Aritmeettinen kaava n luku. Kaava aritmeettisen progression n:nnelle termille

Ohjeet

Aritmeettinen progressio on sekvenssi muotoa a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numero d askel etenemistä.On ilmeistä, että aritmeettisen mielivaltaisen n:nnen termin yleinen etenemistä on muotoa: An = A1+(n-1)d. Sitten yhden jäsenen tunteminen etenemistä, jäsen etenemistä ja askel etenemistä, voit, eli edistyneen jäsenen numero. Ilmeisesti se määritetään kaavalla n = (An-A1+d)/d.

Olkoon m:s termi nyt tiedossa etenemistä ja toinen jäsen etenemistä- n:s, mutta n , kuten edellisessä tapauksessa, mutta tiedetään, että n ja m eivät ole samat. etenemistä voidaan laskea kaavalla: d = (An-Am)/(n-m). Sitten n = (An-Am+md)/d.

Jos aritmeettisen yhtälön useiden alkioiden summa tunnetaan etenemistä, sekä sen ensimmäinen ja viimeinen, niin näiden alkioiden lukumäärä voidaan myös määrittää. Aritmeettisen summan etenemistä on yhtä suuri kuin: S = ((A1+An)/2)n. Sitten n = 2S/(A1+An) - chdenov etenemistä. Käyttämällä sitä tosiasiaa, että An = A1+(n-1)d, tämä kaava voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Tästä voimme ilmaista n ratkaisemalla toisen asteen yhtälön.

Aritmeettinen sarja on järjestysnumerosarja, jonka jokainen jäsen ensimmäistä lukuun ottamatta eroaa edellisestä saman verran. Tätä vakioarvoa kutsutaan etenemisen tai sen askeleen erotukseksi ja se voidaan laskea aritmeettisen etenemisen tunnetuista termeistä.

Ohjeet

Jos ensimmäisen ja toisen tai minkä tahansa muun vierekkäisen termin parin arvot tunnetaan ongelman ehdoista, eron (d) laskemiseksi yksinkertaisesti vähennä edellinen seuraavasta termistä. Tuloksena oleva arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen numero- riippuu siitä, onko eteneminen lisääntymässä. Kirjoita yleismuodossa ratkaisu etenemisen vierekkäisten termien mielivaltaiselle parille (aᵢ ja aᵢ₊₁) seuraavasti: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Tällaisen etenemisen termiparille, joista toinen on ensimmäinen (a1) ja toinen on mikä tahansa muu mielivaltaisesti valittu, on myös mahdollista luoda kaava eron (d) löytämiseksi. Tässä tapauksessa mielivaltaisesti valitun sekvenssin jäsenen sarjanumero (i) on kuitenkin tiedettävä. Laskeaksesi eron, lisää molemmat luvut ja jaa saatu tulos mielivaltaisen termin järjestysluvulla, joka on vähennetty yhdellä. SISÄÄN yleisnäkymä kirjoita tämä kaava seuraavasti: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jos järjestysluvulla i olevan aritmeettisen progression mielivaltaisen jäsenen lisäksi tunnetaan toinen jäsen, jolla on järjestysnumero u, muuta edellisen vaiheen kaavaa vastaavasti. Tässä tapauksessa etenemisen erotus (d) on näiden kahden termin summa jaettuna niiden järjestyslukujen erolla: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Eron (d) laskentakaavasta tulee hieman monimutkaisempi, jos ongelmaehdot antavat sen ensimmäisen termin (a₁) arvon ja aritmeettisen sekvenssin ensimmäisten termien tietyn luvun (i) summan (Sᵢ). Halutun arvon saamiseksi jaa summa sen muodostavien termien lukumäärällä, vähennä sekvenssin ensimmäisen luvun arvo ja tuplaa tulos. Jaa saatu arvo termien lukumäärällä, jotka muodostavat summan vähennettynä yhdellä. Yleensä kirjoita kaava diskriminantin laskemiseksi seuraavasti: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ensimmäinen taso

Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkein (2019)

Numerosarja

Istutaan siis alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme niitä on). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen viimeiseen asti, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä numeroa sarjassa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten th) on aina sama.
Lukua, jossa on numero, kutsutaan sekvenssin th termiksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tätä numerosarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius esitteli termin "eteneminen" jo 500-luvulla, ja se ymmärrettiin laajemmassa merkityksessä äärettömänä numeerisena sarjana. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien suhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset tutkivat.

Tämä on numerosarja, jonka jokainen jäsen on sama kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen progression erotukseksi ja se on nimetty.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettisia ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Sain sen? Verrataan vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen termin arvo. Olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisluvun edelliseen arvoon, kunnes saavutamme etenemisen :nnen termin. On hyvä, että meillä ei ole paljon yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen etenemisen th termi on yhtä suuri kuin.

2. Menetelmä

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen kestäisi meiltä yli tunnin, eikä ole tosiasia, ettemme tekisi virheitä lukujen lisäämisessä.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso piirrettyä kuvaa tarkemmin... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, mistä tämän aritmeettisen progression :nnen termin arvo koostuu:


Toisin sanoen:

Yritä itse löytää tietyn aritmeettisen progression jäsenen arvo tällä tavalla.

Laskitko? Vertaa muistiinpanojasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen etenemisen ehdot edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava- Laitetaan se yleiseen muotoon ja saadaan:

Aritmeettinen progressio voi kasvaa tai laskea.

Kasvava- progressiot, joissa jokainen seuraava termien arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Laskeva- progressiot, joissa jokainen seuraava ehtojen arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskennassa sekä aritmeettisen etenemisen kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastetaan tämä käytännössä.
Meille annetaan aritmeettinen progressio, joka koostuu seuraavat numerot: Tarkastetaan, mikä on tämän aritmeettisen progression numero, jos käytämme kaavaamme sen laskemiseen:

Siitä lähtien:

Näin ollen olemme vakuuttuneita siitä, että kaava toimii sekä laskevassa että kasvavassa aritmeettisessa progressiossa.
Yritä löytää itse tämän aritmeettisen etenemisen th ja th termi.

Verrataanpa tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan ​​ongelmaa - johdamme aritmeettisen etenemisen ominaisuuden.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Ah, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, sitten lisäämme sen ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta entä jos ehtoon annetaan numeroita? Hyväksy, että laskelmissa on mahdollista tehdä virhe.
Mieti nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdessä vaiheessa millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja sitä yritämme nyt tuoda esiin.

Merkitään aritmeettisen progression vaadittu termi kuten, sen löytämisen kaava on meille tiedossa - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, Sitten:

• etenemisen edellinen termi on:
• etenemisen seuraava termi on:

Tehdään yhteenvetona etenemisen edellinen ja myöhemmät ehdot:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien ehtojen summa on niiden välissä olevan etenemistermin kaksinkertainen arvo. Toisin sanoen, jos haluat löytää etenemistermin arvon tunnetuilla aikaisemmilla ja peräkkäisillä arvoilla, sinun on lisättävä ne ja jaettava arvolla.

Aivan oikein, meillä on sama numero. Varmistetaan materiaali. Laske etenemisen arvo itse, se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Jäljelle jää vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss - päätteli helposti...

Kun Carl Gauss oli 9-vuotias, opettaja, joka oli kiireinen tarkistamassa muiden luokkien opiskelijoiden työtä, kysyi luokassa seuraava tehtävä: "Laske kaikkien summa luonnolliset luvut alkaen (muiden lähteiden mukaan aina) mukaan lukien." Kuvittele opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan ​​(tämä oli Karl Gauss) minuutti myöhemmin antoi oikean vastauksen tehtävään, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen...

Nuori Carl Gauss huomasi tietyn kuvion, jonka sinäkin huomaat helposti.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -:nnestä termistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen etenemisen näiden termien summa. Tietysti voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos tehtävä edellyttää ehtojensa summan löytämistä, kuten Gauss etsi?

Kuvataanpa meille annettua kehitystä. Tarkastele korostettuja lukuja tarkemmin ja yritä suorittaa niillä erilaisia ​​matemaattisia operaatioita.


Oletko kokeillut sitä? Mitä huomasit? Oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Kerro nyt minulle, kuinka monta tällaista paria meille annetussa etenemisessä on yhteensä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen etenemisen kahden ehdon summa on yhtä suuri ja samanlaiset parit yhtä suuret, saadaan, että kokonaissumma on yhtä suuri:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on:

Joissakin tehtävissä emme tunne th termiä, mutta tiedämme etenemisen eron. Yritä korvata th termin kaava summakaavalla.
Mitä sinä sait?

Hyvin tehty! Palataan nyt Carl Gaussille esitettyyn ongelmaan: laske itse, mikä on th:stä alkavien lukujen summa ja th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait?
Gauss havaitsi, että termien summa on yhtä suuri ja termien summa. Näinkö sinä päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus osoitti aritmeettisen etenemisen ehtojen summan kaavan 300-luvulla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät täysimääräisesti aritmeettisen etenemisen ominaisuuksia.
Esimerkiksi kuvitella Muinainen Egypti ja sen ajan suurin rakennusprojekti - pyramidin rakentaminen... Kuvassa sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanotteko? Katso huolellisesti ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä pyramidiseinän jokaisella rivillä.


Miksei aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos tiilet laitetaan pohjaan. Toivottavasti et laske, kun liikutat sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta etenemisestä?

Tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä: .
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettisen progression termien lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laske lohkojen määrä kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen lukumäärään. Sain sen? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan seinän rakentamiseen tällä ehdolla.
Onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Koulutus

Tehtävät:

1. Masha on alkamassa kuntoon kesäksi. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha tekee kyykkyjä viikossa, jos hän teki kyykkyn ensimmäisessä harjoituksessa?
2. Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
3. Tukkeja tallennettaessa metsuri pinoaa ne siten, että jokaisessa yläkerroksessa on yksi tuki vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos muurauksen perusta on hirsiä?

Vastaukset:

1. Määritellään aritmeettisen progression parametrit. Tässä tapauksessa
   (viikot = päivät).

   Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi tehdä kyykkyjä kerran päivässä.

2. Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
   Aritmeettinen etenemisero.
   Parittomien lukujen määrä on puolet, mutta tarkistetaan tämä fakta käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression :nnen termin löytämiseksi:

   Numerot sisältävät parittomat numerot.
   Korvataan käytettävissä olevat tiedot kaavaan:

   Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.

3. Muistakaamme ongelma pyramideista. Meidän tapauksessamme a , koska jokaista päällimmäistä kerrosta pienennetään yhdellä tukilla, niin kerroksia on yhteensä nippu, eli.
   Korvataan tiedot kaavaan:

   Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Tehdään se yhteenveto

1. - numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se voi kasvaa tai laskea.
2. Kaavan löytäminen Aritmeettisen jakson th termi kirjoitetaan kaavalla - , jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
3. Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä on etenevien numeroiden lukumäärä.
4. Aritmeettisen progression ehtojen summa löytyy kahdella tavalla:
   
   , missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja ainutlaatuiseen numeroon. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin :nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

On erittäin kätevää, jos sekvenssin th termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava

asettaa järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja ero on). Tai (, ero).

n:nnen termin kaava

Kutsumme kaavaa toistuvaksi, jossa :nnen termin selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aikaisempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen :nnen termin tällä kaavalla, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Antaa esimerkiksi. Sitten:

No, onko nyt selvää, mikä kaava on?

Jokaisella rivillä, jonka lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Kumpi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon kätevämpää nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Ratkaisu:

Ensimmäinen termi on yhtä suuri. Mikä on ero? Tässä on mitä:

(Tästä syystä sitä kutsutaan erotukseksi, koska se on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten termien erotus).

Eli kaava:

Sitten sadas termi on yhtä suuri:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan suuri matemaatikko Carl Gauss laski 9-vuotiaana tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja toiseksi viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria on yhteensä? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle on:

Esimerkki:
Etsi kaikkien kaksinumeroisten kerrannaisten summa.

Ratkaisu:

Ensimmäinen tällainen numero on tämä. Jokainen seuraava numero saadaan lisäämällä edelliseen numeroon. Siten luvut, joista olemme kiinnostuneita, muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisellä termillä ja erolla.

Tämän etenemisen th termin kaava:

Kuinka monta termiä on etenemisessä, jos niiden kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Etenemisen viimeinen termi on yhtä suuri. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

1. Urheilija juoksee joka päivä enemmän metrejä kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee yhteensä viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
2. Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän kilometrejä kuin edellisenä päivänä. Ensimmäisenä päivänä hän matkusti km. Kuinka monta päivää hän tarvitsee matkustaakseen kilometrin? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkansa viimeisenä päivänä?
3. Jääkaapin hinta kaupassa laskee saman verran joka vuosi. Määritä, kuinka paljon jääkaapin hinta laski vuosittain, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

1. Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten ehtojen summa:
   .
   Vastaus:
2. Tässä se annetaan: , täytyy löytää.
   Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
   .
   Korvaa arvot:

   Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus on.
   Lasketaan viimeisen päivän aikana kuljettu polku th termin kaavalla:
   (km).
   Vastaus:

3. Annettu: . Löytö: .
   Se ei voisi olla yksinkertaisempaa:
   (hieroa).
   Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Tämä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen eteneminen voi olla kasvava () ja laskeva ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen termin löytämiseksi

kirjoitetaan kaavalla, jossa on etenevien numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla voit helposti löytää etenemisen termin, jos sen viereiset termit tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression termien summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Missä on arvojen määrä.

Mitä pääkohta kaavat?

Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Tietenkin sinun on tiedettävä myös ensimmäinen termi a 1 Ja etenemisero d, No, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.

Tämän kaavan muistaminen (tai huutaminen) ei riitä. Sinun on ymmärrettävä sen olemus ja sovellettava kaavaa erilaisiin ongelmiin. Eikä myöskään unohtaa oikealla hetkellä, kyllä...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa neuvon ehdottomasti. Niille, jotka suorittavat oppitunnin loppuun.)

Katsotaanpa siis aritmeettisen progression n:nnen termin kaavaa.

Mikä on kaava yleensä - kuvittelemme.) Mikä on aritmeettinen progressio, jäsenluku, etenemisero - selkeästi sanottu edellisellä oppitunnilla. Muuten, katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. On vielä selvitettävä, mikä se on n. termi.

Progressio yleensä voidaan kirjoittaa numerosarjana:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen, a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - s a 120.

Kuinka voimme määritellä sen yleisesti? minkä tahansa aritmeettisen progression termi, jossa minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:

a n

Sitä se on aritmeettisen progression n:s termi. Kirjain n piilottaa kaikki jäsennumerot kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajatelkaapa, numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjaimen...

Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisen progression työskentelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja ratkaise joukko muita etenemisongelmia. Katsot itse lisää.

Aritmeettisen progression n:nnen termin kaavassa:

a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen termi;

n- jäsennumero.

Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d Ja n. Kaikki etenemisongelmat pyörivät näiden parametrien ympärillä.

N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Ongelma voi esimerkiksi sanoa, että etenemisen määrittää ehto:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tällainen ongelma voi olla umpikuja... Ei ole sarjaa eikä eroa... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo ymmärtää, että tässä etenemisessä a 1 = 5 ja d = 2.

Ja se voi olla vielä pahempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, Kyllä, avaa sulut ja tuo samanlaisia? Saamme uuden kaavan:

a n = 3 + 2n.

Tämä Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä sudenkuoppa piilee. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen termi on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisella muunnetulla kaavalla.

Etenemisongelmissa on toinen merkintä - a n+1. Tämä on, kuten arvasit, etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi jos otamme jonkin ongelman a n sitten viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.

Useimmiten nimitys a n+1 löytyy toistumiskaavoista. Älä pelkää tätä pelottavaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression jäsen edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen eteneminen tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Kuinka voimme heti laskea, vaikkapa kahdeskymmenes termi? a 20? Mutta ei ole mitään keinoa!) Ennen kuin saamme selville 19. lukukauden, emme voi laskea 20:tä. Tämä se on perustavanlaatuinen ero toistuva kaava n:nnen termin kaavasta. Toistuva toimii vain kautta Edellinen termi, ja n:nnen termin kaava on ohi ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Laskematta koko numerosarjaa järjestyksessä.

Aritmeettisessa progressiossa toistuva kaava on helppo muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava sen tavallisessa muodossa ja työskentele sen kanssa. Tällaisia ​​tehtäviä kohdataan usein valtion tiedeakatemiassa.

Kaavan soveltaminen aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:

Aritmeettinen progressio (a n) on annettu. Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.

Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitys. Lisää ja lisää... Tunti tai kaksi.)

Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Päätetään.

Ehdoissa on kaikki tiedot kaavan käyttöä varten: a 1 = 3, d = 1/6. On vielä selvitettävä, mikä on tasa-arvoista n. Ei ongelmaa! Meidän täytyy löytää a 121. Joten kirjoitamme:

Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä on meidän n. Tämä on tarkoitus n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaamme kaikki luvut kaavaan ja laskemme:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Se siitä. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen termin ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja me laskemme.

Haluan muistuttaa sinua asiasta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettinen progressiotermi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Ratkaistaan ​​ongelma ovelammin. Törmätäänpä seuraavaan ongelmaan:

Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.

Jos sinulla on vaikeuksia, kerron sinulle ensimmäisen vaiheen. Kirjoita aritmeettisen progression n:nnelle termille kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistivihkoon:

Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Onko se siinä? Jos luulet niin, et ratkaise ongelmaa, kyllä...

Meillä on vielä numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi parametria. Tämä on sekä seitsemännentoista termin arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkuasia" lipsahtaa usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä asiaa", ei päätä!) ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka... ja myös ilman päätä.)

Nyt voimme yksinkertaisesti korvata tietomme typerästi kaavaan:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, korvataan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Siinä on periaatteessa kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea se. Vastaus tulee olemaan: a 1 = 6.

Tämä tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - on suuri apu yksinkertaisissa tehtävissä. No, tietysti pitää pystyä ilmaista muuttuja kaavasta, Mitä tekemistä siellä on!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei ehkä opiskella ollenkaan...

Toinen suosittu palapeli:

Laske aritmeettisen progression ero (a n), jos a 1 =2; a 15 = 12.

Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)

Mietitään, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (korostan erityisesti!) n = 15. Voit vapaasti korvata tämän kaavalla:

12=2 + (15-1)d

Teemme aritmeettisen.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tämä on oikea vastaus.

Tehtävät siis a n, a 1 Ja d päättänyt. Jäljelle jää vain opetella löytämään numero:

Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.

Korvaamme meille tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:

a n = 12 + (n-1) 3

Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n- tämä on joku jäsen etenemisestä numerolla n...Ja me tunnemme tämän edistyksen jäsenen! Se on 99. Emme tiedä sen numeroa. n, Joten tämä numero on se, mitä sinun on löydettävä. Korvataan etenemisen termi 99 kaavaan:

99 = 12 + (n-1) 3

Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.

Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):

Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, ei ole parametreja? Hm... Miksi meille annetaan silmät?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen termin? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 = -3,6. Ero d Voitko kertoa sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät Mitä eroa aritmeettisella progressiolla on:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Joten teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä... Mitä tehdä!? No, mitä tehdä, mitä tehdä... Kytke päälle Luovat taidot!)

Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä, kyllä!)) ja korvaamme numeromme:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:

Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen voimme tehdä? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain sadan ensimmäisen ja sadan toisen termien välillä. Jos numero osoittautui luonnolliseksi, ts. on positiivinen kokonaisluku, silloin luku olisi löydetyn luvun etenemisen jäsen. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: Ei.

Tehtäväpohjainen todellinen vaihtoehto GIA:

Aritmeettinen progressio saadaan ehdolla:

a n = -4 + 6,8n

Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.

Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.

Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaava on modifioitu. Sen aritmeettisen progression ensimmäinen termi piilotettu. Ei hätää, löydämme sen nyt.)

Kuten aikaisemmissakin ongelmissa, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!

Etsimme kymmenennen termiä samalla tavalla:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Se siitä.

Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)

Oletetaan, että olette unohtaneet aritmeettisen progression n:nnelle termille hyödyllisen kaavan valtiokokeen tai yhtenäisen valtiontutkinnon vaikeassa taistelutilanteessa. Muistan jotain, mutta jotenkin epävarmaa... Tai n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?

Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukasti, mutta luottamusta ja oikea päätös ehdottomasti tarpeeksi!) Muista vain lopuksi aritmeettisen progression perusmerkitys ja pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.

Piirrä numeroviiva ja merkitse siihen ensimmäinen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomaamme eron d jäsenten välillä. Kuten tämä:

Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mitä toinen termi vastaa? Toinen yksi d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ymmärrätkö? Ei turhaan korostan joitakin sanoja lihavoituna. Okei, vielä yksi askel).

Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, Aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon n, välilyöntien lukumäärä tahtoa n-1. Siksi kaava on (ilman muunnelmia!):

Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää ratkaisuun koko tehokkaan matematiikan arsenaalin - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi lisätä kuvaa yhtälöön...

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

Lämmitellä:

1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Etsi 3.

Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) In § 555 Tämä ongelma ratkaistiin käyttämällä sekä kuvaa että kaavaa. Tunne erilaisuus!)

Ja tämä ei ole enää lämmittely.)

2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .

Mitä, etkö halua piirtää kuvaa?) Tietenkin! Parempi kaavan mukaan, kyllä...

3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.

Tässä tehtävässä eteneminen määritellään toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin... Kaikki eivät pysty sellaiseen saavutukseen.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!

4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.

5. Etsi tehtävän 4 ehtojen mukaisesti etenemisen pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen termin summa.

6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdennentoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.

Ei helpoin tehtävä, kyllä...) "Sormenpää"-menetelmä ei toimi tässä. Sinun on kirjoitettava kaavoja ja ratkaistava yhtälöitä.

Vastaukset (sekaisin):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Tapahtui? Se on kiva!)

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelman lukeminen vaatii varovaisuutta. Ja logiikkaa.

Ratkaisua kaikkiin näihin ongelmiin käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelissa § 555. Ja fantasiaelementti neljännessä ja hienovarainen kohta kuudennessa ja yleiset lähestymistavat kaikenlaisten ongelmien ratkaisemiseen, joihin liittyy n:nnen termin kaava - kaikki on kuvattu. Minä suosittelen.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.