Täydellinen differentioituvan funktion tutkimus ja kuvaaja. Funktiotutkimus ja graafinen suunnittelu

Suorita täydellinen tutkimus ja piirrä funktio kaaviosta

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Toiminnon laajuus. Koska funktio on murto-osa, meidän on löydettävä nimittäjän nollat.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Jätämme ainoan pisteen x=1x=1 pois funktion määritelmäalueesta ja saamme:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Tutkitaan funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteen läheisyydessä. Etsitään yksipuoliset rajat:

Koska rajat ovat yhtä suuria kuin ääretön, piste x=1x=1 on toisen tyyppinen epäjatkuvuus, suora x=1x=1 on pystysuora asymptootti.

3) Määritetään funktiokuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

Etsitään leikkauspisteet ordinaattisen akselin OyOy kanssa, jolle yhtälömme x=0x=0:

Siten OyOy-akselin leikkauspisteellä on koordinaatit (0;8)(0;8).

Etsitään abskissa-akselin OxOx leikkauspisteet, joille asetetaan y=0y=0:

Yhtälöllä ei ole juuria, joten siinä ei ole leikkauspisteitä OxOx-akselin kanssa.

Huomaa, että x2+8>0x2+8>0 mille tahansa xx:lle. Siksi x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funktio y>0y>0 (ottaa positiiviset arvot, kuvaaja on x-akselin yläpuolella), x∈(1;+∞) )x∈(1; +∞) funktio y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktio ei ole parillinen eikä pariton, koska:

5) Tarkastellaan funktiota jaksollisuudelle. Funktio ei ole jaksollinen, koska se on murto-osainen rationaalinen funktio.

6) Tarkastellaan äärimmäisyyden ja monotonisuuden funktiota. Tätä varten löydämme funktion ensimmäisen derivaatan:

Yhdistätään ensimmäinen derivaatta nollaan ja etsitään stationaariset pisteet (joissa y′=0y′=0):

Saimme kolme kriittistä pistettä: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Jaetaan funktion koko määrittelyalue intervalleiksi näillä pisteillä ja määritetään derivaatan etumerkit jokaisessa välissä:

Kohdalle x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivaatta y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Kun x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaatta y′>0y′>0, funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Tässä tapauksessa x=−2x=−2 on paikallinen minimipiste (funktio pienenee ja sitten kasvaa), x=4x=4 on paikallinen maksimipiste (funktio kasvaa ja sitten pienenee).

Etsitään funktion arvot näistä kohdista:

Minimipiste on siis (−2;4)(−2;4), maksimipiste (4;−8)(4;−8).

7) Tarkastellaan funktiota mutkille ja kuperuudelle. Etsitään funktion toinen derivaatta:

Yhdistäkäämme toinen derivaatta nollaan:

Tuloksena olevalla yhtälöllä ei ole juuria, joten siinä ei ole käännepisteitä. Lisäksi kun x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 täyttyy, eli funktio on kovera, kun x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) täyttyy y′′:lla<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Tarkastellaan funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, eli kohdassa .

Koska rajat ovat äärettömät, ei ole horisontaalisia asymptootteja.

Yritetään määrittää vinot asymptootit muodossa y=kx+by=kx+b. Laskemme k,bk,b:n arvot tunnetuilla kaavoilla:

Huomasimme, että funktiolla on yksi vino asymptootti y=−x−1y=−x−1.

9) Lisäpisteitä. Lasketaan funktion arvo joissakin muissa pisteissä graafin muodostamiseksi tarkemmin.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) Saatujen tietojen perusteella laadimme graafin, täydennämme sitä asymptooteilla x=1x=1 (sininen), y=−x−1y=−x−1 (vihreä) ja merkitsemme tunnuspisteet (violetti ordinaatin leikkauspiste akseli, oranssi ääripää, mustat lisäpisteet):

Tehtävä 4: Geometriset, taloudelliset ongelmat (en tiedä mitä, tässä on likimääräinen valikoima ongelmia ratkaisuineen ja kaavoineen)

Esimerkki 3.23. a

Ratkaisu. x Ja y y
y = a - 2xa/4 =a/2. Koska x = a/4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan, muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen läpi kulkiessaan. xa/4 S " > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esimerkki 3.24.

Ratkaisu.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Esimerkki 3.22. Etsi funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ääripää.

Ratkaisu. Koska f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2) (x - 3), niin funktion kriittiset pisteet x 1 = 2 ja x 2 = 3. Extrema voi olla vain Eli kun pisteen x 1 = 2 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkinsä plussasta miinukseen, niin tässä pisteessä funktiolla on maksimi.Pisteen x 2 = 3 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiään miinuksesta plus, joten pisteessä x 2 = 3 funktiolla on minimi. Laskettuaan funktion arvot pisteistä
x 1 = 2 ja x 2 = 3, löydämme funktion ääripäät: maksimi f(2) = 14 ja minimi f(3) = 13.

Esimerkki 3.23. Kivimuurien lähelle on tarpeen rakentaa suorakaiteen muotoinen alue niin, että se on aidattu kolmelta sivulta metalliverkolla ja neljäs sivu on seinän vieressä. Tätä varten on a lineaarimetriä verkkoa. Millä kuvasuhteella sivustolla on suurin pinta-ala?

Ratkaisu. Merkitään tasanteen sivuja x Ja y. Kohteen pinta-ala on S = xy. Antaa y- tämä on seinän vieressä olevan sivun pituus. Sitten ehdon mukaan yhtälön 2x + y = a on oltava voimassa. Siksi y = a - 2x ja S = x(a - 2x), missä
0 ≤ x ≤ a/2 (tyynyn pituus ja leveys eivät voi olla negatiivisia). S" = a - 4x, a - 4x = 0 kohdassa x = a/4, mistä
y = a - 2xa/4 =a/2. Koska x = a/4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan, muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen läpi kulkiessaan. xa/4 S " > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esimerkki 3.24. Vaaditaan suljettu sylinterimäinen säiliö, jonka tilavuus on V=16p ≈ 50 m 3 . Mitkä pitäisi olla säiliön mitat (säde R ja korkeus H), jotta sen valmistukseen kuluisi mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu. Sylinterin kokonaispinta-ala on S = 2pR(R+H). Tiedämme sylinterin tilavuuden V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Tämä tarkoittaa, että S(R) = 2p(R2 +16/R). Löydämme tämän funktion johdannaisen:
S "(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R 2). S "(R) = 0, jos R3 = 8, joten
R = 2, H = 16/4 = 4.

Liittyviä tietoja.

Yksi differentiaalilaskennan tärkeimmistä tehtävistä on yleisten esimerkkien kehittäminen funktioiden käyttäytymisen tutkimiseen.

Jos funktio y=f(x) on jatkuva välillä , ja sen derivaatta on positiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a,b), niin y=f(x) kasvaa (f"(x)0) Jos funktio y=f (x) on jatkuva janalla ja sen derivaatta on negatiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a,b), niin y=f(x) pienenee (f"(x)0 )

Intervalleja, joissa funktio ei pienene tai kasva, kutsutaan funktion monotonisuuden intervalleiksi. Funktion monotonisuus voi muuttua vain niissä määrittelyalueen kohdissa, joissa ensimmäisen derivaatan etumerkki muuttuu. Pisteitä, joissa funktion ensimmäinen derivaatta katoaa tai jossa on epäjatkuvuus, kutsutaan kriittisiksi.

Lause 1 (1. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoon funktio y=f(x) määritelty pisteessä x 0 ja olkoon naapuruus δ>0 siten, että funktio on jatkuva välillä ja differentioituva välillä (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , ja sen derivaatta säilyttää vakiomerkin jokaisella näistä intervalleista. Sitten jos kohdilla x 0 -δ,x 0) ja (x 0 , x 0 +δ) derivaatan etumerkit ovat erilaiset, niin x 0 on ääripiste, ja jos ne ovat samat, niin x 0 ei ole ääripiste . Lisäksi, jos pisteen x0 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin (x 0:n vasemmalla puolella f"(x)>0 täyttyy, niin x 0 on maksimipiste; jos derivaatta muuttaa etumerkkiä miinus plussaan (x 0:n oikealla puolella suoritettu f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi ja funktion maksimi- ja minimipisteitä sen ääriarvoiksi.

Lause 2 (paikallisen ääripään välttämätön merkki).

Jos funktiolla y=f(x) on äärisumma nykyisessä x=x 0, niin joko f’(x 0)=0 tai f’(x 0) ei ole olemassa.
Differentioituvan funktion ääripisteissä sen graafin tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa.

Algoritmi funktion tutkimiseksi ääripäälle:

1) Etsi funktion derivaatta.
2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteet, joissa funktio on jatkuva ja derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.
3) Tarkastellaan kunkin pisteen lähialuetta ja tutkitaan derivaatan etumerkkiä tämän pisteen vasemmalla ja oikealla puolella.
4) Määritä ääripisteiden koordinaatit; korvaa tätä varten kriittisten pisteiden arvot tähän funktioon. Tee tarvittavat johtopäätökset käyttämällä riittäviä ehtoja ääripäälle.

Esimerkki 18. Tutki funktiota y=x 3 -9x 2 +24x ääripäälle

Ratkaisu.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Kun derivaatta lasketaan nollaan, saadaan x 1 =2, x 2 =4. Tässä tapauksessa johdannainen määritellään kaikkialla; Tämä tarkoittaa, että kahta löydettyä pistettä lukuun ottamatta ei ole muita kriittisiä pisteitä.
3) Derivaatan etumerkki y"=3(x-2)(x-4) muuttuu intervallin mukaan kuvan 1 mukaisesti. Kun kuljetaan pisteen x=2 läpi, derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, ja kun kuljetaan pisteen x=4 läpi - miinuksesta plussaan.
4) Pisteessä x=2 funktiolla on maksimi y max =20 ja pisteessä x=4 - minimi y min =16.

Lause 3. (2. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoon f"(x 0) ja pisteessä x 0 on olemassa f""(x 0). Sitten jos f""(x 0)>0, niin x 0 on minimipiste, ja jos f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Janalla funktio y=f(x) voi saavuttaa pienimmän (y pienin) tai suurimman (y suurin) arvon joko välissä (a;b) olevan funktion kriittisissä pisteissä tai segmentin päät.

Algoritmi jatkuvan funktion y=f(x) suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi segmentiltä:

1) Etsi f"(x).
2) Etsi pisteet, joissa f"(x)=0 tai f"(x) ei ole olemassa, ja valitse niistä ne, jotka sijaitsevat janan sisällä.
3) Laske funktion y=f(x) arvo vaiheessa 2) saaduissa pisteissä sekä janan päissä ja valitse niistä suurin ja pienin: ne ovat vastaavasti suurimmat (y funktion suurin) ja pienin (y pienin) arvot välissä.

Esimerkki 19. Etsi janan jatkuvan funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 suurin arvo.

1) Meillä on segmentissä y"=3x 2 -6x-45
2) Derivaata y" on olemassa kaikille x:ille. Etsitään pisteet, joissa y"=0; saamme:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 = -3; x 2 =5
3) Laske funktion arvo pisteissä x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Jana sisältää vain pisteen x=5. Suurin funktion löydetyistä arvoista on 225 ja pienin luku 50. Eli y max = 225, y min = 50.

Konveksiteettifunktion tutkimus

Kuvassa on kaavioita kahdesta funktiosta. Ensimmäinen niistä on kupera ylöspäin, toinen on kupera alaspäin.

Funktio y=f(x) on jatkuva välissä ja differentioituva välissä (a;b), sitä kutsutaan kuperaksi ylöspäin (alaspäin) tällä välillä, jos axb:n kaavio ei ole korkeampi (ei pienempi) kuin tangentti piirretty mihin tahansa pisteeseen M 0 (x 0 ;f(x 0)), missä axb.

Lause 4. Olkoon funktiolla y=f(x) toinen derivaatta missä tahansa janan sisäpisteessä x ja se on jatkuva tämän janan päissä. Sitten jos epäyhtälö f""(x)0 pätee välillä (a;b), niin funktio on kupera alaspäin välissä ; jos epäyhtälö f""(x)0 pätee välillä (a;b), niin funktio on kupera ylöspäin .

Lause 5. Jos funktiolla y=f(x) on toinen derivaatta välillä (a;b) ja jos se muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteen x 0 läpi, niin M(x 0 ;f(x 0)) on käännekohta.

Sääntö käännepisteiden löytämiseksi:

1) Etsi pisteet, joissa f""(x) ei ole olemassa tai katoaa.
2) Tarkastele merkkiä f""(x) vasemmalla ja oikealla puolella jokaisesta ensimmäisessä vaiheessa löydetystä pisteestä.
3) Tee johtopäätös lauseen 4 perusteella.

Esimerkki 20. Etsi funktion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 kaavion ääripisteet ja käännepisteet.

Meillä on f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ilmeisesti f"(x)=0, kun x 1 =0, x 2 =1. Pisteen x=0 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussiksi, mutta pisteen x=1 läpi kulkiessaan se ei muuta etumerkkiä. Tämä tarkoittaa, että x=0 on minimipiste (y min =12), eikä pisteessä x=1 ole ääriarvoa. Seuraavaksi löydämme . Toinen derivaatta häviää pisteistä x 1 =1, x 2 =1/3. Toisen derivaatan merkit muuttuvat seuraavasti: Säteellä (-∞;) meillä on f""(x)>0, välillä (;1) meillä on f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Siksi x= on funktiokuvaajan käännepiste (siirtymä konveksuudesta alaspäin kuperuuteen ylöspäin) ja x=1 on myös käännepiste (siirtymä konveksuudesta ylöspäin kuperaan alaspäin). Jos x=, niin y=; jos, niin x=1, y=13.

Algoritmi graafin asymptootin löytämiseksi

I. Jos y=f(x) x → a, niin x=a on pystysuora asymptootti.
II. Jos y=f(x) x → ∞ tai x → -∞, niin y=A on vaaka-asymptootti.
III. Vinon asymptootin löytämiseksi käytämme seuraavaa algoritmia:
1) Laske. Jos raja on olemassa ja se on yhtä suuri kuin b, niin y=b on vaakasuuntainen asymptootti; jos , siirry toiseen vaiheeseen.
2) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä kuin k, siirry kolmanteen vaiheeseen.
3) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä suuri kuin b, siirry neljänteen vaiheeseen.
4) Kirjoita vinon asymptootin y=kx+b yhtälö.

Esimerkki 21: Etsi funktion asymptootti

1)
2)
3)
4) Vinon asymptootin yhtälöllä on muoto

Kaavio funktion tutkimiseksi ja sen graafin muodostamiseksi

I. Etsi funktion määritelmäalue.
II. Etsi funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.
III. Etsi asymptootteja.
IV. Etsi mahdolliset ääripisteet.
V. Etsi kriittiset kohdat.
VI. Tutki ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä apukuvan avulla. Määritä kasvavan ja pienenevän funktion alueet, löydä graafin kuperuuden suunta, ääripisteet ja käännepisteet.
VII. Muodosta kaavio ottaen huomioon kohdissa 1-6 tehty tutkimus.

Esimerkki 22: Muodosta funktion kuvaaja yllä olevan kaavion mukaisesti

Ratkaisu.
I. Funktioalue on kaikkien reaalilukujen joukko paitsi x=1.
II. Koska yhtälöllä x 2 +1=0 ei ole todellisia juuria, funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä Ox-akselin kanssa, vaan se leikkaa Oy-akselin pisteessä (0;-1).
III. Selvennetään kysymys asymptoottien olemassaolosta. Tutkitaan funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteen lähellä x=1. Koska y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, niin suora x=1 on funktion kuvaajan pystyasymptootti.
Jos x → +∞(x → -∞), niin y → +∞(y → -∞); siksi kuvaajalla ei ole vaakasuuntaista asymptoottia. Lisäksi rajojen olemassaolosta

Ratkaisemalla yhtälön x 2 -2x-1=0 saadaan kaksi mahdollista ääripistettä:
x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2

V. Kriittisten pisteiden löytämiseksi laskemme toisen derivaatan:

Koska f""(x) ei katoa, kriittisiä pisteitä ei ole.
VI. Tarkastellaan ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä. Mahdollisia huomioitavia ääripisteitä: x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2, jaa funktion olemassaoloalue intervalleiksi (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) ja (1+√2;+∞).

Jokaisella näistä intervalleista johdannainen säilyttää merkkinsä: ensimmäisessä - plus, toisessa - miinus, kolmannessa - plus. Ensimmäisen derivaatan merkkijono kirjoitetaan seuraavasti: +,-,+.
Havaitsemme, että funktio kasvaa kohdassa (-∞;1-√2), pienenee kohdassa (1-√2;1+√2) ja kasvaa jälleen kohdassa (1+√2;+∞). Ääripisteet: maksimi kohdassa x=1-√2 ja f(1-√2)=2-2√2 minimi kohdassa x=1+√2 ja f(1+√2)=2+2√2. Kohdassa (-∞;1) kuvaaja on kupera ylöspäin ja kohdassa (1;+∞) se on kupera alaspäin.
VII Tehdään taulukko saaduista arvoista

VIII Muodostetaan saatujen tietojen perusteella luonnos funktion kuvaajasta

Vertailupisteitä tutkittaessa funktioita ja rakennettaessa niiden kuvaajia ovat tunnuspisteet - epäjatkuvuuspisteet, ääripäät, käänne, leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Differentiaalilaskennan avulla on mahdollista määrittää funktioiden muutosten ominaispiirteet: kasvu ja lasku, maksimit ja minimit, graafin kuperuuden ja koveruuden suunta, asymptoottien esiintyminen.

Asymptoottien ja ääripisteiden löytämisen jälkeen voidaan (ja pitää) piirtää funktion kuvaaja, ja funktion tutkimuksen yhteenvetotaulukkoa on kätevä täyttää tutkimuksen edetessä.

Yleensä käytetään seuraavaa funktiontutkimuskaaviota.

1.Etsi funktion määritelmäalue, jatkuvuusvälit ja katkeamispisteet.

2.Tarkista funktion tasaisuus tai parittomuus (kaavion aksiaalinen tai keskisymmetria).

3.Etsi asymptootteja (pysty, vaaka tai vino).

4.Etsi ja tutki funktion kasvu- ja laskuvälit, sen ääripisteet.

5.Etsi käyrän kuperuuden ja koveruuden välit, sen käännepisteet.

6.Etsi käyrän leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, jos sellaisia ​​on.

7.Tee tutkimuksesta yhteenvetotaulukko.

8.Kuvaaja muodostetaan ottaen huomioon edellä kuvattujen kohtien mukaisesti suoritettu funktion tutkimus.

Esimerkki. Tutustu toimintoon

ja rakentaa sen kaavio.

7. Tehdään funktion tutkimista varten yhteenvetotaulukko, johon syötetään kaikki ominaispisteet ja niiden väliset välit. Kun otetaan huomioon funktion pariteetti, saadaan seuraava taulukko:

Tänään kutsumme sinut tutkimaan ja rakentamaan funktion kaaviota kanssamme. Kun olet tutkinut tämän artikkelin huolellisesti, sinun ei tarvitse hikoilla kauan suorittaaksesi tämän tyyppisen tehtävän. Funktion kaavion tutkiminen ja rakentaminen ei ole helppoa, se on mittava työ, joka vaatii maksimaalista huomiota ja laskelmien tarkkuutta. Jotta materiaali olisi helpompi ymmärtää, tutkimme samaa toimintoa vaihe vaiheelta ja selitämme kaikki toimintamme ja laskelmamme. Tervetuloa matematiikan hämmästyttävään ja kiehtovaan maailmaan! Mennä!

Verkkotunnus

Jotta voit tutkia ja piirtää funktiota, sinun on tiedettävä useita määritelmiä. Funktio on yksi matematiikan tärkeimmistä (perus)käsitteistä. Se heijastaa useiden muuttujien (kahden, kolmen tai useamman) välistä riippuvuutta muutosten aikana. Funktio näyttää myös joukkojen riippuvuuden.

Kuvittele, että meillä on kaksi muuttujaa, joilla on tietty vaihteluväli. Joten y on x:n funktio edellyttäen, että jokainen toisen muuttujan arvo vastaa toisen muuttujan yhtä arvoa. Tässä tapauksessa muuttuja y on riippuvainen, ja sitä kutsutaan funktioksi. On tapana sanoa, että muuttujat x ja y ovat in. Tämän riippuvuuden selkeyttämiseksi funktiosta rakennetaan kuvaaja. Mikä on funktion kuvaaja? Tämä on joukko pisteitä koordinaattitasolla, jossa jokainen x-arvo vastaa yhtä y-arvoa. Kaaviot voivat olla erilaisia ​​- suora, hyperbola, paraabeli, siniaalto ja niin edelleen.

On mahdotonta piirtää funktiota ilman tutkimusta. Tänään opimme tekemään tutkimusta ja rakentamaan funktion kaavion. On erittäin tärkeää tehdä muistiinpanoja opiskelun aikana. Tämä tekee tehtävästä paljon helpompi selviytyä. Kätevin tutkimussuunnitelma:

1. Verkkotunnus.
2. Jatkuvuus.
3. Parillinen tai pariton.
4. Jaksoisuus.
5. Asymptootit.
6. Nollat.
7. Merkin pysyvyys.
8. Lisääntyy ja vähenee.
9. Äärimmäisyydet.
10. Kuperuus ja koveruus.

Aloitetaan ensimmäisestä kohdasta. Etsitään määritelmän alue, eli millä aikaväleillä funktiomme on olemassa: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Meidän tapauksessamme funktio on olemassa kaikille x:n arvoille, eli määritelmäalue on yhtä suuri kuin R. Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti xÎR.

Jatkuvuus

Nyt tarkastelemme epäjatkuvuusfunktiota. Matematiikassa termi "jatkuvuus" ilmestyi liikkeen lakien tutkimuksen tuloksena. Mikä on ääretön? Tila, aika, jotkin riippuvuudet (esimerkki on muuttujien S ja t riippuvuus liikeongelmissa), kuumennetun esineen lämpötila (vesi, paistinpannu, lämpömittari jne.), jatkuva viiva (eli sellainen, joka voidaan piirtää nostamatta sitä kynästä).

Graafia pidetään jatkuvana, jos se ei katkea jossain vaiheessa. Yksi selkeimmistä esimerkeistä tällaisesta kaaviosta on sinimuoto, jonka näet tämän osan kuvassa. Funktio on jatkuva jossain kohdassa x0, jos useat ehdot täyttyvät:

• funktio on määritelty tietyssä pisteessä;
• pisteen oikea ja vasen raja ovat yhtä suuret;
• raja on yhtä suuri kuin funktion arvo pisteessä x0.

Jos vähintään yksi ehto ei täyty, funktion sanotaan epäonnistuvan. Ja pisteitä, joissa funktio katkeaa, kutsutaan yleensä taukopisteiksi. Esimerkki funktiosta, joka "katkoutuu" graafisesti esitettynä, on: y=(x+4)/(x-3). Lisäksi y:tä ei ole olemassa pisteessä x = 3 (koska nollalla jakaminen on mahdotonta).

Tutkimassamme funktiossa (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) kaikki osoittautui yksinkertaiseksi, koska graafista tulee jatkuva.

Parillinen, outo

Tutki nyt pariteetin funktiota. Ensin vähän teoriaa. Parillinen funktio on sellainen, joka täyttää ehdon f(-x)=f(x) mille tahansa muuttujan x arvolle (arvoalueelta). Esimerkkejä:

• moduuli x (kaavio näyttää daw:lta, kaavion ensimmäisen ja toisen neljänneksen puolittajalta);
• x neliö (paraabeli);
• kosini x (kosini).

Huomaa, että kaikki nämä kaaviot ovat symmetrisiä, kun niitä tarkastellaan y-akselin (eli y-akselin) suhteen.

Mitä sitten kutsutaan parittomaksi funktioksi? Nämä ovat ne funktiot, jotka täyttävät ehdon: f(-x)=-f(x) mille tahansa muuttujan x arvolle. Esimerkkejä:

• hyperbeli;
• kuutioinen paraabeli;
• sinusoidi;
• tangentti ja niin edelleen.

Huomaa, että nämä funktiot ovat symmetrisiä pisteen (0:0), eli origon suhteen. Tämän artikkelin osan perusteella parillisella ja paritolla funktiolla tulee olla ominaisuus: x kuuluu määritelmäjoukkoon ja myös -x.

Tarkastellaan pariteetin funktiota. Näemme, että hän ei sovi yhteenkään kuvauksesta. Siksi funktiomme ei ole parillinen eikä pariton.

Asymptootit

Aloitetaan määritelmästä. Asymptootti on käyrä, joka on mahdollisimman lähellä kuvaajaa, eli etäisyys tietystä pisteestä pyrkii nollaan. Kaikkiaan asymptootteja on kolme tyyppiä:

• pystysuora, eli yhdensuuntainen y-akselin kanssa;
• vaakasuora, eli yhdensuuntainen x-akselin kanssa;
• taipuvainen.

Mitä tulee ensimmäiseen tyyppiin, näitä rivejä tulisi etsiä joistakin kohdista:

• aukko;
• määritelmäalueen päät.

Tässä tapauksessa funktio on jatkuva, ja määritelmäalue on yhtä suuri kuin R. Näin ollen vertikaalisia asymptootteja ei ole.

Funktion kuvaajalla on vaaka-asymptootti, joka täyttää seuraavan vaatimuksen: jos x pyrkii äärettömyyteen tai miinus äärettömyyteen ja raja on yhtä suuri kuin tietty luku (esim. a). Tässä tapauksessa y=a on vaakasuuntainen asymptootti. Tutkimuksessamme ei ole horisontaalisia asymptootteja.

Vino asymptootti on olemassa vain, jos kaksi ehtoa täyttyy:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Sitten se voidaan löytää kaavalla: y=kx+b. Jälleen, meidän tapauksessamme ei ole vinoja asymptootteja.

Toimintojen nollia

Seuraava vaihe on tutkia funktion kuvaajaa nollia varten. On myös erittäin tärkeää huomata, että funktion nollien löytämiseen liittyvä tehtävä ei esiinny vain funktion kuvaajaa tutkittaessa ja rakennettaessa, vaan myös itsenäisenä tehtävänä ja epäyhtälöiden ratkaisemisena. Saatat joutua etsimään funktion nollat ​​kaaviosta tai käyttämään matemaattista merkintää.

Näiden arvojen löytäminen auttaa sinua piirtämään funktion tarkemmin. Yksinkertaisesti sanottuna funktion nolla on muuttujan x arvo, jossa y = 0. Jos etsit funktion nollia kaaviosta, sinun tulee kiinnittää huomiota pisteisiin, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin.

Löytääksesi funktion nollat, sinun on ratkaistava seuraava yhtälö: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Tarvittavien laskelmien suorittamisen jälkeen saamme seuraavan vastauksen:

Merkin pysyvyys

Seuraava funktion (graafin) tutkimuksen ja rakentamisen vaihe on vakiomerkkisten intervallien etsiminen. Tämä tarkoittaa, että meidän on määritettävä, millä aikaväleillä funktio saa positiivisen arvon ja millä aikaväleillä se ottaa negatiivisen arvon. Viimeisessä osiossa löydetyt nollafunktiot auttavat meitä tässä. Joten meidän täytyy rakentaa suora (erillinen kaaviosta) ja jakaa funktion nollat ​​sitä pitkin oikeassa järjestyksessä pienimmästä suurimpaan. Nyt sinun on määritettävä, millä tuloksena olevista intervalleista on "+"-merkki ja missä "-".

Meidän tapauksessamme funktio saa positiivisen arvon aikaväleillä:

• 1 - 4;
• 9:stä äärettömään.

Negatiivinen merkitys:

• miinus äärettömästä 1;
• 4-9.

Tämä on melko helppo määrittää. Korvaa mikä tahansa luku väliltä funktioon ja katso, mikä merkki vastauksessa on (miinus tai plus).

Lisätään ja vähennetään toimintoja

Funktion tutkimiseksi ja rakentamiseksi on tiedettävä, missä kaavio kasvaa (nousee Oy-akselia pitkin) ja minne se putoaa (ryömi alas y-akselia pitkin).

Funktio kasvaa vain, jos muuttujan x suurempi arvo vastaa suurempaa y:n arvoa. Eli x2 on suurempi kuin x1 ja f(x2) on suurempi kuin f(x1). Ja havaitsemme täysin päinvastaisen ilmiön pienenevällä funktiolla (mitä enemmän x, sitä vähemmän y). Kasvu- ja laskuvälin määrittämiseksi sinun on löydettävä seuraavat tiedot:

• määritelmäalue (meillä on jo);
• johdannainen (tässä tapauksessa: 1/3(3x^2-28x+49);
• ratkaise yhtälö 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Laskelmien jälkeen saamme tuloksen:

Saamme: funktio kasvaa aikaväleillä miinus äärettömästä 7/3:aan ja 7:stä äärettömään ja pienenee välillä 7/3 arvoon 7.

Äärimmäisyydet

Tutkittava funktio y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) on jatkuva ja se on olemassa mille tahansa muuttujan x arvolle. Ääripiste näyttää tietyn funktion maksimin ja minimin. Meidän tapauksessamme niitä ei ole, mikä yksinkertaistaa huomattavasti rakennustehtävää. Muuten ne löytyvät myös derivaattafunktiolla. Kun ne on löydetty, älä unohda merkitä niitä kaavioon.

Kuperuus ja koveruus

Jatkamme funktion y(x) tutkimista. Nyt meidän on tarkistettava se kuperuuden ja koveruuden varalta. Näiden käsitteiden määritelmät ovat melko vaikeita ymmärtää, on parempi analysoida kaikkea esimerkkien avulla. Testiä varten: funktio on kupera, jos se on ei-laskeva funktio. Samaa mieltä, tämä on käsittämätöntä!

Meidän on löydettävä toisen asteen funktion derivaatta. Saamme: y=1/3(6x-28). Yhdistätään nyt oikea puoli nollaan ja ratkaistaan ​​yhtälö. Vastaus: x=14/3. Löysimme käännepisteen, eli paikan, jossa graafi muuttuu kuperasta koveraksi tai päinvastoin. Välillä miinus äärettömyydestä 14/3 funktio on kupera ja 14/3 plus äärettömään se on kovera. On myös erittäin tärkeää huomata, että kaavion käännepisteen tulee olla sileä ja pehmeä, eikä siinä saa olla teräviä kulmia.

Lisäpisteiden määrittely

Tehtävämme on tutkia ja rakentaa funktion kuvaaja. Olemme saaneet tutkimuksen päätökseen, funktion kaavion rakentaminen ei ole nyt vaikeaa. Käyrän tai suoran tarkempaa ja yksityiskohtaisempaa toistoa varten koordinaattitasolla löydät useita apupisteitä. Ne on melko helppo laskea. Esimerkiksi otamme x=3, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja löydämme y=4. Tai x=5 ja y=-5 ja niin edelleen. Voit ottaa niin monta lisäpistettä kuin tarvitset rakentamiseen. Niitä löytyy ainakin 3-5.

Kaavion piirtäminen

Meidän piti tutkia funktiota (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Kaikki tarvittavat merkit laskelmien aikana tehtiin koordinaattitasolle. Ainoa mitä on tehtävä, on rakentaa kaavio, eli yhdistää kaikki pisteet. Pisteiden yhdistämisen tulee olla sujuvaa ja tarkkaa, tämä on taitokysymys - vähän harjoittelua ja aikataulusi on täydellinen.