Synnin integraali neliöitynä. Monimutkaiset integraalit. Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin integrointi

Käytännössä joutuu usein laskemaan transsendenttisten funktioiden integraaleja, jotka sisältävät trigonometrisiä funktioita. Tämän materiaalin puitteissa kuvataan tärkeimmät integrandityypit ja näytetään, millä menetelmillä ne voidaan integroida.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin integrointi

Aloitetaan tärkeimpien trigonometristen funktioiden - sin, cos, t g, c t g - integrointimenetelmistä. Käytämme antiderivaatataulukkoa heti muistiin, että ∫ sin x d x \u003d - cos x + C ja ∫ cos x d x \u003d sin x + C.

Laskeaksesi funktioiden t g ja c t g epämääräiset integraalit, voit käyttää differentiaalimerkin alla olevaa summaa:

∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d (cos x) = - sin x d x = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x sin x d x = d (sin x) = cos x d x = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C

Kuinka saimme antiderivaatataulukosta otetut kaavat ∫ d x sin x \u003d ln 1 - cos x sin x + C ja ∫ d x cos x \u003d ln 1 + sin x cos x + C? Selitäkäämme vain yksi tapaus, koska toinen on selkeä analogisesti.

Korvausmenetelmää käyttämällä kirjoitamme:

∫ d x sin x = sin x = t ⇒ x = a r c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2

Tässä meidän on integroitava irrationaalinen funktio. Käytämme samaa korvausmenetelmää:

∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = = ∫ - z d z z 1 - z 2 1 - z 2 = 1 - z 2 1 - z 2 -1 ∫ d z (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C

Nyt teemme käänteisen substituution z \u003d 1 - t 2 ja t \u003d sin x:

∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C

Erikseen analysoimme tapauksia integraaleilla, jotka sisältävät trigonometristen funktioiden potenssit, kuten ∫ sin n x d x , ∫ cos n x d x , ∫ d x sin n x , ∫ d x cos n x .

Voit lukea kuinka ne lasketaan oikein artikkelista integraatiosta rekursiivisten kaavojen avulla. Jos tiedät kuinka nämä kaavat johdetaan, voit helposti ottaa integraalit, kuten ∫ sin n x cos m x d x luonnollisella m ja n .

Jos meillä on trigonometristen funktioiden yhdistelmä polynomien tai eksponenttifunktioiden kanssa, ne on integroitava osittain. Suosittelemme lukemaan artikkelin, joka käsittelee integraalien löytämistä ∫ P n (x) sin (a x) d x , ∫ P n (x) cos (a x) d x , ∫ e a x sin (a x) d x , ∫ e a x cos (a x) ) d x .

Vaikeimpia ovat ongelmat, joissa integrandi sisältää trigonometrisia funktioita eri argumenteilla. Tätä varten sinun on käytettävä trigonometrian peruskaavoja, joten on suositeltavaa muistaa ne ulkoa tai pitää kirjaa käsillä.

Esimerkki 1

Etsi joukko funktion y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) antiderivaatat.

Ratkaisu

Käytämme tehonvähennyskaavoja ja kirjoitamme, että cos 2 x 2 \u003d 1 + cos x 2 ja cos 2 2 x \u003d 1 + cos 4 x 2. tarkoittaa,

y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) = sin (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 sin x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 sin (3 x) = = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x)

Nimittäjässä meillä on kaava summan sinille. Sitten voit kirjoittaa sen näin:

y = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin (4 x ) = = 1 + cos (4 x) sin (4 x)

Meillä on 3 integraalin summa.

∫ sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) d x = = ∫ d x + cos (4 x) d x sin (4 x) + ∫ d x sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin (4 x) ) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C

Joissakin tapauksissa integraalin alla olevat trigonometriset funktiot voidaan pelkistää murto-rationaalisiksi lausekkeiksi käyttämällä standardia korvausmenetelmää. Otetaan ensin kaavat, jotka ilmaisevat sin, cos ja t g puoliargumentin tangentin kautta:

sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

Meidän on myös ilmaistava differentiaali d x puolikulman tangentin avulla:

Koska d t g x 2 \u003d t g x 2 "d x \u003d d x 2 cos 2 x 2, niin

d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 p t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 p t g x 2 1 + t g 2 x 2

Siten sin x \u003d 2 z 1 + z 2, cos x 1 - z 2 1 + z 2, t g x 2 z 1 - z 2, d x \u003d 2 d z 1 + z 2 at z \u003d t g x 2.

Esimerkki 2

Etsi epämääräinen integraali ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .

Ratkaisu

Käytämme tavallista trigonometristä korvausmenetelmää.

2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3

Saadaan, että ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .

Nyt voimme laajentaa integrandin yksinkertaisiksi murtoluvuiksi ja saada kahden integraalin summan:

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C l n + z + 1 - log z + 3 + C = log z + 1 z + 3 + C

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Vastaus: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

On tärkeää huomata, että ne kaavat, jotka ilmaisevat funktioita puoliargumentin tangentin avulla, eivät ole identiteettiä, joten tuloksena oleva lauseke ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C on funktion y = antiderivaatojen joukko. 1 2 sin x + cos x + 2 vain määritelmäalueella.

Ratkaistaksesi muun tyyppisiä ongelmia, voit käyttää integroinnin perusmenetelmiä.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Rationaalisten funktioiden integroimiseksi muotoa R(sin x, cos x) käytetään substituutiota, jota kutsutaan universaaliksi trigonometriseksi substituutioksi. Sitten . Universaali trigonometrinen korvaaminen johtaa usein suuriin laskelmiin. Siksi, aina kun mahdollista, käytä seuraavia korvauksia.

Trigonometrisista funktioista rationaalisesti riippuvaisten funktioiden integrointi

Muunnetaan trigonometristen funktioiden tulo niiden summaksi kaavoilla:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Esimerkkejä
1. Laske integraali ∫ cos 4 x sin 3 xdx .
Teemme substituution cos(x)=t . Sitten ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Laske integraali.
Kun tehdään substituutio sin x=t , saadaan

R(sinx, cosx) muotoa olevien lausekkeiden integrointi

Esimerkki #1. Laske integraalit:

Ratkaisu.
a) Muodon R(sinx, cosx) lausekkeiden integrointi, jossa R on sin x:n ja cos x:n rationaalinen funktio, muunnetaan rationaalisten funktioiden integraaleiksi käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota tg(x/2) = t .
Sitten meillä on

• Jos yhtälö R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx on tosi, käytetään cos x = t -substituutiota.
• Jos R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx on tosi, niin substituutio sin x = t .
• Jos R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx on tosi, niin substituutio on tgx = t tai ctg x = t .

Taulukko antijohdannaisista ("integraalit"). Integraalien taulukko. Taulukkomaiset epämääräiset integraalit. (Yksinkertaiset integraalit ja integraalit parametrin kanssa). Kaavat integrointiin osien mukaan. Newton-Leibnizin kaava.

Kaavat integrointiin osien mukaan. Integrointisäännöt.

Johdannaistaulukko. Taulukon johdannaiset. Tuotteen johdannainen. Yksityisen johdannainen. Monimutkaisen funktion johdannainen.

Jos x on riippumaton muuttuja, niin:

Logaritmien ominaisuudet. Logaritmien peruskaavat. Desimaali (lg) ja luonnollinen logaritmi (ln).

Luonnollinen logaritmi ln (logaritmin kanta e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor-sarja. Taylor-sarjan funktion laajennus.

Osoittautuu, että suurin osa käytännössä kohdattu matemaattiset funktiot voidaan esittää millä tahansa tarkkuudella tietyn pisteen läheisyydessä potenssisarjoina, jotka sisältävät muuttujan potenssit nousevassa järjestyksessä. Esimerkiksi pisteen x=1 läheisyydessä:

Käytettäessä rivejä kutsutaan taylor rows, sekafunktiot, jotka sisältävät esimerkiksi algebrallisia, trigonometrisiä ja eksponentiaalisia funktioita, voidaan ilmaista puhtaasti algebrallisina funktioina. Sarjojen avulla eriyttäminen ja integrointi voidaan usein suorittaa nopeasti.

Taylor-sarjalla pisteen a läheisyydessä on seuraavat muodot:

1) , jossa f(x) on funktio, jolla on kaikkien asteiden derivaatat kohdassa x=a. R n - Taylor-sarjan lopputermin määrää lauseke

2)

Sarjan k:s kerroin (pisteessä x k) määritetään kaavalla

3) Taylor-sarjan erikoistapaus on Maclaurin-sarja (=McLaren) (hajoaminen tapahtuu pisteen a=0 ympärillä)

kun a = 0

sarjan jäsenet määräytyvät kaavan mukaan

Taylor-sarjan hakemuksen ehdot.

1. Jotta funktio f(x) laajenee Taylor-sarjassa välillä (-R;R), on välttämätöntä ja riittävää, että Taylorin kaavan (Maclaurin (=McLaren)) jäännöstermi funktio pyrkii nollaan kohdissa k →∞ määritellyllä aikavälillä (-R;R).

2. On välttämätöntä, että tälle funktiolle on derivaatat kohdassa, jonka läheisyyteen aiomme rakentaa Taylor-sarjan.

Taylor-sarjan ominaisuudet.

Jos f on analyyttinen funktio, niin sen Taylor-sarja missä tahansa f:n alueen pisteessä a suppenee f:ään jossain a:n ympäristössä.

On olemassa äärettömästi differentioituvia funktioita, joiden Taylor-sarja konvergoi, mutta eroaa a:n missä tahansa naapurustossa olevasta funktiosta. Esimerkiksi:

Taylor-sarjoja käytetään approksimaatioon (approksimaatio on tieteellinen menetelmä, joka koostuu joidenkin objektien korvaamisesta toisilla, tavalla tai toisella lähellä alkuperäistä, mutta yksinkertaisempaa) funktioita polynomeilla. Erityisesti linearisointi ((lauseesta linearis - lineaarinen), yksi suljettujen epälineaaristen järjestelmien likimääräisen esittämisen menetelmistä, jossa epälineaarisen järjestelmän tutkiminen korvataan lineaarisen järjestelmän analyysillä, tavallaan vastaavalla tavalla kuin alkuperäinen. .) yhtälöiden esiintyy laajentamalla Taylor-sarjaksi ja leikkaamalla pois kaikki edellä mainitut termit.

Näin ollen lähes mikä tahansa funktio voidaan esittää polynomina tietyllä tarkkuudella.

Esimerkkejä joistakin yleisistä tehofunktioiden laajennuksista Maclaurin-sarjoissa (=McLaren,Taylor pisteen 0 läheisyydessä) ja Taylor pisteen 1 läheisyydessä. Taylor- ja MacLaren-sarjojen pääfunktioiden laajennusten ensimmäiset termit.

Esimerkkejä joistakin yleisistä tehofunktioiden laajennuksista Maclaurin-sarjassa (= MacLaren, Taylor pisteen 0 läheisyydessä)

Esimerkkejä tavallisista Taylor-sarjan laajennuksista pisteen 1 ympärillä

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti esimerkkejä integraalien ratkaisuista osien mukaan, joiden integrandi on polynomin ja eksponentin (e x:n potenssiin) tai sinin (sin x) tai kosinin (cos x) tulo.

Katso myös: Integrointimenetelmä osien mukaan
Epämääräisten integraalien taulukko
Epämääräisten integraalien laskentamenetelmät
Perusfunktiot ja niiden ominaisuudet

Integrointi osien kaavan mukaan

Tämän osan esimerkkejä ratkaistaessa käytetään osien integroinnin kaavaa:
;
.

Esimerkkejä integraaleista, jotka sisältävät polynomin ja sin x:n, cos x:n tai e x:n tulon

Tässä on esimerkkejä tällaisista integraaleista:
, , .

Tällaisten integraalien integroimiseksi polynomi merkitään u:lla ja loput v dx . Seuraavaksi sovelletaan osakohtaista integrointikaavaa.

Alla on yksityiskohtainen ratkaisu näistä esimerkeistä.

Esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta

Esimerkki eksponentti, e x:n potenssiin

Määritä integraali:
.

Esittelemme eksponentin differentiaalimerkin alla:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Integroimme osittain.

tässä
.
Jäljellä oleva integraali on myös integroitavissa osilla.
.
.
.
Lopulta meillä on:
.

Esimerkki integraalin määrittämisestä sinin kanssa

Laske integraali:
.

Esittelemme sinin differentiaalin merkin alla:

Integroimme osittain.

tässä u = x 2, v = cos (2x+3), du = ( x2 )′ dx

Jäljellä oleva integraali on myös integroitavissa osilla. Tätä varten lisäämme kosinin differentiaalin merkin alle.


tässä u = x, v = synti (2x+3), du = dx

Lopulta meillä on:

Esimerkki polynomin ja kosinin tulosta

Laske integraali:
.

Esittelemme kosinin differentiaalin merkin alla:

Integroimme osittain.

tässä u = x 2+3x+5, v = sin2x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Monimutkaiset integraalit

Tämä artikkeli täydentää aiheen epämääräisistä integraaleista, ja se sisältää integraalit, joita pidän melko vaikeina. Oppitunti luotiin vierailijoiden toistuvasta pyynnöstä, jotka ilmaisivat toiveensa, että vaikeampiakin esimerkkejä analysoidaan sivustolla.

Tämän tekstin lukijan oletetaan olevan hyvin valmistautunut ja osaa soveltaa integroinnin perustekniikoita. Nukkejen ja ihmisten, jotka eivät ole kovin varmoja integraaleista, tulisi viitata aivan ensimmäiseen oppituntiin - Epämääräinen integraali. Ratkaisuesimerkkejä jossa voit oppia aiheen melkein tyhjästä. Kokeneemmat opiskelijat voivat tutustua integraation tekniikoihin ja menetelmiin, joita artikkeleissani ei ole vielä tavattu.

Mitkä integraalit otetaan huomioon?

Ensin tarkastellaan integraaleja, joissa on juuret, joiden ratkaisuun käytämme peräkkäin muuttuva korvaus ja integrointi osilla. Toisin sanoen yhdessä esimerkissä yhdistetään kaksi menetelmää kerralla. Ja vielä enemmän.

Sitten tutustumme mielenkiintoiseen ja omaperäiseen menetelmä pelkistää integraali itseensä. Ei niin vähän integraaleja ratkaista tällä tavalla.

Ohjelman kolmas numero on monimutkaisten murtolukujen integraalit, jotka lensivät kassakoneen ohi aiemmissa artikkeleissa.

Neljänneksi analysoidaan trigonometristen funktioiden lisäintegraaleja. Erityisesti on olemassa menetelmiä, joilla vältetään aikaa vievä yleinen trigonometrinen korvaaminen.

(2) Integrandissa jaetaan osoittaja termillä nimittäjä termillä.

(3) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuuden ominaisuutta. Viimeisessä integraalissa välittömästi tuo funktio differentiaalin merkin alle.

(4) Otetaan loput integraalit. Huomaa, että voit käyttää logaritmissa sulkuja etkä moduulia, koska .

(5) Suoritamme käänteisen substituution, joka ilmaisee suorasta korvauksesta "te":

Masokistiset opiskelijat voivat erottaa vastauksen ja saada alkuperäisen integrandin, kuten minä juuri tein. Ei, ei, tein tarkistuksen oikeassa mielessä =)

Kuten näette, ratkaisun aikana jouduttiin käyttämään jopa enemmän kuin kahta ratkaisumenetelmää, joten tällaisten integraalien käsittelyyn tarvitaan varmoja integrointitaitoja ja ei vähiten kokemusta.

Käytännössä neliöjuuri on tietysti yleisempi, tässä on kolme esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi epämääräinen integraali

Esimerkki 3

Etsi epämääräinen integraali

Esimerkki 4

Etsi epämääräinen integraali

Nämä esimerkit ovat samantyyppisiä, joten artikkelin lopussa oleva täydellinen ratkaisu on vain esimerkille 2, esimerkeissä 3-4 - yksi vastaus. Mitä korvaavaa vaihtoehtoa käyttää päätösten alussa, on mielestäni ilmeinen. Miksi valitsin samantyyppiset esimerkit? Löytyy usein rooleistaan. Useammin ehkä vain jotain sellaista .

Mutta ei aina, kun lineaarifunktion juuri on arctangentin, sinin, kosinin, eksponentin ja muiden funktioiden alapuolella, useita menetelmiä on käytettävä kerralla. Monissa tapauksissa on mahdollista "pääsy pois helposti", eli heti vaihdon jälkeen saadaan yksinkertainen integraali, joka otetaan alkeellisesti. Helpoin yllä ehdotetuista tehtävistä on esimerkki 4, jossa vaihdon jälkeen saadaan suhteellisen yksinkertainen integraali.

Menetelmä integraalin pelkistämiseksi itselleen

Näppärä ja kaunis menetelmä. Katsotaanpa genren klassikoita:

Esimerkki 5

Etsi epämääräinen integraali

Juuren alla on neliönmuotoinen binomi, ja kun tätä esimerkkiä yritetään integroida, teekannu voi kärsiä tuntikausia. Tällainen integraali otetaan osiin ja pelkistyy itsestään. Periaatteessa se ei ole vaikeaa. Jos tiedät kuinka.

Merkitään tarkasteltu integraali latinalaisella kirjaimella ja aloitetaan ratkaisu:

Integrointi osilla:

(1) Valmistelemme integrandin termikohtaista jakamista varten.

(2) Jaamme integrandin termillä termillä. Ehkä kaikki eivät ymmärrä, kirjoitan tarkemmin:

(3) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuuden ominaisuutta.

(4) Otetaan viimeinen integraali ("pitkä" logaritmi).

Katsotaanpa nyt ratkaisun alkua:

Ja lopuksi:

Mitä tapahtui? Manipulaatioidemme seurauksena integraali on pelkistynyt itsestään!

Yhdistä alku ja loppu:

Siirrymme vasemmalle puolelle merkin muutoksella:

Ja puretaan kakkonen oikealle puolelle. Tuloksena:

Tarkkaan ottaen vakio olisi pitänyt lisätä aiemmin, mutta lisäsin sen lopussa. Suosittelen lukemaan tämän vakavuuden:

merkintä: Tarkemmin sanottuna ratkaisun viimeinen vaihe näyttää tältä:

Tällä tavalla:

Vakio voidaan nimetä uudelleen komennolla . Miksi voit nimetä uudelleen? Koska se vaatii vielä minkä tahansa arvot, ja tässä mielessä vakioiden ja välillä ei ole eroa.
Tuloksena:

Samanlaista temppua jatkuvalla uudelleennimeämisellä käytetään laajalti differentiaaliyhtälöt. Ja siellä olen tiukka. Ja täällä sallin tällaiset vapaudet vain, jotta en sekoittaisi sinua tarpeettomiin asioihin ja keskittyisi itse integraatiomenetelmään.

Esimerkki 6

Etsi epämääräinen integraali

Toinen tyypillinen integraali itsenäiselle ratkaisulle. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Ero edellisen esimerkin vastaukseen on!

Jos neliöjuuren alla on neliötrinomi, niin ratkaisu joka tapauksessa pelkistyy kahteen analysoituun esimerkkiin.

Harkitse esimerkiksi integraalia . Sinun tarvitsee vain etukäteen valitse täysi neliö:
.
Seuraavaksi suoritetaan lineaarinen korvaus, joka hoitaa "ilman seurauksia":
, jolloin tuloksena on integraali . Jotain tuttua, eikö?

Tai tämä esimerkki neliöbinomiaalilla:
Koko neliön valitseminen:
Ja lineaarisen korvauksen jälkeen saamme integraalin, joka on myös ratkaistu jo harkitulla algoritmilla.

Harkitse kahta tyypillisempää esimerkkiä integraalin pelkistämisestä itselleen:
on eksponentin integraali kerrottuna sinillä;
on eksponentin integraali kerrottuna kosinilla.

Luetteloiduissa integraaleissa osittain sinun on integroitava jo kahdesti:

Esimerkki 7

Etsi epämääräinen integraali

Integrandi on eksponentti kerrottuna sinillä.

Integroimme osittain kahdesti ja vähennämme integraalin itseensä:

Osien kaksoisintegroinnin seurauksena integraali pelkistyy itsestään. Yhdistä ratkaisun alku ja loppu:

Siirrymme vasemmalle puolelle merkin muutoksella ja ilmaisemme integraalimme:

Valmis. Matkan varrella on toivottavaa kammata oikea puoli, ts. ota eksponentti pois suluista ja laita sini ja kosini sulkuihin "kauniissa" järjestyksessä.

Palataanpa nyt esimerkin alkuun tai pikemminkin osien integrointiin:

Olemme nimenneet näytteilleasettajan. Herää kysymys, onko eksponentti, jota tulisi aina merkitä ? Ei välttämättä. Itse asiassa katsotussa integraalissa pohjimmiltaan ei väliä, mitä tarkoittaa, voisi mennä toisinkin:

Miksi tämä on mahdollista? Koska eksponentti muuttuu itsestään (differentoinnissa ja integroinnissa), sini ja kosini muuttuvat keskenään (taaskin sekä differentioituessa että integroitaessa).

Eli trigonometrinen funktio voidaan myös merkitä. Mutta tarkasteltavassa esimerkissä tämä ei ole yhtä järkevää, koska murtoluvut ilmestyvät. Jos haluat, voit yrittää ratkaista tämän esimerkin toisella tavalla, vastausten on oltava samat.

Esimerkki 8

Etsi epämääräinen integraali

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Ennen kuin teet päätöksen, mieti, mikä on tässä tapauksessa kannattavampaa osoittaa, eksponentiaalinen vai trigonometrinen funktio? Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Ja tietysti älä unohda, että suurin osa tämän oppitunnin vastauksista on melko helppo tarkistaa erottamalla!

Esimerkkejä ei pidetty vaikeimpana. Käytännössä integraalit ovat yleisempiä, joissa vakio on sekä trigonometrisen funktion eksponenttiosassa että argumentissa, esimerkiksi: . Monet ihmiset joutuvat hämmentymään tällaisessa integraalissa, ja itsekin hämmenän usein. Tosiasia on, että ratkaisussa on suuri todennäköisyys murto-osien ilmestymiselle, ja on erittäin helppoa menettää jotain tarkkaamattomuuden vuoksi. Lisäksi etumerkeissä on suuri virheiden todennäköisyys, huomaa, että eksponentissa on miinusmerkki, mikä aiheuttaa lisävaikeuksia.

Viimeisessä vaiheessa se käy usein näin:

Jo ratkaisun lopussa sinun tulee olla erittäin varovainen ja käsitellä fraktioita oikein:

Monimutkaisten jakeiden integrointi

Lähestymme hitaasti oppitunnin päiväntasaajaa ja alamme harkita murtolukujen integraaleja. Jälleen, kaikki eivät ole erittäin monimutkaisia, vain syystä tai toisesta esimerkit olivat hieman "off-topic" muissa artikkeleissa.

Jatketaan juurten teemaa

Esimerkki 9

Etsi epämääräinen integraali

Nimittäjässä juuren alla on neliötrinomi plus juuren "liite" ulkopuolella muodossa "X". Tämän muodon integraali ratkaistaan ​​käyttämällä standardikorvausta.

Me päätämme:

Korvaaminen tässä on yksinkertainen:

Katse elämään vaihdon jälkeen:

(1) Korvauksen jälkeen vähennämme juuren alla olevat termit yhteiseksi nimittäjäksi.
(2) Otamme sen pois juuren alta.
(3) Pienennämme osoittajaa ja nimittäjää . Samaan aikaan juuren alle järjestin ehdot uudelleen sopivaan järjestykseen. Kokemuksella vaiheet (1), (2) voidaan ohittaa suorittamalla kommentoidut toiminnot suullisesti.
(4) Tuloksena oleva integraali, kuten muistat oppitunnilta Joidenkin murtolukujen integrointi, on ratkaistu täyden neliön valintamenetelmä. Valitse täysi neliö.
(5) Integroimalla saadaan tavallinen "pitkä" logaritmi.
(6) Suoritamme käänteisen vaihdon. Jos aluksi , niin takaisin: .
(7) Viimeinen toimenpide on suunnattu tuloksen kampaamiseen: juuren alle tuodaan termit jälleen yhteiseen nimittäjään ja otetaan ne juuren alta.

Esimerkki 10

Etsi epämääräinen integraali

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tässä yksittäiseen x:ään lisätään vakio, ja korvaus on melkein sama:

Ainoa asia, joka on tehtävä lisäksi, on ilmaista "x" korvauksesta:

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Joskus tällaisessa integraalissa voi olla neliöbinomi juuren alla, tämä ei muuta ratkaisun ratkaisutapaa, se on jopa yksinkertaisempi. Tunne erilaisuus:

Esimerkki 11

Etsi epämääräinen integraali

Esimerkki 12

Etsi epämääräinen integraali

Lyhyet ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa. On huomattava, että esimerkki 11 on täsmälleen binomi integraali, jonka ratkaisutapaa käsiteltiin oppitunnilla Irrationaalisten funktioiden integraalit.

2. asteen hajoamattoman polynomin integraali asteeseen

(polynomi nimittäjässä)

Harvinaisempi, mutta kuitenkin käytännön esimerkeissä esiintyvä integraalin muoto.

Esimerkki 13

Etsi epämääräinen integraali

Mutta palataanpa esimerkkiin, jossa on onnennumero 13 (rehellisesti sanottuna, en arvannut). Tämä integraali kuuluu myös niiden kategoriaan, joiden kanssa voit melko paljon kärsiä, jos et tiedä kuinka ratkaista.

Ratkaisu alkaa keinotekoisella muutoksella:

Luulen, että kaikki ymmärtävät jo kuinka jakaa osoittaja termillä nimittäjä termillä.

Tuloksena oleva integraali otetaan osiin:

Olemme johtaneet muodon ( on luonnollinen luku) integraalille toistuva alennuksen kaava:
, missä on alemman asteen integraali.

Varmistetaan tämän kaavan pätevyys ratkaistulle integraalille.
Tässä tapauksessa: , , käytämme kaavaa:

Kuten näet, vastaukset ovat samat.

Esimerkki 14

Etsi epämääräinen integraali

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Näyteliuoksessa käytetään yllä olevaa kaavaa kahdesti peräkkäin.

Jos tutkinnon alla on hajoamaton neliötrinomi, niin ratkaisu pelkistetään binomiaaliksi irrottamalla täysi neliö, esimerkiksi:

Entä jos osoittajassa on ylimääräinen polynomi? Tässä tapauksessa käytetään määrittelemättömien kertoimien menetelmää ja integrandi laajennetaan murtolukujen summaksi. Mutta minun käytännössä tällaisen esimerkin koskaan tavannut, joten ohitin tämän tapauksen artikkelissa Murto-rationaalisen funktion integraalit, jätän sen nyt väliin. Jos tällainen integraali esiintyy edelleen, katso oppikirja - kaikki on siellä yksinkertaista. En pidä tarkoituksenmukaisena sisällyttää materiaalia (edes yksinkertaista), jonka kohtaamisen todennäköisyys on nolla.

Monimutkaisten trigonometristen funktioiden integrointi

Adjektiivi "vaikea" useimmissa esimerkeissä on jälleen suurelta osin ehdollinen. Aloitetaan tangenteista ja kotangenteista suurissa tehoissa. Tangentin ja kotangentin ratkaisemiseen käytettyjen menetelmien näkökulmasta katsottuna ovat lähes samat, joten puhun enemmän tangentista, mikä tarkoittaa, että esitetty integraalin ratkaisumenetelmä pätee myös kotangentille.

Yllä olevassa oppitunnissa tarkastelimme universaali trigonometrinen substituutio tietyntyyppisten trigonometristen funktioiden integraalien ratkaisemiseen. Universaalin trigonometrisen substituution haittana on, että sen soveltaminen johtaa usein hankalia integraaleihin, joissa on vaikea laskea. Ja joissakin tapauksissa universaali trigonometrinen korvaaminen voidaan välttää!

Harkitse toista kanonista esimerkkiä, ykseyden integraalia jaettuna sinillä:

Esimerkki 17

Etsi epämääräinen integraali

Täällä voit käyttää universaalia trigonometristä substituutiota ja saada vastauksen, mutta on olemassa järkevämpi tapa. Tarjoan täydellisen ratkaisun kommentteineen jokaiselle vaiheelle:

(1) Käytämme trigonometristä kaavaa kaksoiskulman sinille.
(2) Suoritamme keinotekoisen muunnoksen: Nimittäjässä jaetaan ja kerrotaan .
(3) Muutamme murto-osan tangentiksi nimittäjässä olevan kaavan mukaan.
(4) Tuomme funktion differentiaalin merkin alle.
(5) Otetaan integraali.

Pari yksinkertaista esimerkkiä ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 18

Etsi epämääräinen integraali

Vihje: Ensimmäinen askel on pelkistyskaavan käyttö ja suorita huolellisesti edellisen esimerkin kaltaiset toimet.

Esimerkki 19

Etsi epämääräinen integraali

No, tämä on hyvin yksinkertainen esimerkki.

Täydelliset ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Luulen, että nyt kenelläkään ei ole ongelmia integraalien kanssa:
jne.

Mikä on menetelmän idea? Ideana on käyttää muunnoksia, trigonometrisiä kaavoja järjestämään vain tangentit ja tangentin derivaatta integrandissa. Eli puhumme korvaamisesta: . Esimerkeissä 17-19 käytimme itse asiassa tätä korvausta, mutta integraalit olivat niin yksinkertaisia, että se tehtiin vastaavalla toimenpiteellä - tuomalla funktio differentiaalimerkin alle.

Samanlainen päättely, kuten jo mainitsin, voidaan suorittaa kotangentille.

Yllä olevan korvauksen soveltamiselle on myös muodollinen edellytys:

Kosinin ja sinin potenssien summa on negatiivinen parillinen kokonaisluku, esimerkiksi:

integraalille negatiivinen parillinen kokonaisluku.

! Merkintä : jos integrandi sisältää VAIN sinin tai VAIN kosinin, integraali otetaan jopa negatiivisella parittomalla asteella (yksinkertaisimmat tapaukset ovat esimerkeissä 17, 18).

Harkitse muutamaa merkityksellisempää tehtävää tälle säännölle:

Esimerkki 20

Etsi epämääräinen integraali

Sinin ja kosinin asteiden summa: 2 - 6 \u003d -4 - negatiivinen parillinen kokonaisluku, mikä tarkoittaa, että integraali voidaan pelkistää tangenteiksi ja sen derivaatiksi:

(1) Muunnetaan nimittäjä.
(2) Tunnetun kaavan mukaan saamme .
(3) Muunnetaan nimittäjä.
(4) Käytämme kaavaa .
(5) Tuomme funktion differentiaalimerkin alle.
(6) Suoritamme vaihdon. Kokeneemmat opiskelijat eivät välttämättä suorita vaihtoa, mutta silti on parempi korvata tangentti yhdellä kirjaimella - sekaannusten riski on pienempi.

Esimerkki 21

Etsi epämääräinen integraali

Tämä on tee-se-itse-esimerkki.

Odota, mestaruuskierrokset alkavat =)

Usein integrandissa on "hodgepodge":

Esimerkki 22

Etsi epämääräinen integraali

Tämä integraali sisältää aluksi tangentin, joka välittömästi ehdottaa jo tuttua ajatusta:

Jätän keinotekoisen muutoksen heti alkuun ja loput vaiheet kommentoimatta, koska kaikki on jo sanottu edellä.

Pari luovaa esimerkkiä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 23

Etsi epämääräinen integraali

Esimerkki 24

Etsi epämääräinen integraali

Kyllä, niissä voit tietysti alentaa sinin, kosinin asteita, käyttää universaalia trigonometristä substituutiota, mutta ratkaisu on paljon tehokkaampi ja lyhyempi, jos se vedetään tangenttien läpi. Koko ratkaisu ja vastaukset oppitunnin lopussa