फ़ंक्शंस के ग्राफ़ से घिरे एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करें। एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकलन के बराबर होता है। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

खंड 4.3 में यह पहले ही नोट किया जा चुका हैका निश्चित अभिन्न ()।

गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन संख्यात्मक रूप से फ़ंक्शन के ग्राफ़ = (), सीधी रेखाओं = , = और = 0 से घिरे वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 4.24. अक्ष और साइनसॉइड = पाप के बीच संलग्न आकृति के क्षेत्र की गणना करें (चित्रा 4.6)।

यदि आकृति एक वक्ररेखीय समलंब नहीं है, तो वे इसके क्षेत्रफल को उन आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग या अंतर के रूप में दर्शाने का प्रयास करते हैं जो वक्ररेखीय समलंब हैं। विशेष रूप से, प्रमेय सत्य है.

प्रमेय 4.13. यदि कोई आकृति नीचे और ऊपर निरंतर फलनों के ग्राफ़ से घिरी हुई है = 1 (), = 2 () (जरूरी नहीं कि गैर-नकारात्मक हो, (चित्र 4.7 ), तो सूत्र का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है

2 () − 1 () .

उदाहरण 4.25. वक्र = 4 और रेखाओं = और = 4 से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

भाग I. सिद्धांत

अध्याय 4. एकीकरण का सिद्धांत 4.4. अभिन्न अनुप्रयोग. अनुचित अभिन्न अंग

4.4.2. वक्र चाप की लंबाई

वक्रों की लंबाई की गणना करने से भी समाकलन प्राप्त होता है। मान लें कि फ़ंक्शन = () अंतराल पर निरंतर है [ ; ] और अंतराल (;) पर अवकलनीय है। इसका ग्राफ़ एक निश्चित वक्र का प्रतिनिधित्व करता है, (; ()), (; ()) (चित्र 4.9)। हम वक्र को बिंदुओं 0 = , 1 , 2 , से विभाजित करते हैं। . . , = मनमाना भाग। आइए दो पड़ोसी बिंदुओं -1 और जीवाओं = 1, 2, को जोड़ें। . . , . हमें वक्र में अंकित एक -लिंक टूटी हुई रेखा प्राप्त होती है। होने देना

जीवा की लंबाई है −1, = 1, 2, . . . , = अधिकतम16 6 . टूटी हुई रेखा की लंबाई सूत्र द्वारा व्यक्त की जाएगी

किसी वक्र की लंबाई को टूटी हुई रेखाओं की लंबाई के सीमित मान के रूप में परिभाषित करना स्वाभाविक है जब → 0, यानी।

फिर बिंदुओं के निर्देशांक (; ()), और, का उपयोग कर रहे हैं दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र, हम ढूंढ लेंगे

नतीजतन, अंतराल पर फ़ंक्शन √ 1 + (′ ())2 के लिए एक अभिन्न योग है [ ; ]. फिर, समानता (4.31) के आधार पर, हमारे पास है:

समाधान। आइए निर्दिष्ट फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 4.10)।

चित्र 4.10

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, ट्रैपेज़ियम (अर्थ) देखें। ट्रेपेज़ॉइड (अन्य ग्रीक τραπέζιον "टेबल" से; ... विकिपीडिया

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क्षेत्रफल, ज्यामितीय आकृतियों से जुड़ी मुख्य मात्राओं में से एक। सरलतम मामलों में, इसे एक सपाट आकृति को भरने वाले इकाई वर्गों की संख्या से मापा जाता है, अर्थात, लंबाई की एक इकाई के बराबर भुजा वाले वर्ग। पी. की गणना प्राचीन काल में ही हो चुकी थी... ... महान सोवियत विश्वकोश

ग्रीन का प्रमेय एक बंद समोच्च C पर एक वक्ररेखीय समाकलन और इस समोच्च से घिरे क्षेत्र D पर एक दोहरे समाकलन के बीच संबंध स्थापित करता है। वास्तव में, यह प्रमेय अधिक सामान्य स्टोक्स प्रमेय का एक विशेष मामला है। प्रमेय का नाम विकिपीडिया में दिया गया है

आइए अभिन्न कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। इस पाठ में हम विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना. अंत में, उन सभी को जो उच्च गणित में अर्थ खोजते हैं, इसे खोजने दें। आप कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके एक डचा प्लॉट का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, नौसिखियों को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित अभिन्न की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न अंग के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण. कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक चित्र बनाना शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल भी एक प्रासंगिक मुद्दा होगा। कम से कम, आपको एक सीधी रेखा, परवलय और अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए।

आइए एक घुमावदार समलम्बाकार से शुरुआत करें। एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी एक सपाट आकृति है य = एफ(एक्स), एक्सिस बैलऔर पंक्तियाँ एक्स = ए; एक्स = बी.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकलन के बराबर होता है

किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरणहमने कहा कि एक निश्चित अभिन्न एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है. वह है, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से एक निश्चित आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. निश्चित अभिन्न पर विचार करें

इंटीग्रैंड

समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे खींचा जा सकता है), और निश्चित अभिन्न अंग संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर होता है।

उदाहरण 1

, , , .

यह एक विशिष्ट असाइनमेंट स्टेटमेंट है. निर्णय में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

चित्र बनाते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूँ: सर्वप्रथमसभी सीधी रेखाओं (यदि वे मौजूद हैं) का निर्माण करना बेहतर है और केवल तब– परवलय, अतिपरवलय, अन्य फलनों के ग्राफ़। बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक संदर्भ सामग्री में पाई जा सकती है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप हमारे पाठ के लिए बहुत उपयोगी सामग्री भी पा सकते हैं - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.

चलिए ड्राइंग बनाते हैं (ध्यान दें कि समीकरण य= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है बैल):

हम घुमावदार समलम्बाकार को छायांकित नहीं करेंगे, यहां यह स्पष्ट है कि हम किस क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। समाधान इस प्रकार जारी है:

खंड पर [-2; 1] फ़ंक्शन ग्राफ़ य = एक्स 2 + 2 स्थित है अक्ष के ऊपरबैल, इसीलिए:

उत्तर: .

जिन्हें निश्चित समाकलन की गणना करने तथा न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है

,

व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण. कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या "आंख से" गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमें, मान लीजिए, उत्तर मिला है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें xy = 4, एक्स = 2, एक्स= 4 और अक्ष बैल.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यदि घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचेबैल?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें य = पूर्व, एक्स= 1 और निर्देशांक अक्ष.

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक घुमावदार समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे स्थित है बैल , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस मामले में:

.

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले दोनों आधे तलों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए य = 2एक्स – एक्स 2 , य = -एक्स.

समाधान: सबसे पहले आपको एक चित्र बनाना होगा। क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें य = 2एक्स – एक्स 2 और सीधा य = -एक्स. इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब है कि एकीकरण की निचली सीमा ए= 0, एकीकरण की ऊपरी सीमा बी= 3. बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना अक्सर अधिक लाभदायक और तेज़ होता है, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। आइए अपने कार्य पर वापस लौटें: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र बनाएं:

आइए हम दोहराएँ कि बिंदुवार निर्माण करते समय, एकीकरण की सीमाएँ अक्सर "स्वचालित रूप से" निर्धारित की जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र:

यदि खंड पर [ ए; बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स) इससे बड़ा या इसके बराबरकुछ सतत कार्य जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यहां अब आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह मायने रखता है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है(दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और नीचे कौन सा है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए 2 से एक्स – एक्स 2 घटाया जाना चाहिए - एक्स.

पूरा समाधान इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा एक परवलय द्वारा सीमित है य = 2एक्स – एक्स 2 शीर्ष पर और सीधे य = -एक्सनीचे।

खंड 2 पर एक्स – एक्स 2 ≥ -एक्स. संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: .

वास्तव में, निचले आधे तल में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है

.

क्योंकि धुरी बैलसमीकरण द्वारा दिया गया य= 0, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ जी(एक्स) अक्ष के नीचे स्थित है बैल, वह

.

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी एक अजीब घटना घटती है। ड्राइंग तो सही बनी थी, हिसाब भी सही था, लेकिन लापरवाही के कारण... ग़लत आकृति का क्षेत्रफल पाया गया.

उदाहरण 7

सबसे पहले आइए एक चित्र बनाएं:

वह आकृति जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है(स्थिति को ध्यान से देखें - यह आंकड़ा कितना सीमित है!)। लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, लोग अक्सर निर्णय लेते हैं कि उन्हें हरे रंग में छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है!

यह उदाहरण इसलिए भी उपयोगी है क्योंकि यह दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करता है। वास्तव में:

1) खंड पर [-1; 1] अक्ष के ऊपर बैलग्राफ सीधा स्थित है य = एक्स+1;

2) अक्ष के ऊपर एक खंड पर बैलहाइपरबोला का ग्राफ स्थित है य = (2/एक्स).

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें

और बिंदु-दर-बिंदु चित्र बनाएं:

चित्र से यह स्पष्ट है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है: बी = 1.

लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन यह क्या है?

शायद, ए=(-1/3)? लेकिन इस बात की क्या गारंटी है कि चित्र पूर्ण सटीकता के साथ बनाया गया है, यह अच्छी तरह से हो सकता है ए=(-1/4). यदि हमने ग्राफ़ गलत तरीके से बनाया तो क्या होगा?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को स्पष्ट करना होगा।

आइए ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:

.

इस तरह, ए=(-1/3).

आगे का समाधान तुच्छ है. मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों। यहां गणनाएं सबसे सरल नहीं हैं. खंड पर

, ,

उपयुक्त सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

पाठ को समाप्त करने के लिए, आइए दो और कठिन कार्यों पर नजर डालें।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान: आइए इस आकृति को चित्र में चित्रित करें।

बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाने के लिए, आपको साइनसॉइड की उपस्थिति जानने की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, सभी प्रारंभिक कार्यों के ग्राफ़, साथ ही कुछ साइन मानों को जानना उपयोगी होता है। उन्हें मूल्यों की तालिका में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्य. कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, इस मामले में), एक योजनाबद्ध चित्र बनाना संभव है, जिस पर एकीकरण के ग्राफ़ और सीमाएं मौलिक रूप से सही ढंग से प्रदर्शित की जानी चाहिए।

यहां एकीकरण की सीमाओं के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे स्थिति से अनुसरण करते हैं:

- "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। आइए आगे का निर्णय लें:

एक खंड पर, एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= पाप 3 एक्सअक्ष के ऊपर स्थित है बैल, इसीलिए:

(1) आप पाठ में देख सकते हैं कि कैसे साइन और कोसाइन विषम घातों में एकीकृत होते हैं त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन. हम एक साइनस को चुटकी बजाते हैं।

(2) हम फॉर्म में मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं

(3) आइए वेरिएबल बदलें टी=क्योंकि एक्स, तब: अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

.

.

टिप्पणी:ध्यान दें कि स्पर्शरेखा घन का अभिन्न अंग कैसे लिया जाता है; यहां मूल त्रिकोणमितीय पहचान का परिणाम उपयोग किया जाता है;

.

मान लीजिए कि फ़ंक्शन अंतराल पर गैर-नकारात्मक और निरंतर है। फिर, एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा ऊपर, अक्ष द्वारा नीचे, बाईं और दाईं ओर सीधी रेखाओं द्वारा घिरा एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र और (चित्र 2 देखें) है सूत्र द्वारा गणना की गई

उदाहरण 9.एक रेखा से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष.

समाधान. फ़ंक्शन ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। आइए इसे बनाएं (चित्र 3)। एकीकरण की सीमा निर्धारित करने के लिए, हम अक्ष (सीधी रेखा) के साथ रेखा (परवलय) के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

हम पाते हैं: , कहाँ , ; इस तरह, , ।

चावल। 3

हम सूत्र (5) का उपयोग करके आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

यदि फ़ंक्शन खंड पर गैर-सकारात्मक और निरंतर है, तो इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा नीचे, अक्ष द्वारा ऊपर, बाईं और दाईं ओर सीधी रेखाओं द्वारा घिरे हुए वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र, द्वारा गणना की जाती है FORMULA

. (6)

यदि फ़ंक्शन किसी खंड पर निरंतर है और बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर संकेत बदलता है, तो छायांकित आकृति का क्षेत्र (छवि 4) संबंधित निश्चित अभिन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है:

चावल। 4

उदाहरण 10.अक्ष से घिरी आकृति के क्षेत्रफल और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की गणना करें।

चावल। 5

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)। आवश्यक क्षेत्रफल, क्षेत्रफलों का योग है। आइए इनमें से प्रत्येक क्षेत्र को खोजें। सबसे पहले, हम सिस्टम को हल करके एकीकरण की सीमाएं निर्धारित करते हैं हम पाते हैं , । इस तरह:

;

.

अत: छायांकित आकृति का क्षेत्रफल है

(वर्ग इकाई)।

चावल। 6

अंत में, वक्रीय समलम्ब को खंड पर निरंतर कार्यों के ग्राफ़ द्वारा ऊपर और नीचे से घिरा होने दें और,
और बाएँ और दाएँ पर - सीधी रेखाएँ और (चित्र 6)। फिर इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (8)

उदाहरण 11.तथा रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।यह आंकड़ा चित्र में दिखाया गया है। 7. आइए सूत्र (8) का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करें। समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर हम पाते हैं, ; इस तरह, , । खंड पर हमारे पास है: . इसका मतलब यह है कि सूत्र (8) में हम इस प्रकार लेते हैं एक्स, और एक गुणवत्ता के रूप में - . हम पाते हैं:

(वर्ग इकाई)।

क्षेत्रफलों की गणना की अधिक जटिल समस्याओं को आकृति को गैर-अतिव्यापी भागों में विभाजित करके और इन भागों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल की गणना करके हल किया जाता है।

चावल। 7

उदाहरण 12.रेखाओं , , से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 8)। इस आकृति को एक वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज के रूप में माना जा सकता है, जो नीचे से अक्ष द्वारा, बाएँ और दाएँ - सीधी रेखाओं द्वारा और ऊपर से - कार्यों के ग्राफ़ द्वारा घिरा हुआ है। चूँकि आकृति ऊपर से दो फलनों के ग्राफ़ द्वारा सीमित है, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम इस सीधी रेखा आकृति को दो भागों में विभाजित करते हैं (1 रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और)। इनमें से प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल सूत्र (4) का उपयोग करके पाया जाता है:

(वर्ग इकाई); (वर्ग इकाई)। इस तरह:

(वर्ग इकाई)।

चावल। 8

चावल। 9

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि यदि एक वक्ररेखीय समलंब सीधी रेखाओं और अक्ष द्वारा सीमित है और वक्र पर निरंतर है (चित्र 9), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है

क्रांति के एक पिंड का आयतन

मान लीजिए कि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज, एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरा हुआ है, एक अक्ष द्वारा, सीधी रेखाओं द्वारा और, अक्ष के चारों ओर घूमता है (चित्र 10)। फिर घूर्णन के परिणामी निकाय की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (9)

उदाहरण 13.हाइपरबोला, सीधी रेखाओं और अक्ष से घिरे एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड की धुरी के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 11)।

समस्या की स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि , . सूत्र (9) से हमें प्राप्त होता है

.

चावल। 10

चावल। ग्यारह

किसी अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन कहांसीधी रेखाओं से घिरा वक्ररेखीय समलम्बाकार वाई = सीऔर वाई = डी, एक्सिस कहांऔर एक खंड पर निरंतर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ (चित्र 12), सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

. (10)

चावल। 12

उदाहरण 14. किसी अक्ष के चारों ओर घूमने पर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें कहांरेखाओं से घिरा वक्ररेखीय समलम्बाकार एक्स 2 = 4पर, य = 4, एक्स = 0 (चित्र 13)।

समाधान. समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम एकीकरण की सीमाएँ पाते हैं: , . सूत्र (10) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

चावल। 13

समतल वक्र की चाप लंबाई

माना कि समीकरण द्वारा दिया गया वक्र, जहाँ, समतल में स्थित है (चित्र 14)।

चावल। 14

परिभाषा। एक चाप की लंबाई को उस सीमा के रूप में समझा जाता है जिस तक इस चाप में अंकित एक टूटी हुई रेखा की लंबाई बढ़ जाती है, जब टूटी हुई रेखा के लिंक की संख्या अनंत हो जाती है, और सबसे बड़े लिंक की लंबाई शून्य हो जाती है।

यदि कोई फ़ंक्शन और उसका व्युत्पन्न खंड पर निरंतर है, तो वक्र की चाप लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (11)

उदाहरण 15. जिसके लिए बिंदुओं के बीच घिरे वक्र की चाप लंबाई की गणना करें .

समाधान. हमारे पास मौजूद समस्या स्थितियों से . सूत्र (11) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

.

4. अनुचित अभिन्न अंग
एकीकरण की अनंत सीमाओं के साथ

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा को प्रस्तुत करते समय, यह माना गया कि निम्नलिखित दो शर्तें संतुष्ट थीं:

ए) एकीकरण की सीमाएं एऔर परिमित हैं;

बी) इंटीग्रैंड अंतराल पर घिरा हुआ है।

यदि इनमें से कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो अभिन्न कहा जाता है तुम्हारा अपना नहीं.

आइए पहले हम एकीकरण की अनंत सीमाओं वाले अनुचित अभिन्नों पर विचार करें।

परिभाषा। मान लीजिए कि फ़ंक्शन परिभाषित है और अंतराल पर निरंतर हैऔर दाहिनी ओर असीमित (चित्र 15)।

यदि अनुचित अभिन्न अभिसरण होता है, तो यह क्षेत्र परिमित है; यदि अनुचित अभिन्न विचलन करता है, तो यह क्षेत्र अनंत है।

चावल। 15

एकीकरण की अनंत निचली सीमा के साथ एक अनुचित अभिन्न को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है:

. (13)

यदि समानता के दाईं ओर की सीमा (13) मौजूद है और परिमित है तो यह अभिन्न अभिसरण होता है; अन्यथा अभिन्न को अपसारी कहा जाता है।

एकीकरण की दो अनंत सीमाओं के साथ एक अनुचित अभिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

, (14)

जहाँ с अंतराल का कोई बिंदु है। अभिन्न केवल तभी अभिसरण करता है जब समानता (14) के दाईं ओर दोनों अभिन्न अभिसरण करते हैं।

जी) = [हर में एक पूर्ण वर्ग चुनें: ] = [प्रतिस्थापन:

] =

इसका मतलब यह है कि अनुचित अभिन्न अंग अभिसरण करता है और इसका मूल्य बराबर है।