Matemaattiset olympialaiset ja olympialaisten tehtävät. Koululaisten koko venäläisen matematiikan olympiadin kouluvaiheen tehtävät Hyvä olympialaisten osallistuja

Osat: Matematiikka

Arvoisa olympialaisten osallistuja!

Koulujen matematiikan olympialaiset pidetään yhdellä kierroksella.
Tehtäviä on 5 eri vaikeustasolla.
Ei mitään erityisvaatimukset työn rekisteröinnin yhteydessä sinua ei esitetä. Ongelmien ratkaisujen esitysmuoto, samoin kuin ratkaisumenetelmät, voi olla mikä tahansa. Jos sinulla on yksittäisiä ajatuksia tietystä tehtävästä, mutta et voi suorittaa ratkaisua loppuun, älä epäröi ilmaista kaikkia ajatuksiasi. Myös osittain ratkaistut tehtävät saavat asianmukaisen määrän pisteitä.
Aloita ongelmien ratkaiseminen, jotka luulet olevan helpompia, ja siirry sitten muihin. Näin säästät työaikaa.

Toivotamme menestystä!

Koko Venäjän olympialaisten kouluvaihe matematiikan koululaisille

5. luokka.

Harjoitus 1. Korvaa lausekkeessa 1*2*3*4*5 "*" toimintamerkeillä ja sijoita sulut näin. Saadaksesi lausekkeen, jonka arvo on 100.

Tehtävä 2. On tarpeen purkaa aritmeettisen yhtälön merkintä, jossa numerot korvataan kirjaimilla ja eri numerot korvataan eri kirjaimilla, identtinen - identtinen.

VIISI - KOLME = KAKSI Tiedetään, että kirjeen sijaan A sinun on korvattava numero 2.

Tehtävä 3. Kuinka voit käyttää kuppivaakaa ilman painoja jakaaksesi 80 kg nauloja kahteen osaan - 15 kg ja 65 kg?

Tehtävä 4. Leikkaa kuvassa näkyvä kuvio kahteen yhtä suureen osaan niin, että jokaisessa osassa on yksi tähti. Voit leikata vain ruudukon viivoja pitkin.

Tehtävä 5. Kuppi ja lautanen yhdessä maksoivat 25 ruplaa ja 4 kuppia ja 3 lautasta 88 ruplaa. Selvitä kupin hinta ja lautasen hinta.

6. luokka.

Harjoitus 1. Vertaa murtolukuja vähentämättä niitä yhteiseksi nimittäjäksi.

Tehtävä 2. On selvitettävä aritmeettisen yhtälön merkintä, jossa numerot korvataan kirjaimilla ja eri numerot korvataan eri kirjaimilla ja identtiset korvataan identtisillä. Oletetaan, että alkuperäinen yhtälö on tosi ja kirjoitettu tavanomaisten aritmeettisten sääntöjen mukaan.

TEHDÄ TYÖTÄ
+TAHTO
ONNEA

Tehtävä 3. SISÄÄN kesäleiri Kolme ystävää tuli lepäämään: Misha, Volodya ja Petya. Tiedetään, että jokaisella heistä on yksi seuraavista sukunimistä: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Misha ei ole Gerasimov. Volodyan isä on insinööri. Volodya on kuudennella luokalla. Gerasimov opiskelee 5. luokalla. Ivanovin isä on opettaja. Mikä on jokaisen kolmen ystävän sukunimi?

Tehtävä 4. Jaa kuvio ruudukon viivoja pitkin neljään yhtä suureen osaan siten, että jokaisessa osassa on yksi piste.

Tehtävä 5. Hyppäävä sudenkorento nukkui puolet punaisen kesän jokaisesta päivästä, tanssi kolmanneksen ajasta joka päivä ja lauloi kuudenneksen ajasta. Hän päätti omistaa loppuaikansa talveen valmistautumiseen. Kuinka monta tuntia päivässä Dragonfly valmistautui talveen?

7. luokka.

Harjoitus 1. Ratkaise pulma, jos tiedät, että luvun VAHVA suurin numero on 5:

PÄÄTTÄÄ
JOS
VAHVA

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö│7 - x│ = 9,3

Tehtävä 3. Seitsemän pesun jälkeen saippuan pituus, leveys ja paksuus puolitettiin. Kuinka monta pesukertaa jäljellä oleva saippua kestää?

Tehtävä 4 . Jaa 4 × 9 solun suorakulmio solujen reunoja pitkin kahteen yhtä suureen osaan, jotta voit tehdä niistä neliön.

Tehtävä 5. Puukuutio maalattiin kaikilta puolilta valkoiseksi ja sahattiin sitten 64 identtiseksi kuutioksi. Kuinka monella kuutiolla väritettiin kolme puolta? Molemmin puolin?
toisella puolella? Kuinka monta kuutiota ei ole värjätty?

8. luokka.

Harjoitus 1. Mihin kahteen numeroon luku 13 päättyy?

Tehtävä 2. Pienennä murtolukua:

Tehtävä 3. Koulun draamakerho valmistautuu näyttämään otteen A.S:n sadusta. Pushkin tsaari Saltanista päätti jakaa roolit osallistujien kesken.
"Minusta tulee Chernomor", sanoi Yura.
"Ei, minusta tulee Chernomor", sanoi Kolja.
"Okei", Yura myönsi hänelle, "voin pelata Guidonia."
"No, minusta voi tulla Saltan", Kolya osoitti myös suostumustaan.
- Suostun olemaan vain Guidon! - sanoi Misha.
Poikien toiveet täyttyivät. Miten roolit jaettiin?

Tehtävä 4. Tasakylkisessä kolmiossa ABC, jonka kanta on AB = 8 m, piirretään mediaani AD. Kolmion ACD ympärysmitta on 2 metriä suurempi kuin kolmion ABD kehä. Etsi AC.

Tehtävä 5. Nikolai osti yleisen 96 arkin muistivihkon ja numeroi sivut 1:stä 192:een. Veljenpoika Arthur repi tästä vihkosta 35 arkkia ja laski yhteen kaikki niihin kirjoitetut 70 numeroa. Olisiko hän onnistunut vuonna 2010?

9-luokka.

Harjoitus 1. Etsi luvun 1989 1989 viimeinen numero.

Tehtävä 2. Tietyn toisen asteen yhtälön juurien summa on 1 ja niiden neliöiden summa on 2. Mikä on niiden kuutioiden summa?

Tehtävä 3. Laske sivun AC = b pituus käyttämällä kolmea mediaania m a, m b ja m c ∆ ABC.

Tehtävä 4. Pienennä murto-osaa .

Tehtävä 5. Kuinka monella tavalla voit valita vokaalin ja konsonantin sanasta "kamzol"?

Luokka 10.

Harjoitus 1. Tällä hetkellä kolikoita on 1, 2, 5, 10 ruplaa. Listaa kaikki rahasummat, jotka voidaan maksaa sekä parillisella että parittomalla määrällä kolikoita.

Tehtävä 2. Todista, että 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 on jaollinen 6:lla.

Tehtävä 3. Nelikulmassa ABCD diagonaalit leikkaavat pisteessä M. On tiedossa, että AM = 1,
VM = 2, SM = 4. Millä arvoilla DM nelikulmio ABCD onko se puolisuunnikkaan muotoinen?

Tehtävä 4. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Tehtävä 5. Kolmekymmentä koululaista - kymmenennen ja yhdestoista luokkalaisia ​​- kätteli. Kävi ilmi, että joka kymmenes luokkalainen kätteli kahdeksaa 11. luokkalaista ja jokainen yhdestoista luokkalainen kätteli seitsemää kymmenesluokkalaista. Kuinka monta kymmenesluokkalaista siellä oli ja kuinka monta yhdestoistaluokkalaista?

Tämä työ Petya osti yleisen muistikirjan, jonka tilavuus oli 96 arkkia ja numeroi kaikki sen sivut järjestyksessä numeroilla 1 - 192. Vasja repi (Testi) aiheesta (AHD ja taloudellinen analyysi), tehtiin yrityksemme asiantuntijoiden tilauksesta ja läpäisi sen onnistuneen puolustuksen. Työ - Petya osti yleisen muistikirjan, jonka tilavuus oli 96 arkkia ja numeroi kaikki sen sivut järjestykseen numeroilla 1–192. Vasja repi aiheesta ACD:n, ja taloudellinen analyysi heijastaa sen aihetta ja sen julkistamisen loogista osaa, tutkittavan asian ydin paljastetaan, tärkeimmät säännökset ja johtavat ideat tuodaan esiin tässä aiheessa.
Työ - Petya osti yleisen muistikirjan, jonka tilavuus oli 96 arkkia ja numeroi kaikki sen sivut järjestyksessä numeroilla 1 - 192. Vasya repi sen irti, sisältää: taulukot, piirustukset, uusimmat kirjalliset lähteet, teoksen lähetysvuosi ja puolustettu - 2017. Teoksessa Petya osti 96 arkin yleisen muistikirjan ja numeroi kaikki sen sivut järjestykseen numeroilla 1-192. Vasja vedetty ulos (AHD ja talousanalyysi) paljastaa tutkimusaiheen merkityksellisyyden, heijastaa ongelman kehitysaste, joka perustuu syvälliseen tieteelliseen ja analyysiin metodologinen kirjallisuus, ACD:tä ja talousanalyysiä käsittelevässä työssä analyysin kohdetta ja sen kysymyksiä tarkastellaan kattavasti sekä teoreettiselta että käytännön puolelta, tavoite ja erityisiä tehtäviä Käsiteltävänä olevasta aiheesta on olemassa aineiston esityslogiikka ja sen järjestys.

Tehtävä 16:

Onko mahdollista vaihtaa 25 ruplaa kymmenellä seteleillä 1, 3 ja 5 ruplaa? Ratkaisu:

Vastaus: Ei

Petya osti yleisen muistikirjan, jonka tilavuus oli 96 arkkia, ja numeroi kaikki sen sivut järjestykseen numeroilla 1 - 192. Vasja repi tästä vihkosta 25 arkkia ja laski yhteen kaikki niihin kirjoitetut 50 numeroa. Olisiko hän onnistunut vuonna 1990? Ratkaisu:

Jokaisella arkilla sivunumeroiden summa on pariton ja 25 parittoman luvun summa on pariton.

22 kokonaisluvun tulo on 1. Osoita, että niiden summa ei ole nolla. Ratkaisu:

Näiden lukujen joukossa - tasaluku"miinus ykkösiä", ja jotta summa olisi yhtä suuri kuin nolla, niitä on oltava täsmälleen 11.

Onko mahdollista muodostaa maaginen neliö ensimmäisistä 36 alkuluvusta? Ratkaisu:

Näistä luvuista yksi (2) on parillinen ja loput parittomia. Siksi rivillä, jolla on kaksi, lukujen summa on pariton ja muilla parillinen.

Riville kirjoitetaan numerot 1 - 10. Voiko niiden väliin sijoittaa "+" ja "-" merkit siten, että tuloksena olevan lausekkeen arvo on nolla?

Huomautus: Huomaa tämä negatiivisia lukuja ovat myös parillisia ja parittomia. Ratkaisu:

Itse asiassa lukujen summa 1:stä 10:een on 55, ja muuttamalla siinä olevia merkkejä muutamme koko lausekkeen parilliseksi luvuksi.

Heinäsirkka hyppää suorassa linjassa, ja ensimmäisen kerran hän hyppäsi 1 cm johonkin suuntaan, toisen kerran - 2 cm ja niin edelleen. Todista, että vuoden 1985 hyppyjen jälkeen hän ei voi päätyä sinne, mistä aloitti. Ratkaisu:

Huomautus: Summa 1 + 2 + … + 1985 on pariton.

Taululle on kirjoitettu luvut 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Voit poistaa taululta mitä tahansa kaksi numeroa ja kirjoittaa sen sijaan muistiin niiden erotuksen moduulin. Lopulta taululle jää vain yksi numero. Voiko se olla nolla? Ratkaisu:

Tarkista, etteivät yllä olevat toiminnot muuta kaikkien taululle kirjoitettujen lukujen summan pariteettia.

Onko mahdollista peittää shakkilauta 1 × 2 dominolla siten, että vain ruudut a1 ja h8 jäävät vapaiksi? Ratkaisu:

Jokainen domino peittää yhden mustan ja yhden valkoisen neliön, ja kun ruudut a1 ja h8 hylätään, mustia ruutuja on 2 vähemmän kuin valkoisia.

17-numeroiseen numeroon lisäsimme luvun, joka on kirjoitettu samoilla numeroilla, mutta käänteisessä järjestyksessä. Todista, että vähintään yksi numero tuloksena olevasta summasta on parillinen. Ratkaisu:

Tarkastellaan kahta tapausta: luvun ensimmäisen ja viimeisen numeron summa on pienempi kuin 10 ja luvun ensimmäisen ja viimeisen numeron summa on vähintään 10. Jos oletetaan, että summan kaikki numerot ovat parittomia, niin ensimmäisessä tapauksessa numeroissa ei pitäisi olla yhtä siirtoa (mikä on ilmeistä , johtaa ristiriitaan), ja toisessa tapauksessa siirron esiintyminen oikealta vasemmalle tai vasemmalta oikealle vuorottelee poissaolon kanssa ja tuloksena saamme, että yhdeksännen luvun summanumero on välttämättä parillinen.

Kansanjoukossa on 100 henkilöä, joista joka ilta lähtee päivystykseen kolme. Voisiko olla, että jonkin ajan kuluttua käy ilmi, että kaikki olivat päivystyksessä kaikkien kanssa tasan kerran? Ratkaisu:

Kaikista tehtävistä, joihin hän osallistuu Tämä henkilö, hän on päivystyksessä kahden muun kanssa, niin kaikki muut voidaan jakaa pareihin. 99 on kuitenkin pariton luku.

Suoralla on 45 pistettä, jotka ovat janan AB ulkopuolella. Osoita, että etäisyyksien summa näistä pisteistä pisteeseen A ei ole yhtä suuri kuin etäisyyksien summa näistä pisteistä pisteeseen B. Ratkaisu:

Jokaiselle pisteelle X, joka sijaitsee AB:n ulkopuolella, on AX - BX = ± AB. Jos oletetaan, että etäisyyksien summat ovat yhtä suuret, saadaan, että lauseke ± AB ± AB ± … ± AB, joka sisältää 45 termiä, on yhtä suuri kuin nolla. Mutta tämä on mahdotonta.

Ympyrässä on 9 numeroa - 4 ykköstä ja 5 nollaa. Joka sekunti numeroille suoritetaan seuraava toimenpide: vierekkäisten lukujen väliin asetetaan nolla, jos ne ovat erilaisia, ja yksikkö, jos ne ovat yhtä suuret; sen jälkeen vanhat numerot poistetaan. Voivatko kaikki numerot muuttua samanlaisiksi jonkin ajan kuluttua? Ratkaisu:

On selvää, että yhdeksän ykkösten yhdistelmää ei voida saada ennen yhdeksää nollaa. Jos nollia oli yhdeksän, niin edellisellä siirrolla nollien ja ykkösten piti vaihdella, mikä on mahdotonta, koska niitä on vain pariton määrä.

25 poikaa ja 25 tyttöä istuvat pyöreän pöydän ääressä. Todista, että joillakin pöydässä istuvilla ihmisillä on molemmat pojat naapureina. Ratkaisu:

Suoritetaan todistuksemme ristiriitaisesti. Numeroidaan kaikki pöydässä istuvat järjestyksessä, jostain paikasta alkaen. Jos päällä k:s paikka poika istuu, silloin on selvää, että tytöt istuvat (k - 2) ja (k + 2) sijalla. Mutta koska poikia ja tyttöjä on yhtä monta, niin minkä tahansa n:nnen tytön kohdalla on totta, että (n - 2) ja (n + 2) sijalla on poikia. Jos nyt otetaan huomioon vain ne 25 ihmistä, jotka istuvat "tasaisilla" istuimilla, huomaamme, että heidän joukossaan pojat ja tytöt vuorottelevat, jos kierretään pöydän ympäri johonkin suuntaan. Mutta 25 on pariton luku.

Etana ryömi konetta pitkin tasaisella nopeudella kääntyen suorassa kulmassa 15 minuutin välein. Todista, että hän voi palata lähtöpisteeseen vasta kokonaisluvun tuntien jälkeen. Ratkaisu:

On selvää, että niiden alueiden lukumäärä a, joilla etana ryömi ylös tai alas, on yhtä suuri kuin niiden alueiden lukumäärä, joilla se ryömi oikealle tai vasemmalle. On vain huomattava, että a on parillinen.

Kolme heinäsirkkaa leikkii hyppysammakkoa suoralla linjalla. Joka kerta, kun toinen heistä hyppää toisen yli (mutta ei molempia kerralla!). Voivatko ne päätyä samoihin paikkoihin vuoden 1991 hypyn jälkeen? Ratkaisu:

Merkitään heinäsirkkoja A, B ja C. Kutsutaan heinäsirkkojen ABC, BCA ja CAB järjestelyä (vasemmalta oikealle) oikeaksi ja ACB, BAC ja CBA vääräksi. On helppo nähdä, että minkä tahansa hypyn myötä järjestelytyyppi muuttuu.

Kolikkoja on 101 kappaletta, joista 50 on väärennettyjä, ja ne eroavat painoltaan 1 gramman todellisista. Petya otti yhden kolikon ja yhdessä punnituksessa vaa'alla, jossa oli kuppien painoerot osoittava nuoli, hän haluaa selvittää, onko se väärennös. Pystyykö hän siihen? Ratkaisu:

Sinun täytyy laittaa tämä kolikko sivuun ja jakaa loput 100 kolikkoa kahteen 50 kolikon pinoon ja vertailla näiden pinojen painoja. Jos ne eroavat parillisen grammamäärän verran, niin meitä kiinnostava kolikko on todellinen. Jos painoero on pariton, kolikko on väärennös.

Onko mahdollista kirjoittaa luvut 1-9 kerran peräkkäin niin, että numeroita on pariton määrä välillä yksi ja kaksi, kaksi ja kolme, ..., kahdeksan ja yhdeksän? Ratkaisu:

Muuten kaikki peräkkäiset numerot olisivat saman pariteetin paikoissa.