अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे प्राप्त करें: सूत्र और उनके उपयोग का एक उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति. विस्तृत सिद्धांतउदाहरणों के साथ (2019)

संख्यात्मक क्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (-वें नंबर की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

वगैरह।
इस तरह के संख्यात्मक क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और एक व्यापक अर्थ में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा गया है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई श्रेणी () पर वापस लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम श्रेढ़ी संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक कि हम श्रेढ़ी के वें पद तक नहीं पहुँच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास सारांशित करने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य बराबर है।

2. विधि

यदि हमें श्रेढ़ी के वें पद का मान ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लग जाता, और यह तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मूल्य में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न देखा है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, देखते हैं कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मान क्या बनता है:


दूसरे शब्दों में:

इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को स्वतंत्र रूप से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको ठीक वही संख्या प्राप्त हुई है जो पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें यह सूत्र- उसे ले आओ सामान्य फ़ॉर्मऔर पाओ:

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है जिसमें शामिल हैं निम्नलिखित संख्याएँ: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करते समय अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की -वीं संख्या क्या होगी:

के बाद से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आप कहते हैं, यह आसान है, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

एकदम सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया गया है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएँ दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलतियाँ होने की संभावना है।
अब सोचिए, क्या किसी सूत्र का प्रयोग करके इस समस्या को एक ही चरण में हल करना संभव है? बेशक, हां, और हम इसे अभी बाहर लाने की कोशिश करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, क्योंकि हम इसे खोजने का सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में निकाला था:
, तब:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति की अगली अवधि है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य का दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ एक प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। चलो सामग्री ठीक करते हैं। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाने के लिए बना हुआ है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों का राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए कटौती करता है ...

जब कार्ल गॉस 9 साल के थे, तो दूसरी कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त शिक्षक ने कक्षा में पूछा अगला कार्य: " तक (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।" शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

युवा कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लें कि हमारे पास अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग खोजने की आवश्यकता है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है, जैसा कि गॉस खोज रहे थे?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या देखा? सही! उनका योग बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई श्रेढ़ी में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र में, वें सदस्य के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब कार्ल गॉस को दी गई समस्या पर वापस आते हैं: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि शर्तों का योग बराबर है, और शर्तों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस समय के दौरान, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग ताकत और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे बड़े निर्माण स्थल की कल्पना करें - एक पिरामिड का निर्माण ... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया हो। मुझे उम्मीद है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको आखिरी फॉर्मूला याद है और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन से? इस शर्त के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत की ईंटों की जरूरत है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्‍तर है → ब्लॉक

प्रशिक्षण

कार्य:

1. माशा गर्मी के लिए आकार में हो रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या में इजाफा करती हैं। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली बार वर्कआउट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है।
3. लॉग को संग्रहीत करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से ढेर कर देते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले एक की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लट्ठे हैं, यदि चिनाई का आधार लट्ठे हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के पैरामीटर परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहला विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   विषम संख्याओं की संख्या - आधी, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर:में निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनासमांतर श्रेढ़ी का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , जहाँ श्रेढ़ी में संख्याओं की संख्या है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मानों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जुड़ी हो सकती है, और केवल एक। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है अगर अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्न क्रम है:

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहाँ पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम आवर्तक को एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या पिछले कई को जानने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति के वें पद को खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। तब:

अच्छा, अब यह स्पष्ट हो गया है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किसलिए? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य ऋण की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला सदस्य बराबर है। और क्या फर्क है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से लेकर तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के होने के नाते कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उसने देखा कि पहली और आखिरी संख्या का योग बराबर है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरी और तीसरी संख्या का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की संख्या का ठीक आधा, यानी। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणकों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या यह है। प्रत्येक अगले को पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस श्रेणी के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम कार्यकाल बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप ही निर्णय लीजिये:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़े तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले एक की तुलना में हर दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. का सफर तय किया। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन गाड़ी चलानी होगी? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि रूबल के लिए बिक्री के लिए रखे गए रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल कितनी कम हो जाती है, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेच दिया गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और इसके पैरामीटर निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है :, इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मान बदलें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, इसलिए उत्तर।
   आइए -वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । पाना: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान हो जाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग

योग ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

खैर, विषय समाप्त हो गया। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे जरूरी बात।

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निष्कर्ष के तौर पर...

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"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल से मौजूद हैं। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि उनकी एक व्यावहारिक आवश्यकता थी।

तो, एक पपायरी में प्राचीन मिस्र, जिसमें गणितीय सामग्री है - राइंड पेपिरस (XIX सदी ईसा पूर्व) - में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं: रोटी के दस उपायों को दस लोगों में विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक माप का आठवां हिस्सा हो।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। तो, अलेक्जेंड्रिया के हाइपसिकल्स (दूसरी शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याओं को संकलित किया और यूक्लिड के "तत्वों" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने विचार तैयार किया: "सदस्यों की एक समान संख्या के साथ एक अंकगणितीय प्रगति में, दूसरी छमाही के सदस्यों का योग वर्ग 1/2 सदस्यों द्वारा 1 के सदस्यों के योग से अधिक है।

अनुक्रम a को निरूपित किया जाता है। अनुक्रम की संख्याओं को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जो इस सदस्य की क्रम संख्या (a1, a2, a3 ... पढ़ें: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd") और इसी तरह)।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे पिछले शब्द (n) को उसी संख्या d के साथ जोड़कर प्राप्त किया गया समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, तो इस तरह की प्रगति को बढ़ती हुई माना जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले कुछ पदों को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत पर बड़ी संख्या में Member पहले से ही एक अनंत प्रगति है।

किसी भी अंकगणितीय प्रगति को निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

an =kn+b, जबकि b और k कुछ संख्याएँ हैं।

कथन, जो विपरीत है, बिल्कुल सत्य है: यदि अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया गया है, तो यह बिल्कुल अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें गुण हैं:

1. प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है।
2. विपरीत: यदि, दूसरे पद से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले पद का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात यदि शर्त पूरी होती है, तो दिया गया क्रम अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता एक ही समय में प्रगति का संकेत है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति की एक विशिष्ट संपत्ति कहा जाता है।
   उसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सच है: एक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, अगर यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सच है, जो दूसरे से शुरू होती है।

एक समांतर श्रेढ़ी की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलाक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी आवश्यक (Nth) पद निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करके पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस श्रेढ़ी का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1+4(45-1)=177

सूत्र a = ak + d(n - k) आपको इसके किसी भी k-वें सदस्य के माध्यम से अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग (पहले एन सदस्यों को मानते हुए परिमित प्रगति) की गणना इस प्रकार की जाती है:

एसएन = (ए1+एएन) एन/2।

यदि पहला पद भी ज्ञात हो, तो गणना के लिए दूसरा सूत्र सुविधाजनक होता है:

एसएन = ((2ए1+डी(एन-1))/2)*एन।

अंकगणितीय प्रगति का योग जिसमें एन शब्द शामिल हैं, निम्नानुसार गणना की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव कार्यों की शर्तों और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3,...,n,...- सबसे सरल उदाहरणअंकगणितीय प्रगति।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

ठीक है, दोस्तों, यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचयों से परेशान नहीं करूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन असल में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से उसी संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए न्याय करो। पहला सेट केवल लगातार संख्याएं हैं, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पाँच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। जिस स्थिति में प्रत्येक अगला तत्व $\sqrt(2)$ से बढ़ जाता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

अत: ऐसे सभी क्रमों को अंकगणितीय श्रेढ़ी कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होती है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। वह राशि जिसके द्वारा संख्याएँ भिन्न होती हैं, प्रगति अंतर कहलाती है और इसे अक्सर $d$ अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ प्रगति ही है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उसी क्रम में पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, सेट (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत करता है कि बहुत सारी संख्याएँ आगे बढ़ती हैं। असीमित कई, उदाहरण के लिए। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - एक ही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती हुई प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति कहलाती है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से अधिक है;
2. घट रहा है, अगर, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...).

केवल एक ही प्रश्न शेष है: एक बढ़ती हुई प्रगति को एक घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल संख्या $d$ के चिन्ह पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति मतभेद:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए $d$ के अंतर की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहले और दूसरे) को लेना और दाईं ओर की संख्या से बाईं ओर की संख्या को घटाना पर्याप्त है। यह ऐसा दिखाई देगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रम के तत्वों का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही\)\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, और इसी तरह।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एन-1))=d\Rightarrow ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी \]

संक्षेप में, प्रगति का $n$वाँ पद ज्ञात करने के लिए, आपको $n-1$वाँ पद और अंतर $d$ जानने की आवश्यकता है। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप केवल पिछले एक को जानकर (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) किसी भी संख्या का पता लगा सकते हैं। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक पेचीदा सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d\]

आप शायद इस फॉर्मूले से पहले आ चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह सबसे पहले में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1। अंकगणितीय प्रगति $\left(((a)_(n)) \right)$ के पहले तीन पदों को लिखें यदि $((a)_(1))=8,d=-5$।

समाधान। तो, हम पहले शब्द $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d; \\ & ((ए)_(1))=((ए)_(1))+\बाएं(1-1 \दाएं)डी=((ए)_(1))=8; \\ & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+\बाएं(2-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+\बाएं(3-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति कम हो रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले से ही पहले शब्द को जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने यह सुनिश्चित किया कि पहले पद के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ साधारण अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2। अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद -40 है और इसका सत्रहवाँ पद -50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((ए)_(7))=-40;\क्वाड ((ए)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6d \\ & ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \अंत(संरेखित) \सही।\]

मैंने सिस्टम का चिन्ह लगाया क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(1))+16d-\बाएं(((ए)_(1))+6d \दाएं)=-50-\बाएं(-40 \दाएं); \\ & ((ए)_(1))+16डी-((ए)_(1))-6डी=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&डी=-1. \\ \end(संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \डाउनएरो \\ ((ए)_(1))-6=-40; \\ ((क)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, यह दूसरे और तीसरे पद को खोजने के लिए बना रहता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=-34-1=-35; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

हमारे द्वारा खोजी गई प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से घटाते हैं, तो हमें $n-m$ संख्या से गुणा की गई प्रगति का अंतर मिलता है:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एम))=d\cdot \बाएं(एन-एम \दाएं)\]

सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति, जिसे आपको निश्चित रूप से जानने की आवश्यकता है - इसकी मदद से आप प्रगति में कई समस्याओं के समाधान में तेजी ला सकते हैं। यहाँ इसका एक प्रमुख उदाहरण है:

टास्क नंबर 3। समांतर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस श्रेणी का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5d; \\ & ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ & ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की किसी भी प्रणाली की रचना करने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ कुछ पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसकी पहली अवधि नकारात्मक है, तो अभी या बाद में इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती हुई प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" ढूंढना हमेशा संभव होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छंटनी। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणनाओं में कई पत्रक लगेंगे - जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता, तब तक हम सो जाते हैं। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4। एक अंकगणितीय श्रेढ़ी में कितने ऋणात्मक पद -38.5; -35.8; ...?

समाधान। तो, $((ए)_(1))=-38.5$, $((ए)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम धनात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएँगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए जानने की कोशिश करते हैं: किस समय तक (यानी कब तक प्राकृतिक संख्या$n$) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन)) \lt 0\Rightarrow ((ए)_(1))+\बाएं (n-1 \दाएं)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \बाएं| \cdot 10 \सही। \\ & -385+27\cdot \बाएं(n-1 \दाएं) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान हमारे अनुरूप होंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16 नहीं है।

कार्य संख्या 5। अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस श्रेढ़ी के प्रथम धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह पिछले वाले के समान ही समस्या होगी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पहले और अंतर के संदर्भ में पांचवें पद को व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot डी; \\ & ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4d; \\ & -150=((ए)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ए)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में सकारात्मक संख्याएँ किस बिंदु पर दिखाई देंगी:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=-162+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56। \\ \end(संरेखित करें)\]

इस असमिका का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता तक कम कर दिया गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमारे अनुरूप नहीं होगा।

अब जब हमने सरल समस्याओं को हल करना सीख लिया है, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत ही उपयोगी संपत्ति सीखें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगी। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई पदों पर विचार करें $\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)$। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई नहीं $((a)_(1)) , \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ वगैरह। क्योंकि जो नियम अब मैं आपको बताऊंगा वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान रूप से काम करता है।

और नियम बहुत ही सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ & ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ & ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ & ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन))-3डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शर्तें $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ से समान दूरी पर हैं $((a)_(n)) $ . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शर्तों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया गया है )$ उसी दूरी से जो $2d$ के बराबर है। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अच्छी तरह से अर्थ दिखाता है

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि पड़ोसी नंबर ज्ञात हैं तो आप $((ए)_(एन))$ पा सकते हैं:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-1))+((ए)_(एन+1)))(2)\]

हमने एक शानदार कथन निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-के))+((ए)_(एन+के)))(2)\]

वे। हम कुछ $((a)_(150))$ आसानी से पा सकते हैं यदि हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं, क्योंकि $((a)_ (150))=\frac(((ए)_(100))+((ए)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई कार्य विशेष रूप से "तेज" होते हैं। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6। $X$ के सभी मान ज्ञात कीजिए जैसे कि संख्याएँ $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ के लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूंकि ये संख्याएं एक प्रगति के सदस्य हैं, अंकगणितीय माध्य स्थिति उनके लिए संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

परिणाम एक क्लासिक द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7। $$ के मान ज्ञात कीजिए कि संख्याएं $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

समाधान। आइए फिर से व्यक्त करें बीच का सदस्यपड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के माध्यम से:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \बाएं| \cdot 2\दाएं.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत ट्रिक है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लीजिए कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$) हैं, जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ अंत (संरेखित करें) \]

हमें संख्याएँ मिलीं -54; -2; 50 जो 52 से भिन्न है निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी ऐसा ही होता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ अंत (संरेखित करें) \]

फिर से प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो लोग चाहते हैं वे अपने दम पर दूसरे कार्य की जाँच कर सकते हैं, लेकिन मैं अभी कहूँगा: वहाँ भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, अंतिम कार्यों को हल करते समय, हम दूसरे पर ठोकर खा गए दिलचस्प तथ्य, जिसे भी याद रखने की आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएं ऐसी हैं कि दूसरी औसत है अंकगणित पहलेऔर अंतिम, ये संख्याएँ अंकगणितीय श्रेढ़ी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में संलग्न हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो कि पहले से ही माना जा चुका है।

समूहीकरण और तत्वों का योग

आइए फिर से संख्या रेखा पर वापस जाएं। हम प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान देते हैं, जिनके बीच, शायद। बहुत सारे अन्य सदस्यों के लायक:

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "लेफ्ट टेल" और $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में "राइट टेल" को व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ & ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \end(संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((ए)_(एन+1))+((ए)_(के-1))=((ए)_(एन))+डी+((ए)_(के))-डी= एस; \\ & ((ए)_(एन+2))+((ए)_(के-2))=((ए)_(एन))+2d+((ए)_(के))-2डी= एस। \ अंत (संरेखित करें) \]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के शुरुआती दो तत्वों पर विचार करते हैं, जो कुल मिलाकर $S$ के बराबर है, और फिर हम इन तत्वों से आगे बढ़ना शुरू करते हैं विपरीत दिशाएं(एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत हटाने के लिए), फिर जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$स$। इसे रेखांकन के रूप में सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

समझ इस तथ्यहमें समस्याओं को मौलिक रूप से और अधिक हल करने की अनुमति देगा उच्च स्तरऊपर चर्चा की तुलना में जटिलता। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8। अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करें जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए हम जो कुछ भी जानते हैं उसे लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=66; \\&डी =? \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\मिनट। \ अंत (संरेखित करें) \]

इसलिए, हम $ d $ की प्रगति के अंतर को नहीं जानते हैं। दरअसल, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=66+डी; \\ & ((ए)_(12))=((ए)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\बाएं(66+d \दाएं)\cdot \बाएं(66+11d \दाएं)= \\ & =11 \cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं). \ अंत (संरेखित करें) \]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट में से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक पैराबोला होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें मिलता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी \दाएं)=11\बाएं (((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \दाएं)= \\ और =11(( डी)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद वाला गुणांक 11 है - यह एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

द्विघात फलन का ग्राफ - परवलय

टिप्पणी: न्यूनतम मूल्ययह परवलय भुज के साथ अपने शीर्ष पर $((d)_(0))$ लेता है। बेशक, हम इस भुज की गणना कर सकते हैं मानक योजना(एक सूत्र $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) है, लेकिन यह नोट करना अधिक उचित होगा कि वांछित शीर्ष समरूपता के अक्ष पर स्थित है पैराबोला, इसलिए बिंदु $((d) _(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी\दाएं)=0; \\ & 11\cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं)=0; \\ & ((डी)_(1))=-66;\क्वाड ((डी)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित करें)\]

यही कारण है कि मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ों को खोजना बहुत आसान था। इसलिए, भुज संख्या -66 और -6 के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजी गई संख्या क्या देती है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मान लेता है (वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - यह हमारे लिए आवश्यक नहीं है)। साथ ही, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर :-36

टास्क नंबर 9। संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे अंकगणितीय प्रगति बना सकें।

समाधान। वास्तव में, हमें पाँच संख्याओं का एक क्रम बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पहली और अंतिम संख्या पहले से ही ज्ञात हो। चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा लापता संख्याओं को निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \दाएं\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्या $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्या $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से (1)(6)$। और अगर संख्या $x$ और $z$ से हम अंदर हैं इस पलहम $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणितीय माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करते हुए, हम शेष संख्या ज्ञात करते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10। संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ सम्मिलित करें, जो दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात है कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम ठीक से नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित की जाएँ। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि सम्मिलित करने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएँ होंगी, और उनमें से पहली 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\लेफ्ट(((ए)_(एन)) \राइट)=\लेफ्ट\( 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्याएँ $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ किनारों पर खड़ी संख्या 2 और 42 से एक दूसरे की ओर एक कदम आगे बढ़कर प्राप्त की जाती हैं। , अर्थात्। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब यह है

\[((ए)_(2))+((ए)_(एन-1))=2+42=44\]

लेकिन तब उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ & \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ & 44+((ए)_(3))=56; \\ & ((ए)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ को जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=\बाएं(3-1 \दाएं)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=2; \\ & ((ए)_(2))=2+5=7; \\ & ((ए)_(3))=12; \\ & ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9वें चरण में हम अनुक्रम के बाईं ओर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याएँ सम्मिलित की जानी थीं: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ पर विचार करना चाहूंगा सरल कार्य. ठीक है, सरल के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित का अध्ययन करते हैं और जो ऊपर लिखा गया है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ठीक ऐसे कार्य हैं जो गणित में OGE और USE में सामने आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे खुद को परिचित करें।

टास्क नंबर 11। टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और बाद के प्रत्येक महीने में उन्होंने पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जों का उत्पादन किया?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=62;\क्वाड डी=14; \\ & ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(संरेखित करें)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((ए)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पुर्जों का निर्माण किया जाएगा।

कार्य संख्या 12। बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 किताबों की बाउंडिंग की, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 और किताबों की बाउंडिंग की। दिसंबर में कार्यशाला में कितनी पुस्तकों की जिल्दसाजी हुई?

समाधान। सब एक जैसे:

$\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=216;\क्वाड डी=4; \\ & ((ए)_(एन))=216+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 4. \\ \end(संरेखित करें)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((ए)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये रहा जवाब- दिसंबर में 260 किताबों की जिल्दसाजी होगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अभी तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने की जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। हम सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर जा सकते हैं, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इससे महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणाम भी।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग।

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में। लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। प्राथमिक से काफी ठोस तक।

सबसे पहले, योग के अर्थ और सूत्र से निपटते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे। आपकी अपनी खुशी के लिए।) योग का अर्थ कम करना जितना आसान है। अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको केवल इसके सभी सदस्यों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये शब्द कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत कुछ है ... जोड़ कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाता है।

योग सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ साफ हो जाएगा।

एस एन एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। जोड़ परिणाम सभीसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। बिल्कुल जोड़ो सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना अंतराल और कूद के। और, बिल्कुल, से शुरू पहला।तीसरे और आठवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, या पाँच से बीसवें पदों का योग खोजने में, सूत्र का सीधा प्रयोग निराशाजनक होगा।)

एक 1 - पहलाप्रगति के सदस्य। यहाँ सब कुछ स्पष्ट है, यह सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति के सदस्य। पंक्ति की अंतिम संख्या। बहुत जाना-पहचाना नाम नहीं है, लेकिन जब राशि के लिए लागू किया जाता है, तो यह बहुत उपयुक्त होता है। तब आप अपने लिए देखेंगे।

एन अंतिम सदस्य का नंबर है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि सूत्र में यह संख्या जोड़े गए सदस्यों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. भरने का प्रश्न: किस प्रकार का सदस्य होगा अंतिम,अगर दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?

एक आश्वस्त उत्तर के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और ... असाइनमेंट को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग खोजने के कार्य में, अंतिम शब्द हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए।अन्यथा, एक परिमित, विशिष्ट राशि बस मौजूद नहीं है।समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस प्रकार की प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया जाता है: संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा, या nवें सदस्य के सूत्र द्वारा।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस प्रकार है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। कार्य में, यह सभी मूल्यवान जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ ... लेकिन कुछ भी नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करेंगे।)

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग के कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों का सही निर्धारण है।

असाइनमेंट के लेखक इन तत्वों को असीम कल्पना के साथ एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरना नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझने के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए एक वास्तविक जीआईए पर आधारित कार्य से शुरू करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छी नौकरी। आसान।) सूत्र के अनुसार राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम अवधि की संख्या एन।

अंतिम सदस्य संख्या कहाँ से प्राप्त करें एन? हाँ, उसी जगह, हालत में! यह कहते हैं कि योग खोजें पहले 10 सदस्य।अच्छा, वह कौन सा नंबर होगा अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, इसके बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, लेकिन इसके बजाय एन- दस। दोबारा, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या के समान होती है।

यह तय होना बाकी है एक 1और एक 10. यह nवें पद के सूत्र द्वारा आसानी से परिकलित किया जाता है, जो समस्या कथन में दिया गया है। पता नहीं कैसे करना है? पिछले पाठ पर जाएँ, इसके बिना - कुछ भी नहीं।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

एस एन = एस 10.

हमें अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता चला। यह उन्हें स्थानापन्न करने और गिनने के लिए बना हुआ है:

इसके लिए यही सब कुछ है। उत्तर : 75.

GIA पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 \u003d 2.3। पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी सदस्य का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक साधारण प्रतिस्थापन की तलाश कर रहे हैं:

एक 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

यह अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करने और उत्तर की गणना करने के लिए बनी हुई है:

उत्तर: 423.

वैसे, योग सूत्र में अगर के बजाय एककेवल nवें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं:

हम समान देते हैं, हमें अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए एक नया सूत्र मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहाँ nवें पद की आवश्यकता नहीं है। एक. कुछ कामों में यह सूत्र बहुत मदद करता है, जी हां... आप इस सूत्र को याद कर सकते हैं। और आप इसे सही समय पर वापस ले सकते हैं, जैसा कि यहाँ है। आखिरकार, योग के सूत्र और nवें पद के सूत्र को हर तरह से याद किया जाना चाहिए।)

अब संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में कार्य):

3. तीन के गुणक वाली सभी धनात्मक दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

कैसे! कोई पहला सदस्य नहीं, कोई अंतिम नहीं, कोई प्रगति नहीं... कैसे जीना है!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को स्थिति से बाहर निकालना होगा। दो अंकों की संख्या क्या होती है - हम जानते हैं। उनमें दो संख्याएँ होती हैं।) दो अंकों की संख्या क्या होगी पहला? 10, संभवतः।) आखिरी बातदो अंकों की संख्या? 99, बिल्कुल! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे ...

तीन का गुणज... हम्म... ये ऐसी संख्याएँ हैं जो तीन से समान रूप से विभाज्य हैं, यहाँ! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ उभर रहा है। आप समस्या की स्थिति के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक शब्द पिछले एक से कड़ाई से तीन से भिन्न होता है। यदि पद में 2, या 4 जोड़ा जाता है, मान लीजिए परिणाम, अर्थात् एक नई संख्या अब 3 से विभाजित नहीं होगी। आप ढेर के लिए अंकगणितीय प्रगति के अंतर को तुरंत निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3।उपयोगी!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

नम्बर क्या होगा एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी सोचता है कि 99 गलत है ... संख्याएं - वे हमेशा एक पंक्ति में जाती हैं, और हमारे सदस्य शीर्ष तीन पर कूदते हैं। वे मेल नहीं खाते।

यहाँ दो समाधान हैं। एक तरीका सुपर मेहनती के लिए है। आप प्रगति, संख्याओं की पूरी श्रृंखला को चित्रित कर सकते हैं, और अपनी उंगली से शब्दों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील के लिए है। आपको nवें पद के सूत्र को याद रखना होगा। यदि सूत्र को हमारी समस्या पर लागू किया जाता है, तो हम पाते हैं कि 99 श्रेढ़ी का तीसवां सदस्य है। वे। एन = 30।

हम अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखते हैं:

हम देखते हैं और आनन्दित होते हैं।) हमने समस्या की स्थिति से राशि की गणना के लिए आवश्यक सब कुछ निकाल लिया:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो बचता है वह प्राथमिक अंकगणित है। सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

उत्तर: 1665

एक अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेलियाँ:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवीं से चौंतीसवीं तक की शर्तों का योग ज्ञात कीजिए।

हम योग सूत्र को देखते हैं और ... हम परेशान हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, योग की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं के बाद से ...फॉर्मूला काम नहीं करेगा।

आप निश्चित रूप से पूरी प्रगति को एक पंक्ति में चित्रित कर सकते हैं, और सदस्यों को 20 से 34 तक रख सकते हैं। लेकिन ... किसी तरह यह मूर्खतापूर्ण और लंबे समय के लिए निकलता है, है ना?)

एक और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान है। आइए हमारी श्रृंखला को दो भागों में तोड़ते हैं। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवीं तक।दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस।यह स्पष्ट है कि यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें एस 1-19, इसे दूसरे भाग के सदस्यों के योग में जोड़ते हैं एस 20-34, हम पहले पद से चौंतीसवें पद की प्रगति का योग प्राप्त करते हैं एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे पता चलता है कि योग खोजने के लिए एस 20-34सरल घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर के दोनों योगों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। क्या हम शुरू कर रहे हैं?

हम कार्य की स्थिति से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5।

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों का योग निकालने के लिए हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम उन्हें nवें पद के सूत्र के अनुसार गिनते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

एक 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

वहाँ कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों के योग को घटाइए:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी विशेषता है। सीधी गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (S 20-34),हमने गिना क्या, ऐसा प्रतीत होता है, इसकी आवश्यकता नहीं है - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, पूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटाना। ऐसा "कानों के साथ झगड़ा" अक्सर बुरी पहेली में बचाता है।)

इस पाठ में, हमने उन समस्याओं की जाँच की जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। ठीक है, आपको कुछ सूत्रों को जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से दो मुख्य सूत्र तुरंत लिखने की सलाह देता हूं।

nवें सदस्य का सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बताएंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है, किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के कार्य।

5. दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

कूल?) समस्या 4 के नोट में संकेत छिपा है। ठीक है, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 =-5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। पहले 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है। आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नज़रअंदाज़ न करें, ऐसी पहेलियाँ अक्सर GIA में पाई जाती हैं।

7. वासिया ने छुट्टी के लिए पैसे बचाए। जितना 4550 रूबल! और मैंने सबसे प्यारे व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को कुछ भी नकारे बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और बाद के प्रत्येक दिन पिछले एक की तुलना में 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा खत्म नहीं हो जाता। वास्या को कितने दिनों का सुख मिला?

क्या यह मुश्किल है?) कार्य 2 से एक अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्था में): 7, 3240, 6।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

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