Avaruuden suoran yhtälöt. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Läpi kulkevan suoran yhtälö annettu piste sisään tähän suuntaan. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kaltevuus määräytyy kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa annetaan kaltevuusyhtälöillä

y = k 1 x + B 1 ,

Avaruuden suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ne täyttävät ehdon:

Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.

Numerot m , n ja s ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n ja s ei voi olla nolla samanaikaisesti. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraavat merkinnät ovat sallittuja:

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akseleille Oy ja Oz ovat yhtä suuret kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden antama suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1 Laadi yhtälöt suorasta avaruudessa, joka on kohtisuorassa tasoon nähden ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Ratkaisu. Etsi annetun tason ja akselin leikkauspiste Oz. Koska mikä tahansa akselin piste Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa yhtälössä tason x=y= 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi annetun tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi normaalivektori voi toimia suoran suuntausvektorina annettu lentokone.

Nyt kirjoitetaan halutut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

Yllä olevat yhtälöt määrittelevät suoran, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta.

Esimerkki 2 Kirjoita yhtälö suoran avaruudessa kulkevan pisteiden ja .

Ratkaisu. Kirjoitamme halutut suoran yhtälöt yllä esitetyssä muodossa teoreettisessa viitteessä:

Koska , Haluttu viiva on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Suora avaruudessa voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. joukkona pisteitä, jotka täyttävät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Esimerkki 3 Laadi suoran suoran kanoniset yhtälöt yleisten yhtälöiden antamaan avaruuteen

Ratkaisu. Kirjoittaaksesi suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä minkä tahansa kahden suoran pisteen koordinaatit. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) halutusta rivistä. Olettaen sitten annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran ja tason leikkauspiste xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

tai jakamalla nimittäjät -2:lla:

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 läpi kulkevan suoran yhtälö on muotoa y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Kutsutaan yhtälöä (10.8). tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).

Tämä artikkeli paljastaa kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön johdosta suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, joka sijaitsee tasossa. Johdetaan yhtälö suorasta suorasta, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Näytämme ja ratkaisemme visuaalisesti useita esimerkkejä käsiteltyyn materiaaliin liittyen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen kuin saadaan kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, on tarpeen kiinnittää huomiota joihinkin tosiasioihin. On olemassa aksiooma, joka sanoo, että kahden tason ei-samantuvan pisteen kautta on mahdollista piirtää suora ja vain yksi. Toisin sanoen tason kaksi annettua pistettä määritetään näiden pisteiden läpi kulkevalla suoralla.

Jos taso on annettu suorakaiteen muotoisella koordinaattijärjestelmällä Oxy, niin mikä tahansa siinä kuvattu suora vastaa tason suoran yhtälöä. Myös suoran suuntavektoriin on yhteys, jotka riittävät kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön muodostamiseen.

Harkitse esimerkkiä samanlaisen ongelman ratkaisemisesta. On tarpeen muodostaa yhtälö suorasta a, joka kulkee kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa olevien yhteensopimattomien pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) kautta.

Tason suoran kanonisessa yhtälössä, jonka muoto on x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y määritetään suoralla, joka leikkaa sen pisteessä, jonka koordinaatit on M 1 (x 1, y 1) ohjausvektorilla a → = (a x , a y) .

On tarpeen muodostaa kanoninen yhtälö suoralle a, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) .

Suoralla a on suuntavektori M 1 M 2 → ja koordinaatit (x 2 - x 1, y 2 - y 1), koska se leikkaa pisteet M 1 ja M 2. Olemme saaneet tarvittavat tiedot kanonisen yhtälön muuntamiseksi suuntavektorin M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinaatteilla ja niillä olevien pisteiden M 1 koordinaatteilla. (x 1, y 1) ja M2 (x 2, y 2). Saadaan yhtälö muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Laskennan jälkeen kirjoitetaan suoran parametriset yhtälöt tasoon, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) . Saamme yhtälön muodossa x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ tai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Tarkastellaanpa muutamaa esimerkkiä tarkemmin.

Esimerkki 1

Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, joka kulkee 2 annetun pisteen kautta koordinaattein M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Ratkaisu

Kanoninen yhtälö suoralle, joka leikkaa kahdessa pisteessä, jonka koordinaatit ovat x 1, y 1 ja x 2, y 2, on muotoa x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1. Ongelman ehdon mukaan meillä on x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. On tarpeen korvata numeeriset arvot yhtälössä x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Tästä saadaan, että kanoninen yhtälö on muotoa x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Vastaus: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jos on tarpeen ratkaista ongelma toisen tyyppisellä yhtälöllä, voit aluksi siirtyä kanoniseen yhtälöön, koska siitä on helpompi päästä mihin tahansa muuhun.

Esimerkki 2

Laadi yleinen yhtälö suorasta, joka kulkee O x y -koordinaatistossa olevien pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (1, 1) ja M 2 (4, 2).

Ratkaisu

Ensin sinun on kirjoitettava muistiin tietyn suoran kanoninen yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen kautta. Saadaan yhtälö muotoa x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Tuomme kanonisen yhtälön haluttuun muotoon, niin saamme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Vastaus: x - 3 y + 2 = 0 .

Esimerkkejä tällaisista tehtävistä pohdittiin koulun oppikirjoissa algebratunneilla. koulutehtävät erosivat siinä, että kaltevuuskertoimella varustetun suoran yhtälö tunnettiin muotoa y \u003d k x + b. Jos sinun on löydettävä kulmakertoimen k ja luvun b arvo, jossa yhtälö y \u003d k x + b määrittää O x y -järjestelmässä suoran, joka kulkee pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M kautta 2 (x 2, y 2) , jossa x 1 ≠ x 2 . Kun x 1 = x 2 , niin kulmakerroin saa äärettömän arvon ja suora M 1 M 2 määritellään yleisellä epätäydellisellä yhtälöllä muotoa x - x 1 = 0 .

Koska pisteet M 1 ja M 2 ovat suoralla, niin niiden koordinaatit täyttävät yhtälön y 1 = k x 1 + b ja y 2 = k x 2 + b. On tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k:n ja b:n suhteen.

Tätä varten löydämme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Tällaisilla k:n ja b:n arvoilla tietyn kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on muodossa y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Näin valtavan määrän kaavoja muistaminen kerralla ei toimi. Tätä varten on tarpeen lisätä toistojen määrää ongelmien ratkaisemisessa.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle kulmakertoimelle, joka kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 2 (2, 1) ja y = k x + b.

Ratkaisu

Ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavaa, jonka kaltevuus on muotoa y \u003d k x + b. Kertoimien k ja b on saatava sellainen arvo, että tämä yhtälö vastaa suoraa, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (- 7 , - 5) ja M 2 (2, 1) .

pisteitä M 1 ja M 2 jotka sijaitsevat suoralla, niin niiden koordinaattien tulee kääntää yhtälö y = k x + b oikea yhtälö. Tästä saadaan, että - 5 = k · (- 7) + b ja 1 = k · 2 + b. Yhdistetään yhtälö järjestelmään - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ja ratkaistaan.

Korvaamalla saamme sen

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nyt arvot k = 2 3 ja b = - 1 3 korvataan yhtälöllä y = k x + b . Saamme, että haluttu yhtälö, joka kulkee annettujen pisteiden läpi, on yhtälö, jonka muoto on y = 2 3 x - 1 3 .

Tämä ratkaisutapa määrää kulutuksen ennalta suuri numero aika. On olemassa tapa, jolla tehtävä ratkaistaan kirjaimellisesti kahdessa vaiheessa.

Kirjoitamme M 2 (2, 1) ja M 1 (- 7, - 5) kautta kulkevan suoran kanonisen yhtälön, jonka muoto on x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Siirrytään nyt kaltevuusyhtälöön. Saamme, että x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Vastaus: y = 2 3 x - 1 3 .

Jos kolmiulotteisessa avaruudessa on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on kaksi annettua ei-yhteensopivaa pistettä, joiden koordinaatit M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), Niiden läpi kulkeva suora M 1 M 2 , on tarpeen saada tämän suoran yhtälö.

Meillä on kanoniset yhtälöt muotoa x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ja parametriset yhtälöt muotoa x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ pystyvät asettamaan suoran O x y z -koordinaatistossa, joka kulkee pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (x 1, y 1, z 1) suuntausvektorilla a → = (a x, a y, a z) .

Suora M 1 M 2 sillä on muotoa M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) oleva suuntavektori, jossa suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1, z) kautta 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), joten kanoninen yhtälö voi olla muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 puolestaan parametrinen x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ tai x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tarkastellaan kuvaa, joka esittää 2 annettua pistettä avaruudessa ja suoran yhtälön.

Esimerkki 4

Kirjoita kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään O x y z määritellyn suoran yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen läpi koordinaatilla M 1 (2, - 3, 0) ja M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Ratkaisu

Meidän on löydettävä kanoninen yhtälö. Koska puhumme kolmiulotteisesta avaruudesta, se tarkoittaa, että kun suora kulkee annettujen pisteiden läpi, haluttu kanoninen yhtälö on muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Ehdolla meillä on, että x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Tästä seuraa, että tarvittavat yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Vastaus: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter