Aritmeettisen jakson ensimmäisen n luvun summa. Kuinka löytää aritmeettinen progressio? Aritmeettisia esimerkkejä ratkaisuineen

Mitä pääkohta kaavat?

Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Tietenkin sinun on tiedettävä myös ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.

Tämän kaavan muistaminen (tai huutaminen) ei riitä. Sinun on ymmärrettävä sen olemus ja sovellettava kaavaa erilaisiin ongelmiin. Eikä myöskään unohtaa oikealla hetkellä, kyllä...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa neuvon ehdottomasti. Niille, jotka suorittavat oppitunnin loppuun.)

Katsotaanpa siis aritmeettisen progression n:nnen termin kaavaa.

Mikä on kaava yleensä? Muuten, katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. On vielä selvitettävä, mikä se on n. termi.

Edistyminen sisään yleisnäkymä voidaan kirjoittaa numerosarjana:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen, a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - s a 120.

Kuinka voimme määritellä sen yleisesti? minkä tahansa aritmeettisen progression termi, jossa minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:

a n

Sitä se on aritmeettisen progression n:s termi. Kirjain n piilottaa kaikki jäsennumerot kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajatelkaapa, numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjaimen...

Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisen progression työskentelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja ratkaise joukko muita etenemisongelmia. Katsot itse lisää.

Aritmeettisen progression n:nnen termin kaavassa:

a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen termi;

n- jäsennumero.

Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d Ja n. Kaikki etenemisongelmat pyörivät näiden parametrien ympärillä.

N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Ongelma voi esimerkiksi sanoa, että etenemisen määrittää ehto:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tällainen ongelma voi olla umpikuja... Ei ole sarjaa eikä eroa... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo ymmärtää, että tässä etenemisessä a 1 = 5 ja d = 2.

Ja se voi olla vielä pahempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, Kyllä, avaa sulut ja tuo samanlaisia? Saamme uuden kaavan:

a n = 3 + 2n.

Tämä Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä sudenkuoppa piilee. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen termi on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisella muunnetulla kaavalla.

Etenemisongelmissa on toinen merkintä - a n+1. Tämä on, kuten arvasit, etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi jos otamme jonkin ongelman a n sitten viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.

Useimmiten nimitys a n+1 löytyy toistumiskaavoista. Älä pelkää tätä pelottavaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression jäsen edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen eteneminen tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Kuinka voimme heti laskea, vaikkapa kahdeskymmenes termi? a 20? Mutta ei ole mitään keinoa!) Ennen kuin saamme selville 19. lukukauden, emme voi laskea 20:tä. Tämä se on perustavanlaatuinen ero toistuva kaava n:nnen termin kaavasta. Toistuva toimii vain kautta Edellinen termi, ja n:nnen termin kaava on ohi ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Laskematta koko numerosarjaa järjestyksessä.

Aritmeettisessa progressiossa toistuva kaava on helppo muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava sen tavallisessa muodossa ja työskentele sen kanssa. Tällaisia ​​tehtäviä kohdataan usein valtion tiedeakatemiassa.

Kaavan soveltaminen aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:

Aritmeettinen progressio (a n) on annettu. Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.

Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää ja lisää... Tunti tai kaksi.)

Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Päätetään.

Ehdoissa on kaikki tiedot kaavan käyttöä varten: a 1 = 3, d = 1/6. On vielä selvitettävä, mikä on tasa-arvoista n. Ei ongelmaa! Meidän täytyy löytää a 121. Joten kirjoitamme:

Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä on meidän n. Tämä on tarkoitus n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaamme kaikki luvut kaavaan ja laskemme:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Se siitä. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen termin ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja me laskemme.

Haluan muistuttaa sinua asiasta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettinen progressiotermi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Ratkaistaan ​​ongelma ovelammin. Törmätäänpä seuraavaan ongelmaan:

Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.

Jos sinulla on vaikeuksia, kerron sinulle ensimmäisen vaiheen. Kirjoita aritmeettisen progression n:nnelle termille kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistivihkoon:

Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Onko se siinä? Jos luulet niin, et ratkaise ongelmaa, kyllä...

Meillä on vielä numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi parametria. Tämä on sekä seitsemännentoista termin arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkuasia" lipsahtaa usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä asiaa", ei päätä!) ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka... ja myös ilman päätä.)

Nyt voimme yksinkertaisesti korvata tietomme typerästi kaavaan:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, korvataan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Siinä on periaatteessa kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea se. Vastaus tulee olemaan: a 1 = 6.

Tämä tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - on suuri apu yksinkertaisissa tehtävissä. No, tietysti sinun täytyy pystyä ilmaisemaan muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei ehkä opiskella ollenkaan...

Toinen suosittu palapeli:

Laske aritmeettisen progression ero (a n), jos a 1 =2; a 15 = 12.

Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)

Mietitään, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (korostan erityisesti!) n = 15. Voit vapaasti korvata tämän kaavalla:

12=2 + (15-1)d

Teemme aritmeettisen.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tämä on oikea vastaus.

Tehtävät siis a n, a 1 Ja d päättänyt. Jäljelle jää vain opetella löytämään numero:

Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.

Korvaamme meille tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:

a n = 12 + (n-1) 3

Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n- tämä on joku jäsen etenemisestä numerolla n...Ja me tunnemme tämän edistyksen jäsenen! Se on 99. Emme tiedä sen numeroa. n, Joten tämä numero on se, mitä sinun on löydettävä. Korvataan etenemisen termi 99 kaavaan:

99 = 12 + (n-1) 3

Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.

Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):

Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, ei ole parametreja? Hm... Miksi meille annetaan silmät?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen termin? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 = -3,6. Ero d Voitko kertoa sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Joten teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä... Mitä tehdä!? No, mitä tehdä, mitä tehdä... Kytke päälle Luovat taidot!)

Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä, kyllä!)) ja korvaamme numeromme:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:

Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen voimme tehdä? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain sadan ensimmäisen ja sadan toisen termien välillä. Jos numero osoittautui luonnolliseksi, ts. on positiivinen kokonaisluku, silloin luku olisi löydetyn luvun etenemisen jäsen. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: Ei.

Tehtäväpohjainen todellinen vaihtoehto GIA:

Aritmeettinen progressio ehdon mukaan:

a n = -4 + 6,8n

Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.

Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.

Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaava on modifioitu. Sen aritmeettisen progression ensimmäinen termi piilotettu. Ei hätää, löydämme sen nyt.)

Kuten aikaisemmissakin ongelmissa, korvaamme n = 1 V tämä kaava:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!

Etsimme kymmenennen termiä samalla tavalla:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Se siitä.

Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)

Oletetaan, että olette unohtaneet aritmeettisen progression n:nnelle termille hyödyllisen kaavan valtiokokeen tai yhtenäisen valtiontutkinnon vaikeassa taistelutilanteessa. Muistan jotain, mutta jotenkin epävarmaa... Tai n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?

Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukasti, mutta luottamusta ja oikea päätös ehdottomasti riittää!) Johtopäätöksen tekemiseen riittää, että muistat aritmeettisen progression alkeellisen merkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.

Piirrä numeroviiva ja merkitse siihen ensimmäinen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomaamme eron d jäsenten välillä. Kuten tämä:

Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mitä toinen termi vastaa? Toinen yksi d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ymmärrätkö? Ei turhaan korostan joitakin sanoja lihavoituna. Okei, vielä yksi askel).

Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, Aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon n, välilyöntien lukumäärä tahtoa n-1. Siksi kaava on (ilman muunnelmia!):

Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää ratkaisuun koko tehokkaan matematiikan arsenaalin - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi lisätä kuvaa yhtälöön...

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

Lämmitellä:

1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Etsi 3.

Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma ratkaistaan ​​käyttämällä sekä kuvaa että kaavaa. Tunne erilaisuus!)

Ja tämä ei ole enää lämmittely.)

2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .

Mitä, etkö halua piirtää kuvaa?) Tietenkin! Parempi kaavan mukaan, kyllä...

3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.

Tässä tehtävässä eteneminen määritellään toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin... Kaikki eivät pysty sellaiseen saavutukseen.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!

4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.

5. Etsi tehtävän 4 ehtojen mukaisesti etenemisen pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen termin summa.

6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdennentoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.

Ei helpoin tehtävä, kyllä...) "Sormenpää"-menetelmä ei toimi tässä. Sinun on kirjoitettava kaavoja ja ratkaistava yhtälöitä.

Vastaukset (sekaisin):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Tapahtui? Se on kiva!)

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelman lukeminen vaatii varovaisuutta. Ja logiikkaa.

Ratkaisua kaikkiin näihin ongelmiin käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen kohta kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavaa sisältävien ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on kuvattu. Minä suosittelen.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Oppituntimme motto on venäläisen matemaatikon V.P. Ermakova: "Matematiikassa ei pitäisi muistaa kaavoja, vaan ajatteluprosesseja."

Tuntien aikana

Ongelman muotoilu

Taululla on Gaussin muotokuva. Opettaja tai oppilas, jolle annettiin tehtäväksi valmistella viesti etukäteen, kertoo, että kun Gauss oli koulussa, opettaja pyysi oppilaita laskemaan yhteen kaikki kokonaislukuja 1-100. Pikku Gauss ratkaisi tämän ongelman minuutissa.

Kysymys . Miten Gauss sai vastauksen?

Ratkaisujen löytäminen

Oppilaat ilmaisevat oletuksensa ja tekevät sitten yhteenvedon: ymmärtävät, että summat ovat 1 + 100, 2 + 99 jne. ovat yhtä suuret, Gauss kerrottuna 101:llä 50:llä, eli tällaisten summien lukumäärällä. Toisin sanoen hän huomasi kuvion, joka on luontainen aritmeettiselle etenemiselle.

Summakaavan johtaminen n aritmeettisen progression ensimmäiset termit

Kirjoita oppiaiheen aihe taululle ja muistivihkoon. Oppilaat kirjoittavat yhdessä opettajan kanssa kaavan johtopäätöksen:

Antaa a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmeettinen progressio.

Ensisijainen konsolidointi

1. Ratkaisemme kaavan (1) avulla Gaussin ongelman:

2. Ratkaise tehtävät suullisesti kaavan (1) avulla (niiden ehdot kirjoitetaan taululle tai positiivinen koodi), ( a n) - aritmeettinen progressio:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Suorita tehtävä loppuun.

Annettu:( a n) - aritmeettinen progressio;

a 1 = 3, a 60 = 57.

löytö: S 60 .

Ratkaisu. Käytetään summakaavaa n aritmeettisen progression ensimmäiset termit

Vastaus: 1800.

Lisäkysymys. Kuinka monta erilaista ongelmaa voidaan ratkaista tällä kaavalla?

Vastaus. Neljän tyyppisiä tehtäviä:

Etsi summa S n;

Etsi aritmeettisen progression ensimmäinen termi a 1 ;

löytö n aritmeettisen progression termi a n;

Etsi aritmeettisen progression termien lukumäärä.

4. Suorita tehtävä: nro 369(b).

Etsi aritmeettisen etenemisen kuudenkymmenen ensimmäisen ehdon summa ( a n), Jos a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Ratkaisu.

Vastaus: 1230.

Lisäkysymys. Kirjoita kaava muistiin n aritmeettisen progression termi.

Vastaus: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Laske kaava aritmeettisen etenemisen yhdeksälle ensimmäiselle termille ( b n),
Jos b 1 = –17, d = 6.

Onko mahdollista laskea heti kaavan avulla?

Ei, koska yhdeksäs termi on tuntematon.

Kuinka löytää se?

Kaavan mukaan n aritmeettisen progression termi.

Ratkaisu. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Vastaus: 63.

Kysymys. Onko mahdollista löytää summa laskematta progression yhdeksättä termiä?

Ongelman muotoilu

Ongelma: saada summakaava n aritmeettisen progression ensimmäiset termit, tietäen sen ensimmäisen termin ja eron d.

(Opiskelijan johtaminen kaavan taululle.)

Ratkaistaan ​​nro 371(a) uudella kaavalla (2):

Perustetaan sanallisesti kaavat (2) ( tehtävien ehdot on kirjoitettu taululle).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Ota opiskelijoilta selvää, mitkä kysymykset ovat epäselviä.

Itsenäinen työ

Vaihtoehto 1

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Vaihtoehto 2

Annettu: (a n) - aritmeettinen progressio.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Oppilaat vaihtavat muistikirjoja ja tarkistavat toistensa ratkaisuja.

Tee yhteenveto materiaalin oppimisesta itsenäisen työn tulosten perusteella.

Esimerkiksi sekvenssi \(2\); \(5\); \(8\); \(yksitoista\); \(14\)... on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava alkio eroaa edellisestä kolmella (saat edellisestä lisäämällä kolme):

Tässä etenemisessä ero \(d\) on positiivinen (yhtä kuin \(3\)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia ​​kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.

Kuitenkin \(d\) voi myös olla negatiivinen numero. Esimerkiksi, aritmeettisessa progressiossa \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... etenemisero \(d\) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.

Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.

Aritmeettinen etenemismerkintä

Edistyminen on merkitty pienellä latinalaiskirjaimella.

Progression muodostavia lukuja kutsutaan jäsenet(tai elementtejä).

Ne on merkitty samalla kirjaimella aritmeettisena progressiona, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.

Esimerkiksi aritmeettinen progressio \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koostuu elementeistä \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja niin edelleen.

Toisin sanoen etenemiselle \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen

Periaatteessa edellä esitetyt tiedot riittävät jo ratkaisemaan lähes kaikki aritmeettiset etenemisongelmat (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla \(b_1=7; d=4\). Etsi \(b_5\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(b_5=23\)

Esimerkki (OGE). Aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä on annettu: \(62; 49; 36…\) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo.
Ratkaisu:

Vastaus: \(-3\)

Esimerkki (OGE). Annettu aritmeettisen progression useita peräkkäisiä alkioita: \(…5; x; 10; 12.5...\) Etsi kirjaimella \(x\) tarkoitetun elementin arvo.
Ratkaisu:

Vastaus: \(7,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen progressio annetaan seuraavat ehdot: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_6=9\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettisessa progressiossa \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Etsi tämän etenemisen ero.
Ratkaisu:

Vastaus: \(d=7\).

Tärkeitä aritmeettisen etenemisen kaavoja

Kuten näette, monet aritmeettisen etenemisen ongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen eteneminen on lukujen ketju, ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen ( etenemisen ero).

Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa "päältä" päättäminen on erittäin hankalaa. Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \(b_5\), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \(b_(386)\). Pitäisikö meidän lisätä neljä \(385\) kertaa? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Olet kyllästynyt laskemaan...

Siksi he eivät tällaisissa tapauksissa ratkaise asioita "päässä", vaan käyttävät erikoiskaavoja, jotka on johdettu aritmeettiseen etenemiseen. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava \(n\) ensimmäisten termien summalle.

\(n\):nnen termin kaava: \(a_n=a_1+(n-1)d\), missä \(a_1\) on etenemisen ensimmäinen termi;
\(n\) – vaaditun elementin numero;
\(a_n\) – etenemisen termi numerolla \(n\).

Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää jopa kolmen sadasosan tai miljoonannen elementin, kun tiedämme vain ensimmäisen ja etenemisen eron.

Esimerkki. Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Etsi \(b_(246)\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(b_(246)=1850\).

Kaava ensimmäisten n termien summalle: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), jossa

\(a_n\) – viimeinen summattu termi;

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla \(a_n=3,4n-0,6\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(25\) termien summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(25)=1090\).

Ensimmäisten ehtojen summalle \(n\) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) sijaan korvaa sen kaava \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saamme:

Kaava ensimmäisten n termien summalle: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), missä

\(S_n\) – vaadittu \(n\) ensimmäisen elementin summa;
\(a_1\) – ensimmäinen summattu termi;
\(d\) – etenemisero;
\(n\) – elementtien lukumäärä yhteensä.

Esimerkki. Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(33\)-ex termien summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(33)=-231\).

Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat

Nyt sinulla on kaikki tarvittavat tiedot lähes minkä tahansa aritmeettisen etenemisongelman ratkaisemiseen. Lopetetaan aihe pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse vain soveltaa kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)

Esimerkki (OGE). Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(65)=-630,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Etsi summa \(26\):nnesta \(42\)-elementtiin.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S=1683\).

Aritmeettiselle progressiolle on olemassa useita muita kaavoja, joita emme käsitelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.

Kun opiskelet algebraa yläaste(9. luokka) yksi tärkeitä aiheita on tutkimus numerosarjoista, jotka sisältävät progressioita - geometrisia ja aritmeettisia. Tässä artikkelissa tarkastellaan aritmeettista etenemistä ja esimerkkejä ratkaisuineen.

Mikä on aritmeettinen progressio?

Tämän ymmärtämiseksi on tarpeen määritellä kyseessä oleva eteneminen sekä antaa peruskaavat, joita käytetään myöhemmin ongelmien ratkaisussa.

Aritmeettinen tai on joukko järjestettyjä rationaalilukuja, joiden jokainen jäsen eroaa edellisestä jollakin vakioarvolla. Tätä arvoa kutsutaan erotukseksi. Eli kun tiedät minkä tahansa järjestetyn numerosarjan jäsenen ja eron, voit palauttaa koko aritmeettisen etenemisen.

Otetaan esimerkki. Seuraava numerosarja on aritmeettinen progressio: 4, 8, 12, 16, ..., koska ero tässä tapauksessa on 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mutta lukujoukkoa 3, 5, 8, 12, 17 ei voida enää liittää tarkasteltavana olevaan etenemistyyppiin, koska sen ero ei ole vakioarvo (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Tärkeitä kaavoja

Esitetään nyt peruskaavat, joita tarvitaan tehtävien ratkaisemiseen aritmeettisen progression avulla. Merkitään symbolilla a n sekvenssin n:s jäsen, jossa n on kokonaisluku. Merkitsemme eron Latinalainen kirjain d. Sitten seuraavat lausekkeet ovat voimassa:

1. N:nnen termin arvon määrittämiseen sopii seuraava kaava: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Ensimmäisen n ehdon summan määrittämiseksi: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ymmärtääksesi esimerkit aritmeettisesta etenemisestä ratkaisuilla 9. luokalla riittää, että muistat nämä kaksi kaavaa, koska kaikki tarkasteltavan tyyppiset tehtävät perustuvat niiden käyttöön. Muista myös, että etenemisero määräytyy kaavalla: d = a n - a n-1.

Esimerkki 1: tuntemattoman termin löytäminen

Otetaan yksinkertainen esimerkki aritmeettisesta progressiosta ja sen ratkaisemiseen tarvittavista kaavoista.

Olkoon sekvenssi 10, 8, 6, 4, ... annettu, sinun on löydettävä siitä viisi termiä.

Tehtävän ehdoista jo seuraa, että ensimmäiset 4 termiä tunnetaan. Viides voidaan määritellä kahdella tavalla:

1. Lasketaan ensin ero. Meillä on: d = 8 - 10 = -2. Samalla tavalla voidaan ottaa mitkä tahansa kaksi muuta termiä, seisoo lähellä yhdessä. Esimerkiksi d = 4 - 6 = -2. Koska tiedetään, että d = a n - a n-1, niin d = a 5 - a 4, josta saamme: a 5 = a 4 + d. Korvataan tunnetut arvot: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Toinen menetelmä vaatii myös tietoa kyseessä olevan etenemisen erosta, joten sinun on ensin määritettävä se yllä olevan kuvan mukaisesti (d = -2). Kun tiedämme, että ensimmäinen termi a 1 = 10, käytämme kaavaa sekvenssin n numerolle. Meillä on: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Korvaamalla n = 5 viimeiseen lausekkeeseen, saadaan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kuten näet, molemmat ratkaisut johtivat samaan tulokseen. Huomaa, että tässä esimerkissä etenemisero d on negatiivinen arvo. Tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan laskeviksi, koska jokainen seuraava termi on pienempi kuin edellinen.

Esimerkki 2: etenemisero

Monimutkaistaan ​​nyt ongelmaa hieman, anna esimerkki siitä, kuinka aritmeettisen progression erotus löydetään.

Tiedetään, että jossain algebrallisessa etenemisessä 1. termi on 6 ja 7. termi on 18. On tarpeen löytää ero ja palauttaa tämä sekvenssi 7. termiin.

Määritetään tuntematon termi kaavalla: a n = (n - 1) * d + a 1 . Korvataan siihen ehdon tunnetut tiedot, eli luvut a 1 ja a 7, meillä on: 18 = 6 + 6 * d. Tästä lausekkeesta voit helposti laskea eron: d = (18 - 6) /6 = 2. Olemme siis vastanneet tehtävän ensimmäiseen osaan.

Jos haluat palauttaa sekvenssin 7. termiin, sinun tulee käyttää määritelmää algebrallinen eteneminen, eli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ja niin edelleen. Tämän seurauksena palautamme koko sekvenssin: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Esimerkki nro 3: etenemisen laatiminen

Tehdään ongelmasta vieläkin monimutkaisempi. Nyt meidän on vastattava kysymykseen, kuinka löytää aritmeettinen progressio. Voidaan antaa seuraava esimerkki: annetaan kaksi numeroa, esimerkiksi - 4 ja 5. On tarpeen luoda algebrallinen eteneminen siten, että näiden väliin tulee vielä kolme termiä.

Ennen kuin aloitat tämän ongelman ratkaisemisen, sinun on ymmärrettävä, mikä paikka annetuilla numeroilla on tulevassa etenemisessä. Koska niiden välillä on vielä kolme termiä, niin a 1 = -4 ja a 5 = 5. Kun tämä on selvitetty, siirrymme ongelmaan, joka on samanlainen kuin edellinen. Jälleen n:nnelle termille käytämme kaavaa, saamme: a 5 = a 1 + 4 * d. Alkaen: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tämä ei ole erotuksen kokonaisluku, vaan rationaalinen luku, joten algebrallisen etenemisen kaavat pysyvät samoina.

Lisätään nyt löydetty ero 1:een ja palautetaan etenemisen puuttuvat ehdot. Saamme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, jotka osuvat samaan ongelman ehtojen kanssa.

Esimerkki nro 4: etenemisen ensimmäinen termi

Jatketaan esimerkkien antamista aritmeettisesta etenemisestä ratkaisujen kanssa. Kaikissa aiemmissa tehtävissä tunnettiin algebrallisen etenemisen ensimmäinen numero. Tarkastellaan nyt erityyppistä ongelmaa: annetaan kaksi lukua, joissa a 15 = 50 ja a 43 = 37. On selvitettävä millä numerolla tämä sarja alkaa.

Tähän mennessä käytetyt kaavat olettavat 1:n ja d:n tuntemista. Ongelmalausekkeessa näistä luvuista ei tiedetä mitään. Siitä huolimatta kirjoitamme lausekkeet jokaiselle termille, josta on saatavilla tietoa: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saimme kaksi yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta määrää (a 1 ja d). Tämä tarkoittaa, että ongelma rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.

Helpoin tapa ratkaista tämä järjestelmä on ilmaista 1 jokaisessa yhtälössä ja sitten verrata saatuja lausekkeita. Ensimmäinen yhtälö: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; toinen yhtälö: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Yhtälöimällä nämä lausekkeet saadaan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, josta ero d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (vain 3 desimaalin tarkkuutta on annettu).

Kun tiedät d:n, voit käyttää mitä tahansa yllä olevista kahdesta lausekkeesta 1:lle. Esimerkiksi ensin: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jos epäilet saatua tulosta, voit tarkistaa sen, esimerkiksi määrittää etenemisen 43. termi, joka on määritelty ehdossa. Saamme: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Pieni virhe johtuu siitä, että laskelmissa käytettiin pyöristystä tuhannesosaan.

Esimerkki nro 5: määrä

Katsotaan nyt useita esimerkkejä ratkaisuilla aritmeettisen progression summalle.

Olkoon seuraavan muotoinen numeerinen eteneminen: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuinka laskea näiden lukujen 100 summa?

Tietotekniikan kehityksen ansiosta tämä ongelma on mahdollista ratkaista, eli lisätä kaikki numerot peräkkäin, minkä tietokone tekee heti, kun henkilö painaa Enter-näppäintä. Ongelma voidaan kuitenkin ratkaista henkisesti, jos huomioi, että esitetty lukusarja on algebrallinen eteneminen ja sen ero on yhtä suuri kuin 1. Soveltamalla summan kaavaa saadaan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

On mielenkiintoista huomata, että tätä ongelmaa kutsutaan "Gaussiseksi", koska 1700-luvun alussa kuuluisa saksalainen, vielä vain 10-vuotias, pystyi ratkaisemaan sen päässään muutamassa sekunnissa. Poika ei tiennyt algebrallisen progression summan kaavaa, mutta hän huomasi, että jos lisäät sarjan päiden luvut pareittain, saat aina saman tuloksen, eli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ja koska nämä summat ovat täsmälleen 50 (100 / 2), oikean vastauksen saamiseksi riittää kertoa 50 101: llä.

Esimerkki nro 6: termien summa n:stä m:ään

Yksi vielä tyypillinen esimerkki aritmeettisen etenemisen summa on seuraava: kun on annettu lukusarja: 3, 7, 11, 15, ..., sinun on löydettävä mikä sen ehtojen summa 8 - 14 on yhtä suuri.

Ongelma ratkaistaan ​​kahdella tavalla. Ensimmäinen niistä sisältää tuntemattomien termien etsimisen väliltä 8-14 ja sitten niiden summaamisen peräkkäin. Koska termejä on vähän, tämä menetelmä ei ole kovin työvoimavaltainen. Tästä huolimatta ehdotetaan tämän ongelman ratkaisemista toisella menetelmällä, joka on universaalimpi.

Ajatuksena on saada kaava termien m ja n välisen algebrallisen etenemisen summalle, missä n > m ovat kokonaislukuja. Molemmissa tapauksissa kirjoitamme summalle kaksi lauseketta:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Koska n > m, on selvää, että 2. summa sisältää ensimmäisen. Viimeinen johtopäätös tarkoittaa, että jos otamme näiden summien välisen erotuksen ja lisäämme siihen termin a m (eron ottamisen tapauksessa se vähennetään summasta S n), saamme tarvittavan vastauksen ongelmaan. Meillä on: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n *n/2 + a m* (1- m/2). On välttämätöntä korvata kaavat n:n ja m:n kohdalla tähän lausekkeeseen. Sitten saadaan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Tuloksena oleva kaava on hieman hankala, mutta summa S mn riippuu vain arvoista n, m, a 1 ja d. Meidän tapauksessamme a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Korvaamalla nämä luvut saadaan: S mn = 301.

Kuten yllä olevista ratkaisuista voidaan nähdä, kaikki tehtävät perustuvat n:nnen termin lausekkeen ja ensimmäisten termien summan kaavan tuntemiseen. Ennen kuin aloitat näiden ongelmien ratkaisemisen, on suositeltavaa lukea ehto huolellisesti, ymmärtää selvästi, mitä sinun on löydettävä, ja vasta sitten jatkaa ratkaisua.

Toinen vinkki on pyrkiä yksinkertaisuuteen, eli jos voit vastata kysymykseen käyttämättä monimutkaisia ​​matemaattisia laskelmia, sinun on tehtävä juuri niin, koska tässä tapauksessa virheen tekemisen todennäköisyys on pienempi. Esimerkiksi esimerkissä aritmeettisesta progressiosta ratkaisulla nro 6 voitaisiin pysähtyä kaavaan S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja tauko yhteinen tehtävä erillisiin alitehtäviin (etsi tässä tapauksessa ensin termit a n ja a m).

Jos olet epävarma saadusta tuloksesta, on suositeltavaa tarkistaa se, kuten joissakin annetuissa esimerkeissä tehtiin. Opimme kuinka löytää aritmeettinen progressio. Jos ymmärrät sen, se ei ole niin vaikeaa.