2 missä määrin 128. Eksponentti, säännöt, esimerkit. Luvun nostaminen luonnolliseksi voimaksi

Tehotaulukko 2 (kaksi) 0-32

Alla oleva taulukko näyttää kahden potenssien lisäksi suurimmat luvut, jotka tietokone voi tallentaa tietylle bittimäärälle. Lisäksi sekä kokonaisluvuille että etumerkeille.

Historiallisesti tietokoneet käyttivät binäärilukujärjestelmää ja vastaavasti tietojen tallennusta. Siten mikä tahansa luku voidaan esittää nollien ja ykkösten sarjana (informaatiobittejä). On olemassa useita tapoja esittää numeroita binäärisekvenssinä.

Tarkastellaan yksinkertaisinta niistä - tämä on positiivinen kokonaisluku. Mitä suurempi numero meidän on kirjoitettava, sitä pidemmän bittisarjan tarvitsemme.

Alla on luvun 2 tehotaulukko. Se antaa meille esityksen tarvittavasta määrästä bittejä, joita tarvitsemme numeroiden tallentamiseen.

Kuinka käyttää luvun kaksi tehotaulukko?

Ensimmäinen sarake on kahden teho, joka tarkoittaa samanaikaisesti numeroa edustavien bittien määrää.

Toinen sarake - arvo kahdet sopivaan potenssiin (n).

Esimerkki 2:n tehon löytämisestä. Löydämme numeron 7 ensimmäisestä sarakkeesta. Katsomme oikealla olevaa viivaa ja löydämme arvon kahdesta seitsemänteen potenssiin(2 7) on 128

Kolmas sarake - enimmäismäärä, joka voidaan esittää käyttämällä tiettyä bittimäärää(ensimmäisessä sarakkeessa).

Esimerkki suurimman etumerkittömän kokonaisluvun määrittämisestä. Käyttämällä edellisen esimerkin tietoja tiedämme, että 2 7 = 128. Tämä on totta, jos haluamme ymmärtää mitä numeroiden määrä, voidaan esittää seitsemällä bitillä. Mutta siitä lähtien ensimmäinen numero on nolla, niin suurin luku, joka voidaan esittää seitsemällä bitillä, on 128 - 1 = 127. Tämä on kolmannen sarakkeen arvo.

Kahden (n) teho	Kahden arvon teho 2n	Enimmäismerkitön numero kirjoitettu n bitillä	Suurin allekirjoitettu määrä kirjoitettu n bitillä
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

On otettava huomioon, että kaikkia tietokoneen numeroita ei esitetä tällä tavalla. Datan esittämiseen on muitakin tapoja. Jos esimerkiksi haluamme tallentaa paitsi positiivisia myös negatiivisia lukuja, tarvitsemme toisen bitin plus/miinus-arvon tallentamiseen. Näin ollen numeroiden tallentamiseen tarkoitettujen bittien määrä on vähentynyt yhdellä. Mikä on suurin luku, joka voidaan kirjoittaa etumerkillisenä kokonaislukuna? voidaan katsoa sisään neljäs sarake.

Tähän samaan esimerkkiin(2 7) seitsemällä bitillä voidaan kirjoittaa maksimiluku +63, koska yhden bitin varaa plusmerkki. Mutta voimme myös tallentaa numeron "-63", mikä olisi mahdotonta, jos kaikki bitit olisi varattu numeron tallentamiseen.

Jatkamalla keskustelua luvun voimasta, on loogista selvittää, kuinka voiman arvo voidaan löytää. Tätä prosessia kutsutaan eksponentio. Tässä artikkelissa tutkimme, kuinka eksponentiointi suoritetaan, samalla kun käsittelemme kaikkia mahdollisia eksponenteja - luonnollisia, kokonaislukuja, rationaalisia ja irrationaalisia. Ja perinteen mukaan harkitsemme yksityiskohtaisesti ratkaisuja esimerkkeihin lukujen nostamisesta eri valtuuksiin.

Sivulla navigointi.

Mitä "exponsaatio" tarkoittaa?

Aloitetaan selittämällä, mitä kutsutaan eksponentioksi. Tässä on asiaankuuluva määritelmä.

Määritelmä.

Eksponentointi- tämä on luvun potenssin arvon löytäminen.

Siten luvun a potenssin arvon löytäminen eksponentin r kanssa ja luvun a nostaminen potenssiin r ovat sama asia. Jos tehtävänä on esimerkiksi "laske potenssin arvo (0,5) 5", se voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: "Nosta luku 0,5 potenssiin 5."

Nyt voit siirtyä suoraan sääntöihin, joilla eksponentiointi suoritetaan.

Luvun nostaminen luonnolliseksi voimaksi

Käytännössä tasa-arvoa sovelletaan yleensä muodossa . Toisin sanoen nostettaessa lukua a murto-osaan m/n otetaan ensin luvun a n:s juuri, jonka jälkeen saatu tulos nostetaan kokonaislukupotenssiin m.

Katsotaanpa ratkaisuja esimerkkeihin murto-osaan nostamisesta.

Esimerkki.

Laske tutkinnon arvo.

Ratkaisu.

Näytämme kaksi ratkaisua.

Ensimmäinen tapa. Asteen määritelmän mukaan murto-osollinen eksponentti. Laskemme asteen arvon juurimerkin alla ja poimimme sitten kuutiojuuren: .

Toinen tapa. Murto-eksponentin asteen määritelmän ja juurien ominaisuuksien perusteella seuraavat yhtälöt pitävät paikkansa: . Nyt puretaan juuri , lopuksi nostamme sen kokonaislukupotenssiin .

Ilmeisesti murto-osaan nostamisesta saadut tulokset osuvat yhteen.

Vastaus:

Huomaa, että murto-eksponentti voidaan kirjoittaa desimaalilukuna tai sekalukuna, näissä tapauksissa se tulee korvata vastaavalla tavallisella murtoluvulla ja nostaa sitten potenssiin.

Esimerkki.

Laske (44.89) 2.5.

Ratkaisu.

Kirjoita eksponentti tavallisen murtoluvun muodossa (katso tarvittaessa artikkeli): . Nyt suoritamme korotuksen murto-osaan:

Vastaus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

On myös sanottava, että lukujen nostaminen rationaalisiin potenssiin on melko työvoimavaltainen prosessi (varsinkin kun murto-eksponentin osoittaja ja nimittäjä sisältävät riittävän suuria lukuja), joka yleensä suoritetaan tietokonetekniikalla.

Tämän kohdan lopuksi pysähdytään luvun nollan nostamiseen murto-osaan. Annoimme muodon nollan murtovoimalle seuraavan merkityksen: kun meillä on , ja nollassa m/n tehoa ei ole määritelty. Joten nollasta murto-osaan positiivinen potenssi on nolla, esimerkiksi . Ja nolla murto-osa negatiivisessa potenssissa ei ole järkevää, esimerkiksi lausekkeet 0 -4,3 eivät ole järkeviä.

Nousu irrationaaliseen voimaan

Joskus on tarpeen selvittää luvun potenssin arvo irrationaalisella eksponentilla. Tässä tapauksessa käytännön syistä yleensä riittää, että saadaan tiettyyn etumerkkiin tarkan asteen arvo. Huomattakoon heti, että käytännössä tämä arvo lasketaan elektronisilla tietokoneilla, koska sen nostaminen irrationaaliseen tehoon manuaalisesti vaatii suuren määrän hankalia laskelmia. Mutta kuvaamme silti yleisesti toimien olemusta.

Jotta saadaan likimääräinen arvo luvun a potenssille irrationaalisella eksponentilla, otetaan eksponentin desimaaliapproksimaatio ja lasketaan potenssin arvo. Tämä arvo on luvun a potenssin likimääräinen arvo irrationaalisen eksponentin kanssa. Mitä tarkempi luvun desimaaliapproksimaatio otetaan aluksi, sitä tarkempi asteen arvo saadaan lopulta.

Lasketaan esimerkiksi potenssin 2 likimääräinen arvo 1,174367... . Otetaan seuraava irrationaalisen eksponentin desimaaliapproksimaatio: . Nyt nostetaan 2 rationaaliseen potenssiin 1,17 (kuvasimme tämän prosessin olemuksen edellisessä kappaleessa), saamme 2 1,17 ≈2,250116. Täten, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jos otamme esimerkiksi irrationaalisen eksponentin tarkemman desimaaliarvion, saadaan alkuperäisen eksponentin tarkempi arvo: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikan oppikirja 5. luokalle. koulutusinstituutiot.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 7. luokalle. koulutusinstituutiot.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8. luokalle. koulutusinstituutiot.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 9. luokalle. koulutusinstituutiot.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleiskoulujen luokille 10-11.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin tuleville).

Taulukko lukujen potenssit 1-10. Online potenssit laskin. Interaktiivinen taulukko ja korkealaatuiset kuvat astetaulukosta.

Tutkintolaskuri

Määrä

Tutkinto

Laskea Asia selvä

\begin(tasaa) \end(tasaa)

Tällä laskimella voit laskea minkä tahansa luonnollisen luvun tehon verkossa. Syötä numero, aste ja napsauta "laske" -painiketta.

Astetaulukko 1-10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1n	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4n	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5n	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6n	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7n	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8n	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9n	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10n	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

Astetaulukko 1-10

1 1 = 1

1 2 = 1

1 3 = 1

1 4 = 1

1 5 = 1

1 6 = 1

1 7 = 1

1 8 = 1

1 9 = 1

1 10 = 1

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256

2 9 = 512

2 10 = 1024

3 1 = 3

3 2 = 9

3 3 = 27

3 4 = 81

3 5 = 243

3 6 = 729

3 7 = 2187

3 8 = 6561

3 9 = 19683

3 10 = 59049

4 1 = 4

4 2 = 16

4 3 = 64

4 4 = 256

4 5 = 1024

4 6 = 4096

4 7 = 16384

4 8 = 65536

4 9 = 262144

4 10 = 1048576

5 1 = 5

5 2 = 25

5 3 = 125

5 4 = 625

5 5 = 3125

5 6 = 15625

5 7 = 78125

5 8 = 390625

5 9 = 1953125

5 10 = 9765625

6 1 = 6

6 2 = 36

6 3 = 216

6 4 = 1296

6 5 = 7776

6 6 = 46656

6 7 = 279936

6 8 = 1679616

6 9 = 10077696

6 10 = 60466176

7 1 = 7

7 2 = 49

7 3 = 343

7 4 = 2401

7 5 = 16807

7 6 = 117649

7 7 = 823543

7 8 = 5764801

7 9 = 40353607

7 10 = 282475249

8 1 = 8

8 2 = 64

8 3 = 512

8 4 = 4096

8 5 = 32768

8 6 = 262144

8 7 = 2097152

8 8 = 16777216

8 9 = 134217728

8 10 = 1073741824

9 1 = 9

9 2 = 81

9 3 = 729

9 4 = 6561

9 5 = 59049

9 6 = 531441

9 7 = 4782969

9 8 = 43046721

9 9 = 387420489

9 10 = 3486784401

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

10 5 = 100000

10 6 = 1000000

10 7 = 10000000

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Teoria

aste on lyhennetty muoto operaatiosta, jossa luku kerrotaan toistuvasti itsellään. Itse numeroa tässä tapauksessa kutsutaan - tutkinnon perusteella, ja kertolaskujen lukumäärä on eksponentti.

a n = a×a ... ×a

merkinnässä lukee: "a" sanan "n" potenssiin.

"a" on tutkinnon perusta

"n" - eksponentti

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Tämä lauseke kuuluu: 4 luvun 6 potenssiin tai luvun neljä kuudenteen potenssiin tai nosta numero neljä kuudenteen potenssiin.

Lataa astetaulukko

Klikkaa kuvaa nähdäksesi sen suurempana.
Napsauta "lataa" tallentaaksesi kuvan tietokoneellesi. Kuvasta tulee korkearesoluutioinen ja hyvälaatuinen.

Luonnollisten lukujen potenssien arvotaulukoita on monia. Kaikkia ei ole mahdollista luetella. Tässä annamme esimerkkejä joistakin tällaisista taulukoista ja ongelmista arvojen löytämiseksi sellaisista taulukoista.

Taulukko ensimmäisten luonnollisten lukujen tehoista

Esitetään ensin taulukko luonnollisten lukujen potenssien löytämiseksi välillä $2$ - $12$ potenssien välillä $1$ - $10$ (taulukko 1). Huomaa, että emme anna luvun $1$ potenssia, koska yksi mille tahansa potenssille on yhtä suuri kuin itsensä.

Arvot on löydettävä tästä taulukosta seuraavasti: Ensimmäisestä sarakkeesta löydämme numeron, jonka tutkinto kiinnostaa meitä. Muista tämän rivin numero. Sitten ensimmäisessä termissä löydämme eksponentin ja muistamme löydetyn sarakkeen. Löydetyn rivin ja sarakkeen leikkauspiste antaa meille vastauksen.

Esimerkki 1

Etsi $8^7$

Löydämme luvun $8$ ensimmäisestä sarakkeesta: saamme 8. rivin.

Näemme, että heidän risteyksessään on numero $2097152$. Siten

Luonnollisten lukujen potenssitaulukot 1 dollarista 100 dollariin

Astetaulukot 1 $ - 100 $ ovat myös melko suosittuja. Niitä kaikkia on mahdotonta luetella, joten annamme tässä esimerkkinä sellaiset taulukot tällaisten luonnollisten lukujen neliöille ja kuutioille (taulukko 2 ja taulukko 3).

Nämä taulukot muistuttavat hyvin tunnettuja kertotauluja, joten uskomme, että lukijalla ei ole vaikeuksia käyttää näitä taulukoita.

Esimerkki 2

a) Löydämme tämän arvon $2$-taulukosta $8$-taulukosta:

b) Tämä arvo löytyy $3$-taulukosta:

Taulukko luonnollisten lukujen neliöistä 10 dollarista 99 dollariin

Toinen suosittu taulukko on taulukko, jossa on lukujen neliöt välillä $10–99$ (taulukko 4), eli kaikki desimaaliluvut.

Arvot on löydettävä tästä taulukosta seuraavasti: Ensimmäisestä sarakkeesta löydämme meitä kiinnostavan luvun kymmenien lukumäärän. Muista tämän rivin numero. Sitten ensimmäisellä termillä löydämme kiinnostavan numeron yksiköiden lukumäärän ja muistamme löydetyn sarakkeen. Löydetyn rivin ja sarakkeen leikkauspiste antaa meille vastauksen.

Esimerkki 3

Etsi $37^2$

Löydämme luvun $3$ ensimmäisestä sarakkeesta: saamme 4. rivin.

Löydämme luvun $7$ ensimmäiseltä riviltä: saamme 8. sarakkeen.

Näemme, että heidän risteyksessään on numero $1369$. Siten

On aika tehdä vähän matematiikkaa. Muistatko vielä kuinka paljon se on, jos kaksi kerrotaan kahdella?

Jos joku on unohtanut, niitä tulee neljä. Näyttää siltä, että kaikki muistavat ja tietävät kertotaulukon, mutta löysin valtavan määrän pyyntöjä Yandexille, kuten "kertotaulukko" tai jopa "lataa kertotaulukko"(!). Julkaisen kaikki nämä taulukot tälle käyttäjäryhmälle, samoin kuin edistyneemmille, jotka ovat jo kiinnostuneita neliöistä ja tehoista. Voit jopa ladata terveytesi vuoksi! Niin:

Kertotaulu

(kokonaisluvut 1-20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Neliöiden taulukko

(kokonaisluvut 1-100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

Astetaulukko

(kokonaisluvut 1-10)

1 valtaan:

2 valtaan:

3 valtaan:

4 valtaan:

5 valtaan:

6 valtaan:

7 valtaan:

7 10 = 282475249

8 valtaan:

8 10 = 1073741824

9 valtaan:

9 10 = 3486784401

10 valtaan:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400