Kuidas leida täiuslik ruut. Mõnede murdude integreerimine. Lahendusmeetodid ja tehnikad. Lihtmurdude diferentsiaali märgi alla liitmise meetod
Definitsioon
Selliseid avaldisi nagu 2 x 2 + 3 x + 5 nimetatakse ruuttrinoomiks. Üldjuhul on ruuttrinoom kujul a x 2 + b x + c avaldis, kus a, b, c a, b, c on suvalised arvud ja a ≠ 0.
Vaatleme ruutkolminoomi x 2 - 4 x + 5 . Kirjutame selle järgmisel kujul: x 2 - 2 2 x + 5. Liidame sellele avaldisele 2 2 ja lahutame 2 2, saame: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Pange tähele, et x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, seega x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Meie tehtud teisendust nimetatakse "täisruudu valik ruudukujulisest kolmikarvust".
Valige täiuslik ruut ruudu kolmikarvust 9 x 2 + 3 x + 1 .
Pange tähele, et 9 x 2 = (3 x) 2, "3x=2*1/2*3x". Seejärel "9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1". Saame tulemuseks avaldise `(1/2)^2 liitmise ja lahutamise
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4".
Näitame, kuidas kasutatakse ruutkolminoomist täisruudu eraldamise meetodit ruuttrinoomi faktoriseerimiseks.
Ruutkolmnoomi kordamine 4 x 2 - 12 x + 5 .
Valime ruutkolminoomist täisruudu: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Nüüd rakendage valemit a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , saame: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x -1) .
Koefitsiendi ruudu kolmik - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Nüüd pane tähele, et 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 .
Lisame avaldisele 9 x 2 - 12 x termini 2 2, saame:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Rakendame ruutude erinevuse valemit, meil on:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Ruutkolmnoomi kordamine 3 x 2 - 14 x - 5 .
Me ei saa esitada avaldist 3 x 2 mõne avaldise ruuduna, sest me pole seda veel koolis õppinud. Selle läbite hiljem ja juba ülesandes nr 4 uurime ruutjuuri. Näitame, kuidas saame antud ruutkolminoomi faktoriseerida:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`= 3 (x-7/3-8/3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.
Näitame, kuidas kasutatakse täisruudu meetodit ruutkolmnoomi suurimate või väiksemate väärtuste leidmiseks.
Vaatleme ruutkolminoomi x 2 - x + 3 . Täisruudu valimine:
"(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4". Pange tähele, et kui x=1/2, on ruudukujulise trinoomi väärtus 11/4 ja kui x!=1/2, lisatakse väärtusele 11/4 positiivne arv, nii et me saada number, mis on suurem kui „11/4”. Seega on ruuttrinoomi väikseim väärtus „11/4” ja see saadakse väärtusega „x=1/2”.
Leia kolmikruudu suurim väärtus - 16 2 + 8 x + 6 .
Valime kolmikruudust täisruudu: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Kui `x=1/4` on ruuttrinoomi väärtus 7 ja `x!=1/4` korral lahutatakse arvust 7 positiivne arv, st saame arvu, mis on väiksem kui 7 . Seega on arv 7 ruuttrinoomi suurim väärtus ja see saadakse väärtusega `x=1/4'.
Korrigeerige (x^2+2x-15)/(x^2-6x+9) lugeja ja nimetaja ning tühistage murd.
Pange tähele, et murdosa nimetaja x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Jagame murdosa lugeja teguriteks, kasutades meetodit, mille kohaselt eraldame ruutkolminoomist täisruudu. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
See murdosa taandati kujule `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` pärast vähendamist (x - 3), saame `(x+5)/(x-3 )".
Polünoomi kordamine x 4 – 13 x 2 + 36.
Rakendame sellele polünoomile täisruudu meetodit. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Selles õppetükis tuletame meelde kõiki varem uuritud polünoomi faktoriseerimise meetodeid ja kaalume nende rakendamise näiteid, lisaks uurime uut meetodit - täisruudu meetodit ja õpime seda rakendama erinevate ülesannete lahendamisel.
Teema:Faktoringpolünoomid
Õppetund:Polünoomide faktoriseerimine. Täisruudu valiku meetod. Meetodite kombinatsioon
Tuletage meelde peamisi polünoomi faktoriseerimise meetodeid, mida varem uuriti:
Meetod, mille abil võetakse sulgudest välja ühistegur, st faktor, mis esineb polünoomi kõigis liikmetes. Kaaluge näidet:
Tuletage meelde, et monoom on astmete ja arvude korrutis. Meie näites on mõlemal liikmel mõned ühised identsed elemendid.
Niisiis, võtame sulgudest välja ühise teguri:
;
Tuletame meelde, et renderdatud kordaja suluga korrutades saad kontrollida renderduse õigsust.
rühmitamise meetod. Polünoomist ei ole alati võimalik ühistegurit välja võtta. Sel juhul peate jagama selle liikmed rühmadesse nii, et igas grupis saate välja võtta ühise teguri ja proovida seda jagada nii, et pärast rühmades olevate tegurite väljavõtmist ilmneks ühine tegur. kogu väljendus ja laiendamine võiks jätkuda. Kaaluge näidet:
Rühmitage esimene termin vastavalt neljandaga, teine viiendaga ja kolmas kuuendaga:
Toome välja ühised tegurid rühmades:
Väljendil on ühine tegur. Võtame selle välja:
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine. Kaaluge näidet:
;
Kirjutame väljendi üksikasjalikult:
Ilmselgelt on meie ees erinevuse ruudu valem, kuna on olemas kahe avaldise ruutude summa ja sellest lahutatakse nende topeltkorrutis. Liigume valemi järgi:
Täna õpime teist võimalust - täisruudu valiku meetodit. See põhineb summa ruudu ja vahe ruudu valemitel. Tuletage neid meelde:
Summa (vahe) ruudu valem;
Nende valemite eripära on see, et need sisaldavad kahe avaldise ruute ja nende topeltkorrutist. Kaaluge näidet:
Kirjutame väljendi:
Nii et esimene avaldis on , ja teine .
Summa või vahe ruudu valemi koostamiseks ei piisa avaldiste topeltkorrutisest. See tuleb lisada ja lahutada:
Ahendame summa täisruudu:
Teisendame saadud avaldise:
Rakendame ruutude erinevuse valemit, tuletame meelde, et kahe avaldise ruutude erinevus on korrutis ja summad nende erinevuse järgi:
Niisiis, see meetod seisneb ennekõike selles, et on vaja tuvastada avaldised a ja b, mis on ruudus, see tähendab, et määrata, millised avaldised on selles näites ruudus. Pärast seda peate kontrollima topeltkorrutise olemasolu ja kui seda seal pole, siis lisage ja lahutage see, see ei muuda näite tähendust, kuid polünoomi saab faktorite ruudu valemite abil võimalusel ruutude summa või vahe ja vahe.
Liigume edasi näidete lahendamise juurde.
Näide 1 – faktoriseerimine:
Otsige ruudukujulisi avaldisi:
Paneme kirja, milline peaks olema nende topelttoode:
Liidame ja lahutame topeltkorrutise:
Ahendame summa täisruutu ja anname sarnased:
Kirjutame ruutude erinevuse valemi järgi:
Näide 2 – lahendage võrrand:
;
Võrrandi vasakul küljel on trinoom. Peate selle välja arvestama. Kasutame erinevuse ruudu valemit:
Meil on esimese avaldise ruut ja topeltkorrutis, teise avaldise ruut puudub, liidame ja lahutame:
Ahendame täisruudu ja esitame sarnased terminid:
Rakendame ruutude erinevuse valemit:
Nii et meil on võrrand 
Teame, et korrutis on võrdne nulliga ainult siis, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Selle põhjal kirjutame võrrandid:
Lahendame esimese võrrandi:
Lahendame teise võrrandi:
Vastus: või
;
Toimime sarnaselt eelmise näitega – valime erinevuse ruut.
Sellise protseduuri sooritamise oskus on äärmiselt vajalik paljudes sellega seotud matemaatika teemades ruudukujuline kolmikkirves 2 + bx + c . Kõige tavalisem:
1) Paraboolide joonistamine y= kirves 2 + bx+ c;
2) Ruuttrinoomi paljude ülesannete lahendamine (ruutvõrrandid ja võrratused, ülesanded parameetritega jne);
3) Töötamine mõne funktsiooniga, mis sisaldab ruudukujulist trinoomi, samuti töötamine teist järku kõveratega (õpilastele).
Kasulik asi lühidalt! Kas olete valmis viieks? Siis õpime!)
Mida tähendab binoomi täisruudu valimine ruuttrinoomil?
See ülesanne tähendab, et algne ruuttrinominaal tuleb teisendada järgmisele vormile:
Number a mis on vasakul, mis paremal sama. X-ruudu koefitsient. Sellepärast on see märgitud üks kiri. Korrutab paremal nurksulgudega. Sulgudes on seesama binoom, mida selles teemas käsitletakse. Puhta x-i ja mõne arvu summa m. Jah, palun pöörake tähelepanu puhas x! See on tähtis.
Ja siin on kirjad m ja nõige - mõned uus numbrid. Mida meie transformatsioonide tulemusena saadakse. Need võivad olla positiivsed, negatiivsed, terviklikud, murdosalised - kõikvõimalikud! Allolevates näidetes näete ise. Need numbrid sõltuvad koefitsientidesta, bjac. Neil on oma spetsiaalsed üldvalemid. Üsna kogukas, fraktsioonidega. Seetõttu ma neid siin ja praegu ei anna. Miks teie helged pead täiendavat prügi vajavad? Jah, ja see pole huvitav. Olgem loomingulised.)
Mida peate teadma ja mõistma?
Kõigepealt pead teadma peast. Vähemalt kaks neist summa ruudus ja vahe ruudus.
Need:
Ilma selle paari valemita – mitte kuhugi. Mitte ainult selles tunnis, vaid peaaegu kogu muus matemaatikas üldiselt. Kas vihje on selge?)
Kuid pelgalt päheõpitud valemitest siin ei piisa. Targemat oleks vaja oskama neid valemeid rakendada. Ja mitte niivõrd otse, vasakult paremale, vaid vastupidi, paremalt vasakule. Need. algse ruuttrinoomi järgi, suutma dešifreerida summa / erinevuse ruutu. See tähendab, et peaksite hõlpsalt ja automaatselt tuvastama tüübivõrdsused:
x 2 +4 x+4 = (x+2) 2
x 2 -10 x+25 = (x-5) 2
x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2
Ilma selle kasuliku oskuseta pole ka võimalust ... Nii et kui nende lihtsate asjadega on probleeme, sulgege see leht. Teie jaoks on siin veel liiga vara.) Kõigepealt minge ülalolevale lingile. Ta on sinu jaoks!
Oh, kui kaua olete sellel teemal olnud? Suurepärane! Siis loe edasi.)
Niisiis:
Kuidas valida ruudukujulises trinoomilises binoomi täisruut?
Alustame muidugi lihtsast.
Tase 1. Koefitsient x juures2 võrdub 1
See on kõige lihtsam olukord, mis nõuab minimaalselt täiendavaid teisendusi.
Näiteks, kui on antud ruudukujuline kolmik:
X 2 +4x+6
Väliselt on avaldis väga sarnane summa ruuduga. Teame, et summa ruut sisaldab esimese ja teise avaldise puhtaid ruute ( a 2 ja b 2 ), samuti topelttoode 2 ab need samad väljendid.
Noh, meil on juba puhtal kujul esimese avaldise ruut. seda X 2 . Tegelikult on see just selle taseme näidete lihtsus. Vaja on saada teise avaldise ruut b 2 . Need. leida b. Ja see toimib vihjena avaldis x-iga esimeses astmes, st. 4x. Pealegi 4x saab kujutada kui kahekordne toode xx kahekordseks. Nagu nii:
4 x = 2 ́ x 2
Nii et kui 2 ab=2x2 ja a= x, siis b=2 . Võite kirjutada:
X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….
Niisiis meie ma tahan. Aga! Matemaatika Ma tahan, et meie tegevus oleks algse väljendi olemus pole muutunud. Nii ta on tehtud. Oleme lisanud topelttootele 2 2 , muutes seega algset väljendit. Nii et selleks, et matemaatikat mitte solvata, on see kõige rohkem 2 2 vaja kohe ära võtma. Nagu nii:
…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….
Peaaegu kõik. Jääb vaid lisada 6 vastavalt algsele trinoomile. Kuus pole kuhugi kadunud! Me kirjutame:
= X 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …
Nüüd annavad esimesed kolm terminit net (või - täis) binoomne ruut x+2 . Või (x+2) 2 . Seda me püüame saavutada.) Ma ei ole isegi laisk ja panen sulgud:
… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…
Sulud ei muuda väljendi olemust, kuid annavad selgelt mõista, mida, kuidas ja miks. Jääb need kolm liiget valemi järgi täisruuduks ahendada, ülejäänud saba numbritega kokku lugeda -2 2 +6 (see oleks 2) ja kirjuta:
X 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2
Kõik. Meie esile tõstetud sulg ruut (x+2) 2 algsest ruutkolminoomist X 2 +4x+6. Muutis selle summaks täisruudu binoom (x+2) 2 ja mingi konstantne arv (kaks). Ja nüüd kirjutan kogu meie teisenduste ahela kompaktsel kujul. Selguse huvides.
Ja see on kõik.) See on kogu ruudu valimise protseduuri mõte.
Muide, mis numbrid siin on m ja n? Jah. Igaüks neist on võrdne kahega: m=2, n=2 . Nii juhtuski valiku ajal.
Veel üks näide:
Valige binoomarvu täisruut:
X 2 -6x+8
Ja jälle on esimene pilk terminile x-ga. Muudame 6x x ja kolme kahekordseks korrutiseks. Enne topelt - miinus. Nii et me eristame vahe ruudus. Liidame (täisruudu saamiseks) ja lahutame kohe (kompenseerimiseks) kolmiku ruudus, st. 9. Noh, ärge unustage kaheksat. Saame:
Siin m=-3 ja n=-1 . Mõlemad on negatiivsed.
Kas saate põhimõttest aru? Siis oli aeg meisterdada ja üldine algoritm. Kõik on sama, kuid kirjade kaudu. Niisiis, meil on ruudukujuline kolmik x 2 + bx+ c (a=1) . Mida me teeme:
bx b /2 :
b Koos.
Selge? Esimesed kaks näidet olid väga lihtsad, täisarvudega. Tutvumiseks. Veelgi hullem, kui teisenduste käigus väljuvad murded. Siin on peamine asi mitte karta! Ja selleks, et mitte karta, peavad kõik teadma toiminguid murdosadega, jah ...) Aga siin on viis taset, kas pole? Teeme ülesande keerulisemaks.
Oletame, et on antud järgmine trinoom:
X 2 +x+1
Kuidas korraldada selle kolmiku summa ruut? Pole probleemi! Sarnased. Töötame punktide kallal.
1. Vaatleme terminit, mille esimeses astmes on x ( bx) ja muutke see x-i kahekordseks korrutiseksb /2 .
Meie termin koos x-iga on lihtsalt x. Mis siis? Kuidas muuta üksildane X kahekordne toode? Jah, väga lihtne! Otse vastavalt juhistele. Nagu nii:
Number b algses trinoomilis - üks. See on, b/2 osutub murdosaks. Pool. 1/2. No okei. Pole juba väike.)
2. Lisame topeltkorrutisele ja lahutame kohe arvu ruudu b/2. Lisame - täienduseks täisruudule. Võtame ära – kompensatsiooniks. Päris lõppu lisame vaba termini Koos.
Jätkame:
3. Kolm esimest liiget muudame vastava valemi järgi summa / erinevuse ruuduks. Väljaspool olev avaldis arvutatakse hoolikalt arvudes.
Kolm esimest terminit on eraldatud sulgudega. Muidugi ei saa te lahutada. Seda tehakse ainult meie muutuste mugavuse ja selguse huvides. Nüüd on selgelt näha, et sulgudes on summa täisruut (x+1/2) 2 . Ja kõik, mis jääb väljapoole summa ruutu (kui arvestada), annab +3/4. Finišijoonel:
Vastus:
Siin m=1/2 , a n=3/4 . Murdarvud. Tuleb ette. Selline kolmik jäi vahele...
Selline on tehnoloogia. Sain aru? Kas saate liikuda järgmisele tasemele?
Tase 2. Koefitsient x 2 juures ei ole võrdne 1-ga – mida teha?
See on üldisem juhtum kui juhtum a = 1. Arvutuste maht muidugi suureneb. See häirib, jah... Aga üldine lahendusüldiselt jääb samaks. Sellele lisatakse vaid üks uus samm. See teeb mind õnnelikuks.)
Praegu kaaluge kahjutut juhtumit, millel pole fraktsioone ja muid lõkse. Näiteks:
2 x 2 -4 x+6
Keskel on miinus. Seega sobitame erinevuse ruudu. Kuid koefitsient x ruudus on kahekordne. Ja ühega on lihtsam töötada. Puhta x-iga. Mida teha? Ja paneme selle kahekesi sulgudest välja! Et mitte sekkuda. Meil on õigus! Saame:
2(x 2 -2 x+3)
Nagu nii. Nüüd kolmik sulgudes – juba koos puhas X ruudus! Nagu nõuab 1. taseme algoritm. Ja nüüd on juba võimalik selle uue trinoomiga töötada vana väljakujunenud skeemi järgi. Siin me tegutseme. Kirjutame selle eraldi ja teisendame:
x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2
Poolik tehtud. Jääb üle saadud avaldis sulgudesse sisestada ja neid tagasi laiendada. Hankige:
2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4
Valmis!
Vastus:
2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4
Kinnitame peas:
Kui koefitsient x ruudu juures ei ole võrdne ühega, siis võtame selle koefitsiendi sulgudest välja. Kui kolmik jääb sulgudesse, töötame vastavalt tavapärasele algoritmile a=1. Olles valinud selles täisruudu, kleepige tulemus oma kohale ja avage välimised sulgud tagasi.
Aga mis siis, kui koefitsiendid b ja c ei jagu a-ga? See on kõige levinum ja samal ajal halvim juhtum. Siis ainult murdu, jah... Midagi pole teha. Näiteks:
3 x 2 +2 x-5
Kõik on sama, saadame kolm sulgudes välja, saame:
Kahjuks ei jagu ei kaks ega viis täielikult kolmega, seega on uue (vähendatud) trinoomi koefitsiendid murdosaline. No pole suurt midagi. Otsene töö murdudega: kaks kolmandikud x muutuvad kahekordne x korrutis üks kolmandaks lisage ühe kolmandiku ruut (st 1/9), lahutage see, lahutage 5/3 ...
Üldiselt saate aru!
Otsustage, mis seal juba on. See peaks lõppema järgmiselt:
Ja veel üks reha. Paljud õpilased piiravad positiivsete täisarvude ja isegi murdosa koefitsiente, kuid jäävad negatiivsetele. Näiteks:
- x 2 +2 x-3
Mida teha miinusega ennex 2 ? Summa / erinevuse ruudu valemis on vaja mis tahes plussi ... Pole küsimust! Kõik on sama. Me võtame selle miinuse välja sulgude jaoks. Need. miinus üks. Nagu nii:
- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)
Ja kõik asjad. Ja trinoomiga sulgudes – jälle mööda rihveldatud rada.
x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2
Niisiis, miinus:
- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2
See on kõik. Mida? Kas te ei tea, kuidas miinust sulgudest välja panna? Noh, see on küsimus seitsmenda klassi algebrale, mitte ruudukujulistele trinoomidele ...
Pidage meeles: töötage negatiivse koefitsiendiga a miski ei erine oma olemuselt positiivsega töötamisest. Negatiivse välja toomine a sulgudest välja ja seejärel - vastavalt kõigile reeglitele.
Miks peate saama valida täisruudu?
Esimene kasulik asi on joonistada paraboolid kiiresti ja ilma vigadeta!
Näiteks selline ülesanne:
Joonistage funktsioon:y=- x 2 +2 x+3
Mida me tegema hakkame? Kas ehitada punktide järgi? Muidugi on see võimalik. Väikesed sammud pikal teel. Päris igav ja ebahuvitav...
Kõigepealt tuletan teile meelde, et ehitades ükskõik milline paraboolid, esitame talle alati standardsed küsimused. Neid on kaks. Nimelt:
1) Kuhu on suunatud parabooli harud?
2) Kus on tipp?
Okste suunaga on kõik selge juba algsest väljendist. Filiaalid suunatakse tee alla, sest koefitsient ennex 2 - negatiivne. Miinus üks. Miinus enne x-ruutu alati pöörab parabooli ümber.
Kuid tipu asukohaga pole kõik nii ilmne. Loomulikult on olemas üldine valem selle abstsissi arvutamiseks koefitsientide kaudu a ja b.
See:
Kuid mitte kõik ei mäleta seda valemit, oh, mitte kõik ... Ja 50% neist, kes veel mäletavad, komistavad ootamatult ja sassivad banaalses aritmeetikas (tavaliselt mängu lugedes). Sellest on kahju, eks?)
Nüüd saate teada, kuidas leida mis tahes parabooli tipu koordinaate minu meelestühe minutiga! Nii x kui y. Ühe hoobiga ja ilma igasuguste valemiteta. Kuidas? Valides täisruudu!
Seega valime oma avaldises täisruudu. Saame:
y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4
Kes on hästi kursis üldiste funktsioonide teabega ja on teemat hästi valdanud " funktsioonigraafikute teisendused ", saab ta kergesti aru, et meie soovitud parabool saadakse tavalisest paraboolist y= x 2 kolme teisenduse abil. See:
1) Muutke okste suunda.
Seda näitab miinusmärk nurksulgude ees ( a=-1). See oli y= x 2 , sai y=- x 2 .
Konversioon: f ( x ) -> - f ( x ) .
2) Parabooli paralleeltõlge y=- x 2 X 1 ühik PAREMALE.
Nii saadakse vahegraafik y=-(x-1 ) 2 .
Konversioon: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m = -1).
Miks on nihe paremale ja mitte vasakule, kuigi sulgudes on miinus? See on graafiteisenduste teooria. See on omaette teema.
Ja lõpuks,
3) Paralleelne ülekanne paraboolid y=-( x -1) 2 4 ühiku võrra UP.
Nii saadakse lõplik parabool. y=-(x-1) 2 +4 .
Konversioon: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)
Ja nüüd vaatame oma muutuste ahelat ja mõtleme: Kuhu liigub parabooli tipp?y=x 2 ? See oli punktis (0; 0), pärast esimest teisendust ei liikunud tipp kuhugi (parabool pöördus lihtsalt ümber), pärast teist liikus ta x võrra allapoole +1 võrra ja pärast kolmandat y võrra allapoole. +4. Totaalne tipp tabas punkti (1; 4) . See on kogu saladus!
Pilt saab olema järgmine:
Tegelikult olen just sel põhjusel teie tähelepanu nii visalt numbritele juhtinud. m ja n mis saadakse täisruudu valimisel. Ei osanud arvata, miks? Jah. Asi on selles, et punkt koordinaatidega (- m ; n ) - see on alati parabooli tipp y = a ( x + m ) 2 + n . Vaatame lihtsalt teisendatud trinoomi ja numbreid minu meelest anname õige vastuse, kus on tipp. Mugav, eks?)
Paraboolide joonistamine on esimene kasulik asi. Liigume teise juurde.
Teine kasulik asi on ruutvõrrandite ja võrratuste lahendamine.
Jah Jah! Täisruudu valik osutub paljudel juhtudel selleks palju kiirem ja tõhusam traditsioonilised meetodid selliste probleemide lahendamiseks. Kahtlus? Palun! Siin on teile ülesanne:
Lahendage ebavõrdsus:
x 2 +4 x+5 > 0
Õppinud? Jah! See on klassikaline ruudu ebavõrdsus . Kõik sellised ebavõrdsused lahendatakse standardse algoritmi abil. Selleks vajame:
1) Koostage võrratusest tüüpvormi võrrand ja lahendage see, leidke juured.
2) Joonistage X-telg ja märkige võrrandi juured punktidega.
3) Kujutage skemaatiliselt parabooli vastavalt algsele väljendile.
4) Määrake joonisel +/- alad. Valige soovitud alad vastavalt algsele ebavõrdsusele ja kirjutage vastus üles.
Tegelikult on kogu see protsess tüütu, jah ...) Ja pealegi ei päästa see alati vigade eest ebastandardsetes olukordades, nagu see näide. Proovime kõigepealt mustrit, eks?
Nii et teeme esimese punkti. Ebavõrdusest moodustame võrrandi:
x 2 +4 x+5 = 0
Standardne ruutvõrrand, ilma nippideta. Meie otsustame! Me käsitleme diskrimineerijat:
D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4
See on kõik! Ja diskrimineerija on negatiivne! Võrrandil pole juuri! Ja teljele pole midagi joonistada ... Mida ma peaksin tegema?
Siin võib mõni järeldada, et algne ebavõrdsus pole ka lahendusi.. See on saatuslik pettekujutelm, jah ... Aga täisruutu esile tõstes saab sellele ebavõrdsusele õige vastuse anda poole minutiga! Kahtlus? Noh, saate ajastada.
Seega valime oma avaldises täisruudu. Saame:
x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1
Algne ebavõrdsus hakkas välja nägema järgmine:
(x+2) 2 +1 > 0
Ja nüüd, ilma midagi edasi lahendamata või ümber kujundamata, lülitame lihtsalt sisse elementaarse loogika ja mõtleme: kui mõne avaldise ruudule (väärtus on ilmselgelt mittenegatiivne!) lisage veel üks, siis millise numbriga me lõpuks saame? Jah! Rangelt positiivne!
Vaatame nüüd ebavõrdsust:
(x+2) 2 +1 > 0
Tõlgime sissekande matemaatilisest keelest vene keelde: mille jaoks x on rangelt positiivne väljendus on range rohkem null? Ei arvanud? Jah! Mis tahes!
Siin on teie vastus: x on suvaline arv.
Nüüd pöördume tagasi algoritmi juurde. Siiski on olemuse mõistmine ja lihtne meeldejätmine kaks erinevat asja.)
Algoritmi olemus seisneb selles, et me teeme standardvõrratuse vasakust küljest parabooli ja vaatame, kus see asub X-telje kohal ja kus allpool. Need. kus on vasaku külje positiivsed väärtused, kus negatiivsed.
Kui teeme vasakust küljest parabooli:
y=x 2 +4 x+5
Ja joonistage selle graafik, me näeme seda kõik terve parabool läbib x-telje kohal. Pilt näeb välja selline:
Parabool on kõver, jah... Sellepärast on ta skemaatiline. Kuid samal ajal on pildil näha kõik, mida vajame. Paraboolil pole lõikepunkte X-teljega, mängul pole nullväärtusi. Ja loomulikult pole ka negatiivseid väärtusi. Seda näitab kogu X-telje varjutamine. Muide, Y-telge ja tipu koordinaate olen siin kujutanud mõjuval põhjusel. Võrrelge parabooli tipu koordinaate (-2; 1) ja meie teisendatud avaldist!
y=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1
Ja kuidas sul läheb? Jah! Meie puhul m=2 ja n=1 . Seetõttu on parabooli tipul koordinaadid: (- m; n) = (-2; 1) . Kõik on loogiline.)
Teine ülesanne:
Lahenda võrrand:
x 2 +4 x+3 = 0
Lihtne ruutvõrrand. Saate otsustada vanamoodsalt. See on võimalik läbi. Nagu soovite. Matemaatika ei häiri.)
Vaatame juured: x 1 =-3 x 2 =-1
Ja kui ei üks ega teine viis, et ... ei mäleta? Noh, kahekesi särab sulle heas mõttes, aga ... Olgu nii, ma päästan su! Näitan teile, kuidas saate lahendada mõnda ruutvõrrandit, kasutades ainult seitsmenda klassi meetodeid. Jällegi vali täisruut!)
x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1
Ja nüüd kirjutame saadud avaldise kui ... ruutude erinevus! Jah, jah, seitsmendas klassis on üks:
a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)
Cast a sulgud ulatuvad välja(x+2) , ja rollis b- üks. Saame:
(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)
Sisestame selle laienduse võrrandisse ruudu kolminoomi asemel:
(x+1)(x+3)=0
Jääb üle välja selgitada, et tegurite korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis kui mõni neist on võrdne nulliga. Seega võrdsustame (mõttes!) iga sulg nulliga.
Saame: x 1 =-3 x 2 =-1
See on kõik. Samad kaks juurt. Selline on osav vastuvõtja. Lisaks diskriminandile.)
Muide, diskriminandi ja ruutvõrrandi juurte üldvalemi kohta:
Tunnis jätsin selle tülika valemi tuletamise ära. Kasutuse pärast. Aga siin on tema koht.) Kas soovite teada, kuidas hankige see valem? Kust tuleb diskriminandi väljend ja miks täpseltb 2 -4ac, aga mitte mingil muul viisil? Siiski on toimuva olemuse täielik mõistmine palju kasulikum kui igasuguste tähtede ja sümbolite mõtlematu kritseldamine, eks?)
Kolmas kasulik asi on ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine.
Siin läheb! Võtame ruudukujulise trinoomi üldkujul kirves 2 + bx+ c ja… hakkame valima täisruutu! Jah, otse läbi kirjade! Seal oli aritmeetika, sellest sai algebra.) Kõigepealt võtame nagu tavaliselt tähe välja a väljaspool sulgusid ja jagage kõik muud koefitsiendid arvuga a:
Nagu nii. See on täiesti seaduslik teisendus: a ei ole võrdne nulliga, ja saab sellega jagada. Ja jällegi töötame sulgudega vastavalt tavapärasele algoritmile: teeme terminist x-ga topeltkorrutise, lisame / lahutame teise numbri ruudu ...
Kõik on sama, aga tähtedega.) Proovi ise lõpetada! Tervislik!)
Pärast kõiki teisendusi peaksite saama järgmise:
Ja miks me peame ehitama selliseid hunnikuid kahjutust kolmiktaast – te küsite? Ei midagi, nüüd läheb huvitavaks! Ja nüüd me muidugi võrdsustame selle asja nullini:
Me lahendame selle nagu tavaline võrrand, töötame kõigi reeglite järgi, ainult tähtedega. Teeme elementaarseid:
1) Liigutage suurem murdosa paremale. Plussi liigutamisel muudame miinusesse. Et murdu enda ette miinust mitte tõmmata, muudan lihtsalt lugejas kõik märgid. Lugejas vasakul oli4ac-b 2 , ja pärast ülekandmist muutub -( 4ac-b 2 ) , st. b 2 -4 ac. Midagi tuttavat, kas sa ei arva? Jah! Diskrimineeriv, ta on kõige ...) See on järgmine:
2) Tühjendame koefitsiendist ruudu sulgudest. Me jagame mõlemad osad " a". Vasakul, enne sulgusid, täht a kaob ja paremal läheb suure murdosa nimetajasse, muutes selle sisse 4 a 2 .
Selgub, et see võrdsus:
Kas see ei õnnestunud teil? Siis on teema "" teie jaoks. Minge kohe kohale!
järgmine samm ekstrakti juur. Meid huvitab X, eks? Ja X istub ruudu all ... Ekstraheerime loomulikult vastavalt juurte kaevandamise reeglitele. Pärast ekstraheerimist juhtub see:
Vasakul on summa ruut kaob ja see jääb vaid summaks ise. Mis on nõutav.) Aga paremale ilmub pluss/miinus. Sest meie kopsakas osa, vaatamata oma vingele välimusele, on vaid mingi number. Murdarv. Koefitsiendist sõltuv a, b, c. Samas pole selle murru lugejast juur ilusti välja võetud, seal on kahe avaldise erinevus. Ja siin on nimetaja juur 4 a 2 üsna ekstraheeritav! See osutub lihtsaks 2 a.
"Keeruline" küsimus täitmiseks: kas mul oli õigus avaldisest juure välja võtta 4 a2, anna vastus ainult 2a? Ekstraheerimise reegel ju ruutjuur kohustab panema mooduli märgi, s.o.2|a| !
Mõelge, miks ma ikkagi mooduli märgi välja jätsin. Väga kasulik. Vihje: vastus peitub märgis pluss/miinus enne murdosa.)
Jäänud on tühjad kohad. Anname vasakule puhta x-i. Selleks liigutage väikest murdosa paremale. Märgivahetusega on pipar selge. Tuletan meelde, et murdosa märki saab muuta igal pool ja kuidas. Tahame muuta enne murdu, tahame nimetajas, tahame lugejas. Vahetan märki lugejas. See oli + b, sai – b. Loodan, et vastuväiteid pole?) Pärast ülekandmist muutub see selliseks:
Lisame kaks samade nimetajatega murdu ja saame (lõpuks!):
Noh? Mis ma ikka öelda saan? Vau!)
Neljas kasulik asi on õpilastele teadmiseks!
Liigume nüüd sujuvalt koolist ülikooli. Te ei usu seda, aga täisruudu valik kõrgemas matemaatikas on samuti vajalik!
Näiteks selline ülesanne:
Leidke määramata integraal:
Kust alustada? Otsene pealekandmine ei veere. Ainult täisruudu valimine salvestab, jah ...)
Need, kes ei tea, kuidas täisruutu valida, jäävad selle lihtsa näite külge igavesti. Ja kes teab, kuidas, ta eraldab ja võtab vastu:
x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4
Ja nüüd on integraal (teadjatele) võetud ühega!
See on suurepärane, eks? Ja see pole ainult integraalid! Analüütilisest geomeetriast ma juba vaikin teist järku kõverad – ellips, hüperbool, parabool ja ring.
Näiteks:
Määrake võrrandiga antud kõvera tüüp:
x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0
Ilma täisruudu valimise võimaluseta ei saa ülesannet lahendada, jah ... Kuid näide ei saaks olla lihtsam! Teadjamatele muidugi.
Rühmitame terminid x-ga ja y-ga kuhjadesse ja valime iga muutuja jaoks täisruudud. Hankige:
(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16
(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16
(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9
(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2
Kuidas siis on? Kas saite teada, milline loom?) No muidugi! Ring raadiusega kolm, mille keskpunkt on punktis (3; 4).
Ja see on kõik.) Kasulik on valida täisruut!)
Nagu ma juba märkisin, pole integraalarvutuses murru integreerimiseks mugavat valemit. Ja seetõttu on kurb tendents: mida “ilusam” murd, seda keerulisem on sealt integraali leida. Sellega seoses tuleb kasutada erinevaid nippe, millest ma nüüd räägin. Ettevalmistatud lugejad saavad kohe kasutada Sisukord:
- Lihtmurdude diferentsiaali märgi alla liitmise meetod
Lugeja kunstliku teisendamise meetod
Näide 1
Muide, vaadeldava integraali saab lahendada ka muutujameetodi muutmisega, tähistades , kuid lahendus on palju pikem.
Näide 2
Leidke määramatu integraal. Käivitage kontroll.
See on tee-seda-ise näide. Tuleb märkida, et siin muutuja asendusmeetod enam ei tööta.
Tähelepanu oluline! Näited nr 1, 2 on tüüpilised ja levinud. Eelkõige tekivad sellised integraalid sageli teiste integraalide lahendamise käigus, eriti irratsionaalsete funktsioonide (juurte) integreerimisel.
Ülaltoodud meetod töötab ka juhul kui lugeja kõrgeim aste on suurem nimetaja suurimast astmest.
Näide 3
Leidke määramatu integraal. Käivitage kontroll.
Alustame lugejaga.
Lugeja valimise algoritm on umbes selline:
1) Lugejas pean korraldama , aga seal . Mida teha? Lisan sulgudesse ja korrutan järgmisega: .
2) Nüüd proovin neid sulgusid avada, mis juhtub? . Hmm ... juba parem, aga lugejas pole algselt kahekesi. Mida teha? Peate korrutama järgmisega:
3) Sulgude uuesti avamine: . Ja siin on esimene edu! Vajadus tuli välja! Kuid probleem on selles, et on ilmunud lisatermin. Mida teha? Selleks, et väljend ei muutuks, pean oma konstruktsiooni lisama sama: 
. Elu on muutunud lihtsamaks. Kas lugejas saab uuesti korraldada?
4) Saate. Me üritame: 
. Laiendage teise termini sulgusid: 
. Vabandust, aga mul oli tegelikult eelmises etapis ja mitte . Mida teha? Peame teise liikme korrutama järgmisega: 
5) Jällegi, kontrollimiseks avan sulgud teisel ametiajal: 
. Nüüd on see normaalne: saadud lõike 3 lõplikust konstruktsioonist! Kuid jälle on väike “aga”, ilmunud on lisatermin, mis tähendab, et pean oma väljendile lisama: 
Kui kõik on õigesti tehtud, peaksime kõigi sulgude avamisel saama integrandi algse lugeja. Kontrollime:
Hea.
Sellel viisil: 
Valmis. Viimasel semestril rakendasin funktsiooni diferentsiaali alla toomise meetodit.
Kui leiame vastuse tuletise ja viime avaldise ühise nimetaja juurde, siis saame täpselt algse integrandi. Vaadeldav summaks laiendamise meetod pole midagi muud kui vastupidine tegevus avaldise ühise nimetaja saavutamiseks.
Lugeja valimise algoritmi sellistes näidetes on kõige parem teostada mustandiga. Teatud oskuste korral töötab see ka vaimselt. Mäletan rekordaega, kui tegin 11. astme valiku ja lugeja laiendamine võttis Werdi peaaegu kaks rida.
Näide 4
Leidke määramatu integraal. Käivitage kontroll.
See on tee-seda-ise näide.
Lihtmurdude diferentsiaali märgi alla liitmise meetod
Liigume edasi järgmist tüüpi murdude juurde.
, , , (koefitsiendid ja ei ole nulliga võrdsed).
Õigupoolest on paar juhtumit arsiini ja arktangensiga juba tunnis libisenud Muutuja muutmise meetod määramata integraalis. Sellised näited lahendatakse nii, et funktsioon tuuakse diferentsiaali märgi alla ja seejärel integreeritakse tabeli abil. Siin on mõned tüüpilisemad pika ja kõrge logaritmiga näited:
Näide 5
Näide 6
Siin on soovitav võtta integraalide tabel ja järgida, millised valemid ja kuidas toimub transformatsioon. Märge, kuidas ja miks ruudud on nendes näidetes esile tõstetud. Täpsemalt, näites 6 peame esmalt esitama nimetaja kui 
, seejärel tuua diferentsiaali märgi alla. Ja standardse tabelivalemi kasutamiseks peate seda kõike tegema 
.
Aga mida vaadata, proovige näiteid nr 7,8 ise lahendada, eriti kuna need on üsna lühikesed:
Näide 7
Näide 8
Leidke määramata integraal:
Kui saate ka neid näiteid kontrollida, on teie eristumisoskus nende parimal tasemel.
Täisruudu valiku meetod
Vormi integraalid, 
(koefitsiendid ja ei ole võrdsed nulliga) on lahendatud täisruudu valiku meetod, mis on juba õppetükis ilmunud Geomeetrilise graafiku teisendused.
Tegelikult taanduvad sellised integraalid üheks neljast tabeliintegraalist, mida just vaatlesime. Ja see saavutatakse tuttavate lühendatud korrutusvalemite abil:
Selles suunas rakendatakse valemeid, see tähendab, et meetodi idee on avaldiste kunstlik korraldamine kas nimetajas ja seejärel teisendada need vastavalt või .
Näide 9
Leidke määramatu integraal
See on kõige lihtsam näide, kus terminiga - ühikukoefitsient(ja mitte mingi number või miinus).
Vaatame nimetajat, siin taandub kogu asi selgelt juhtumile. Alustame nimetaja teisendamist:
Ilmselgelt peate lisama 4. Ja et avaldis ei muutuks - sama neli ja lahutage:
Nüüd saate rakendada valemit:
Pärast konversiooni lõppu ALATI soovitav on teha pöördkäik: kõik on korras, vigu pole.
Kõnealuse näite puhas kujundus peaks välja nägema umbes selline: 
Valmis. "Tasuta" kompleksfunktsiooni toomine diferentsiaalmärgi alla: , võiks põhimõtteliselt jätta tähelepanuta
Näide 10
Leidke määramata integraal:
See on näide ise lahendamiseks, vastus on tunni lõpus.
Näide 11
Leidke määramata integraal:
Mida teha, kui ees on miinus? Sel juhul peate miinuse sulgudest välja võtma ja korraldama tingimused meile vajalikus järjekorras:. Püsiv(antud juhul "topelt") ärge puudutage!
Nüüd lisame sulgudesse ühe. Väljendit analüüsides jõuame järeldusele, et vajame seda sulu taha - lisage:
Siin on valem, rakendage:
ALATI kontrollime eelnõud:
, mida tuli kontrollida.
Näite puhas kujundus näeb välja umbes selline: 
Teeme ülesande keerulisemaks
Näide 12
Leidke määramata integraal: 
Siin pole terminiga enam tegemist ühe koefitsiendiga, vaid "viiega".
(1) Kui konstant leitakse juures, siis võtame selle kohe sulgudest välja.
(2) Üldiselt on alati parem see konstant integraalist välja võtta, et see ei segaks.
(3) On ilmne, et kõik taandatakse valemile . Terminist on vaja aru saada, nimelt saada "kaks"
(4) Jah, . Seega liidame avaldisele ja lahutame sama murdosa.
(5) Nüüd vali täisruut. Üldjuhul on vaja ka arvutada , kuid siin on meil pikk logaritmivalem 
, ja toimingut pole mõtet sooritada, miks - see selgub veidi madalamal.
(6) Tegelikult saame valemit rakendada 
, on meil ainult "x" asemel, mis ei muuda tabeliintegraali kehtivust. Rangelt võttes on puudu üks samm – enne integreerimist oleks tulnud funktsioon viia diferentsiaalmärgi alla: 
, kuid nagu olen korduvalt märkinud, jäetakse see sageli tähelepanuta.
(7) Juure all olevas vastuses on soovitav kõik sulud tagasi avada:
Raske? See pole integraalarvutuses kõige keerulisem. Kuigi vaadeldavad näited pole niivõrd keerulised, kuivõrd nõuavad head arvutustehnikat.
Näide 13
Leidke määramata integraal:
See on tee-seda-ise näide. Vastus õppetunni lõpus.
Nimetajas on juurtega integraalid, mis asendamise abil taandatakse vaadeldavat tüüpi integraalideks, nende kohta saate lugeda artiklist Komplekssed integraalid, kuid see on mõeldud hästi ettevalmistatud õpilastele.
Lugeja toomine diferentsiaali märgi alla
See on tunni viimane osa, kuid seda tüüpi integraalid on üsna tavalised! Kui väsimus on kogunenud, on ehk homme parem lugeda? ;)
Integraalid, mida me käsitleme, on sarnased eelmise lõigu integraalidega, neil on vorm: või 
(koefitsiendid ja ei ole nulliga võrdsed).
See tähendab, et meil on lugejas lineaarne funktsioon. Kuidas selliseid integraale lahendada?
