Valmistautuminen matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset. Matematiikan yhtenäinen valtionkoe (perus)

Matematiikan yhtenäinen valtionkoe profiilin taso

Työ koostuu 19 tehtävästä.
Osa 1:
8 perusvaikeustason lyhyttä vastaustehtävää.
Osa 2:
4 lyhyttä vastaustehtävää
7 tehtävää yksityiskohtaisilla vastauksilla korkeatasoinen vaikeuksia.

Kesto - 3 tuntia 55 minuuttia.

Esimerkkejä yhtenäisistä valtiontutkintotehtävistä

Matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävien ratkaiseminen.

Voit ratkaista sen itse:

1 kilowattitunti sähköä maksaa 1 rupla 80 kopekkaa.
Sähkömittari näytti 1. marraskuuta 12 625 kilowattituntia ja 1. joulukuuta 12 802 kilowattituntia.
Kuinka paljon minun pitäisi maksaa sähköstä marraskuussa?
Anna vastauksesi ruplissa.

Ongelma ratkaisun kanssa:

Säännöllisessä kolmiopyramidissa ABCS, jonka kanta on ABC, tunnetaan seuraavat reunat: AB = 3:n 5 juurta, SC = 13.

Ratkaisu:

4. Koska pyramidi on säännöllinen, piste H on kolmion ABC korkeuksien/mediaanien/puolittajien leikkauspiste ja jakaa AD suhteessa 2:1 (AH = 2 AD).

5. Etsi SH suorasta kolmiosta ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, Pythagoraan lauseen mukaan SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Kulma EDP = arctan (6/5)

Vastaus: arctg(6/5)

Tiedätkö mitä?

Laboratoriotutkimukset ovat osoittaneet, että mehiläiset pystyvät valitsemaan optimaalisen reitin. Lokalisoinnin jälkeen asetettu sisään eri paikkoja Mehiläinen lentää kukkien ympäri ja palaa takaisin siten, että lopullinen polku osoittautuu lyhimmäksi. Siten nämä hyönteiset selviävät tehokkaasti tietojenkäsittelytieteen klassisesta "matkustavamyyjäongelmasta", jonka ratkaisemiseen nykyaikaiset tietokoneet voivat pisteiden määrästä riippuen käyttää enemmän kuin yhden päivän.

Jos kerrot ikäsi 7:llä ja sitten 1443:lla, tuloksena on ikäsi kolme kertaa peräkkäin.

Me uskomme negatiivisia lukuja jotain luonnollista, mutta näin ei aina ollut. Negatiiviset luvut laillistettiin ensimmäisen kerran Kiinassa 3. vuosisadalla, mutta niitä käytettiin vain poikkeustapauksissa, koska niitä pidettiin yleisesti merkityksettöminä. Hieman myöhemmin Intiassa alettiin käyttää negatiivisia lukuja osoittamaan velkoja, mutta lännessä ne eivät juurtuneet - kuuluisa Diophantus Aleksandrialainen väitti, että yhtälö 4x+20=0 oli absurdi.

Amerikkalainen matemaatikko George Dantzig oli yliopiston jatko-opiskelijana myöhässä tunnilta eräänä päivänä ja sekoitti taululle kirjoitetut yhtälöt läksyiksi. Se tuntui hänestä tavallista vaikeammalta, mutta muutaman päivän kuluttua hän sai sen valmiiksi. Kävi ilmi, että hän ratkaisi kaksi "ratkaisematonta" tilastojen ongelmaa, joiden kanssa monet tiedemiehet olivat kamppailleet.

Venäläisessä matemaattisessa kirjallisuudessa nolla ei ole luonnollinen luku, ja lännessä se päinvastoin kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon.

Meillä käytössä desimaalijärjestelmä Numerot syntyivät siitä tosiasiasta, että ihmisellä on 10 sormea käsissään. Abstraktin laskennan kyky ei ilmennyt ihmisissä heti, ja kätevimmäksi osoittautui laskemiseen käyttää sormia. Maya-sivilisaatio ja heistä riippumatta tšukchit käyttivät historiallisesti 20-numeroista numerojärjestelmää käyttämällä sormia paitsi käsissä, myös varpaissa. Myös muinaisessa Sumerissa ja Babylonissa yleiset kaksois- ja seksagesimaaliset järjestelmät perustuivat käsien käyttöön: kämmenen muiden sormien sormet, joita on 12, laskettiin peukalolla.

Eräs naisystävä pyysi Einsteinia soittamaan hänelle, mutta varoitti, että hänen puhelinnumeronsa oli erittäin vaikea muistaa: - 24-361. Muistatko? Toistaa! Yllättynyt Einstein vastasi: "Tietenkin muistan!" Kaksi tusinaa ja 19 neliötä.

Suurin määrä, joka voidaan kirjoittaa roomalaisilla numeroilla rikkomatta Shvartsmanin sääntöjä (roomalaisten numeroiden kirjoittamista koskevat säännöt), on 3999 (MMMCMXCIX) - et voi kirjoittaa enempää kuin kolme numeroa peräkkäin.

On monia vertauksia siitä, kuinka yksi henkilö kutsuu toista maksamaan hänelle jostain palvelusta seuraavasti: shakkilaudan ensimmäiseen ruutuun hän laittaa yhden riisinjyvän, toiseen - kaksi ja niin edelleen: jokaiseen seuraavaan ruutuun kaksi kertaa enemmän kuin edellisessä. Tämän seurauksena se, joka maksaa tällä tavalla, menee varmasti konkurssiin. Tämä ei ole yllättävää: se on arvioitu kokonaispaino riisiä tulee olemaan yli 460 miljardia tonnia.

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan tehtävässä 14 ratkaisulla

Demoversio Unified State Exam 2019 matematiikan kokeesta

Matematiikan yhtenäinen valtionkoe 2019 pdf-muodossa Perustaso | Profiilin taso

Matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumistehtävät: perus- ja erikoistaso vastauksilla ja ratkaisuilla.

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan tehtävässä 14

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan profiilitason tehtävässä 14 ratkaisulla

Päättää:

Kuution reuna on yhtä suuri kuin 6:n juuri.
Etsi etäisyys kuution lävistäjän ja sen minkä tahansa pinnan diagonaalin välillä.

Yhtenäinen valtionkoe 2019 matematiikan tehtävässä 14

Säännöllisessä kolmiopyramidissa ABCS, jonka kanta on ABC, tunnetaan seuraavat reunat: AB = 3:n 5 juurta, SC = 13.
Etsi perustason ja reunojen AS ja BC keskikohdan kautta kulkevan suoran muodostama kulma.

Ratkaisu:

1. Koska SABC on säännöllinen pyramidi, ABC on tasasivuinen kolmio ja loput pinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.
Eli pohjan kaikki sivut ovat yhtä suuria kuin 5 sqrt(3) ja kaikki sivureunat ovat yhtä suuria kuin 13.

2. Olkoon D pisteen BC keskipiste, E pisteen AS keskipiste, SH korkeus, joka laskeutui pisteestä S pyramidin kantaan, EP korkeus, joka laskeutui pisteestä E pyramidin kantaan.

3. Etsi AD suorakulmaisesta kolmiosta CAD käyttämällä Pythagoraan lausetta. Osoittautuu, että 15/2 = 7,5.

4. Koska pyramidi on säännöllinen, piste H on kolmion ABC korkeuksien/mediaanien/puolittajien leikkauspiste ja jakaa AD suhteessa 2:1 (AH=2 AD).

5. Etsi SH suorasta kolmiosta ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, Pythagoraan lauseen mukaan SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Kolmiot AEP ja ASH ovat molemmat suoria kulmia ja niillä on yhteinen kulma A, joten ne ovat samanlaisia. Ehdolla AE = AS/2, mikä tarkoittaa AP = AH/2 ja EP = SH/2.

7. On vielä harkittava suorakulmaista kolmiota EDP (meitä kiinnostaa vain kulma EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Kulman tangentti EDP = EP/DP = 6/5,
Kulma EDP = arctan (6/5)

Matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävässä 14 kokeeseen osallistuvien on ratkaistava stereometrian tehtävä. Siksi jokaisen opiskelijan on opittava ratkaisemaan tällaisia ongelmia, jos hän haluaa saada positiivisen arvosanan kokeesta. Tämä artikkeli esittää Moskovan matematiikan ohjaajan analyysin kahden tyyppisistä tehtävistä 14 Unified State Examination in matematics 2016 (profiilitaso).

Tästä tehtävästä on saatavilla videoanalyysi:

Tehtävän piirustus näyttää tältä:

a) Koska se on suora MN yhdensuuntainen linjan kanssa D.A., joka kuuluu koneeseen DAS, sitten suoraan MN yhdensuuntainen tason kanssa DAS. Siksi tason leikkausviiva DAS ja osiot KMN on yhdensuuntainen linjan kanssa MN. Olkoon se linja KL. Sitten KMNL- vaadittava osa.

Osoitetaan, että leikkaustaso on yhdensuuntainen tason kanssa SBC. Suoraan B.C. yhdensuuntainen linjan kanssa MN, koska nelikulmio MNCB on suorakulmio (todista se itse). Todistetaan nyt kolmioiden samankaltaisuus AKM Ja A.S.B.. A.C.- neliön diagonaali. Pythagoraan kolmion lauseen mukaan ADC löydämme:

AH. on puolet neliön lävistäjästä, joten . Sitten Pythagoraan lauseesta suorakulmaiselle kolmiolle löydämme:

Sitten seuraavat suhteet pätevät:

Osoittautuu, että kulman A muodostavat sivut kolmioissa AKM Ja A.S.B., ovat suhteellisia. Siksi kolmiot ovat samanlaisia. Tämä tarkoittaa kulmien tasa-arvoa, erityisesti kulmien tasa-arvoa AMK Ja ABS. Koska nämä kulmat vastaavat suoria viivoja K.M., S.B. ja sekantti M.B., Tuo K.M. rinnakkain S.B..

Joten saimme kaksi saman tason leikkaavaa suoraa ( K.M. Ja N.M.) ovat vastaavasti samansuuntaisia toisen tason kahden leikkaavan suoran kanssa ( S.B. Ja B.C.). Siksi lentokoneet MNK Ja SBC rinnakkain.

b) Koska tasot ovat yhdensuuntaiset, etäisyys pisteestä K lentokoneeseen SBC yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä S lentokoneeseen KMN. Etsimme tätä etäisyyttä. Kohdasta S laske kohtisuoraa SP suoralle viivalle D.A.. Lentokone SPH leikkaa leikkaustason suorassa linjassa TAI. Vaadittu etäisyys on kohtisuoran pituus pisteestä S suoralle viivalle TAI.

Todella, KL kohtisuorassa tasoon nähden O.S.R., koska se on kohtisuorassa kahta tässä tasossa olevaa leikkaavaa suoraa ( TAI Ja OS). Kohtisuoraus TAI Ja KL seuraa kolmen kohtisuoran lauseesta. Siten, KL kohtisuorassa kolmion korkeutta vastaan ORS, vedetty sivuun TAI. Toisin sanoen tämä korkeus on kohtisuorassa kahteen tasossa olevaan leikkausviivaan nähden KMN, ja siksi kohtisuorassa tähän tasoon nähden.

Etsitään kolmion sivuja SOR. puolella S.R. käyttämällä Pythagoraan lausetta etsimään suorakulmaisesta kolmiosta RSH: . Pituus SP käyttämällä Pythagoraan lausetta etsimään suorakulmaisesta kolmiosta P.S.H.: . Kolmiot SOK Ja KYLPYLÄ ovat samanlaisia (todista se itse) samankaltaisuuskertoimella. Sitten ja. Suorakulmaisesta kolmiosta SPH löydämme . Kolmion kosinilauseesta POR löydämme sen. Joten löysimme kolmion kaikki sivut SOR.

Kolmion kosinilauseesta SOR löydämme , sitten löytämämme trigonometrisen pääidentiteetin perusteella . Sitten kolmion pinta-ala O.S.R. on yhtä suuri kuin:

Toisaalta tämä alue on yhtä suuri , Missä h- vaadittava korkeus. Mistä löydämme sen?

Prisman kantojen tasot ovat yhdensuuntaiset, joten leikkaus leikkaa nämä tasot suorina L.S. Ja DK, jotka ovat myös yhdensuuntaisia. Antaa B 1 M- kolmion korkeus A 1 B 1 C 1, a OLLA- kolmion korkeus ABC. Sitten piirustus näyttää tältä:

Suorakulmaisesta kolmiosta B 1 MA 1 löytyy käyttämällä Pythagoraan lausetta . Suorakulmaisesta kolmiosta B 1 QS löydetty Pythagoraan lauseella. Sitten . Lisäksi (puoli korkeus OLLA säännöllinen kolmio ABC). Kolmiot MQT Ja PTB samanlainen kahdessa kulmassa (kulmat PTB Ja MTQ yhtä suuri kuin pystykulmat TPB Ja MQT ovat yhtä suuret kuin ristikkäin yhdensuuntaisten viivojen kanssa MQ, P.B. ja sekantti PQ). Niiden samankaltaisuuskerroin on .

Seuraavaksi oikeasta kolmiosta M.B.E. löydämme . Käytämme todistettua samankaltaisuutta, löydämme . Samoin,. Siten, .

Uskotaan, että stereometrian tehtävä matematiikan yhtenäisen profiilin valtionkokeessa on tarkoitettu vain erinomaisille opiskelijoille. Sen ratkaiseminen vaatii erityisiä kykyjä ja salaperäistä ”tilaajattelua”, jota vain harvalla onnekkaalla on syntymästä lähtien.

Onko näin?

Onneksi kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Se, mitä niin kauniisti kutsutaan "tilaajatteluksi", tarkoittaa useimmiten stereometrian perusteiden tuntemusta ja kykyä piirtää.

Ensinnäkin tarvitset tietoa stereometrian kaavoista. Taulukkomme “Polyhedra” ja “Bodies of Rotation” sisältävät kaikki kaavat, joilla kolmiulotteisten kappaleiden tilavuudet ja pinta-alat lasketaan.

Toiseksi osassa 1 esitettyjen geometrian ongelmien varma ratkaiseminen (ensimmäiset 12 Yhtenäisen valtiontutkinnon ongelmat). Nämä ovat sekä planimetrisiä että stereometrisiä ongelmia.

Ja mikä tärkeintä, ongelman 14 ratkaisemiseksi tarvitset stereometrian perusaksioomit ja -lauseet. On parasta, jos ostat geometrian oppikirjan luokille 10-11 (tekijä - A.V. Pogorelov tai L.S. Atanasyan) ja vastaat kysymyksiin, joiden luettelo on alla. Kirjoita lauseiden määritelmät ja lausunnot muistikirjaasi. Tee piirustuksia. Yritä todistaa lauseet itse.

Kun työskentelet tämän tehtävän parissa, muotoile itse, miten ne eroavat toisistaan määritelmä ja merkki. On olemassa esimerkiksi määritelmä suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta - ja merkki suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta. Mitä eroa niillä on?

On erittäin hyvä, jos teet tehtävän itse ja vertaat sitä vastauksiin. Kaikki vastaukset löytyvät nettisivuiltamme, tästä osiosta.

Stereometria ohjelma.

Taso avaruudessa. Viimeistele lause: Taso voidaan piirtää läpi...
(Anna neljä vastausvaihtoehtoa.)
Tasojen sijainti avaruudessa. Viimeistele lause: Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niin ne...
Suoran ja tason rinnakkaisuus. Määritelmä ja merkki.
Mikä on vino ja vino projektio. Piirustus.
Suoran ja tason välinen kulma.
Suoran ja tason kohtisuora. Määritelmä ja merkki.
Suorien linjojen ylittäminen. Leikkaavien viivojen välinen kulma. Risteyslinjojen välinen etäisyys.
Etäisyys suorasta sen suuntaiseen tasoon.
Tasojen rinnakkaisuus. Määritelmä ja merkki.
Tasojen kohtisuoraisuus. Määritelmä ja merkki.
Täydennä lause: a) Kahden yhdensuuntaisen tason ja kolmannen tason leikkausviivat...
b) Yhdensuuntaisten viivojen segmentit yhdensuuntaisten tasojen välissä...

Tässä on muutamia yksinkertaiset säännöt stereometrian ongelmien ratkaisemiseksi:

On kaksi päätapaa ratkaista stereometrian tehtäviä matematiikan yhtenäisessä valtionkokeessa. Ensimmäinen on klassinen: määritelmien, lauseiden ja ominaisuuksien käytännön soveltaminen, joiden luettelo on annettu yllä. Toinen -

Säännöllisen kolmiopyramidin kaikki reunat SBCD topin kanssa S ovat yhtä kuin 9.

Pohja O korkeuksia NIIN SS 1 , M- kylkiluiden keskiosa S.B., piste L makaa reunalla CD Niin C.L. : LD = 7: 2.

SBCD kone S 1 L.M.- tasakylkinen puolisuunnikas.

Ratkaisu.

a) Piirretään mediaani S 1 M kolmio SS 1 B, joka leikkaa viivan BB 1, joka on myös kolmion mediaani SS 1 B ja perusteet BCD, kohta T. Sitten VT : TV 1 = 4: 5.

Piste L, puolestaan jakaa segmentin B 1 D suhteessa D.L. : PAUNAA 1 = 4:5, alkaen LD : L.C.= 2:7 ja segmentti BB 1 - kolmion mediaani BCD.

Siksi pisteiden läpi kulkeva osuuden puoli L Ja T, yhdensuuntainen sivun kanssa BD perusteilla BCD. Anna sen olla suora LT ristit B.C. pisteessä P.

Käydään kohta läpi M kolmion keskiviiva SBD anna hänen ylittää sivun SD pisteessä K. Sitten PMKL- haluttu osa ja B.P. = D.L. Ja B.M. = KD. Kolmioiden tasa-arvosta BMP Ja DKL saamme MP = KL, joka tarkoittaa PMKL- tasakylkinen puolisuunnikas.

b) Isompi pohja P.L. puolisuunnikkaan on 7 kolmiosta lähtien LPC oikea. Toinen pohja MK on 4,5, koska MK- tasasivuisen kolmion keskiviiva SBD. Siksi puolisuunnikkaan keskiviiva on yhtä suuri kuin

Vasily Ass 09.03.2016 14:53

miksi ratkaisun BT: TB1 = 4:5 1. virkkeessä mikä tämä ominaisuus on? "koska BB1 on myös kolmion SS1B mediaani." sellaista omaisuutta ei ole

Schg Wrbutr 21.04.2017 19:58

Kerro minulle, mistä saat 4:5-suhteen? Voitko selittää tämän mediaanin ominaisuuden?

Aleksanteri Ivanov

Kolmion mediaanit jaetaan leikkauspisteellä suhteessa 2:1

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC pohjapuoli AB on yhtä suuri kuin 12, ja sivureuna S.A. on 8. Pisteitä M Ja N- kylkiluiden keskiosa S.A. Ja S.B. vastaavasti. Taso α sisältää suoran MN ja kohtisuorassa pyramidin pohjan tasoon nähden.

a) Osoita, että taso α jakaa mediaanin C.E. emäkset suhteessa 5:1 pisteestä laskettuna C.

b) Etsi pyramidin tilavuus, jonka kärki on piste C, ja kanta on pyramidin leikkaus SABC taso α.

Ratkaisu.

a) Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjalla on tasasivuinen kolmio. Korkeus projektio S pohjassa oleva pyramidi antaa pisteen O, joka sijaitsee mediaanien leikkauskohdassa. Eli pointti O jakaa mediaanit suhteessa 2:1, eli

Harkitse korkeutta S.E. kolmio SAB. Piste F 1 on sen keskimmäinen. Siksi sen projektio mediaaniin C.E. jakaa segmentin O.E. puoliksi. Segmentti puolestaan sitten

Tämän seurauksena näemme, että se on pointti F jakaa mediaanin C.E. pisteestä alkaen tai suhteessa 5:1 C. Q.E.D.

b) Etsi halutun pyramidin mediaani korkeus SE käyttämällä Pythagoraan lausetta etsimään suorakulmaisesta kolmiosta B.C.E.:

Lasketaan pyramidin pohjan pinta-ala (suunnikkaan pinta-ala MNZK). Jana on jana (koska tämä on kolmion keskiviiva ABS), puolisuunnikkaan korkeus Etsi korkeus NIIN suorakulmaisesta kolmiosta SOC:

Puolisuunnikkaan (pyramidin pohjan) pinta-ala on

Löydämme pyramidin tilavuuden kaavan avulla

Vastaus: b)

Lähde: Materiaalit Unified State Exam 2016 -asiantuntijoille

Pyramidissa SABC kanta on säännöllinen kolmio ABC pisteen puolella O- pyramidin korkeuden pohja vedettynä ylhäältä S.

a) Todista, että kohta O sijaitsee kolmion ulkopuolella ABC.

b) Laske nelikulmaisen pyramidin tilavuus SABCO.

Ratkaisu.

a) Siitä lähtien S.A. = S.C., piste S on tasossa, joka on kohtisuorassa segmenttiin nähden A.C. ja kulkee sen keskeltä M. Siten, O sijaitsee suoralla linjalla B.M.. Merkitään pyramidin korkeutta muodossa x, sitten Siksi ja Lisäksi, siis kohta O sijaitsee kolmion ulkopuolella. Lisäksi koska A.O. BO, hän valehtelee jatkossa B.M. pistettä kohti M.

b) Kolmiosta SMA Etsitään nyt kolmiosta SMO löydämme sitten kolmiosta VSP meillä on

Vastaus:

Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD topin kanssa S pohjan puoli on 8. Piste L- kylkiluiden keskiosa S.C.. Viivojen välisen kulman tangentti B.L. Ja S.A. on yhtä suuri

a) Anna O- pyramidin pohjan keskipiste. Todista, että suorat viivat BO. Ja L.O. kohtisuorassa.

b) Laske pyramidin pinta-ala.

Ratkaisu.

a) Kolmion keskiviivasta lähtien, Mutta kolmen kohtisuoran lauseen mukaan projektio pyramidin kannan tasolle on suora. Tämä tarkoittaa, että

b) Olkoon sitten , Lisäksi , mistä Sitten pyramidin sivupinnan korkeus ja pyramidin pinta-ala

Vastaus: 192.

Lähde: Tyypillisiä matematiikan koetehtäviä, toimittanut I. V. Yashchenko 2016

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin kaikki reunat SABCD topin kanssa S ovat yhtä suuret kuin 6. Pohjan korkeus NIIN tämän pyramidin keskipiste on janan keskipiste SS 1 , M- kylkiluiden keskiosa KUTEN, piste L makaa reunalla B.C. Niin B.L. : L.C. = 1: 2.

a) Todista, että pyramidin leikkaus SABCD kone S 1 L.M.- tasakylkinen puolisuunnikas.

b) Laske tämän puolisuunnikkaan keskiviivan pituus.

Ratkaisu.

Suoraan S 1 M ylittää mediaanin A.O. kolmio ABD pisteessä T Niin AT : TO= 2:1 koska T- kolmion mediaanien leikkauspiste SAS 1 ja O- pohjan diagonaalien leikkauspiste ABCD, pyramidista lähtien SABCD oikea.

Siten, AT : TC= 1:2. Piste L jakaa segmentin B.C. suhteessa B.L. : L.C.= 1:2, siis kolmioita ACB Ja TCL samanlainen samankaltaisuuskertoimella k = A.C. : TC = B.C. : C.L.= 3:2, koska niillä on yhteinen kulma kärjen kanssa C ja juhlia A.C. Ja B.C. kolmiossa ABC verrannollinen sivuihin TC Ja L.C. kolmio TCL, joka sulkee sisäänsä saman kulman. Tämä tarkoittaa, että osuuden puoli, joka kulkee pisteiden läpi L Ja T, yhdensuuntainen sivun kanssa AB pyramidin pohja SABCD ILMOITUS pisteessä P.

Osion pisteen läpi kulkeva puoli M lentokoneessa SAB, yhdensuuntainen linjan kanssa AB, lentokoneesta lähtien S 1 L.M. leikkaa koneen SAB ja kulkee suoran läpi P.L., yhdensuuntainen tason kanssa SAB. Anna osan tämän puolen leikata sivua S.B. pisteessä K. Sitten jakso PMKL- on tasakylkinen puolisuunnikas, koska AP = B.L. Ja OLEN. = B.K..

Isompi pohja LP trapetsi on 6, koska ABCD- neliö. Toinen pohja MK puolisuunnikkaan on 3, koska MK- kolmion keskiviiva SAB. Tämä tarkoittaa, että puolisuunnikkaan keskiviiva on yhtä suuri kuin

Vastaus: b) 4.5.

Kolmion muotoisessa pyramidissa ABCD dihedraaliset kulmat reunoilla ILMOITUS Ja B.C. ovat tasa-arvoisia. AB = BD = DC = A.C. = 5.

a) Todista se ILMOITUS = B.C..

b) Laske pyramidin tilavuus, jos dihedraaliset kulmat ovat kohdassa ILMOITUS Ja B.C. yhtä suuri kuin 60°.

Ratkaisu.

a) Kolmio BAC- tasakylkisiä. Toteutetaan OLEN. ⊥ B.C.. M-keskellä B.C., Sitten DM ⊥ B.C., kolmiosta lähtien BDC tasakylkinen. ∠ AMD B.C.. Samoin ∠ BNC= φ - dihedraalisen kulman lineaarinen kulma reunassa ILMOITUS. Δ ABC = Δ DBC siis kolmelta puolelta M.A. = M.D. Ja

Samanlainen kuin Δ HUONO = Δ CAD Ja HUOM. = NC, A

Kolmiot ANM Ja BMN tasavertainen yleisesti MN ja terävä kulma α, sitten AN = B.M.. Mutta siksi ILMOITUS = B.C..

b) Ehdon φ = 60° mukaan kolmio AMD tasasivuinen. Antaa ILMOITUS = OLEN. = M.D. = B.C. = a, sitten Kolmiossa A.M.B. meillä on missä ja

Vastaus:

Lähde: Tasks 14 (C2) Yhtenäinen valtiokoe 2016, Matematiikan yhtenäinen valtiokoe - 2016. Varhainen aalto, varapäivä, vaihtoehto A. Larin (osa C).

Oikean pyöreän sylinterin, jonka korkeus on 12 ja pohjan säde 6, yhteen pohjaan vedetään jänne AB, yhtä suuri kuin kannan säde, ja sen toiseen kantaan halkaisija piirretään CD, kohtisuorassa AB. Osio rakennettu ABNM, kulkee linjan läpi AB kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan CD niin se on pointti C ja sylinterin pohjan keskikohta, johon halkaisija vedetään CD, makaa osan toisella puolella.

a) Osoita, että tämän jakson lävistäjät ovat yhtä suuret.

b) Laske pyramidin tilavuus CABN.

Ratkaisu.

a) Jätetään poikkileikkauksen muodostamiseen kohtisuorat pois OLEN. Ja BN sylinterin toiseen pohjaan. Segmentit OLEN. Ja BN yhdensuuntainen ja tasa-arvoinen, mikä tarkoittaa ABNM-suunnikas. Suorasta lähtien OLEN. Ja BN kohtisuorassa sylinterin jalkoja ja erityisesti suoraa linjaa vastaan AB, suuntaviiva ABNM on suorakulmio. Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä suuret, mikä on todistettava.

b) Suorakulmion pinta-ala ABNM yhtä suuri kuin Segmentti VAI NIIN yhtä suuri kuin korkeus CH pyramidit CABN on yhtä suuri kuin Siksi pyramidin tilavuus CABN on yhtä suuri

Vastaus: b)

Tavallisessa kolmioprismassa ABCA 1 B 1 C 1 kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 6. Reunoilla A.A. 1 ja CC 1 piste merkitty M Ja N vastaavasti ja OLEN. = 2, CN = 1.

a) Todista, että kone MNB 1 jakaa prisman kahdeksi polyhedraksi, joiden tilavuudet ovat yhtä suuret.

b) Laske tetraedrin tilavuus MNBB 1 .

Ratkaisu.

Prisman pohjan pinta-ala on yhtä suuri ja prisman tilavuus on yhtä suuri

Nelikulmaisessa pyramidissa B 1 A 1 C 1 N.M. A 1 B 1 C 1, laskettu sivulle A 1 C 1 ja yhtä suuri kuin Base A 1 C 1 N.M. pyramidit B 1 A 1 C 1 N.M. on puolisuunnikkaan pinta-ala 27. Tämä tarkoittaa, että pyramidin tilavuus on B 1 A 1 C 1 N.M. yhtä suuri, eli puolet prisman tilavuudesta. Siksi polyhedrien tilavuudet B 1 A 1 C 1 N.M. Ja ABCMB 1 N ovat tasa-arvoisia.

b) Nelikulmaisessa pyramidissa BACNM korkeus on sama kuin prisman pohjan korkeus ABC, laskettu sivulle A.C., ja yhtä suuri kuin pyramidin kanta BACNM on puolisuunnikkaan, jonka pinta-ala on 9. Pyramidin tilavuus BACNM on yhtä suuri

Polyhedron ABCMB 1 N koostuu kahdesta osasta: BACNM Ja MNBB 1 . Tämä tarkoittaa, että tetraedrin tilavuus on MNBB 1 on yhtä suuri

Vastaus:

Lähde: Tasks 14 (C2) Unified State Exam 2016, Unified State Exam - 2016. Early wave. Vaihtoehto 201. Etelä

Aleksanteri Ivanov

Korkeus säännöllisessä kolmiossa, jonka sivu on 6

Siinä on säännöllinen kolmioprisma ABCA 1 B 1 C 1 pohjasivulla 12 ja korkeudella 3. Piste K-keskellä B.C., piste L makaa kyljellä A 1 B 1 niin että SISÄÄN 1 L= 5. Piste M-keskellä A 1 C 1 .

Pisteiden läpi K Ja L taso piirretään siten, että se on yhdensuuntainen suoran kanssa A.C..

a) Todista, että yllä oleva taso on kohtisuorassa suoraa vastaan M.B..

b) Etsi pyramidin tilavuus, jonka kärki on pisteessä SISÄÄN ja jonka kanta on prisman tason leikkaus.

Ratkaisu.

a) Merkitse pisteet ja reunoihin ja vastaavasti siten, että Silloin taso on taso

Ilmeisesti, koska projektio tasoon on kolmion korkeus, se on kohtisuora, ja siksi kolmen kohtisuoran lauseen mukaan

Tarkastellaan nyt pisteen projektiota tasolle. Koska projektio tälle tasolle on reunan keskipiste, todistamme nyt, että suora on kohtisuora. Sitten kolmen kohtisuoran lauseella käy ilmi, että , ja sitten

Olkaamme merkitsee leikkauspisteen segmenttien ja , By ja projektioiden pisteitä ja päälle suora Sitten

Joten näiden kulmien tangentit ovat käänteisiä toisiinsa nähden, joten kulmien summa on 90° ja kulma = 180° - 90° = 90°, mikä oli todistettava.

b) Ilmeisesti, koska se on tasasivuinen kolmio.

Vastaus:

Lähde: Unified State Examination - 2016. Pääaalto 06.06.2016. Keskusta

Kuution diagonaali pituus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on yhtä suuri kuin 3. Säteellä A 1 C piste merkitty P Niin A 1 P = 4.

a) Todista se PBDC 1 - säännöllinen tetraedri.

b) Laske janan pituus AP.

Ratkaisu.

a) Esitetään kuvan mukainen koordinaattijärjestelmä. Koska kuution juuressa oleva reuna on pienempi kuin sen diagonaali, tietyn kuution reuna on yhtä suuri kuin Sitten pisteet B, D, C 1 on vastaavasti koordinaatit.

Koska P on jatkossa A 1 C, Jana A 1 P voidaan pitää kuution diagonaalina, jossa on reuna. Sitten piste P on koordinaatit

Etsitään etäisyys P pisteisiin D 1 , B Ja C 1:

Segmentit C 1 B, D.B. Ja DC 1 - kuution pintojen diagonaalit, siis Pythagoraan lauseen mukaan. Sitten kaikki tetraedrin reunat DBC 1 P ovat tasa-arvoisia, joten se on oikein.

b) Pistekoordinaatit A: Etäisyys pisteestä P asiaan A on yhtä suuri

Vastaus:

Annetaan toinen ratkaisu.

a) Kuution diagonaali on suurempi kuin sen reuna: Siksi

Huomaa, että neliöiden diagonaalit sivuilla AB. Sitten kolmio B.C. 1 D- oikea.

Anna Koska ABCD- meillä on neliö:

Koska sekä poikittain että pystysuunnassa makaa, saamme: kahdessa kulmassa

Huomaa, että kolmio on suorakulmainen, missä sitten on

Kolmiossa OMC meillä on: koska - totta. Sitten lauseella käännä Pythagoraan lause, Δ OMC− suorakaiteen muotoinen, ∠ M= 90°.