud tema teljega risti olevate tasanditega b 1, b 2, b 3. Siis on kõik koonusgeneraatorite segmendid suvalise ringipaari vahel (saadud antud tasanditega läbilõikes) üksteisega võrdsed, st. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d jne. ja B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d jne. Teoreem 2. Kui on antud sfääriline pind ja mingi punkt S asub sellest väljaspool, siis punktist S kerapinnale tõmmatud puutujate segmendid on omavahel võrdsed, s.t. SA 1 =SA 2 =SA 3 jne.

2.1 Ellipsi põhiomadus

Lõikame parempoolse ümmarguse koonuse, mille tasapind lõikub kõiki selle generaatoreid.Lõigul saame ellipsi. Joonistame tasapinna, mis on koonuse telge läbiva tasapinnaga risti.

Sisestame koonusesse kaks kuuli nii, et asudes tasandi vastaskülgedel ja puudutades koonusekujulist pinda, puudutab kumbki ühel hetkel tasapinda.

Laske ühel kuulil puudutada tasapinda punktis F 1 ja puudutada koonust mööda ringjoont C 1 ja teisel punktis F 2 ning puudutada koonust mööda ringjoont C 2 .

Võtke ellipsi suvaline punkt P.

See tähendab, et kõik selle kohta tehtud järeldused kehtivad ellipsi mis tahes punkti kohta. Joonistame koonuse OR generatriks ja märgime punktid R 1 ja R 2, kus see puudutab konstrueeritud kuule.

Ühendage punkt P punktidega F 1 ja F 2 . Siis PF 1 = PR 1 ja PF 2 = PR 2, kuna PF 1, PR 1 on puutujad, mis on tõmmatud punktist P ühele kuulile ja PF 2, PR 2 on puutujad, mis on tõmmatud punktist P teise kuuli (teoreem 2 ) . Lisades mõlemad võrdsused termini haaval, leiame

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

See seos näitab, et ellipsi suvalise punkti P kauguste (РF 1 ja РF 2) summa kahe punktini F 1 ja F 2 on selle ellipsi konstantne väärtus (st see ei sõltu asukohast ellipsi punktist P).

Punkte F 1 ja F 2 nimetatakse ellipsi fookusteks. Punkte, kus sirge F 1 F 2 lõikub ellipsiga, nimetatakse ellipsi tippudeks. Tipude vahelist lõiku nimetatakse ellipsi peateljeks.

Generaatori R 1 R 2 segment on pikkuselt võrdne ellipsi peateljega. Seejärel formuleeritakse ellipsi põhiomadus järgmiselt: ellipsi suvalise punkti P kauguste summa fookustesse F 1 ja F 2 on selle ellipsi konstantne väärtus, mis on võrdne selle peatelje pikkusega.

Pange tähele, et kui ellipsi fookused langevad kokku, siis on ellips ring, s.t. ring on ellipsi erijuht.

2.2 Ellipsi võrrand

Ellipsi võrrandi kirjutamiseks peame käsitlema ellipsi kui punktide lookust, millel on mingi omadus, mis seda lookust iseloomustab. Võtame selle definitsiooniks ellipsi peamise omaduse: Ellips on punktide asukoht tasandis, mille kauguste summa selle tasandi kahe fikseeritud punkti F 1 ja F 2 vahel, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus, mis võrdub selle peatelje pikkus.

Olgu segmendi pikkus F 1 F 2 \u003d 2c ja peatelje pikkus on 2a. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamiseks valime lõigu F 1 F 2 keskele Descartes'i koordinaatsüsteemi algpunkti O ning suuname teljed Ox ja Oy, nagu on näidatud joonisel 5. (Kui fookused langevad kokku, siis O ühtib F 1 ja F 2-ga ning väljaspool telge Ox võib võtta kui mis tahes telge, mis läbib O). Seejärel valitud koordinaatsüsteemis punktid F 1 (c, 0) ja F 2 (-c, 0). Ilmselgelt 2a > 2c, st. a>c. Olgu M(x, y) ellipsisse kuuluva tasandi punkt. Olgu МF 1 =r 1, МF 2 =r 2 . Ellipsi definitsiooni järgi võrdsus

r 1 +r 2 =2a (2) on vajalik ja piisav tingimus punkti M (x, y) paiknemiseks antud ellipsil. Kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit, saame

r 1 =, r 2 =. Tuleme tagasi võrdsuse juurde (2):

Liigutame ühe juure võrdsuse paremale poole ja paneme selle ruutu:

Vähendades saame:

Anname sarnased, vähendame 4 võrra ja eraldame radikaali:

Me nelinurkne

Avage sulud ja lühendage nii:

kust me saame:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Pange tähele, et 2 -c 2 >0. Tõepoolest, r 1 +r 2 on kolmnurga F 1 MF 2 kahe külje summa ja F 1 F 2 on selle kolmas külg. Seetõttu r 1 +r 2 > F 1 F 2 ehk 2а>2с, s.o. a>c. Tähistage a 2 -c 2 \u003d b 2. Võrrand (3) näeb välja selline: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Teeme teisenduse, mis viib ellipsi võrrandi kanoonilisele (sõna otseses mõttes: näidisena) vormile, nimelt jagame mõlemad võrrandi osad a 2 b 2-ga:

(4) - ellipsi kanooniline võrrand.

Kuna võrrand (4) on võrrandi (2*) algebraline tagajärg, siis rahuldavad ellipsi mis tahes punkti M x ja y koordinaadid ka võrrandit (4). Kuna radikaalidest vabanemisega seotud algebraliste teisenduste käigus võivad tekkida “lisajuured”, siis tuleb veenduda, et sellel ellipsil paikneks iga punkt M, mille koordinaadid vastavad võrrandile (4). Selleks piisab, kui tõestada, et iga punkti suurused r 1 ja r 2 rahuldavad seost (2). Niisiis, punkti M x ja y koordinaadid täidavad võrrandi (4). Asendades y 2 väärtuse (4)-st avaldisesse r 1, leiame pärast lihtsaid teisendusi, et r 1 =. Kuna, siis r 1 =. Üsna sarnaselt leiame, et r 2 =. Seega vaadeldava punkti jaoks M r 1 =, r 2 =, s.o. r 1 + r 2 \u003d 2a, seetõttu asub punkt M ellipsil. Suurusi a ja b nimetatakse vastavalt ellipsi suur- ja väikepooltelgedeks.

2.3 Ellipsi kuju uurimine võrrandi järgi

Määrame ellipsi kuju, kasutades selle kanoonilist võrrandit.

1. Võrrand (4) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes, seega kui punkt (x, y) kuulub ellipsi, siis punktid (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Sellest järeldub, et ellips on sümmeetriline telgede Ox ja Oy suhtes ning ka punkti O (0,0) suhtes, mida nimetatakse ellipsi keskpunktiks.

2. Leidke ellipsi lõikepunktid koordinaattelgedega. Kui panna y \u003d 0, leiame kaks punkti A 1 (a, 0) ja A 2 (-a, 0), milles Ox telg lõikub ellipsiga. Pannes võrrandisse (4) x=0, leiame ellipsi lõikepunktid Oy teljega: B 1 (0, b) ja. B 2 (0, - b) Punkte A 1, A 2, B 1, B 2 nimetatakse ellipsitippudeks.

3. Võrrandist (4) järeldub, et iga liige vasakul pool ei ületa ühtsust, s.o. on ebavõrdsust ja või ja. Seetõttu asuvad kõik ellipsi punktid sirgjoonte moodustatud ristküliku sees.

4. Võrrandis (4) on mittenegatiivsete liikmete summa ja võrdne ühega. Seega, kui üks tähtaeg suureneb, siis teine ​​väheneb, s.t. Kui x suureneb, siis y väheneb ja vastupidi.

Öeldust järeldub, et ellipsil on joonisel fig. 6 (ovaalne suletud kõver).

Pange tähele, et kui a = b, siis on võrrand (4) kujul x 2 + y 2 = a 2 . See on ringi võrrand. Ringjoonest raadiusega a saab ellipsi, kui seda piki Oy telge üks kord kokku suruda. Sellise kokkutõmbumise korral läheb punkt (x; y) punkti (x; y 1), kus. Asendades võrrandis ringi, saame ellipsi võrrandi: .

Tutvustame veel ühte suurust, mis iseloomustab ellipsi kuju.

Ellipsi ekstsentrilisus on fookuskauguse 2c ja selle peatelje pikkuse 2a suhe.

Ekstsentrilisust tähistatakse tavaliselt e-ga: e = Kuna c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Viimasest võrdsusest on lihtne saada ellipsi ekstsentrilisuse geomeetrilist tõlgendust. Väga väikeste arvude puhul on a ja b peaaegu võrdsed, see tähendab, et ellips on ringi lähedal. Kui see on ühtsusele lähedane, siis on arv b võrreldes arvuga a väga väike ja ellips on piki peatelge tugevalt piklik. Seega iseloomustab ellipsi ekstsentrilisus ellipsi pikenemise mõõtu.

3. Hüperbool

3.1 Hüperbooli põhiomadus

Uurides hüperbooli ellipsi uurimiseks tehtud konstruktsioonidega sarnaste konstruktsioonide abil, leiame, et hüperbooli omadused on sarnased ellipsi omadega.

Lõikame sirge ringkoonuse selle mõlemat tasapinda lõikuva tasapinnaga b, s.t. paralleelselt kahe selle generaatoriga. Ristlõige on hüperbool. Joonestame läbi koonuse telje ST tasapinnaga b risti olev tasapind ASB.

Kirjutame koonusesse kaks kuuli – üks selle õõnsusse, teine ​​teise, nii et kumbki neist puudutab koonuspinda ja lõiketasapinda. Laske esimene kuul puudutada tasandit b punktis F 1 ja puudutada koonuspinda mööda ringjoont UґVґ. Laske teisel kuulil puudutada tasapinda b punktis F 2 ja puudutada koonuspinda mööda ringi UV.

Valime hüperboolile suvalise punkti M. Joonistame selle kaudu koonuse MS generatriksi ja märgime punktid d ja D, milles see puudutab esimest ja teist kuuli. Ühendame punkti M punktidega F 1, F 2, mida nimetame hüperbooli fookusteks. Siis MF 1 =Md, kuna mõlemad lõigud puutuvad kokku esimese kuuliga, mis on tõmmatud punktist M. Samamoodi on MF 2 =MD. Lahutades liikmed liikme kaupa esimesest võrdsusest teisest, leiame

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

kus dD on konstantne väärtus (koonuse generaatorina alustega UґVґ ja UV), mis ei sõltu hüperbooli punkti M valikust. Tähistage punktidega P ja Q punktid, kus sirge F 1 F 2 lõikub hüperbooliga. Neid punkte P ja Q nimetatakse hüperbooli tippudeks. Lõigu PQ nimetatakse hüperbooli tegelikuks teljeks. Elementaargeomeetria käigus tõestatakse, et dD=PQ. Seetõttu MF1 -MF2 =PQ.

Kui punkt M asub sellel hüperbooli harul, mille lähedal asub fookus F 1, siis MF 2 -MF 1 =PQ. Siis lõpuks saame МF 1 -MF 2 =PQ.

Hüperbooli suvalise punkti M kauguste erinevuse moodul tema fookustest F 1 ja F 2 on konstantne väärtus, mis võrdub hüperbooli reaaltelje pikkusega.

3.2 Hüperbooli võrrand

Võtame definitsiooniks hüperbooli põhiomaduse: Hüperbool on punktide asukoht tasapinnal, mille kauguste erinevuse moodul selle tasandi kahe fikseeritud punkti F 1 ja F 2 vahel, mida nimetatakse fookusteks, on konstant. väärtus on võrdne selle tegeliku telje pikkusega.

Olgu segmendi pikkus F 1 F 2 \u003d 2c ja reaaltelje pikkus on 2a. Hüperbooli kanoonilise võrrandi tuletamiseks valime lõigu F 1 F 2 keskele Descartes'i koordinaatsüsteemi algpunkti O ja suuname teljed Ox ja Oy, nagu on näidatud joonisel 5. Seejärel valitud koordinaatsüsteemis, punktid F 1 (c, 0) ja F 2 ( -s, 0). Ilmselgelt 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) on selle hüperbooli punkti M (x, y) asukoha jaoks vajalik ja piisav tingimus. Kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit, saame

r 1 =, r 2 =. Tuleme tagasi võrdsuse juurde (5):

Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Vähendades saame:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Pange tähele, et c 2 -a 2 >0. Tähistame c 2 -a 2 =b 2 . Võrrand (6) näeb välja selline: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Teostame teisenduse, mis viib hüperbooli võrrandi kanoonilisele kujule, nimelt jagame mõlemad võrrandi osad a 2 b 2-ga: (7) - hüperbooli kanooniline võrrand, suurused a ja b on vastavalt hüperbooli tegelikud ja imaginaarsed poolteljed.

Peame veenduma, et võrrandi (5*) algebraliste teisendustega saadud võrrand (7) poleks saanud uusi juuri. Selleks piisab, kui tõestada, et iga punkti M puhul, mille koordinaadid x ja y vastavad võrrandile (7), vastavad väärtused r 1 ja r 2 seosele (5). Juhtides argumente, mis on sarnased ellipsi valemi tuletamisel esitatutele, leiame r 1 ja r 2 jaoks järgmised avaldised:

Seega on vaadeldava punkti M jaoks r 1 -r 2 =2a ja seetõttu asub see hüperboolil.

3.3 Hüperbooli võrrandi uurimine

Nüüd proovime võrrandi (7) kaalutluse põhjal saada aimu hüperbooli asukohast.
1. Esiteks näitab võrrand (7), et hüperbool on sümmeetriline mõlema telje suhtes. See on seletatav asjaoluga, et kõvera võrrandisse on kaasatud ainult koordinaatide paarisastmed. 2. Nüüd märgime tasandi piirkonna, kus kõver asub. Hüperbooli võrrandil, mis on lahendatud y suhtes, on vorm:

See näitab, et y on alati olemas, kui x 2? a 2. See tähendab, et x jaoks? a ja x jaoks? - ja y-ordinaat on reaalne ja - a korral

Lisaks kasvab x (ja suurema a) suurenemisega kogu aeg ka y-ordinaat (eriti on sellest näha, et kõver ei saa olla laineline, st selline, et x-i abstsissi kasvades, y-ordinaat kas suureneb või väheneb) .

3. Hüperbooli keskpunkt on punkt, mille suhtes igal hüperbooli punktil on tema suhtes sümmeetriline punkt. Punkt O(0,0), alguspunkt, nagu ka ellipsi puhul, on kanoonilise võrrandiga antud hüperbooli keskpunkt. See tähendab, et igal hüperbooli punktil on hüperbooli sümmeetriline punkt punkti O suhtes. See tuleneb hüperbooli sümmeetriast telgede Ox ja Oy suhtes. Hüperbooli mis tahes akordi, mis läbib selle keskpunkti, nimetatakse hüperbooli läbimõõduks.

4. Hüperbooli lõikepunkte sirgega, millel paiknevad tema fookused, nimetatakse hüperbooli tippudeks ja nendevahelist lõiku hüperbooli tegelikuks teljeks. Sel juhul on tegelik telg x-telg. Pange tähele, et hüperbooli tegelikku telge nimetatakse sageli nii lõiguks 2a kui ka sirgjooneks endaks (Ox-telg), millel see asub.

Leia hüperbooli lõikepunktid Oy teljega. Y-telje võrrand on x=0. Asendades x = 0 võrrandisse (7), saame, et hüperboolil ei ole Oy teljega lõikepunkte. See on arusaadav, kuna Oy telge katval ribal laiusega 2a ei ole hüperboolipunkte.

Hüperbooli tegeliku teljega risti olevat ja selle keskpunkti läbivat joont nimetatakse hüperbooli mõtteliseks teljeks. Sel juhul langeb see kokku y-teljega. Seega on hüperbooli võrrandi (7) x 2 ja y 2-ga terminite nimetajates hüperbooli tegelike ja imaginaarsete pooltelgede ruudud.

5. Hüperbool lõikub sirgega y = kx k korral< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Tõestus

Hüperbooli ja sirge y = kx lõikepunktide koordinaatide määramiseks on vaja lahendada võrrandisüsteem

Elimineerides y, saame

või b 2 -k 2 a 2 0, st k korral, saadud võrrandit ja seega ka lahendite süsteemi ei ole.

Sirgeid võrranditega y= ja y= - nimetatakse hüperbooli asümptootideks.

Kui b 2 -k 2 a 2 >0, see tähendab, et k< система имеет два решения:

Seetõttu on iga alguspunkti läbiv sirge kaldega k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Hüperbooli optiline omadus: ühest hüperbooli fookusest väljuvad optilised kiired, mis sealt peegelduvad, näivad lähtuvat teisest fookusest.

Hüperbooli ekstsentrilisus on fookuskauguse 2c ja selle tegeliku telje pikkuse 2a suhe?
need. selle nõgususe küljelt.

3.4 Konjugeeritud hüperbool

Koos hüperbooliga (7) käsitletakse nn konjugeeritud hüperbooli selle suhtes. Konjugeeritud hüperbool on defineeritud kanoonilise võrrandiga.

Joonisel fig. 10 on näidatud hüperbool (7) ja selle konjugeeritud hüperbool. Konjugeeritud hüperboolil on samad asümptoodid, mis antud, kuid F 1 (0, c),

4. Parabool

4.1 Parabooli põhiomadus

Teeme kindlaks parabooli põhiomadused. Lõikame parempoolse ringikujulise koonuse tipuga S selle ühe generaatoriga paralleelse tasapinna võrra. Jaotises saame parabooli. Joonistame läbi koonuse telje ST tasapinnaga risti olev tasapind ASB (joon. 11). Selles asuv generatrix SA on tasapinnaga paralleelne. Kirjutame koonusesse koonuse sfäärilise pinna puutuja piki ringjoont UV ja puutuja tasapinnaga punktis F. Joonistage generaatoriga SA paralleelne joon läbi punkti F. Selle lõikepunkti generaatoriga SB tähistame tähega P. Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks, punkti P on selle tipp ning tippu ja fookust läbivat sirget PF (ja paralleelselt generaatoriga SA ) nimetatakse parabooli teljeks. Paraboolil ei ole teist tippu - PF-telje ja generatriksi SA lõikepunkti: see punkt "läheb lõpmatuseni". Nimetagem otsejooneks (tõlkes tähendab "juhiks") sirget q 1 q 2, mis asub tasapinna ja tasandiga, kus ringjoon UV asub, lõikepunkti. Võtke paraboolil suvaline punkt M ja ühendage see koonuse S tipuga. Sirge MS puudutab palli punktis D, mis asub ringil UV. Ühendame punkti M fookusega F ja kukutame risti MK punktist M sihikule. Siis selgub, et parabooli suvalise punkti M kaugused fookusest (MF) ja suunast (MK) on üksteisega võrdsed (parabooli põhiomadus), s.o. MF=MK.

Tõestus: МF=MD (kuuli puutujatena ühest punktist). Tähistame koonuse generaatorite ja ST-telje vahelist nurka q-ga. Projekteerime lõigud MD ja MK teljele ST. Lõik MD moodustab projektsiooni teljele ST, mis on võrdne MDcosc-ga, kuna MD asub koonuse generaatoril; segment MK moodustab projektsiooni teljele ST, mis on võrdne MKsoc-ga, kuna segment MK on paralleelne generaatoriga SA. (Tõepoolest, suund q 1 q 1 on risti tasapinnaga ASB. Seetõttu lõikub sirge PF otsejoonega punktis L täisnurga all. Kuid sirged MK ja PF asuvad samal tasapinnal ja MK on samuti risti direktrissi). Mõlema segmendi MK ja MD projektsioonid teljele ST on üksteisega võrdsed, kuna üks nende otstest - punkt M - on ühine ning kaks ülejäänud D ja K asuvad ST-teljega risti (joonis 1). ). Siis МDcosц= MKsоsц või МD= MK. Seega MF=MK.

Vara 1.(Parabooli fookusomadus).

Kaugus parabooli mis tahes punktist peaakordi keskkohani on võrdne selle kaugusega suunajoonest.

Tõestus.

Punkt F - sirge QR ja põhikõla lõikepunkt. See punkt asub sümmeetriateljel Oy. Tõepoolest, kolmnurgad RNQ ja ROF on kongruentsed, täpselt nagu täisnurksed kolmnurgad

varajaste jalgadega kolmnurgad (NQ=OF, OR=RN). Seega, olenemata sellest, millise punkti N me võtame, piki seda konstrueeritud sirge QR lõikub peaakordiga selle keskpunktis F. Nüüd on selge, et kolmnurk FMQ on võrdhaarne. Tõepoolest, segment MR on nii selle kolmnurga mediaan kui ka kõrgus. See tähendab, et MF=MQ.

Vara 2.(Parabooli optiline omadus).

Iga parabooli puutuja moodustab puutepunktile tõmmatud fookusraadiusega võrdsed nurgad ja puutujapunktist tuleva ja teljega koos suunatud kiir (või ühest fookusest väljuvad kiired, mis peegelduvad paraboolilt, lähevad teljega paralleelselt).

Tõestus. Punkti N puhul, mis asub paraboolil endal, on võrdus |FN|=|NH| ja punkti N" puhul, mis asub parabooli sisepiirkonnas, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"| ehk punkt M asub parabooli välimises piirkonnas. Niisiis, kogu sirge l, välja arvatud punkt M, asub välispiirkonnas, see tähendab, et parabooli sisemine piirkond asub l ühel küljel, mis tähendab, et l on parabooli puutuja. See tõestab parabooli optilist omadust: nurk 1 võrdub nurgaga 2, kuna l on nurga FMK poolitaja.

4.2 Parabooli võrrand

Parabooli põhiomaduse põhjal sõnastame selle definitsiooni: parabool on kogum tasapinna kõikidest punktidest, millest igaüks on võrdsel kaugusel antud punktist, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgest, mida nimetatakse otsejooneks. . Kaugust fookusest F suunani nimetatakse parabooli parameetriks ja seda tähistatakse p-ga (p > 0).

Paraboolvõrrandi tuletamiseks valime Oxy koordinaatsüsteemi nii, et Ox-telg läbib fookuse F risti otsesuunaga suunas otsesuunast F ja alguspunkt O asub fookuse ja suuna vahel. (joonis 12). Valitud süsteemis on fookus F(, 0) ja suundvõrrand on kujul x=- või x+=0. Olgu m (x, y) parabooli suvaline punkt. Ühendage punkt M F-ga. Joonistage lõik MH risti suunaga. Parabooli definitsiooni järgi MF = MH. Kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit, leiame:

Seetõttu saame võrrandi mõlemad pooled ruutudeks

need. (8) Võrrandit (8) nimetatakse parabooli kanooniliseks võrrandiks.

4.3 Parabooli vormide uurimine võrrandi järgi

1. Võrrandis (8) on muutuja y kaasatud paarisastmesse, mis tähendab, et parabool on sümmeetriline Ox-telje suhtes; x-telg on parabooli sümmeetriatelg.

2. Kuna c > 0, siis (8) järeldub, et x>0. Seetõttu asub parabool y-teljest paremal.

3. Olgu x \u003d 0, siis y \u003d 0. Seetõttu läbib parabool lähtepunkti.

4. X piiramatu suurenemisega suureneb ka moodul y määramatult. Parabool y 2 \u003d 2 px on sellise kujuga (kujuga), mis on näidatud joonisel 13. Punkti O (0; 0) nimetatakse parabooli tipuks, segmenti FM \u003d r nimetatakse punkti M fookusraadiuseks. Võrrandid y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) määravad samuti paraboolid.

1.5. Kooniliste sektsioonide kataloog .

Siin tõestame, et iga mitteringikujulist (mitte-mandunud) koonust lõiku saab määratleda punktide kogumina M, mille kauguse MF fikseeritud punktist F ja kauguse MP fikseeritud sirgest d, mida ei läbida punkt F on võrdne konstantse väärtusega e: kus F - koonilise lõigu fookus, sirge d on suund ja suhe e on ekstsentrilisus. (Kui punkt F kuulub sirgele d, siis määrab tingimus punktide hulga, milleks on sirgepaar, s.t. degenereerunud koonuslõige; e = 1 korral liidetakse see sirgepaar üheks sirgeks. Tõestamiseks vaatleme koonust, mis moodustub sirge l pöörlemisel ümber selle lõikuva sirge p punktis O, mis moodustab nurgaga b nurga b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Kirjutame koonusesse kuuli K, mis puudutab tasandit p punktis F ja puudutab koonust piki ringjoont S. Tasapinna p ja ringi S tasapinna y lõikejoont tähistame d-ga.

Ühendame nüüd suvalise punkti M, mis asub tasapinna p ja koonuse lõikepunkti sirgel A, koonuse tipuga O ja punktiga F ning langetame risti MP punktist M sirgele d; tähistage E-ga ka koonuse generaatori MO lõikepunkti ringjoonega S.

Veelgi enam, MF = ME, palli K kahe puutuja segmendid, mis on tõmmatud ühest punktist M.

Lisaks moodustab lõik ME koos koonuse teljega p konstantse (st sõltumatu punkti M valikust) nurga 6 ja segment MP konstantse nurga β; seetõttu on nende kahe segmendi projektsioonid p-teljele vastavalt võrdsed ME cos b ja MP cos c.

Kuid need projektsioonid langevad kokku, kuna lõikudel ME ja MP on ühine alguspunkt M ja nende otsad asuvad p-teljega risti y-tasandil.

Seega ME cos b = MP cos c või kuna ME = MF, MF cos b = MP cos c, millest järeldub, et

Samuti on lihtne näidata, et kui tasandi p punkt M ei kuulu koonusesse, siis. Seega saab parempoolse ringkoonuse iga lõiku kirjeldada kui punktide kogumit tasapinnal, mille jaoks. Teisest küljest saame nurkade b ja c väärtusi muutes anda ekstsentrilisusele mis tahes väärtuse e > 0; Lisaks ei ole sarnasuse kaalutlustel raske mõista, et kaugus FQ fookusest suunani on otseselt võrdeline kuuli K raadiusega r (või tasandi p kaugusega d tipust O. koonus). Võib näidata, et seega, valides sobivalt kauguse d, saame anda kaugusele FQ mis tahes väärtuse. Seetõttu saab iga punktide komplekti M, mille kauguste suhtel punktist M fikseeritud punktist F ja fikseeritud sirgest d on konstantse väärtusega, kirjeldada kõverana, mis saadakse parempoolse ringkoonuse lõikes lennuk. See tõestab, et (mitte-mandunud) koonuselõike saab määratleda ka selles alapeatükis käsitletava omadusega.

Seda kooniliste lõikude omadust nimetatakse nendeks kataloogi vara. On selge, et kui c > b, siis e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Teisest küljest on hästi näha, et kui s > 6, siis tasapind p lõikub koonusega mööda suletud piiritletud joont; kui c = b, siis tasapind p lõikab koonust mööda piiramata sirget; kui sisse< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Kooniline lõik, mille jaoks e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 nimetatakse hüperbooliks. Ellipsid sisaldavad ka ringi, mida ei saa kataloogi atribuudiga määrata; kuna ringi puhul muutub suhe 0-ks (sest antud juhul β \u003d 90º), siis peetakse tinglikult seda ringjoont koonuseliseks lõiguks, mille ekstsentrilisus on 0.

6. Ellips, hüperbool ja parabool kooniliste lõigetena

koonuselõike ellipsi hüperbool

Vana-Kreeka matemaatik Menechmus, kes avastas ellipsi, hüperbooli ja parabooli, määratles need ringikujulise koonuse osadena tasapinnaga, mis on risti ühe generaatoriga. Saadud kõveraid nimetas ta olenevalt koonuse teljenurgast teravnurksete, ristkülikukujuliste ja nürinurksete koonuste lõikudeks. Esimene, nagu allpool näeme, on ellips, teine ​​on parabool, kolmas on hüperbooli üks haru. Nimetused "ellips", "hüperbool" ja "parabool" võttis kasutusele Apollonius. Peaaegu täielikult (7 raamatust 8-st) on meieni jõudnud Apolloniuse teos "Koonuslõikudel". Selles töös käsitleb Apollonius koonuse mõlemat põrandat ja lõikab koonust tasapindadega, mis ei pruugi olla risti ühe generaatoriga.

Teoreem. Iga sirge ringkoonuse läbilõige tasapinnaga (mis ei läbi selle tippu) määrab kõvera, mis võib olla ainult hüperbool (joonis 4), parabool (joonis 5) või ellips (joonis 6). Veelgi enam, kui tasapind lõikub ainult ühe koonuse tasapinnaga ja piki suletud kõverat, on see kõver ellips; kui tasapind lõikub ainult ühe tasapinnaga mööda avatud kõverat, siis see kõver on parabool; kui lõiketasand lõikab koonuse mõlemat tasapinda, siis moodustatakse lõikes hüperbool.

Selle teoreemi elegantse tõestuse pakkus 1822. aastal välja Dandelin, kasutades sfääre, mida nüüd nimetatakse Dandelini sfäärideks. Vaatame seda tõendit.

Kirjutame koonusesse kaks sfääri, mis puudutavad lõike П tasapinda erinevatest külgedest. Tähistage F1 ja F2 selle tasandi ja sfääride kokkupuutepunkte. Võtame koonuse lõikejoonel tasapinnaga P suvalise punkti M. M läbiva koonuse generaatoril märgime ringil k1 ja k2 asuvad punktid P1 ja P2, mida mööda kerad puudutavad koonus.

On selge, et MF1=MP1 kui M-st väljuva esimese sfääri kahe puutuja segmendid; samamoodi MF2=MP2. Seetõttu MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Lõigu P1P2 pikkus on meie lõigu kõigi punktide M jaoks sama: see on paralleelsete tasanditega 1 ja 11 piiratud kärbikoonuse generatriks, milles asuvad ringid k1 ja k2. Seetõttu on koonuse lõikejoon tasapinna P järgi ellips fookustega F1 ja F2. Selle teoreemi paikapidavuse saab kindlaks teha ka üldise seisukoha alusel, et teist järku pinna lõikekoht tasapinnaga on teist järku sirge.

Kirjandus

1. Atanasjan L.S., Bazylev V.T. Geomeetria. 2 tunniga Osa 1. Õpik füüsika ja matemaatika üliõpilastele. ped. seltsimees-M.: Valgustus, 1986.

2. Bazylev V.T. jne Geomeetria. Proc. toetus füüsika 1. kursuse üliõpilastele. - matt. faktid ped. sisse. - seltsimees-M .: Haridus, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geomeetria. Proc. 7-11 raku jaoks. keskm. kool - 4. väljaanne-M.: Valgustus, 1993.

4. Matemaatika ajalugu muinasajast kuni 19. sajandi alguseni. Juškevitš A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltjanski V.G. Ellipsi, hüperbooli ja parabooli optilised omadused. // Kvant. - 1975. - nr 12. - Koos. 19-23.

6. Efremov N.V. Analüütilise geomeetria lühikursus. - M: Nauka, 6. trükk, 1967. - 267 lk.

Sarnased dokumendid

Kooniliste lõikude mõiste. Koonilised lõigud - tasapindade ja koonuste lõikekohad. Kooniliste sektsioonide tüübid. Kooniliste sektsioonide ehitamine. Koonuslõik on punktide asukoht, mis rahuldavad teist järku võrrandit.

abstraktne, lisatud 05.10.2008


Apolloniuse "koonuslõiked". Ristkülikukujulise pöördekoonuse lõigu kõvervõrrandi tuletamine. Parabooli, ellipsi ja hüperbooli võrrandi tuletamine. Koonuslõigete muutumatus. Koonuslõigete teooria edasiarendus Apolloniuse töödes.

abstraktne, lisatud 02.04.2010


Koonuse mõiste ja ajalooline teave, selle elementide omadused. Koonuse moodustamise tunnused ja kooniliste sektsioonide tüübid. Dandelini sfääri ehitus ja selle parameetrid. Koonuslõike omaduste rakendamine. Koonuse pindade pindalade arvutused.

esitlus, lisatud 08.04.2012


Kõvera matemaatiline mõiste. Teist järku kõvera üldvõrrand. Ringi, ellipsi, hüperbooli ja parabooli võrrandid. Hüperbooli sümmeetriateljed. Parabooli kuju uurimine. Kolmanda ja neljanda järgu kõverad. Anjesi lokk, Descartes'i leht.

lõputöö, lisatud 14.10.2011


Mitmetahuliste lõikude konstrueerimise meetodite ülevaade ja iseloomustus, nende tugevate ja nõrkade külgede määramine. Abisektsioonide meetod kui universaalne meetod hulktahukate lõikude konstrueerimiseks. Probleemide lahendamise näited uurimisteemal.

esitlus, lisatud 19.01.2014


Teist järku kõvera üldvõrrand. Ellipsi, ringi, hüperbooli ja parabooli võrrandite koostamine. Hüperbooli ekstsentrilisus. Parabooli fookus ja suund. Üldvõrrandi teisendamine kanooniliseks vormiks. Kõvera tüübi sõltuvus invariantidest.

esitlus, lisatud 10.11.2014


Kolmnurga geomeetria elemendid: isogonaalne ja isotoomne konjugatsioon, tähelepanuväärsed punktid ja jooned. Kolmnurgaga seotud koonused: koonuselõike omadused; kolmnurga ümber piiratud ja sellesse kantud koonused; rakendus probleemide lahendamiseks.

kursusetöö, lisatud 17.06.2012


Ellips, hüperbool, parabool kui teist järku kõverad, mida kasutatakse kõrgemas matemaatikas. Teist järku kõvera mõiste on tasapinnal olev sirge, mis mõnes Descartes'i koordinaatsüsteemis on määratud võrrandiga. Pascamli teoreem ja Brianchoni teoreem.

abstraktne, lisatud 26.01.2011


Kuubiku kahekordistamise probleemi päritolust (üks viiest kuulsast antiikaja probleemist). Esimene teadaolev katse probleemi lahendamiseks, Archit of Tarentum lahendus. Probleemide lahendamine Vana-Kreekas pärast Archytast. Lahendused, kasutades Menechmuse ja Eratosthenese koonuselõike.

abstraktne, lisatud 13.04.2014


Koonuse sektsiooni peamised tüübid. Lõige, mille moodustab tasapind, mis läbib koonuse telge (telgjoon) ja selle tippu (kolmnurk). Lõigu moodustamine tasapinnaga, mis on teljega paralleelne (parabool), risti (ring) ja mitte risti (ellips).

V silinder \u003d S põhi. h

Näide 2 Kui on antud parempoolne ringkoonus ABC võrdkülgne, BO = 10. Leidke koonuse maht.

Lahendus

Leidke koonuse aluse raadius. C \u003d 60 0, B = 30 0,

Olgu OS = A, siis BC = 2 A. Pythagorase teoreemi järgi:

Vastus: .

Näide 3. Arvutage kindlaksmääratud joontega piiratud alade pöörlemisel tekkivate kujundite mahud.

y2 = 4x; y = 0; x=4.

Integreerimise piirid a = 0, b = 4.

V= | =32π

Ülesanded

valik 1

1. Silindri telglõikeks on ruut, mille diagonaal on 4 dm. Leidke silindri maht.

2. Õõneskera välisläbimõõt on 18 cm, seina paksus 3 cm Leia kera seinte ruumala.

X joontega y 2 =x, y=0, x=1, x=2 piiratud joonis.

2. variant

1. Kolme kuuli raadiused on 6 cm, 8 cm, 10 cm Määrake kuuli raadius, mille ruumala on võrdne nende kuulide ruumalade summaga.

2. Koonuse aluse pindala on 9 cm 2, selle kogupind on 24 cm 2. Leidke koonuse maht.

3. Arvuta ümber O-telje pöörlemisel tekkiva keha ruumala X joontega y 2 =2x, y=0, x=2, x=4 piiratud joonis.

Kontrollküsimused:

1. Kirjutage kehade ruumalade omadused.

2. Kirjutage valem ümber Oy telje pöörleva keha ruumala arvutamiseks.

Olgu antud parempoolne ringsilinder, mille projektsioonide horisontaaltasand on paralleelne selle alusega. Kui silindrit lõikab üldasendis tasapind (eeldame, et tasapind ei ristu silindri aluseid), on lõikejooneks ellips, lõik ise on ellipsi kujuga, selle horisontaalprojektsioon ühtib silindri põhja projektsioon ja esiosa on samuti ellipsi kujuga. Aga kui lõiketasapind moodustab silindri teljega nurga, mis on võrdne 45 °, siis projitseeritakse ellipsi kujuga sektsioon ringjoonega sellele projektsioonitasandile, mille suhtes sektsioon on samal nurga all. nurk.

Kui lõiketasand lõikab silindri külgpinda ja selle üht alust (joon. 8.6), siis on lõikejoon mittetäieliku ellipsi (ellipsi osa) kujuga. Sel juhul on lõigu horisontaalprojektsioon osa ringist (aluse projektsioon) ja esiosa on osa ellipsist. Tasapind võib asuda risti mis tahes projektsioonitasandiga, siis projitseeritakse lõik sellele projektsioonitasandile sirgjoonega (osa lõiketasandi jäljest).

Kui silindrit lõikab generatriksiga paralleelne tasapind, siis lõikejooned külgpinnaga on sirged ja sektsioon ise on ristküliku kujuga, kui silinder on sirge, või rööpküliku kujuga, kui silinder on kaldu.

Nagu teate, moodustavad nii silindri kui ka koonuse joonitud pinnad.

Reguleeritava pinna ja tasapinna lõikejoon (lõikejoon) on üldjuhul teatud kõver, mis konstrueeritakse generaatorite lõikepunktidest lõiketasandiga.

Las see antakse sirge ringikujuline koonus. Selle ristumisel tasapinnaga võib lõikejoon olenevalt tasandi asukohast võtta kuju: kolmnurk, ellips, ring, parabool, hüperbool (joon. 8.7).

Kolmnurk saadakse siis, kui koonust ristuv lõiketasand läbib selle tipu. Sel juhul on lõikejooned külgpinnaga koonuse ülaosas lõikuvad sirged, mis koos aluse lõikejoonega moodustavad projektsioonitasanditele moonutusega projitseeritud kolmnurga. Kui tasapind lõikub koonuse teljega, siis lõigus saadakse kolmnurk, milles antud koonuse kolmnurgalõigete puhul on nurk koonuse tipuga kokku langeva tipuga maksimaalne. Sel juhul projitseeritakse lõik horisontaalsele projektsioonitasandile (see on paralleelne selle alusega) sirgjoone segmendi abil.

Tasapinna ja koonuse lõikejoon on ellips, kui tasapind ei ole paralleelne ühegi koonuse generaatoriga. See on samaväärne tõsiasjaga, et tasapind lõikab kõiki generaatoreid (koonuse kogu külgpinda). Kui lõiketasapind on paralleelne koonuse põhjaga, siis on lõikejoon ringjoon, lõik ise projitseeritakse horisontaalsele projektsioonitasandile ilma moonutusteta ja frontaaltasandile - sirgjoone segmendina.

Lõikejoon on parabool, kui lõiketasand on paralleelne ainult ühe koonuse generaatoriga. Kui lõiketasand on paralleelne kahe generaatoriga korraga, siis on lõikejoon hüperbool.

Kärbitud koonus saadakse, kui parempoolset ringikujulist koonust lõikab alusega paralleelne ja koonuse teljega risti asetsev tasapind ning ülemine osa visatakse kõrvale. Juhul, kui horisontaalprojektsioonitasand on paralleelne kärbikoonuse alustega, projitseeritakse need alused horisontaalsele projektsioonitasandile ilma kontsentriliste ringide poolt moonutamata ja frontaalprojektsioon on trapets. Kui kärbitud koonust lõikub tasapinnaga, võib lõikejoon olenevalt selle asukohast olla trapetsi, ellipsi, ringi, parabooli, hüperbooli või osa mõnest neist kõveratest, mille otsad on ühendatud kõverikuga. sirgjoon.

Munitsipaalharidusasutus

Aleksejevskaja keskkool

"Hariduskeskus"

Tunni arendamine

Teema: OTSE RINGKOONUS.

KOONUSE LÕIK LENNUTEGA

Matemaatika õpetaja

õppeaasta

Teema: OTSE RINGKOONUS.

KOONUSE LÕIK LENNUTEGA.

Tunni eesmärk: analüüsida koonuse definitsioone ja alluvaid mõisteid (tipp, alus, generaatorid, kõrgus, telg);

arvestage tippu läbivaid koonuse lõike, sealhulgas aksiaalseid;

soodustada õpilaste ruumilise kujutlusvõime arengut.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik: uurida pöördekeha (koonuse) põhimõisteid.

Arendamine: jätkata analüüsi-, võrdlemisoskuste kujundamist; oskus esile tõsta põhilist, sõnastada järeldusi.

Hariduslik: õpilaste õpihuvi edendamine, suhtlemisoskuste juurutamine.

Tunni tüüp: loeng.

Õppemeetodid: reproduktiivne, problemaatiline, osaliselt otsing.

Varustus: laud, revolutsioonikehade mudelid, multimeediaseadmed.

Tundide ajal

I. Aja organiseerimine.

Eelmistes tundides oleme juba tutvunud pöördekehadega ja peatunud lähemalt silindri mõistel. Tabelil näete kahte joonist ja paarides töötades sõnastage käsitletava teema kohta õiged küsimused.

P. Kodutööde kontrollimine.

Töötage paaris, kasutades temaatilist tabelit (silindrisse kantud prisma ja silindri lähedal kirjeldatud prisma).

Näiteks paarides ja individuaalselt saavad õpilased esitada järgmisi küsimusi:

Mis on ringikujuline silinder (silindri generatriks, silindri alused, silindri külgpind)?

Millist prismat nimetatakse silindri lähedusse sisse kirjutatud?

Millist tasapinda nimetatakse silindri puutujaks?

Mis kujundid on hulknurgad? ABC, A1 B1 C1 , ABCDEJaA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Missugune prisma on prisma ABCDEABCDE? (Otseminu.)

- Tõesta, et see on sirge prisma.

(valikuliselt teevad tööd 2 paari õpilasi tahvli ääres)

III. Algteadmiste uuendamine.

Planimeetria materjali järgi:

Thalese teoreem;

Kolmnurga keskjoone omadused;

Ringi pindala.

Stereomeetria materjali järgi:

kontseptsioon homoteetsus;

Nurk sirge ja tasapinna vahel.

IV.Uue materjali õppimine.

(õpetlik ja metoodiline komplekt "Elav matemaatika », Lisa 1.)

Pärast materjali esitamist pakutakse välja tööplaan:

1. Koonuse definitsioon.

2. Paremkoonuse definitsioon.

3. Koonuse elemendid.

4. Koonuse areng.

5. Koonuse kui pöördekeha saamine.

6. Koonuse sektsioonide tüübid.

Nendele küsimustele leiavad õpilased ise vastused.lapsed punktides 184–185, saates neile joonised.

Valeoloogiline paus: Väsinud? Puhkame enne järgmist praktilist tööetappi!

Siseorganite töö eest vastutavate aurikli reflekstsoonide massaaž;

· Peopesade reflekstsoonide massaaž;

Silmade võimlemine (kinnitage silmi ja avage järsult silmad);

Lülisamba venitamine (tõstke käed üles, tõmmake end parema ja seejärel vasaku käega üles)

Hingamisharjutused, mille eesmärk on aju hapnikuga küllastamine (hingake järsult läbi nina 5 korda)

Koostatakse (koos õpetajaga) temaatiline tabel, mis kaasneb tabeli täitmisega küsimuste ja erinevatest allikatest saadud materjalidega (õpik ja arvutiesitlus)

"Koonus. Frustum".

v.Materjali kinnitamine.

Esitöö.

· Suuliselt (kasutades valmis joonist) Nr 9 ja nr 10 on lahendatud.

(kaks õpilast selgitavad ülesannete lahendust, ülejäänud saavad vihikusse lühimärkmeid teha)

nr 9. Koonuse aluse raadius on 3m, koonuse kõrgus 4m. leia generatrix.

(Lahendus:l=√ R2 + H2 =√32+42=√25=5m.)

Nr 10 Koonuse moodustamine l kallutatud alustasandi suhtes 30° nurga all. Leidke kõrgus.

(Lahendus:H = l patt 30◦ = l|2.)

· Lahendage probleem vastavalt valmis joonisele.

Koonuse kõrgus on h. Generaatorite kaudu MA Ja MB joonistatakse tasapind, mis teeb nurga A koonuse aluse tasapinnaga. Akord AB ahendab kaare kraadimõõtega R.

1. Tõesta, et koonuse läbilõige tasapinnaga MAV- võrdhaarne kolmnurk.

2. Selgitage, kuidas konstrueerida kahetahulise nurga joonnurka, mis on moodustatud koonuse lõiketasandi ja aluse tasapinnaga.

3. Leia PRL.

4. Koostage (ja selgitage) kava akordi pikkuse arvutamiseks AB ja läbilõikepindala MAV.

5. Näidake joonisel, kuidas saate punktist risti tõmmata KOHTA lõiketasandile MAV(põhjenda konstruktsiooni).

· Kordamine:

Planimeetriast uuritud materjal:

Võrdhaarse kolmnurga definitsioon;

Võrdhaarse kolmnurga omadused;

Kolmnurga pindala

stereomeetriast uuritud materjali:

Tasapindadevahelise nurga määramine;

Meetod kahetahulise nurga lineaarnurga konstrueerimiseks.

Enesetest

1. Joonistage joonisel kujutatud lamedate kujundite pöörlemisel tekkivad pöördekehad.

2. Märkige, millise lameda kujundi pöörlemine tekitas kujutatud pöördekeha. (b)

TUNNI TEKSTISELGITUS:

Jätkame tahke geomeetria osa "Revolutsiooni keha" uurimist.

Pöördekehade hulka kuuluvad: silindrid, koonused, kuulid.

Meenutagem määratlusi.

Kõrgus on kaugus figuuri või keha tipust figuuri (keha) põhjani. Vastasel juhul segment, mis ühendab joonise üla- ja alaosa ning on sellega risti.

Pidage meeles, et ringi pindala leidmiseks korrutage pi raadiuse ruuduga.

Ringi pindala on võrdne.

Tuletage meelde, kuidas leida ringi pindala, teades läbimõõtu? Sest

paneme selle valemisse:

Koonus on ka revolutsiooni keha.

Koonus (täpsemalt ümmargune koonus) on keha, mis koosneb ringist - koonuse alusest, punktist, mis ei asu selle ringi tasapinnal - koonuse tipust ja kõigist selle ülaosa ühendavatest segmentidest. koonus koos aluse punktidega.

Tutvume koonuse ruumala leidmise valemiga.

Teoreem. Koonuse ruumala on võrdne ühe kolmandikuga aluspinnast, mis on korrutatud kõrgusega.

Tõestame selle teoreemi.

Arvestades: koonus, S on selle aluse pindala,

h on koonuse kõrgus

Tõesta: V=

Tõestus: Vaatleme koonust ruumalaga V, aluse raadiusega R, kõrgusega h ja tipuga punktis O.

Tutvustame telge Ox läbi koonuse telje OM. Koonuse suvaline lõige x-teljega risti oleva tasapinnaga on ring, mille keskpunkt on punktis

M1 - selle tasandi lõikepunkt teljega Ox. Tähistame selle ringi raadiust R1 ja ristlõike pindala S(x), kus x on punkti M1 abstsiss.

Täisnurksete kolmnurkade OM1A1 ja OMA sarnasusest (ے OM1A1 = ے OMA - sirged, ےMOA-ühine, mis tähendab, et kolmnurgad on kahe nurga all sarnased) järeldub, et

Jooniselt on näha, et OM1=x, OM=h

või kust proportsiooni omaduse järgi leiame R1 = .

Kuna lõik on ring, siis S (x) \u003d πR12, asendame R1 asemel eelmise avaldise, läbilõike pindala võrdub pi er ruudu x korrutise suhtega kõrguse ruuduga:

Rakendame põhivalemit

kehade ruumalade arvutamisel a=0, b=h saame avaldise (1)

Kuna koonuse alus on ring, võrdub koonuse aluse pindala S pi er ruuduga

keha ruumala arvutamise valemis asendame pii er ruudu väärtuse aluse pindalaga ja saame, et koonuse ruumala on võrdne ühe kolmandikuga pindala korrutisest. alusest ja kõrgusest

Teoreem on tõestatud.

Teoreemi (kärbitud koonuse ruumala valem) järeldus

Tüvikoonuse, mille kõrgus on h, ruumala V ning aluste S ja S1 pindala arvutatakse valemiga

Ve võrdub ühe kolmandikuga tuhast, mis on korrutatud aluste pindalade ja aluse pindalade korrutise ruutjuure summaga.

Probleemi lahendamine

Täisnurkne kolmnurk jalgadega 3 cm ja 4 cm pöörleb ümber hüpotenuusi. Määrake saadud keha maht.

Kui kolmnurk pöörleb ümber hüpotenuusi, saame koonuse. Selle probleemi lahendamisel on oluline mõista, et võimalikud on kaks juhtumit. Igas neist rakendame koonuse ruumala leidmise valemit: koonuse ruumala on võrdne kolmandikuga aluse ja kõrguse korrutisest

Esimesel juhul näeb joonis välja selline: antakse koonus. Olgu raadius r = 4, kõrgus h = 3

Aluse pindala võrdub π-kordse raadiuse ruudu korrutisega

Siis võrdub koonuse ruumala ühe kolmandikuga korrutisest π korda raadiuse ruut ja kõrgus.

Asendage väärtus valemis, selgub, et koonuse ruumala on 16π.

Teisel juhul nii: antud koonus. Olgu raadius r = 3, kõrgus h = 4

Koonuse ruumala võrdub ühe kolmandikuga aluspinnast, mis on korrutatud kõrgusega:

Aluse pindala võrdub π-kordse raadiuse ruudu korrutisega:

Siis võrdub koonuse ruumala ühe kolmandikuga korrutisest π korda raadiuse ruut ja kõrgus:

Asendage väärtus valemis, selgub, et koonuse ruumala on 12π.

Vastus: Koonuse V ruumala on 16 π või 12 π

Ülesanne 2. Antud on täisnurkne ringkoonus raadiusega 6 cm, nurk BCO = 45 .

Leidke koonuse maht.

Lahendus: Selle ülesande jaoks antakse valmis joonis.

Kirjutame koonuse ruumala leidmise valemi:

Väljendame seda aluse R raadiuse kaudu:

Ehituse järgi leiame h \u003d BO - ristkülikukujulise, sest nurk BOC=90 (kolmnurga nurkade summa), nurgad aluse juures on võrdsed, seega kolmnurk ΔBOC on võrdhaarne ja BO=OC=6 cm.