Mis on siinus b. Mis on siinus ja koosinus, on protsendid. Seos teiste trigonomeetriliste funktsioonidega

Ma arvan, et sa väärid rohkemat. Siin on minu trigonomeetria võti:

• Joonistage kuppel, sein ja lagi
• Trigonomeetrilised funktsioonid pole muud kui nende kolme vormi protsendid.

Siinuse ja koosinuse metafoor: kuppel

Kolmnurkade endi vaatamise asemel kujutlege neid tegutsemas, leides mõne konkreetse näite tegelikust elust.

Kujutage ette, et olete keset kuplit ja soovite riputada üles filmiprojektori ekraani. Näitate näpuga kuplile mingi "x" nurga all ja sellesse punkti tuleks riputada ekraan.

Nurk, millele osutate, määrab:

• siinus(x) = sin(x) = ekraani kõrgus (põrandast kupli kinnituspunkt)
• koosinus(x) = cos(x) = kaugus sinust ekraanini (korruse kaupa)
• hüpotenuus, kaugus sinust ekraani ülaossa, alati sama, võrdne kupli raadiusega

Kas soovite, et ekraan oleks võimalikult suur? Riputage see otse enda kohale.

Kas soovite, et ekraan rippuks teist võimalikult kaugel? Riputage see otse risti. Selles asendis on ekraani kõrgus null ja see ripub nii kaugele taha, kui soovite.

Kõrgus ja kaugus ekraanist on pöördvõrdelised: mida lähemal ekraan ripub, seda kõrgem on selle kõrgus.

Siinus ja koosinus on protsendid

Kahjuks ei selgitanud keegi minu õpinguaastatel mulle, et trigonomeetrilised funktsioonid siinus ja koosinus pole muud kui protsendid. Nende väärtused on vahemikus +100% kuni 0 kuni -100% või positiivsest maksimumist nulli kuni negatiivse maksimumini.

Oletame, et maksin 14 rubla maksu. Sa ei tea, kui palju see on. Aga kui ütlete, et maksin 95% maksu, siis saate aru, et mind lihtsalt nülgiti nagu kleepuvat.

Absoluutne kõrgus ei tähenda midagi. Aga kui siinus on 0,95, siis ma saan aru, et teler ripub peaaegu su kupli otsas. Üsna varsti saavutab see kupli keskel oma maksimumkõrguse ja hakkab seejärel uuesti langema.

Kuidas me saame seda protsenti arvutada? Väga lihtne: jagage praegune ekraani kõrgus maksimaalse võimalikuga (kupli raadius, mida nimetatakse ka hüpotenuusiks).

Sellepärast meile öeldakse, et "koosinus = vastasjalg / hüpotenuus". Seda kõike protsendi saamiseks! Parim viis siinuse defineerimiseks on "praeguse kõrguse protsent maksimaalsest võimalikust". (Siinus muutub negatiivseks, kui teie nurk osutab "maa alla". Koosinus muutub negatiivseks, kui nurk osutab teie taga asuvale kuplipunktile.)

Lihtsustame arvutusi, eeldades, et oleme ühikringi keskpunktis (raadius = 1). Võime jagamise vahele jätta ja võtta siinuse, mis võrdub kõrgusega.

Iga ring on tegelikult üksik, suurendatud või vähendatud skaalal soovitud suuruseni. Seega määrake ühikuringi seosed ja rakendage tulemusi oma konkreetsele ringi suurusele.

Katse: võtke mis tahes nurk ja vaadake, mitu protsenti kõrgusest laiusest kuvatakse:

Siinuse väärtuse kasvu graafik ei ole lihtsalt sirge. Esimesed 45 kraadi katavad 70% kõrgusest ja viimased 10 kraadi (80° kuni 90°) vaid 2%.

See teeb teile selgemaks: kui lähete ringi, tõusete 0 ° juures peaaegu vertikaalselt, kuid kupli ülaosale lähenedes muutub kõrgus üha vähem.

Tangent ja sekant. Sein

Ühel päeval ehitas naaber müüri otse selg oma kupli juurde. Nutsin teie aknavaadet ja head edasimüügihinda!

Kuid kas selles olukorras on võimalik kuidagi võita?

Muidugi jah. Mis siis, kui riputaksime filmiekraani otse naabri seinale? Sihid nurka (x) ja saad:

• tan(x) = tan(x) = ekraani kõrgus seinal
• kaugus sinust seinani: 1 (see on sinu kupli raadius, sein ei liigu sinust kuhugi, eks?)
• secant(x) = sec(x) = "redeli pikkus" sinust kupli keskel seistes kuni rippuva ekraani ülaossa

Täpsustame paar asja puutuja ehk ekraani kõrguse kohta.

• see algab nullist ja võib tõusta lõpmatult kõrgele. Saate sirutada ekraani seinal aina kõrgemale, et saada oma lemmikfilmi vaatamiseks lihtsalt lõputu lõuend! (Sellise tohutu jaoks peate muidugi kulutama palju raha).
• tangens on lihtsalt siinuse suurendatud versioon! Ja kuigi siinuse kasv aeglustub, kui liigute kupli tipu poole, siis puutuja kasvab jätkuvalt!

Sekansul on ka millega kiidelda:

• sekant algab 1-st (redel on põrandal, sinust eemal seina poole) ja hakkab sealt üles minema
• Sekant on alati pikem kui puutuja. Kaldredel, mille külge ekraani riputate, peab olema pikem kui ekraan ise, eks? (Ebareaalsetes suurustes, kui ekraan on niiiii pikk ja redel tuleb asetada peaaegu vertikaalselt, on nende suurused peaaegu samad. Aga ka siis on sekant veidi pikem).

Pidage meeles, et väärtused on protsenti. Kui otsustate ekraani riputada 50-kraadise nurga all, on tan(50)=1,19. Teie ekraan on 19% suurem kui kaugus seinast (kupli raadius).

(Sisestage x=0 ja testige oma intuitsiooni – tan(0) = 0 ja sec(0) = 1.)

Kootangens ja kosekant. Lagi

Uskumatu, et teie naaber on nüüd otsustanud ehitada teie kupli kohale lae. (Mis temaga on? Ilmselt ei taha ta, et sa teda piiluksid, kui ta alasti õues ringi kõnnib...)

Noh, on aeg ehitada väljapääs katusele ja rääkida naabriga. Valite kaldenurga ja alustate ehitamist:

• vertikaalne kaugus katuse väljalaskeava ja põranda vahel on alati 1 (kupli raadius)
• kotangent(x) = cot(x) = kupli ülaosa ja väljumispunkti vaheline kaugus
• kosekant(x) = csc(x) = teie tee pikkus katusele

Puutuja ja sekant kirjeldavad seina, samas kui kootangens ja koossekant kirjeldavad põrandat.

Meie intuitiivsed järeldused on seekord sarnased eelmiste järeldustega:

• Kui võtate nurga 0°, kestab teie katusele pääsemine igavesti, kuna see ei ulatu kunagi laeni. Probleem.
• Lühima "trepi" katusele saate, kui ehitate selle põranda suhtes 90-kraadise nurga all. Kootangens võrdub 0-ga (me ei liigu üldse mööda katust, väljume rangelt risti) ja kosekant on võrdne 1-ga (“redeli pikkus” on minimaalne).

Visualiseerige ühendused

Kui kõik kolm korpust joonistatakse kupli-seina-põranda kombinatsioonina, saadakse järgmine:

Vau, see kõik on sama kolmnurk, suurendatud, et ulatuda seina ja laeni. Meil on vertikaalsed küljed (siinus, puutuja), horisontaalsed küljed (koosinus, kotangents) ja “hüpotenused” (sekant, kosekant). (Nooltest näete, kui kaugele iga element ulatub. Koossekant on kogu kaugus sinust katuseni).

Natuke maagiat. Kõigil kolmnurkadel on samad võrdsused:

Pythagorase teoreemist (a 2 + b 2 = c 2) näeme, kuidas on ühendatud iga kolmnurga küljed. Lisaks peavad kõrguse ja laiuse suhted olema kõigi kolmnurkade puhul samad. (Lihtsalt astuge tagasi suurimast kolmnurgast väiksema poole. Jah, suurus on muutunud, kuid külgede proportsioonid jäävad samaks).

Teades, milline külg igas kolmnurgas on 1 (kupli raadius), saame kergesti arvutada, et "sin/cos = tan/1".

Olen alati püüdnud neid fakte lihtsa visualiseerimise abil meelde jätta. Pildil on need sõltuvused selgelt näha ja aru saada, kust need tulevad. See tehnika on palju parem kui kuivvalemite meeldejätmine.

Ärge unustage teisi nurki

Shh… Pole vaja jääda rippuma ühele graafikule, arvates, et puutuja on alati väiksem kui 1. Kui suurendate nurka, võite jõuda laeni ilma seinani jõudmata:

Pythagorase ühendused töötavad alati, kuid suhtelised suurused võivad olla erinevad.

(Tõenäoliselt olete märganud, et siinuse ja koosinuse suhe on alati väikseim, kuna need on suletud kuplisse.)

Kokkuvõtteks: mida me peame meeles pidama?

Enamikule meist ma ütleksin, et sellest piisab:

• trigonomeetria selgitab matemaatiliste objektide, nagu ringid ja korduvad intervallid, anatoomiat
• kupli/seina/katuse analoogia näitab seost erinevate trigonomeetriliste funktsioonide vahel
• trigonomeetriliste funktsioonide tulemuseks on protsendid, mida me oma stsenaariumile rakendame.

Te ei pea pähe õppima selliseid valemeid nagu 1 2 + võrevoodi 2 = csc 2 . Need sobivad ainult rumalateks testideks, kus fakti teadmine esitatakse selle mõistmisena. Võtke minut aega kupli, seina ja katuse kujulise poolringi joonistamiseks, allkirjastage elemendid ja kõik valemid küsitakse teilt paberil.

Rakendus: pöördfunktsioonid

Iga trigonomeetriline funktsioon võtab sisendiks nurga ja tagastab tulemuse protsentides. sin(30) = 0,5. See tähendab, et 30-kraadine nurk võtab 50% maksimaalsest kõrgusest.

Trigonomeetriline pöördfunktsioon on kirjutatud kui sin -1 või arcsin (“arksiin”). Samuti kirjutatakse seda sageli erinevates programmeerimiskeeltes.

Kui meie kõrgus on 25% kupli kõrgusest, siis milline on meie nurk?

Meie proportsioonide tabelist leiate suhtarvu, kus sekant jagatakse 1-ga. Näiteks sekant 1-ga (hüpotenuus ja horisontaalne) võrdub 1-ga jagatud koosinusega:

Oletame, et meie sekant on 3,5, st. 350% ühiku ringi raadiusest. Millisele seina kaldenurgale see väärtus vastab?

Lisa: Mõned näited

Igav ülesanne. Keerutagem banaalne "leia siinus" sõnadega "Mis on kõrgus protsendina maksimumist (hüpotenuus)?".

Esiteks pange tähele, et kolmnurk on pööratud. Selles pole midagi halba. Kolmnurgal on ka kõrgus, see on joonisel roheliselt näidatud.

Millega võrdub hüpotenuus? Pythagorase teoreemi järgi teame, et:

3 2 + 4 2 = hüpotenuus 2 25 = hüpotenuus 2 5 = hüpotenuus

Hästi! Siinus on kolmnurga pikima külje ehk hüpotenuusi kõrguse protsent. Meie näites on siinus 3/5 või 0,60.

Muidugi võime minna mitut moodi. Nüüd teame, et siinus on 0,60 ja saame lihtsalt arssinuse leida:

Asin(0,6)=36,9

Ja siin on veel üks lähenemine. Pange tähele, et kolmnurk on "seinaga näost näkku", seega saame siinuse asemel kasutada puutujat. Kõrgus on 3, kaugus seinast on 4, seega puutuja on ¾ ehk 75%. Protsendilt nurga juurde liikumiseks saame kasutada kaartangensi:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Näide: kas ujute kaldale?

Olete paadis ja teil on piisavalt kütust, et sõita 2 km kaugusele. Nüüd olete rannikust 0,25 km kaugusel. Millise maksimaalse nurga all kalda suhtes saab sinna ujuda, et kütust jätkuks? Täiendus ülesande tingimusele: meil on ainult kaarekoosinusväärtuste tabel.

Mis meil on? Rannajoont saab kujutada meie kuulsas kolmnurgas "seinana" ja seina külge kinnitatud "trepi pikkust" võib kujutada maksimaalse võimaliku kaugusena paadiga kaldast (2 km). Ilmub sekant.

Esiteks peate lülituma protsentidele. Meil on 2 / 0,25 = 8, mis tähendab, et suudame kalda (või seina) sirge distantsi ujuda 8 korda.

Tekib küsimus "Mis on sekant 8?". Kuid me ei saa sellele vastata, kuna meil on ainult kaarekoosinused.

Kasutame oma varem tuletatud sõltuvusi, et vastendada sekant koosinusega: "sec/1 = 1/cos"

8 sekant on võrdne ⅛ koosinusega. Nurk, mille koosinus on ⅛, on acos(1/8) = 82,8. Ja see on suurim nurk, mida saame etteantud kütusekogusega paadis lubada.

Pole paha, eks? Ilma kuppel-seina-lae analoogiata oleksin valemite ja arvutuste hunnikus segaduses. Probleemi visualiseerimine lihtsustab oluliselt lahenduse otsimist, lisaks on huvitav näha, milline trigonomeetriline funktsioon lõpuks aitab.

Mõelge iga ülesande puhul järgmiselt: kas mind huvitab kuppel (sin/cos), sein (tan/sec) või lagi (voodi/csc)?

Ja trigonomeetria muutub palju meeldivamaks. Lihtsad arvutused teile!

Üks matemaatika harusid, millega koolilapsed kõige suuremate raskustega toime tulevad, on trigonomeetria. Pole ime: selle teadmiste valdkonna vabalt valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja kasutada arvutustes pii-arvu. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel rakendada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.

Trigonomeetria päritolu

Selle teadusega tutvumine peaks algama nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate välja mõtlema, mida trigonomeetria üldiselt teeb.

Ajalooliselt on täisnurksed kolmnurgad olnud selle matemaatikateaduse osa peamine uurimisobjekt. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata vaadeldava joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.

Esimene aste

Esialgu räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid selle matemaatika osa igapäevaelus kasutamise piire laiendada.

Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksetest kolmnurkadest, mille järel omandatud teadmisi kasutavad õpilased füüsikas ja abstraktsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, millega töö algab keskkoolis.

Sfääriline trigonomeetria

Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad teised reeglid ja kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. Seda osa koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada, vähemalt seetõttu, et Maa pind ja mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinnamärgised on "kaarekujulised" kolmemõõtmeline ruum.

Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pöörake tähelepanu - see on omandanud kaare kuju. Just selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakenduslikes valdkondades.

Täisnurkne kolmnurk

Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.

Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. Ta on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.

Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.

Kaht ülejäänud külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi.

Definitsioon

Lõpuks, kui mõistame geomeetrilist alust, saame pöörduda nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratluse poole.

Nurga siinus on vastasjala (st soovitud nurga vastaskülje) ja hüpotenuusi suhe. Nurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Pea meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla suuremad kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim.Ükskõik kui pikk on jalg, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega suurem kui 1, otsige arvutustes või arutluses viga. See vastus on selgelt vale.

Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Sama tulemus annab siinuse jagamise koosinusega. Vaata: vastavalt valemile jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, mille järel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama suhte nagu puutuja definitsioonis.

Kootangens on vastavalt nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame ühiku jagamisel puutujaga.

Niisiis, oleme kaalunud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangentsi määratlusi ning saame käsitleda valemeid.

Kõige lihtsamad valemid

Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Ja just seda on vaja probleemide lahendamisel.

Esimene valem, mida pead teadma trigonomeetriat õppima asudes, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid see säästab aega, kui soovite teada nurga, mitte külje väärtust.

Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on ka kooliülesannete lahendamisel väga populaarne: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on ju sama väide, mis esimeses valemis, ainult koosinuse ruuduga jagati identiteedi mõlemad pooled. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe muudab trigonomeetrilise valemi täiesti tundmatuks. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreegleid ja mõnda põhivalemit, saate igal ajal iseseisvalt paberilehel tuletada nõutavad keerukamad valemid.

Topeltnurga valemid ja argumentide liitmine

Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud nurkade summa ja erinevuse siinuse ja koosinuse väärtustega. Need on näidatud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.

Samuti on topeltnurga argumentidega seotud valemid. Need on täielikult tuletatud eelmistest - harjutusena proovige need ise hankida, võttes alfa nurga võrdseks beeta nurgaga.

Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab teisendada, et vähendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa astet.

Teoreemid

Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsalt aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.

Siinusteoreem ütleb, et kolmnurga mõlema külje pikkuse jagamisel vastasnurga väärtusega saame sama arvu. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.

Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud nendega külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.

Tähelepanematusest tingitud vead

Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks tutvume neist populaarseimatega.

Esiteks ei tohiks harilikke murde kümnendkohtadeks teisendada enne, kui on saadud lõpptulemus – vastuse võib jätta harilikuks murdeks, kui tingimus ei sätesta teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et probleemi igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida autori idee kohaselt tuleks vähendada. Sel juhul raiskate aega tarbetutele matemaatilistele tehtetele. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme või kahe juur, kuna need esinevad ülesannetes igal sammul. Sama kehtib "koledate" numbrite ümardamise kohta.

Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise, mis on korrutatud nendevahelise nurga koosinusega, ei saa te mitte ainult täiesti vale tulemust, vaid demonstreerite ka subjekti täielikku arusaamatust. See on hullem kui hooletu viga.

Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segamini ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.

Rakendus

Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle rakenduslikku tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, tänu millele saab arvutada kaugust kaugete tähtedeni, ennustada meteoriidi langemist, saata uurimissondi teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on vaid kõige ilmsemad näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.

Lõpuks

Seega olete siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.

Kogu trigonomeetria olemus taandub asjaolule, et tundmatud parameetrid tuleb arvutada kolmnurga teadaolevatest parameetritest. Kokku on kuus parameetrit: kolme külje pikkused ja kolme nurga suurused. Kogu ülesannete erinevus seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.

Kuidas leida siinus, koosinus, puutuja teadaolevate jalgade või hüpotenuusi pikkuste põhjal, teate nüüd. Kuna need terminid ei tähenda midagi muud kui suhet ja suhe on murdosa, on trigonomeetrilise ülesande peamine eesmärk leida tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juured. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.

Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on suhe vastupidine kateeter hüpotenuusile.
Seda tähistatakse järgmiselt: sin α.

Koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Seda tähistatakse järgmiselt: cos α.

Tangent teravnurk α on vastasjala ja külgneva jala suhe.
Seda tähistatakse järgmiselt: tg α.

Kotangent teravnurk α on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.
See on tähistatud järgmiselt: ctg α.

Nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens sõltuvad ainult nurga suurusest.

Reeglid:

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid täisnurkses kolmnurgas:

(α - teravnurk jala vastas b ja jala kõrval a . Külg Koos - hüpotenuus. β - teine ​​teravnurk).

Teranurga suurenedessinα jatg α suurenemine jacos α väheneb.

Iga teravnurga α korral:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Selgitav näide:

Laske sisse täisnurkne kolmnurk ABC
AB = 6,
eKr = 3,
nurk A = 30º.

Leidke nurga A siinus ja nurga B koosinus.

Lahendus.

1) Esiteks leiame nurga B väärtuse. Siin on kõik lihtne: kuna täisnurkses kolmnurgas on teravnurkade summa 90º, siis nurk B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Arvutage patt A. Teame, et siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga A puhul on vastaskülg külg BC. Niisiis:

eKr 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nüüd arvutame cos B. Teame, et koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga B puhul on külgnev jalg sama külg BC. See tähendab, et peame jälle jagama BC AB-ks - see tähendab tegema samu toiminguid, mis nurga A siinuse arvutamisel:

eKr 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulemuseks on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Sellest järeldub, et täisnurkses kolmnurgas on ühe teravnurga siinus võrdne teise teravnurga koosinusega - ja vastupidi. See on täpselt see, mida meie kaks valemit tähendavad:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Vaatame uuesti:

1) Olgu α = 60º. Asendades siinuse valemis α väärtuse, saame:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olgu α = 30º. Asendades α väärtuse koosinusvalemis, saame:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Lisateavet trigonomeetria kohta leiate jaotisest Algebra)

Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetria areng algas Vana-Kreeka päevil. Keskajal andsid Lähis-Ida ja India teadlased selle teaduse arengusse olulise panuse.

See artikkel on pühendatud trigonomeetria põhimõistetele ja määratlustele. Selles käsitletakse peamiste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Nende tähendust geomeetria kontekstis selgitatakse ja illustreeritakse.

Algselt väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, täisnurkse kolmnurga külgede suhte kaudu.

Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid

Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.

Nurga koosinus (cos α) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Nurga puutuja (t g α) on vastasjala ja külgneva jala suhe.

Nurga kotangens (c t g α) on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.

Need definitsioonid on antud täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta!

Toome näite.

Kolmnurgas ABC täisnurgaga C on nurga A siinus võrdne jala BC ja hüpotenuusi AB suhtega.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid võimaldavad arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.

Oluline meeles pidada!

Siinus- ja koosinusväärtuste vahemik: -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja koosinuse väärtuste vahemik on kogu arvurida, st need funktsioonid võivad võtta mis tahes väärtuse.

Eespool toodud määratlused viitavad teravnurkadele. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtust erinevalt teravnurgast ei piira raamid vahemikus 0 kuni 90 kraadi Pöördenurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga alates - ∞ kuni + ∞.

Selles kontekstis saab määratleda suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutage ette ühikringi, mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunktis.

Algpunkt A koordinaatidega (1 , 0) pöörleb ümber ühikuringi keskpunkti mingi nurga α võrra ja läheb punkti A 1 . Määratlus antakse punkti A 1 (x, y) koordinaatide kaudu.

Pöörlemisnurga siinus (sinus).

Pöörlemisnurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sinα = y

Pöörlemisnurga koosinus (cos).

Pöördenurga α koosinus on punkti A 1 (x, y) abstsiss. cos α = x

Pöörlemisnurga puutuja (tg).

Pöördenurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x

Pöörlemisnurga kotangents (ctg).

Pöördenurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi suhe selle ordinaadiga. c t g α = x y

Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest pöördejärgse punkti abstsissi ja ordinaati saab määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutujat ei määrata, kui punkt pärast pöörlemist läheb null-abstsissiga punkti (0 , 1) ja (0 , - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat kaob.

Oluline meeles pidada!

Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.

Puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kootangens on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Praktiliste näidete lahendamisel ärge öelge "pöördenurga α siinus". Sõnad "pöördenurk" on lihtsalt välja jäetud, mis annab mõista, et kontekstist on juba selge, mis on kaalul.

Numbrid

Aga arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi, mitte pöördenurga määratlus?

Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t kutsutakse arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.

Näiteks siinus 10 π võrdub pöördenurga siinusega 10 π rad.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi defineerimisel on veel üks lähenemine. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.

Mis tahes reaalarv tühikringi punkt viiakse vastavusse ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on määratletud selle punkti koordinaatidena.

Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1 , 0).

positiivne arv t

Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu alguspunkt liigub, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läbib tee t .

Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, jätkame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooniga.

Siinus (patt) arvust t

Arvu siinus t- arvule vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y

Koosinus (cos) t-st

Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x

t puutuja (tg).

Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringi punkti ordinaadi ja abstsissi suhe t. t g t = y x = sin t cos t

Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva jaotise alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt arvule vastaval ringil t, langeb kokku punktiga, milleni lähtepunkt liigub pärast nurga pööramist t radiaan.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Nurga α iga väärtus vastab selle nurga siinuse ja koosinuse teatud väärtusele. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° · k, vastab k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) puutuja teatud väärtusele. Kootangens, nagu eespool mainitud, on defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Võime öelda, et sin α , cos α , t g α , c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi võib arvulise argumendi funktsioonidena rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Iga reaalne arv t vastab arvu siinuse või koosinuse kindlale väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k , k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Kootangens on samamoodi defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k , k ∈ Z.

Trigonomeetria põhifunktsioonid

Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt on kontekstist selge, millise trigonomeetrilise funktsiooni argumendiga (nurkargumendiga või numbriargumendiga) tegemist on.

Pöördume tagasi definitsioonide alguses olevate andmete ja nurga alfa juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi trigonomeetrilised definitsioonid on täielikult kooskõlas geomeetriliste definitsioonidega, mis on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhteid kasutades. Näitame seda.

Võtke ühikring, mille keskpunkt on ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) risti x-teljega. Saadud täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 O H võrdne pöördenurgaga α, jala pikkus O H võrdub punkti A abstsissiga 1 (x, y) . Nurga vastas oleva jala pikkus on võrdne punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.

Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastasjala ja hüpotenuusi suhtega.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määratlus kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määratlusega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mis on nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens, aitab teil mõista täisnurkset kolmnurka.

Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg \ (AC \) ); jalad on kaks ülejäänud külge \ (AB \) ja \ (BC \) (need, mis külgnevad täisnurgaga), pealegi, kui arvestada jalgu nurga \ (BC \) suhtes, siis jalg \ (AB \) on külgnev jalg ja jalg \ (BC \) on vastand. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens?

Nurga siinus- see on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Nurga koosinus- see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Nurga puutuja- see on vastas (kauge) jala ja külgneva (lähedase) suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Nurga kotangents- see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg millega jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:

koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;

Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.

Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhtarvud ei sõltu nende külgede pikkustest (ühe nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:

Vaatleme näiteks nurga \(\beta \) koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), kuid nurga \(\beta \) koosinuse saame arvutada kolmnurgast \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.

Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja parandage need!

Alloleval joonisel näidatud kolmnurga \(ABC \) jaoks leiame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(massiiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiivi) \)

No kas sa said aru? Seejärel proovige ise: arvutage sama nurga \(\beta \) jaoks.

Vastused: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Ühik (trigonomeetriline) ring

Mõistes kraadi ja radiaani mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne \ (1 \) . Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on väga kasulik trigonomeetria uurimisel. Seetõttu peatume sellel veidi üksikasjalikumalt.

Nagu näete, on see ring ehitatud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega, samal ajal kui ringi keskpunkt asub lähtepunktis, on raadiuse vektori algpositsioon fikseeritud piki \(x \) telje positiivset suunda (meie näites on see raadius \(AB \) ).

Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: koordinaat piki telge \(x \) ja koordinaat piki telge \(y \) . Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks pidage meeles vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Vaatleme kolmnurka \(ACG \) . See on ristkülikukujuline, kuna \(CG \) on risti teljega \(x \).

Mis on \(\cos \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? See on õige \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Pealegi teame, et \(AC \) on ühikuringi raadius, seega \(AC=1 \) . Asendage see väärtus meie koosinusvalemiga. See juhtub järgmiselt.

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ja mis on \(\sin \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? No muidugi, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Asendage selles valemis raadiuse \ (AC \) väärtus ja saate:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Niisiis, kas saate mulle öelda, mis on ringile kuuluva punkti \(C \) koordinaadid? No mitte kuidagi? Aga mis siis, kui mõistate, et \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) on vaid numbrid? Millisele koordinaadile vastab \(\cos \alpha \)? Muidugi, koordinaat \(x \) ! Ja millisele koordinaadile vastab \(\sin \alpha \)? See on õige, \(y \) koordinaat! Nii et point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Mis on siis \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \)? See on õige, kasutame sobivaid puutuja ja kotangensi definitsioone ja saame selle \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Mis siis, kui nurk on suurem? Siin näiteks nagu sellel pildil:

Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : nurk (külgneb nurgaga \(\beta \) ). Mis on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus nurga jaoks \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:

\(\begin(massiivi)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\nurk ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\nurk ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiivi) \)

No nagu näha, vastab nurga siinuse väärtus ikkagi koordinaadile \ (y \) ; nurga koosinuse väärtus - koordinaat \ (x \) ; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega on need seosed rakendatavad raadiusvektori mis tahes pöörete korral.

Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje \(x \) positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud suurusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates - negatiivne.

Seega teame, et kogu raadiusvektori pööre ümber ringi on \(360()^\circ \) või \(2\pi \) . Kas raadiuse vektorit on võimalik pöörata \(390()^\circ \) või \(-1140()^\circ \) võrra? No muidugi saab! Esimesel juhul \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), seega teeb raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub \(30()^\circ \) või \(\dfrac(\pi )(6) \) juures.

Teisel juhul \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täielikku pööret ja peatub asendis \(-60()^\circ \) või \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad \(360()^\circ \cdot m \) või \(2\pi \cdot m \) võrra (kus \(m \) on mis tahes täisarv ) vastavad raadiusvektori samale asukohale.

Allolev joonis näitab nurka \(\beta =-60()^\circ \) . Sama pilt vastab nurgale \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga \(\beta +360()^\circ \cdot m\) või \(\beta +2\pi \cdot m \) (kus \(m \) on mis tahes täisarv)

\(\begin(massiiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiivi) \)

Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millega väärtused on võrdsed:

\(\begin(massiivi)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiiv) \)

Siin on ühikuring, mis aitab teid:

Kas on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:

\(\begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(massiiv) \)

Siit määrame nurga teatud mõõtmetele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk sisse \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastab punktile koordinaatidega \(\left(0;1 \right) \) , seega:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei eksisteeri;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Lisaks saame samast loogikast kinni pidades teada, et nurgad on sees \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastavad koordinaatidega punktidele \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \paremal) \), vastavalt. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.

Vastused:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ \pi \)- ei eksisteeri

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei eksisteeri

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ 2\pi \)- ei eksisteeri

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei eksisteeri

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Seega saame teha järgmise tabeli:

Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:

\(\left. \begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiiv) \right\)\ \text(Vaja meeles pidada või väljastada!! \) !}

Ja siin on ja nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) allolevas tabelis toodud, peate meeles pidama:

Pole vaja karta, nüüd näitame ühte näidet vastavate väärtuste üsna lihtsast meeldejätmisest:

Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada kõigi kolme nurga mõõtmise siinusväärtusi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), samuti nurga puutuja väärtus \(30()^\circ \) . Teades neid \(4\) väärtusi, on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:

\(\begin(massiivi)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiiv) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), seda teades on võimalik väärtused taastada \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Lugeja "\(1 \)" vastab \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimetaja "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastab \ (\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui saate sellest aru ja mäletate skeemi nooltega, piisab, kui mäletate tabelist ainult \(4 \) väärtusi.

Ringjoone punkti koordinaadid

Kas ringil on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, raadiust ja pöördenurka? No muidugi saab! Tuletame punkti koordinaatide leidmiseks üldvalemi. Näiteks siin on meil selline ring:

See punkt on meile antud \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) on ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on \(1,5 \) . On vaja leida punkti \(P \) koordinaadid, mis saadakse punkti \(O \) pööramisel \(\delta \) kraadi võrra.

Nagu jooniselt näha, vastab punkti \ (P \) koordinaat \ (x \) lõigu \ pikkusele (TP=UQ=UK+KQ \) . Lõigu \ (UK \) pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile \ (x \), see tähendab, et see on võrdne \ (3 \) . Lõigu \(KQ \) pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooni abil:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Paremnool KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Siis on meil see punkti \(P \) koordinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Sama loogika järgi leiame punkti \(P\) y-koordinaadi väärtuse. Seega

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Nii et üldiselt määratakse punktide koordinaadid valemitega:

\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiiv) \), Kus

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ringi keskpunkti koordinaadid,

\(r\) - ringi raadius,

\(\delta \) - vektori raadiuse pöördenurk.

Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi puhul need valemid oluliselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on null ja raadius on võrdne ühega:

\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiivi) \)