Lineaariset epäyhtälöt. Yksityiskohtainen teoria esimerkeineen. Numeeriset epäyhtälöt ja niiden ominaisuudet Epäyhtälöiden jakaminen epäyhtälöillä

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai viranomaisten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Epäyhtälöjärjestelmäksi kutsutaan yleensä useiden epäyhtälöiden kirjaamista kiharan aaltosulkeen merkin alle (tässä tapauksessa järjestelmään sisältyvien epäyhtälöiden lukumäärä ja tyyppi voivat olla mielivaltaisia).

Järjestelmän ratkaisemiseksi on löydettävä kaikkien siihen sisältyvien epäyhtälöiden ratkaisujen leikkauspiste. Matematiikassa ratkaisu epätasa-arvoon on mikä tahansa muutoksen arvo, jolle eriarvoisuus on totta. Toisin sanoen, sinun on löydettävä joukko sen ratkaisuja - tätä kutsutaan vastaukseksi. Esimerkkinä yritetään opetella ratkaisemaan epäyhtälöjärjestelmä intervallimenetelmällä.

Eriarvoisuuksien ominaisuudet

Ongelman ratkaisemiseksi on tärkeää tuntea epätasa-arvojen perusominaisuudet, jotka voidaan muotoilla seuraavasti:

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä yksi ja sama funktio, joka on määritelty tämän epäyhtälön sallittujen arvojen alueella (ADV);
Jos f(x) > g(x) ja h(x) on mikä tahansa epäyhtälön ODZ:ssä määritelty funktio, niin f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tämän epäyhtälön ODZ:ssä määritellyllä positiivisella funktiolla (tai positiivisella luvulla), saadaan epäyhtälö, joka vastaa alkuperäistä;
Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan negatiivisella funktiolla, joka on määritelty tämän epäyhtälön ODZ:ssä (tai negatiivinen luku) ja muuta epäyhtälömerkki vastakkaiseksi, niin tuloksena oleva epäyhtälö vastaa annettua epäyhtälöä;
Saman merkityksen eriarvoisuudet voidaan lisätä termi kerrallaan ja vastakkaisen merkityksen eriarvoisuudet voidaan vähentää termi kerrallaan;
Samanmerkityksiset epäyhtälöt positiivisilla osilla voidaan kertoa termiltä ja ei-negatiivisten funktioiden muodostamat eriarvoisuudet voidaan nostaa termi kerrallaan positiiviseen potenssiin.

Epäyhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi sinun on ratkaistava jokainen epäyhtälö erikseen ja sitten verrattava niitä. Tuloksena on myönteinen tai negatiivinen vastaus, mikä tarkoittaa, onko järjestelmällä ratkaisu vai ei.

Intervallimenetelmä

Ratkaiseessaan epäyhtälöjärjestelmää matemaatikot turvautuvat usein intervallimenetelmään yhtenä tehokkaimmista. Sen avulla voimme pelkistää ratkaisun epäyhtälöön f(x) > 0 (<, <, >) yhtälön f(x) = 0 ratkaisemiseksi.

Menetelmän olemus on seuraava:

Etsi eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen alue;
Pienennä epäyhtälö muotoon f(x) > 0(<, <, >), eli siirrä oikea puoli vasemmalle ja yksinkertaista;
Ratkaise yhtälö f(x) = 0;
Piirrä numeroviivalle funktiokaavio. Kaikki ODZ:hen merkityt ja sitä rajoittavat pisteet jakavat tämän joukon ns. vakiomerkin intervalleiksi. Jokaisella tällaisella aikavälillä määritetään funktion f(x) etumerkki;
Kirjoita vastaus yksittäisten joukkojen liitoksi, jossa f(x):llä on vastaava merkki. Rajaavat ODZ-pisteet sisällytetään (tai eivät sisälly) vastaukseen lisätarkistuksen jälkeen.

1 . Jos a>b, Tuo b< a ; päinvastoin, jos A< b , Tuo b > a.

Esimerkki. Jos 5x – 1 > 2x + 1, Tuo 2x +1< 5x — 1 .

2 . Jos a>b Ja b > c, Tuo a > c. samanlainen, A< b Ja b< с , Tuo a< с .

Esimerkki. Epätasa-arvosta x > 2у, 2v > 10 seuraa sitä x >10.

3 . Jos a > b, Että a + c > b + c Ja a – c > b – c. Jos A< b , Tuo a + c Ja a - c , nuo. voit lisätä (tai vähentää) saman määrän epäyhtälön molemmille puolille

Esimerkki 1. Epätasa-arvo huomioon ottaen x + 8>3. Vähentämällä luku 8 epäyhtälön molemmilta puolilta, löydämme x > - 5.

Esimerkki 2. Epätasa-arvo huomioon ottaen x-6< — 2 . Lisäämällä 6 molemmille puolille löydämme X< 4 .

4 . Jos a>b Ja c > d, Että a + c >b + d; aivan sama jos A< b Ja Kanssa< d , Tuo a + c< b + d , eli kaksi samaa merkityksellistä epäyhtälöä) voidaan lisätä termi kerrallaan. Tämä pätee mille tahansa epätasa-arvolle, esimerkiksi jos a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, Tuo a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Esimerkki 1. Epätasa-arvo — 8 > — 10 Ja 5 > 2 ovat totta. Lisäämällä ne termi kerrallaan löydämme todellisen epätasa-arvon — 3 > — 8 .

Esimerkki 2. Kun otetaan huomioon epätasa-arvojärjestelmä ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)v< 4 . Laskemalla ne yhteen termeiltä saamme selville x< 22 .

Kommentti. Kahta samaa merkityksellistä epäyhtälöä ei voida vähentää toisistaan termi kerrallaan, koska tulos voi olla tosi, mutta se voi olla myös virheellinen. Esimerkiksi jos epätasa-arvosta 10 > 8 2 > 1 , niin saadaan oikea epäyhtälö 8 > 7 mutta jos samasta epätasa-arvosta 10 > 8 vähennä epätasa-arvo termiltä 6 > 1 , silloin saamme absurdin. Vertaa seuraavaa kohtaa.

5 . Jos a>b Ja c< d , Tuo a – c > b – d; Jos A< b Ja c - d, Tuo a - c< b — d ts. yhdestä epäyhtälöstä voidaan vähentää termi kerrallaan toinen päinvastainen epäyhtälö), jolloin jätetään merkki epätasa-arvosta, josta toinen on vähennetty.

Esimerkki 1. Epätasa-arvo 12 < 20 Ja 15 > 7 ovat totta. Vähentämällä toinen termi kerrallaan ensimmäisestä ja jättämällä ensimmäisen merkin, saadaan oikea epäyhtälö — 3 < 13 . Vähentämällä ensimmäinen toisesta termistä termillä ja jättämällä toisen merkin, löydämme oikean epäyhtälön 3 > — 13 .

Esimerkki 2. Annettu epätasa-arvojärjestelmä (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Vähentämällä toinen ensimmäisestä epäyhtälöstä, löydämme y< 10 .

6 . Jos a > b Ja m on siis positiivinen luku ma > mb Ja a/n > b/n, eli epäyhtälön molemmat puolet voidaan jakaa tai kertoa samalla positiivisella luvulla (epäyhtälön merkki pysyy samana). a>b Ja n on siis negatiivinen luku na< nb Ja a/n< b/n , eli epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, mutta epäyhtälön etumerkki on vaihdettava päinvastaiseksi.

Esimerkki 1. Jakaa todellisen epätasa-arvon molemmat puolet 25 > 20 päällä 5 , saamme oikean epäyhtälön 5 > 4 . Jos jaamme epätasa-arvon molemmat puolet 25 > 20 päällä — 5 , sinun on vaihdettava merkki > päällä < , ja sitten saadaan oikea epäyhtälö — 5 < — 4 .

Esimerkki 2. Epätasa-arvosta 2x< 12 seuraa sitä X< 6 .

Esimerkki 3. Epätasa-arvosta -(1/3)х – (1/3)х > 4 seuraa sitä x< — 12 .

Esimerkki 4. Epätasa-arvo huomioon ottaen x/k > y/l; siitä seuraa, että lx > ky, jos numeroiden merkit l Ja k ovat samat, entä sitten lx< ky , jos numeroiden merkit l Ja k vastapäätä.

Epätasa-arvolla on merkittävä rooli matematiikassa. Koulussa käsittelemme pääasiassa numeeriset epäyhtälöt, jonka määritelmällä aloitamme tämän artikkelin. Ja sitten luetellaan ja perustellaan numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet, johon kaikki eriarvoisuuden kanssa työskentelyn periaatteet perustuvat.

Huomaa heti, että monet numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet ovat samanlaisia. Siksi esittelemme materiaalin saman kaavan mukaan: muotoilemme ominaisuuden, annamme sen perustelut ja esimerkit, minkä jälkeen siirrymme seuraavaan ominaisuuteen.

Sivulla navigointi.

Numeeriset epäyhtälöt: määritelmä, esimerkkejä

Kun otimme käyttöön epätasa-arvon käsitteen, huomasimme, että eriarvoisuudet määritellään usein sen perusteella, miten ne kirjoitetaan. Joten kutsuimme epäyhtälöitä merkityksellisiksi algebrallisiksi lausekkeiksi, jotka sisältävät merkit, jotka eivät ole yhtä suuria kuin ≠, vähemmän<, больше >, pienempi tai yhtä suuri kuin ≤ tai suurempi tai yhtä suuri kuin ≥. Yllä olevan määritelmän perusteella on tarkoituksenmukaista antaa numeerisen epäyhtälön määritelmä:

Numeeristen epäyhtälöiden kohtaaminen tapahtuu matematiikan tunneilla ensimmäisellä luokalla heti ensimmäisiin luonnollisiin lukuihin 1-9 tutustumisen ja vertailuoperaatioon tutustumisen jälkeen. Totta, siellä niitä kutsutaan yksinkertaisesti epätasa-arvoiksi, jättäen pois "numeerisen" määritelmän. Selvyyden vuoksi ei haittaisi antaa pari esimerkkiä yksinkertaisimmista numeerisista epäyhtälöistä heidän tutkimuksensa kyseisestä vaiheesta: 1<2 , 5+2>3 .

Ja kauempana luonnolliset luvut tietoa laajennetaan muuntyyppisiin lukuihin (kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut), niiden vertailun sääntöjä tutkitaan, mikä laajentaa merkittävästi lajien monimuotoisuus numeeriset epäyhtälöt: −5>−72, 3>−0.275·(7−5.6) , .

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet
Käytännössä eriarvoisuuksien kanssa työskentely mahdollistaa useita numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet. Ne johtuvat esittämästämme epätasa-arvon käsitteestä. Suhteessa lukuihin tämä käsite annetaan seuraavalla lauseella, jota voidaan pitää relaatioiden "vähemmän kuin" ja "enemmän kuin" määritelmänä lukujoukossa (tätä kutsutaan usein epäyhtälön eromääritelmäksi):

Määritelmä.

määrä a lisää numeroa b jos ja vain jos ero a−b on positiivinen luku;

luku a on pienempi kuin luku b, jos ja vain jos ero a−b on negatiivinen luku;

luku a on yhtä suuri kuin luku b, jos ja vain jos ero a−b on nolla.

Tämä määritelmä voidaan muokata suhteiden "pienempi tai yhtä suuri" ja "suurempi tai yhtä suuri kuin" määritelmäksi. Tässä hänen sanamuotonsa:

Määritelmä.

määrä a on suurempi tai yhtä suuri kuin b, jos ja vain jos a-b on ei-negatiivinen luku;

a on pienempi tai yhtä suuri kuin b, jos ja vain jos a−b on ei-positiivinen luku.

Käytämme näitä määritelmiä todistaessamme numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia, joita tarkastellaan.

Perusominaisuudet

Aloitamme tarkastelun kolmella eriarvoisuuden pääominaisuudella. Miksi ne ovat perusasioita? Koska ne ovat heijastus epätasa-arvojen ominaisuuksista yleisimmässä mielessä, eivätkä vain suhteessa numeeriseen epätasa-arvoon.

Numeeriset epäyhtälöt kirjoitettu merkeillä< и >, ominaisuus:

Mitä tulee numeerisille epäyhtälöille, jotka on kirjoitettu käyttämällä heikkoja epäyhtälömerkkejä ≤ ja ≥, niillä on refleksiivisuuden ominaisuus (eikä antirefleksiivisyys), koska epäyhtälöt a≤a ja a≥a sisältävät tapauksen, jossa yhtälö on a=a. Niille on ominaista myös antisymmetria ja transitiivisuus.

Joten numeerisilla epäyhtälöillä, jotka on kirjoitettu käyttämällä merkkejä ≤ ja ≥, on seuraavat ominaisuudet:

refleksiivisyys a≥a ja a≤a ovat todellisia epäyhtälöitä;

antisymmetria, jos a≤b, niin b≥a, ja jos a≥b, niin b≤a.

transitiivisuus, jos a≤b ja b≤c, niin a≤c, ja myös, jos a≥b ja b≥c, niin a≥c.

Niiden todisteet ovat hyvin samankaltaisia kuin jo esitetyt, joten emme viivyttele niissä, vaan siirrymme muihin numeeristen epäyhtälöiden tärkeisiin ominaisuuksiin.

Muita numeeristen epäyhtälöiden tärkeitä ominaisuuksia

Täydennetään numeeristen epäyhtälöiden perusominaisuuksia joukolla tuloksia, joilla on suuri käytännön merkitystä. Niihin perustuvat lausekkeiden arvojen estimointimenetelmät, niihin perustuvat periaatteet ratkaisuja eriarvoisuuteen ja niin edelleen. Siksi on suositeltavaa ymmärtää ne hyvin.

Tässä osiossa muotoillaan eriarvoisuuksien ominaisuudet vain yhdelle tiukan eriarvoisuuden merkille, mutta kannattaa pitää mielessä, että samanlaiset ominaisuudet pätevät myös vastakkaiselle merkille, samoin kuin ei-tiukkojen epäyhtälöiden merkkeille. Selitetään tämä esimerkillä. Alla muotoillaan ja todistetaan seuraava epäyhtälöiden ominaisuus: jos a
jos a>b niin a+c>b+c ;

jos a
jos a≥b, niin a+c≥b+c.

Mukavuuden vuoksi esitämme numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet luettelon muodossa, kun taas annamme vastaavan lausunnon, kirjoitamme sen muodollisesti kirjaimilla, annamme todisteen ja näytämme sitten esimerkkejä käytöstä. Ja artikkelin lopussa teemme yhteenvedon kaikista numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksista taulukossa. Mennä!

Minkä tahansa luvun lisääminen (tai vähentäminen) todellisen numeerisen epäyhtälön molemmille puolille tuottaa todellisen numeerisen epäyhtälön. Toisin sanoen, jos luvut a ja b ovat sellaisia, että a
Todistetaan se tekemällä ero viimeisen numeerisen epäyhtälön vasemman ja oikean puolen välillä ja osoitettava, että se on negatiivinen ehdolla a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Koska ehdolla a
Emme mieti tämän numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuden todisteita luvun c vähentämiseksi, koska reaalilukujen joukossa vähennys voidaan korvata lisäämällä −c.

Jos esimerkiksi lisäät numeron 15 oikean numeerisen epäyhtälön 7>3 molemmille puolille, saat oikean numeerisen epäyhtälön 7+15>3+15, joka on sama asia, 22>18.

Jos kelvollisen numeerisen epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan (tai jaetaan) samalla positiivisella luvulla c, saadaan kelvollinen numeerinen epäyhtälö. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan (tai jaetaan) negatiivisella luvulla c ja eriarvoisuuden etumerkki käännetään, niin epäyhtälö on tosi. Kirjaimellisessa muodossa: jos luvut a ja b täyttävät epäyhtälön a eKr.

Todiste. Aloitetaan tapauksesta, jossa c>0. Tehdään ero todistettavan numeerisen epäyhtälön vasemman ja oikean puolen välillä: a·c−b·c=(a−b)·c . Koska ehdolla a 0 , niin tulo (a−b)·c on negatiivinen luku negatiivisen luvun a−b ja positiivisen luvun c tulona (joka seuraa luvusta ). Siksi a·c−b·c<0 , откуда a·c
Emme viivyttele tarkasteltavan ominaisuuden todistuksessa todellisen numeerisen epäyhtälön molempien puolten jakamiseksi samalla luvulla c, koska jako voidaan aina korvata kertomalla luvulla 1/c.

Näytämme esimerkkiä analysoidun ominaisuuden käyttämisestä tietyissä luvuissa. Sinulla voi esimerkiksi olla oikean numeerisen epäyhtälön 4 molemmat puolet<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Juuri käsitellystä ominaisuudesta kertoa numeerisen yhtälön molemmat puolet luvulla, seuraa kaksi käytännössä arvokasta tulosta. Joten muotoilemme ne seurausten muodossa.

Kaikkia edellä tässä kappaleessa käsiteltyjä ominaisuuksia yhdistää se seikka, että ensin annetaan oikea numeerinen epäyhtälö ja siitä, manipuloimalla epäyhtälön ja merkin osia, saadaan toinen oikea numeerinen epäyhtälö. Nyt esitellään ominaisuuslohko, jossa ei alunperin anneta yhtä, vaan useita oikeita numeerisia epäyhtälöitä, ja niiden yhteiskäytöstä saadaan uusi tulos niiden osien yhteenlaskemisen tai kertomisen jälkeen.

Jos luvut a, b, c ja d täyttävät epäyhtälöt a
Osoitetaan, että (a+c)−(b+d) on negatiivinen luku, tämä todistaa, että a+c
Induktion avulla tämä ominaisuus ulottuu kolmen, neljän ja yleensä minkä tahansa äärellisen määrän numeeristen epäyhtälöiden yhteenlaskuun termi kerrallaan. Joten jos luvuille a 1, a 2, …, a n ja b 1, b 2, …, b n seuraavat epäyhtälöt ovat tosia: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Esimerkiksi meille annetaan kolme oikeaa samanmerkkistä numeerista epäyhtälöä −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Voit kertoa saman etumerkin numeeriset epäyhtälöt termillä, jonka molemmat puolet on esitetty positiivisilla luvuilla. Erityisesti kahdelle epätasa-arvolle a
Todistaaksesi sen, voit kertoa epäyhtälön a molemmat puolet
Tämä ominaisuus pätee myös minkä tahansa äärellisen määrän todellisten numeeristen epäyhtälöiden kertomiselle positiivisilla osilla. Eli jos a 1, a 2, ..., a n ja b 1, b 2, ..., b n ovat positiivisia lukuja ja a 1 a 1 a 2…a n .

Erikseen on syytä huomata, että jos numeeristen epäyhtälöiden merkintä sisältää ei-positiivisia lukuja, niin niiden termi kerrallaan kertominen voi johtaa vääriin numeerisiin epäyhtälöihin. Esimerkiksi numeeriset epäyhtälöt 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

Seuraus. Muodon a identtisten todellisten epäyhtälöiden terminen kertolasku

Artikkelin lopussa, kuten luvattiin, keräämme kaikki tutkitut kiinteistöt sisään numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksien taulukko:

Bibliografia.

Moro M.I.. Matematiikka. Oppikirja 1 luokalle. alku koulu 2 tunnissa Osa 1. (Vuoden ensimmäinen puolisko) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. painos. - M.: Koulutus, 2006. - 112 s.: ill.+Lisää. (2 erillistä l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.

Matematiikka: oppikirja 5 luokalle. Yleissivistävä koulutus laitokset / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Algebra: oppikirja 8 luokalle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. 2 tunnissa Osa 1. Oppikirja yleissivistävän oppilaitoksen opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Epätasa-arvo on tietue, jossa numerot, muuttujat tai lausekkeet on yhdistetty merkillä<, >, tai . Toisin sanoen epäyhtälöä voidaan kutsua lukujen, muuttujien tai lausekkeiden vertailuksi. Merkkejä < , > , ⩽ Ja ⩾ kutsutaan eriarvoisuuden merkkejä.

Eriarvoisuuksien tyypit ja niiden lukeminen:

Kuten esimerkeistä voidaan nähdä, kaikki epätasa-arvot koostuvat kahdesta osasta: vasemmasta ja oikeasta, joita yhdistää yksi eriarvoisuusmerkeistä. Epätasa-arvon osia yhdistävästä merkistä riippuen ne jaetaan tiukoihin ja ei-tiukoihin.

Tiukkaa eriarvoisuutta- epäyhtälöt, joiden osat on yhdistetty merkillä< или >. Ei-tiukat eriarvoisuudet- epäyhtälöt, joissa osat yhdistetään merkillä tai.

Tarkastellaan algebran vertailun perussääntöjä:

Mikä tahansa positiivinen luku, joka on suurempi kuin nolla.

Mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin nolla.

Kahdesta negatiivisesta luvusta se, jonka itseisarvo on pienempi, on suurempi. Esimerkiksi -1 > -7.

a Ja b positiivinen:
a - b > 0,
Että a lisää b (a > b).

Jos kahden erisuuruisen luvun ero a Ja b negatiivinen:
a - b < 0,
Että a Vähemmän b (a < b).

Jos luku on suurempi kuin nolla, se on positiivinen:
a> 0, mikä tarkoittaa a- positiivinen luku.

Jos luku on pienempi kuin nolla, se on negatiivinen:
a < 0, значит a- negatiivinen luku.

Vastaavat epätasa-arvot- eriarvoisuudet, jotka ovat seurausta muista eriarvoisuuksista. Esimerkiksi jos a Vähemmän b, Tuo b lisää a:

a < b Ja b > a- vastaavat epätasa-arvot

Eriarvoisuuksien ominaisuudet

Jos lisäät saman luvun epäyhtälön molemmille puolille tai vähennät saman luvun molemmilta puolilta, saat vastaavan epäyhtälön, eli
Jos a > b, Tuo a + c > b + c Ja a - c > b - c
Tästä seuraa, että on mahdollista siirtää eriarvoisuuden termejä osasta toiseen päinvastaisella merkillä. Esimerkiksi lisäämällä epätasa-arvon molemmille puolille a - b > c - d Tekijä: d, saamme:
a - b > c - d

a - b + d > c - d + d

a - b + d > c

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla positiivisella luvulla, saadaan ekvivalentti epäyhtälö, eli

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla, saadaan annettua vastakkainen epäyhtälö, eli kun epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla, saadaan epätasa-arvo on muutettava päinvastaiseksi.
Tämän ominaisuuden avulla voidaan muuttaa kaikkien epäyhtälön termien merkkejä kertomalla molemmat puolet -1:llä ja muuttamalla eriarvoisuuden etumerkki vastakkaiseksi:
-a + b > -c

(-a + b) · -1< (-c) · -1

a - b < c
Epätasa-arvo -a + b > -c vastaa eriarvoisuutta a - b < c