Tason suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälö on muotoa y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6) saadaan pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälö:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 = x 2, niin pisteiden M 1 (x 1,y I) ja M 2 (x 2,y 2) kautta kulkeva suora on ordinaatta-akselin suuntainen. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 = y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y = y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen abskissa-akselin kanssa.

Suoran yhtälö segmenteissä

Leikkaa suoran Ox-akselin pisteessä M 1 (a;0) ja Oy-akselin pisteessä M 2 (0;b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan segmenttien suoran yhtälö, koska numerot a ja b osoittavat mitkä janat viiva katkaisee koordinaattiakseleilta.

Yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja tarkastellaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Kutsutaan yhtälöä (10.8). tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Vektoria n= (A; B), joka on kohtisuorassa suoraa vastaan, kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

jossa A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C = -Ax o - Vu o on vapaa termi. Yhtälö (10.9) on suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

Missä
- sen pisteen koordinaatit, jonka kautta viiva kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen käyrät ympyrä

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste osuu yhteen koordinaattien origon kanssa, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, joista jokaisesta kahteen annettuun pisteeseen on etäisyyden summa. Ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakiosuure
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja koordinaattien origon keskellä polttopisteiden välissä on muoto
G de a puolipääakselin pituus; b – puolipieniakselin pituus (kuva 2).

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

Minkä tahansa pisteen läpi voidaan vetää ääretön määrä suoria.

Minkä tahansa kahden eri pisteen kautta voidaan vetää yksi suora viiva.

Kaksi erilaista suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa suhteellinen sijainti kaksi suoraa viivaa:

linjat leikkaavat;

viivat ovat yhdensuuntaisia;

suorat leikkaavat.

Suoraan linja— ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suora suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan määrittää ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ax + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suoran yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B Ja KANSSA Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- origon läpi kulkee suora viiva

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠0- suora osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠0- suora osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää muodossa eri muodoissa riippuen mistä tahansa

alkuolosuhteet.

Suoran yhtälö pisteestä ja normaalivektorista.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Kun A = 3 ja B = -1, muodostetaan suoran yhtälö: 3x - y + C = 0. Kertoimen C löytämiseksi

Korvataan tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit, jolloin saadaan: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x - y - 1 = 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Olkoon kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Sitten suoran yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Päällä

tasossa, yllä kirjoitettu suoran yhtälö on yksinkertaistettu:

Jos x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuus suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Käyttämällä yllä kirjoitettua kaavaa saamme:

Suoran yhtälö käyttäen pistettä ja kaltevuutta.

Jos suoran yleinen yhtälö Ax + Wu + C = 0 johtaa:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntausvektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntausvektori.

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli vaadittu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ах + Ву + С = 0 С≠0, niin jakamalla -С saamme:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suoraan akselilla Vai niin, A b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Suoran normaaliyhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ax + Wu + C = 0 jakaa numerolla jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ*C< 0.

R- origosta suoralle pudonneen kohtisuoran pituus,

A φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Suoran yleinen yhtälö on annettu 12x - 5v - 65 = 0. Pakollinen kirjoittamiseen Erilaisia tyyppejä yhtälöt

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

Suoran yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason suorien viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, Tuo terävä kulma näiden rivien välissä

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

Jos k 1 = -1/ k 2 .

Lause.

Suoraan Ax + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 rinnakkain, kun kertoimet ovat verrannollisia

A1 = λA, B1 = λB. Jos myös С 1 = λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan kulkevan suoran yhtälö.

Määritelmä. Pisteen läpi kulkeva viiva M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys suoraan Ax + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- pisteestä pudonneen kohtisuoran kanta M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M Ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 Ja klo 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu suora viiva. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Tämä artikkeli paljastaa kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön johdosta suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, joka sijaitsee tasossa. Johdetaan suorakulmaisen koordinaatiston kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Näytämme ja ratkaisemme selkeästi useita esimerkkejä, jotka liittyvät käsiteltyyn materiaaliin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen kuin saadaan kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, on tarpeen kiinnittää huomiota joihinkin tosiasioihin. On olemassa aksiooma, joka sanoo, että kahden tason divergentin pisteen kautta on mahdollista piirtää suora ja vain yksi. Toisin sanoen kaksi annettua pistettä tasossa on määritelty näiden pisteiden läpi kulkevalla suoralla.

Jos tason määrittelee suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä Oxy, niin mikä tahansa siinä kuvattu suora vastaa tason suoran yhtälöä. Myös suoran suuntausvektoriin on yhteys, joka riittää kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön laatimiseen.

Katsotaanpa esimerkkiä samanlaisen ongelman ratkaisemisesta. On tarpeen luoda yhtälö suoralle viivalle a, joka kulkee kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa sijaitsevien divergenttien M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) kautta.

Tason suoran kanonisessa yhtälössä, jonka muoto on x - x 1 a x = y - y 1 a y, suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y on määritelty suoralla, joka leikkaa sen pisteessä, jonka koordinaatit on M 1 (x 1, y 1) ohjausvektorilla a → = (a x , a y) .

On tarpeen luoda kanoninen yhtälö suorasta a, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2).

Suoralla a on suuntavektori M 1 M 2 → ja koordinaatit (x 2 - x 1, y 2 - y 1), koska se leikkaa pisteet M 1 ja M 2. Olemme saaneet tarvittavat tiedot kanonisen yhtälön muuntamiseksi suuntavektorin M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinaatteilla ja niillä olevien pisteiden M 1 koordinaatteilla. (x 1, y 1) ja M2 (x 2, y 2). Saadaan yhtälö, jonka muoto on x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Laskennan jälkeen kirjoitetaan parametriset yhtälöt suoralle tasolle, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2). Saadaan yhtälö muotoa x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ tai x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Katsotaanpa tarkemmin useiden esimerkkien ratkaisemista.

Esimerkki 1

Kirjoita muistiin 2 annetun pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö koordinaatilla M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Ratkaisu

Kanoninen yhtälö suoralle, joka leikkaa kahdessa pisteessä, jonka koordinaatit ovat x 1, y 1 ja x 2, y 2, on muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Tehtävän ehtojen mukaan meillä on, että x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numeeriset arvot on korvattava yhtälössä x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Tästä saadaan, että kanoninen yhtälö on muotoa x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Vastaus: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jos sinun on ratkaistava ongelma toisen tyyppisellä yhtälöllä, voit ensin siirtyä kanoniseen yhtälöön, koska siitä on helpompi tulla mihin tahansa muuhun.

Esimerkki 2

Laadi yleinen yhtälö suorasta, joka kulkee O x y -koordinaatistossa olevien pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (1, 1) ja M 2 (4, 2).

Ratkaisu

Ensin sinun on kirjoitettava muistiin tietyn kahden pisteen kautta kulkevan suoran kanoninen yhtälö. Saadaan yhtälö muotoa x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Tuodaan kanoninen yhtälö haluttuun muotoon, niin saamme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Vastaus: x - 3 y + 2 = 0 .

Esimerkkejä tällaisista tehtävistä keskusteltiin koulun oppikirjoissa algebratunneilla. Koulun tehtävät erosivat siinä, että tunnettiin kulmakertoimella varustetun suoran yhtälö, jonka muoto oli y = k x + b. Jos sinun on löydettävä kulmakertoimen k ja luvun b arvo, jolle yhtälö y = k x + b määrittää O x y -järjestelmässä suoran, joka kulkee pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M 2 ( x 2, y 2) , missä x 1 ≠ x 2. Kun x 1 = x 2 , silloin kulmakerroin saa äärettömän arvon ja suora M 1 M 2 määritellään yleisellä epätäydellisellä yhtälöllä muotoa x - x 1 = 0 .

Koska pisteet M 1 Ja M 2 ovat suoralla, niin niiden koordinaatit täyttävät yhtälön y 1 = k x 1 + b ja y 2 = k x 2 + b. On tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k:lle ja b:lle.

Tätä varten löydämme k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Näillä k:n ja b:n arvoilla näiden kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä tulee y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

On mahdotonta muistaa niin suurta määrää kaavoja kerralla. Tätä varten on tarpeen lisätä toistojen määrää ongelmien ratkaisemisessa.

Esimerkki 3

Kirjoita muistiin yhtälö suorasta kulmakertoimesta, joka kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 2 (2, 1) ja y = k x + b.

Ratkaisu

Ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavaa, jonka kulmakerroin on muotoa y = k x + b. Kertoimien k ja b on saatava sellainen arvo, että tämä yhtälö vastaa suoraa, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (- 7, - 5) ja M 2 (2, 1).

Pisteet M 1 Ja M 2 sijaitsevat suoralla, niin niiden koordinaattien tulee tehdä yhtälöstä y = k x + b todellinen yhtälö. Tästä saadaan, että - 5 = k · (- 7) + b ja 1 = k · 2 + b. Yhdistetään yhtälö järjestelmään - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ja ratkaistaan.

Vaihtamalla saamme sen

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nyt arvot k = 2 3 ja b = - 1 3 korvataan yhtälöllä y = k x + b. Havaitsemme, että vaadittu yhtälö, joka kulkee annettujen pisteiden läpi, on yhtälö, jonka muoto on y = 2 3 x - 1 3 .

Tämä ratkaisutapa määrää kulutuksen ennalta Suuri määrä aika. On olemassa tapa, jolla tehtävä ratkaistaan kirjaimellisesti kahdessa vaiheessa.

Kirjoitetaan kanoninen yhtälö M 2 (2, 1) ja M 1 (- 7, - 5) läpi kulkevalle suoralle, jonka muoto on x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Siirrytään nyt kaltevuusyhtälöön. Saamme, että x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Vastaus: y = 2 3 x - 1 3 .

Jos sisään kolmiulotteinen tila on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on kaksi annettua yhteensopimatonta pistettä, joiden koordinaatit M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), suora M 1 M 2 kulkemalla niiden läpi, on tarpeen saada tämän suoran yhtälö.

Meillä on kanoniset yhtälöt muotoa x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ja parametriset yhtälöt muotoa x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ pystyvät määrittelemään suoran koordinaattijärjestelmässä O x y z, joka kulkee pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (x 1, y 1, z 1) suuntavektorilla a → = (a x, a y, a z).

Suora M 1 M 2 sillä on muotoa M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) oleva suuntavektori, jossa suora kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2 , y 2 , z 2), joten kanoninen yhtälö voi olla muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, vuorostaan parametrinen x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ tai x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Tarkastellaan piirustusta, jossa näkyy 2 annettua pistettä avaruudessa ja suoran yhtälö.

Esimerkki 4

Kirjoita kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään O x y z määritellyn suoran yhtälö, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (2, - 3, 0) ja M 2 (1, - 3, - 5).

Ratkaisu

On tarpeen löytää kanoninen yhtälö. Koska puhumme kolmiulotteisesta avaruudesta, se tarkoittaa, että kun suora kulkee annettujen pisteiden läpi, haluttu kanoninen yhtälö on muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Ehdolla meillä on, että x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Tästä seuraa, että tarvittavat yhtälöt kirjoitetaan seuraavasti:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Vastaus: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö tähän suuntaan. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden suoran välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin määritetään kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A Ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa on annettu yhtälöillä, joissa on kaltevuus

y = k 1 x + B 1 ,

Avaruudessa olevan suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ehto täyttyy niille:

Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.

Numerot m , n Ja s ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n Ja s ei voi samanaikaisesti olla nolla. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraava merkintä on sallittu:

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akselilla Oy Ja Oz ovat yhtä suuret kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden määrittämä suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy Ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1. Kirjoita yhtälöt tasoon nähden kohtisuorassa avaruudessa olevalle suoralle ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Ratkaisu. Etsitään tämän tason leikkauspiste akselin kanssa Oz. Koska mikä tahansa akselilla oleva piste Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa yhtälössä tason x = y = 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi tämän tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi suoran suuntausvektori voi olla normaalivektori annettu lentokone.

Kirjoitetaan nyt vaaditut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä Ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

Yllä olevat yhtälöt määrittävät suoran, joka kulkee kahden annetun pisteen kautta.

Esimerkki 2. Kirjoita yhtälö pisteiden ja pisteiden kautta kulkevalle viivalle avaruudessa.

Ratkaisu. Kirjoitetaan vaaditut suoran yhtälöt yllä teoreettisessa viitteessä esitetyssä muodossa:

Koska , Sitten haluttu suora on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Avaruuden suora voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. pistejoukoksi, joka täyttää kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Esimerkki 3. Laadi avaruuden suoran kanoniset yhtälöt yleisillä yhtälöillä

Ratkaisu. Jotta voit kirjoittaa suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä kahden suoran pisteen koordinaatit. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz Ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) haluttu rivi. Sitten oletetaan annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran ja tason leikkauspiste xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

tai jakamalla nimittäjät -2:lla: