इसका परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एक आयत का परिमाप और क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

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आयत और वर्ग क्या है

आयतयह एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं। अतः विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं।

वर्गसमान भुजाओं और कोणों वाला एक आयत है। इसे नियमित चतुर्भुज कहा जाता है।

उदाहरण।

इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है: चतुर्भुज ABCD; वर्ग ईएफजीएच।

एक आयत का परिमाप कितना होता है? परिधि की गणना के लिए सूत्र

परिधि को लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है पी. चूँकि परिधि आयत की सभी भुजाओं की लंबाई है, परिधि को लंबाई की इकाइयों में लिखा जाता है: मिमी, सेमी, मी, डीएम, किमी।

उदाहरण के लिए, एक आयत ABCD का परिमाप इस प्रकार दर्शाया गया है पी ABCD, जहां A, B, C, D आयत के शीर्ष हैं।

आइए चतुर्भुज ABCD के परिमाप का सूत्र लिखें:

पी एबीसीडी = एबी + बीसी + सीडी + एडी = 2 * एबी + 2 * बीसी = 2 * (एबी + बीसी)

समाधान:
1. आइए प्रारंभिक डेटा के साथ एक आयत ABCD बनाएं।
2. आइए इस आयत की परिधि की गणना के लिए एक सूत्र लिखें:

पीएबीसीडी = 2 * (एबी + बीसी)

पी ABCD=2*(5cm+3cm)=2*8cm=16cm

एक वर्ग की परिधि की गणना करने का सूत्र

पीएबीसीडी=2*(एबी+बीसी)

पीएबीसीडी=4*एबी

समाधान।
1. मूल डेटा के साथ एक वर्ग ABCD बनाएं।

2. एक वर्ग की परिधि की गणना के लिए सूत्र को याद करें:

पीएबीसीडी=4*एबी

पी ABCD=4*6cm=24cm

उत्तर: पी एबीसीडी = 24 सेमी.

एक आयत का परिमाप ज्ञात करने में समस्याएँ

1. आयतों की चौड़ाई और लंबाई मापें। उनकी परिधि ज्ञात कीजिए।

2. 4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला एक आयत ABCD बनाएं। आयत का परिमाप ज्ञात करें।

3. 5 सेमी भुजा वाला एक CEOM वर्ग बनाएं। वर्ग का परिमाप ज्ञात करें।

आयत के परिमाप की गणना कहाँ की जाती है?

इस कार्य में, साइट की परिधि की सटीक गणना करना आवश्यक है ताकि बाड़ के निर्माण के लिए अतिरिक्त सामग्री न खरीदें।

2. माता-पिता ने बच्चों के कमरे में मरम्मत करने का निर्णय लिया। वॉलपेपर की संख्या की सही गणना करने के लिए आपको कमरे की परिधि और उसके क्षेत्रफल को जानना होगा।
आप जिस कमरे में रहते हैं उसकी लंबाई और चौड़ाई निर्धारित करें। अपने कमरे की परिधि निर्धारित करें.

एक आयत का क्षेत्रफल कितना होता है?

किसी आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।
आयत के क्षेत्रफल की गणना AK की लंबाई को KM की चौड़ाई से गुणा करके की जाती है। आइए इसे एक सूत्र के रूप में लिखें।

एसएकमो=एके*केएम

एस AKMO = AK * KM = 7 सेमी * 2 सेमी = 14 सेमी 2।

उत्तर: 14 सेमी 2.

एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र

उदाहरण।
इस उदाहरण में, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना भुजा AB को चौड़ाई BC से गुणा करके की जाती है, लेकिन चूँकि वे बराबर हैं, भुजा AB को AB से गुणा किया जाता है।

एसएबीसीओ = एबी * बीसी = एबी * एबी

एसएकेएमओ = एके * किमी = 8 सेमी * 8 सेमी = 64 सेमी 2

उत्तर: 64 सेमी 2.

एक आयत और एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्याएँ

2. एक उपनगरीय क्षेत्र 20 मीटर x 30 मीटर के आकार के साथ खरीदा गया था। ग्रीष्मकालीन कॉटेज का क्षेत्रफल निर्धारित करें, उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में लिखें।

हल करते समय यह ध्यान रखना आवश्यक है कि किसी आयत का क्षेत्रफल केवल उसकी भुजाओं की लंबाई से ज्ञात करने की समस्या को हल करना यह वर्जित है.

इसे सत्यापित करना आसान है. माना कि आयत का परिमाप 20 सेमी है। यह सत्य होगा यदि इसकी भुजाएँ 1 और 9, 2 और 8, 3 और 7 सेमी हों। इन तीनों आयतों का परिमाप समान, बीस सेंटीमीटर के बराबर होगा। (1 + 9) * 2 = 20, जैसे (2 + 8) * 2 = 20 सेमी।
जैसा कि आप देख सकते हैं, हम चुन सकते हैं विकल्पों की अनंत संख्याआयत की भुजाओं के आयाम, जिसका परिमाप दिए गए मान के बराबर होगा।

20 सेमी की दी गई परिधि वाले, लेकिन अलग-अलग भुजाओं वाले आयतों का क्षेत्रफल अलग-अलग होगा। दिए गए उदाहरण के लिए - क्रमशः 9, 16 और 21 वर्ग सेंटीमीटर।
एस 1 = 1 * 9 = 9 सेमी 2
एस 2 = 2 * 8 = 16 सेमी 2
एस 3 = 3 * 7 = 21 सेमी 2
जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी दी गई परिधि वाली आकृति के क्षेत्रफल के लिए अनंत संख्या में विकल्प हैं।

इस प्रकार, किसी आयत के क्षेत्रफल की गणना उसकी परिधि से करने के लिए या तो उसकी भुजाओं का अनुपात या उनमें से किसी एक की लंबाई जानना आवश्यक है। एकमात्र आकृति जिसकी परिधि पर उसके क्षेत्रफल की स्पष्ट निर्भरता होती है वह एक वृत्त है। केवल सर्कल के लिएऔर संभवतः एक समाधान.

• कार्य 4. आयत का क्षेत्रफल बनाए रखते हुए भुजाओं की लंबाई बदलें

कार्य 1. क्षेत्रफल से एक आयत की भुजाएँ ज्ञात करें

कार्य 2. परिधि से एक आयत की भुजाएँ ज्ञात करें

एक आयत का परिमाप 26 सेमी है और इसकी दो आसन्न भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफल का योग 89 वर्ग मीटर है। देखें आयत की भुजाएँ ज्ञात करें।
समाधान।
आइए आयत की भुजाओं को x और y के रूप में निरूपित करें।
तब आयत का परिमाप है:
2(x+y)=26
इसके प्रत्येक किनारे पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग (क्रमशः दो वर्ग हैं, और ये चौड़ाई और ऊंचाई के वर्ग हैं, क्योंकि भुजाएँ आसन्न हैं) के बराबर होगा
x2+y2=89
हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं। पहले समीकरण से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं
x+y=13
y=13-y
अब हम दूसरे समीकरण में x को उसके समतुल्य से प्रतिस्थापित करते हुए एक प्रतिस्थापन करते हैं।
(13वाँ) 2 +y 2 =89
169-26य+य 2 +य 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
हम परिणामी द्विघात समीकरण को हल करते हैं।
डी=676-640=36
x1=5
x2=8
आइए अब इस तथ्य को ध्यान में रखें कि x+y=13 (ऊपर देखें) x=5 पर, तो y=8 और इसके विपरीत, यदि x=8, तो y=5
उत्तर: 5 और 8 सेमी

कार्य 3. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के अनुपात से ज्ञात कीजिए

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसकी परिधि 26 सेमी है और भुजाएँ 2 से 3 के समानुपाती हैं।

समाधान।
आइए आयत की भुजाओं को आनुपातिकता गुणांक x द्वारा निरूपित करें।
जहां से एक तरफ की लंबाई 2x के बराबर होगी, दूसरे की - 3x।

तब:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
अब, प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम आयत का क्षेत्रफल निर्धारित करते हैं:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40.56 सेमी2

कार्य 4. एक आयत का क्षेत्रफल बनाए रखते हुए भुजाओं की लंबाई बदलना

समाधान.
आयत का क्षेत्रफल है
एस=अब

हमारे मामले में, कारकों में से एक में 25% की वृद्धि हुई, जिसका अर्थ है 2 = 1.25ए। तो आयत का नया क्षेत्रफल होना चाहिए
एस 2 = 1.25 एबी

इस प्रकार, आयत के क्षेत्रफल को उसके प्रारंभिक मान पर वापस लाने के लिए
एस2 = एस/1.25
एस 2 = 1.25एबी/1.25

चूँकि नया आकार बदला नहीं जा सकता
एस 2 = (1.25ए) बी/1.25

1 / 1,25 = 0,8
इस प्रकार, दूसरे पक्ष का मान (1 - 0.8) * 100% = 20% कम होना चाहिए

उत्तर: चौड़ाई 20% कम की जाए।

ज्यामितीय आकृतियों की अटूट विविधता के बीच, वे हैं जो हमारे जीवन में सबसे अधिक लागू होती हैं, उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज, एक वृत्त, एक अंडाकार, आदि। ज्यामितीय आकृतियाँ हर जगह होती हैं, इस संबंध में, उनका निर्धारण करना अक्सर आवश्यक हो जाता है। संख्यात्मक विशेषताएँ: क्षेत्रफल, परिधि, आयतन।

• यह एक सपाट ज्यामितीय आकृति है;
• यह एक चतुर्भुज है;
• यह एक आकृति है जिसमें विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर हैं, सभी कोण समकोण हैं, अर्थात। 90° से.

• एक आयत ABCD है;
• भुजाएँ AB और CD 5 सेमी हैं;
• BC और AD भुजाएँ 7 सेमी हैं।

एक आयत का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है सूत्रों को जानें और सबसे महत्वपूर्ण बात - उन्हें लागू करने में सक्षम होंसमस्याओं को हल करने के लिए - क्योंकि वे अलग-अलग जटिलता की हैं।

बहुत बार, आसान स्तर की समस्याओं को हल करते समय, मूल सूत्रों को जानना और केवल आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके उन्हें हल करना पर्याप्त होता है।

यदि कार्य अधिक जटिल हैं और उनकी स्थितियों में सूत्र के लिए आवश्यक डेटा नहीं है, तो उन्हें अन्य बीजगणितीय परिचालनों का उपयोग करके ढूंढने की आवश्यकता है।

इस मामले में, आप निम्न उदाहरण का उपयोग कर सकते हैं

आपको एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि इसकी परिधि 120 सेमी है, और भुजाओं का अनुपात 2 से 3 है

सर्वप्रथम एक समीकरण लिखेंपरिधि सूत्र का उपयोग करके भुजाएँ ज्ञात करना ( पी=2(ए+बी):

2*(2x+3X)=120 इसे हल करें, x=12 का अर्थ है कि भुजाएँ 24 सेमी और 36 सेमी हैं और अब हम मानों को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं एस=अबऔर इसे S=24*36=864 वर्ग सेमी खोजें।

एक आयत का क्षेत्रफल लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है और इसकी गणना सूत्र a * b द्वारा की जाती है, जहाँ a और b आयत की भुजाएँ हैं। एक आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर होता है और इसकी गणना सूत्र a+b+a+b द्वारा की जाती है।

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करना - आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।

एक आयत की परिधि ज्ञात करना (सभी भुजाओं की लंबाई का योग) - बस सभी भुजाओं की लंबाई जोड़कर, या आयत के अनुदैर्ध्य पक्ष की लंबाई में, अनुप्रस्थ पक्ष की लंबाई जोड़ें और परिणामी राशि को गुणा करें दो से.

यदि आप कल्पना करते हैं कि आपका बगीचा आकार में आयताकार है और आपको साइट पर बाड़ लगाने की आवश्यकता है, तो संभवतः आपके मन में यह सवाल होगा कि निर्माण सामग्री की खपत की सही गणना करने के लिए बाड़ कितनी लंबी होगी। आप परिधि ज्ञात करने के लिए बाड़ के किनारों की लंबाई जोड़ते हैं। यदि आप अपने आप से पूछते हैं कि आपको इस क्षेत्र में कितनी भूमि खोदने की आवश्यकता है, तो आपको क्षेत्र की तलाश करनी होगी, और इसके लिए आपको क्षेत्र की चौड़ाई से लंबाई को गुणा करना होगा, क्योंकि जैसा कि आप जानते हैं, एक की विपरीत भुजाएँ आयत जोड़े में बराबर हैं। यह मत भूलिए कि एक वर्ग भी एक आयत है, एक वर्ग की परिधि ज्ञात करने के लिए, आपको लंबाई को 4 से गुणा करना होगा, और क्षेत्रफल - भुजा की लंबाई, को अपने आप से गुणा करना होगा।

हाई स्कूल गणित के बारे में सोचें। तो एक आयत का परिमाप उसकी दोनों भुजाओं के योग को 2 से गुणा करने के सूत्र द्वारा पाया जाता है। अर्थात, P = 2 * (a + b), जहाँ a और b आयत की भुजाएँ हैं। क्रमशः क्षेत्रफल, सूत्र S=a*b का उपयोग करके पाया जाता है, जहाँ a और b भी इसकी भुजाएँ हैं।

यदि आप गहराई में नहीं जाते हैं, तो आयत का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करना बहुत सरल है। हम ऐसे आयत की भुजाओं को लैटिन अक्षरों में निरूपित करते हैं: ए, बी, सी और डी। माना a = c आयत की लंबाई है और b और d आयत की चौड़ाई है।

आयत क्षेत्र:

आयत परिधि:

एस = ए + बी + सी + डी



एक आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई है। इस तथ्य के आधार पर कि इस आकृति में चार भुजाएँ या दो जोड़े हैं, जबकि विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभिन्न आकारों की दो भुजाओं के मानों को जोड़ना और गुणा करना उचित है परिणामी मान दो से।

क्षेत्रफल भी सरल है: हम बस विभिन्न आकारों की भुजाओं को गुणा करते हैं।

क्षेत्रफल की गणना आयत की लंबी भुजा को छोटी भुजा से गुणा करके की जाती है। और परिमाप (लंबी भुजा + छोटी भुजा)*2 है

आप आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका अपना सकते हैं। अर्थात्, आयत की लंबाई (आमतौर पर ए) को आयत की चौड़ाई (आमतौर पर बी) से गुणा करें। लेकिन हम सभी पक्षों को जोड़कर, या अधिक सरलता से: 2a + 2b जोड़कर परिधि की तलाश कर रहे हैं

आयतयह एक ज्यामितीय आकृति है, अर्थात् एक चतुर्भुज, जिसके सभी कोण समकोण हैं। इससे पता चलता है कि विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं।



एक आयत का परिमापआयत की सभी भुजाओं की लंबाई का योग है, या लंबाई और चौड़ाई का योग 2 से गुणा किया गया है।

परिमापआयत की सभी भुजाओं की लंबाई है, तो इसे लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है: सेमी, मिमी, एम, डीएम, किमी।

P=AB+CD+AD+BC या P=2*(AB+AD)।

वर्गलंबाई की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है: एम2, सेमी2, डीएम2 और इसे लैटिन अक्षर एस द्वारा दर्शाया जाता है।

किसी आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।

एक आयत के क्षेत्रफल की गणना उसकी लंबाई को परिणामी उत्पाद की चौड़ाई से गुणा करके की जाती है और क्षेत्रफल होगा।

आयत की परिधि लंबाई और चौड़ाई का योग करके पाई जाती है, परिणामी योग को भी दो से गुणा किया जाना चाहिए, यह वांछित परिधि होगी।

यदि एक आयत की दो विपरीत भुजाएँ हैं, तो हम बस उन्हें गुणा करते हैं और क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं, जोड़ते हैं और दोगुना करते हैं और परिधि प्राप्त करते हैं। हालाँकि, अक्सर पाठ्यपुस्तकों में वे सबसे अधिक असंगतता पूछते हैं - भुजा और परिधि, भुजा और क्षेत्रफल, भुजा और विकर्ण। इन मामलों में कैसे आगे बढ़ना है.

यह आदर्श कार्य है.

भुजा और विकर्ण निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस मामले में, हम पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार दूसरी भुजा पाते हैं - एक त्रिभुज में दूसरे पैर के रूप में जहां कर्ण आयत का विकर्ण है।

परिणामस्वरूप, हमारे पास एक आयत का परिमाप ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र हैं:



और यदि आप बस इन्हीं सूत्रों को रूपांतरित करते हैं, तो आपको सभी प्रकार के कार्यों में क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र मिलते हैं:

बहुत से लोगों को स्कूल पाठ्यक्रम से याद है कि वर्ग क्या होता है। यह चतुर्भुज, जो नियमित है, के कोण और भुजाएँ बिल्कुल बराबर हैं। चारों ओर देखने पर आप देख सकते हैं कि हम कई चौराहों से घिरे हुए हैं। हर दिन हमारा सामना उनसे होता है, और कभी-कभी इस ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करना आवश्यक हो जाता है। यदि आप गणना करने के सरल नियमों को समझाने वाले इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने के लिए कुछ मिनट का समय लेते हैं तो इन मूल्यों की गणना करना मुश्किल नहीं होगा।

ट्यूटोरियल वीडियो "वर्ग का क्षेत्रफल और परिमाप कैसे ज्ञात करें"

वर्ग के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

गणना के साथ आगे बढ़ने से पहले, आपको इस आंकड़े के बारे में कुछ महत्वपूर्ण जानकारी जानना आवश्यक है, जिसमें शामिल हैं:

• एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं;
• वर्ग के सभी कोने सही हैं;
• एक वर्ग का क्षेत्रफल यह गणना करने का एक तरीका है कि एक आकृति द्वि-आयामी अंतरिक्ष में कितनी जगह लेती है;
• द्वि-आयामी स्थान कागज की एक शीट या एक कंप्यूटर स्क्रीन है जहां एक वर्ग बनाया गया है;
• परिधि आकृति की पूर्णता का संकेतक नहीं है, लेकिन आपको इसके किनारों के साथ काम करने की अनुमति देती है;
• परिधि एक वर्ग की सभी भुजाओं का योग है;
• परिधि की गणना करते समय, हम एक-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं, जिसका अर्थ है मीटर में परिणाम तय करना, न कि वर्ग मीटर (क्षेत्रफल)।

किसी वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

किसी दी गई आकृति के क्षेत्रफल की गणना को एक उदाहरण से सरलतापूर्वक और आसानी से समझाया जा सकता है:

• मान लीजिए कि वर्ग की भुजा 8 मीटर है;
• किसी भी आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको उसकी एक भुजा का मान दूसरे से गुणा करना होगा (8 x 8 = 64);
• चूँकि हम मीटर को मीटर से गुणा करते हैं, परिणाम वर्ग मीटर (m2) होता है।

किसी वर्ग का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

यह जानते हुए कि किसी दिए गए आयत की सभी भुजाएँ समान हैं, आपको इसकी परिधि की गणना करने के लिए निम्नलिखित जोड़-तोड़ करने की आवश्यकता है:

• वर्ग की चारों भुजाओं को जोड़ें (8 + 8 + 8 + 8 = 32);
• परिणामी मान वर्ग का परिमाप होगा, जो मीटर में निश्चित होगा।

इस आलेख में दिए गए सभी सूत्र और गणना किसी भी आयत पर लागू होते हैं। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जब अन्य आयतों की बात आती है जो सही नहीं हैं, तो भुजाओं का मान भिन्न होगा, उदाहरण के लिए 4 और 8 मीटर। इसका मतलब यह है कि ऐसे आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आकृति की उन भुजाओं को गुणा करना आवश्यक होगा जो मान में भिन्न हों, समान न हों।

यह भी याद रखना चाहिए कि क्षेत्रफल वर्ग मीटर में और परिधि साधारण मीटर में मापी जाती है। यदि परिधि को एक लंबी रेखा के रूप में खींचा जाता है, तो इसका मान नहीं बदलेगा, जो इंगित करता है कि गणना एक-आयामी अंतरिक्ष में की जाती है।

क्षेत्रफल को द्वि-आयामी अंतरिक्ष में मापा जाता है, जैसा कि वर्ग मीटर से दर्शाया जाता है, जिसे हम मीटर को मीटर से गुणा करके प्राप्त करते हैं। क्षेत्रफल एक ज्यामितीय आकृति की पूर्णता का सूचक है, और हमें बताता है कि एक वर्ग या अन्य आयत को भरने के लिए कितनी काल्पनिक कवरेज की आवश्यकता है।

वीडियो पाठ की सरल व्याख्या आपको न केवल एक वर्ग, बल्कि किसी भी आयत के क्षेत्रफल और परिधि की शीघ्र गणना करने की अनुमति देगी। स्कूल पाठ्यक्रम का यह ज्ञान घर की मरम्मत या बगीचे में काम आएगा।