भौतिकी में मूल सूत्र दोलन और तरंगें हैं। अवधि और परिपत्र आवृत्ति के बीच संबंध

इस भाग को पढ़ते समय इस बात का ध्यान रखें उतार चढ़ावविभिन्न भौतिक प्रकृति के एक एकीकृत गणितीय दृष्टिकोण से वर्णित हैं। यहां हार्मोनिक दोलन, चरण, चरण अंतर, आयाम, आवृत्ति, दोलन अवधि जैसी अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि किसी भी वास्तविक दोलन प्रणाली में माध्यम के प्रतिरोध होते हैं, अर्थात। दोलनों नम हो जाएगा। दोलनों के अवमंदन को निरूपित करने के लिए, अवमंदन गुणांक और लघुगणकीय अवमंदन ह्रास का परिचय दिया जाता है।

यदि बाहरी, समय-समय पर बदलते बल की क्रिया के तहत कंपन किया जाता है, तो ऐसे कंपन को मजबूर कहा जाता है। वे अजेय होंगे। मजबूर दोलनों का आयाम ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। जब मजबूर दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के करीब पहुंच जाती है, तो मजबूर दोलनों का आयाम तेजी से बढ़ जाता है। इस घटना को अनुनाद कहा जाता है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अध्ययन की ओर मुड़ते हुए, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता हैविद्युत चुम्बकीय तरंगअंतरिक्ष में फैलने वाला एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों का उत्सर्जन करने वाली सबसे सरल प्रणाली एक विद्युत द्विध्रुव है। यदि द्विध्रुवीय हार्मोनिक दोलन करता है, तो यह एक मोनोक्रोमैटिक तरंग विकीर्ण करता है।

सूत्र तालिका: दोलन और तरंगें

(अव्य। आयाम- परिमाण) - यह संतुलन की स्थिति से दोलनशील पिंड का सबसे बड़ा विचलन है।

एक पेंडुलम के लिए, यह अधिकतम दूरी है कि गेंद अपनी संतुलन स्थिति (नीचे चित्र) से चलती है। छोटे आयाम वाले दोलनों के लिए, इस दूरी को चाप 01 या 02 की लंबाई के साथ-साथ इन खंडों की लंबाई के रूप में लिया जा सकता है।

दोलन आयाम लंबाई - मीटर, सेंटीमीटर, आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन ग्राफ पर, आयाम को साइनसोइडल वक्र के अधिकतम (मॉड्यूलो) समन्वय के रूप में परिभाषित किया गया है, (नीचे चित्र देखें)।

दोलन काल।

दोलन काल- यह समय की सबसे छोटी अवधि है जिसके बाद सिस्टम, दोलन करता है, फिर से उसी स्थिति में लौटता है जिसमें यह समय के शुरुआती क्षण में मनमाने ढंग से चुना गया था।

दूसरे शब्दों में, दोलन अवधि ( टी) वह समय है जिसके लिए एक पूर्ण दोलन होता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई आकृति में, यह वह समय है जब पेंडुलम का वजन सबसे दाहिने बिंदु से संतुलन बिंदु तक जाने में लगता है हेसबसे बाएं बिंदु पर और बिंदु से वापस हेफिर से दाहिनी ओर।

दोलन की पूरी अवधि के लिए, इसलिए, शरीर चार आयामों के बराबर पथ यात्रा करता है। दोलन अवधि को समय - सेकंड, मिनट, आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन अवधि को प्रसिद्ध दोलन ग्राफ से निर्धारित किया जा सकता है, (नीचे चित्र देखें)।

"दोलन अवधि" की अवधारणा, कड़ाई से बोलना, केवल तभी मान्य है जब दोलन मात्रा के मान एक निश्चित अवधि के बाद, यानी हार्मोनिक दोलनों के लिए बिल्कुल दोहराए जाते हैं। हालाँकि, यह अवधारणा लगभग दोहराई जाने वाली मात्रा के मामलों पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए नम दोलन.

दोलन आवृत्ति।

दोलन आवृत्तिसमय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या है, उदाहरण के लिए, 1 एस में।

आवृत्ति की SI इकाई का नाम है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिकशास्त्री जी हर्ट्ज़ (1857-1894) के सम्मान में। यदि दोलन आवृत्ति ( वि) के बराबर है 1 हर्ट्ज, तो इसका मतलब है कि हर सेकंड के लिए एक दोलन किया जाता है। दोलनों की आवृत्ति और अवधि संबंधों से संबंधित हैं:

दोलनों के सिद्धांत में, अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है चक्रीय, या गोलाकार आवृत्ति ω . यह सामान्य आवृत्ति से संबंधित है विऔर दोलन अवधि टीअनुपात:

.

चक्रीय आवृत्तिप्रति दोलनों की संख्या है 2πसेकंड।

कोरिओलिस बल है:

कहाँ - बिंदु वजन,-वेक्टरकोणीय गतिसंदर्भ के एक घूर्णन फ्रेम का, संदर्भ के इस फ्रेम में एक बिंदु द्रव्यमान का वेग वेक्टर है, वर्ग कोष्ठक ऑपरेशन का संकेत देते हैं वेक्टर उत्पाद.

मूल्य कोरिओलिस त्वरण कहा जाता है।

भौतिक स्वभाव से

यांत्रिक(ध्वनि,कंपन)

विद्युत चुम्बकीय (रोशनी,रेडियो तरंगें, थर्मल)

मिश्रित प्रकार- उपरोक्त का संयोजन

पर्यावरण के साथ बातचीत की प्रकृति से

मजबूर - बाहरी आवधिक प्रभाव के प्रभाव में प्रणाली में होने वाले उतार-चढ़ाव। उदाहरण: पेड़ों पर पत्ते, हाथ उठाना और नीचे करना। मजबूर कंपन के साथ, एक घटना हो सकती है गूंज: संयोग पर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि प्राकृतिक आवृत्तिथरथरानवालाऔर बाहरी प्रभाव की आवृत्ति।

नि: शुल्क (या खुद का)- ये सिस्टम में आंतरिक बलों की कार्रवाई के तहत दोलन हैं, सिस्टम को संतुलन से बाहर निकालने के बाद (वास्तविक परिस्थितियों में, मुक्त दोलन हमेशा होते हैं लुप्त होती). मुक्त कंपन का सबसे सरल उदाहरण एक स्प्रिंग से जुड़े भार का कंपन है, या एक धागे से लटका हुआ भार है।

स्व-दोलन - उतार-चढ़ाव जिसमें सिस्टम का मार्जिन होता है संभावित ऊर्जा, दोलन करने पर खर्च किया गया (ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण है यांत्रिक घड़ियाँ). स्व-दोलनों और मजबूर दोलनों के बीच एक विशिष्ट अंतर यह है कि उनका आयाम सिस्टम के गुणों से ही निर्धारित होता है, न कि प्रारंभिक स्थितियों से।

पैरामीट्रिक - उतार-चढ़ाव तब होता है जब बाहरी प्रभाव के परिणामस्वरूप ऑसिलेटरी सिस्टम का कोई पैरामीटर बदल जाता है।

यादृच्छिक रूप से - उतार-चढ़ाव जिसमें बाहरी या पैरामीट्रिक भार एक यादृच्छिक प्रक्रिया है।

हार्मोनिक कंपन

कहाँ पे एक्सलेकिनω

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(कोई भी गैर-तुच्छ

हार्मोनिक दोलनों में वेग और त्वरण।

गति की परिभाषा के अनुसार, गति समय के संबंध में निर्देशांक का व्युत्पन्न है

इस प्रकार, हम देखते हैं कि हार्मोनिक ऑसिलेटरी गति के दौरान गति भी हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती है, लेकिन गति में उतार-चढ़ाव चरण में विस्थापन के उतार-चढ़ाव से p/2 से आगे है।

मान ऑसिलेटरी गति की अधिकतम गति (गति में उतार-चढ़ाव का आयाम) है।

इसलिए, हार्मोनिक दोलन के दौरान गति के लिए हमारे पास है: ,

और शून्य प्रारंभिक चरण के मामले में (ग्राफ़ देखें)।

त्वरण की परिभाषा के अनुसार, त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है:

-

समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न। फिर: ।

हार्मोनिक ऑसिलेटरी गति के दौरान त्वरण भी एक हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है, लेकिन त्वरण दोलन पी / 2 द्वारा वेग दोलनों से आगे हैं और पी द्वारा विस्थापन दोलन (वे कहते हैं कि दोलन होते हैं) चरण से बाहर).

मूल्य

अधिकतम त्वरण (त्वरण में उतार-चढ़ाव का आयाम)। इसलिए, त्वरण के लिए हमारे पास है: ,

और शून्य प्रारंभिक चरण के मामले में: (ग्राफ देखें)।

ऑसिलेटरी मोशन, ग्राफ़ और संबंधित गणितीय अभिव्यक्तियों की प्रक्रिया के विश्लेषण से, यह देखा जा सकता है कि जब ऑसिलेटिंग बॉडी संतुलन की स्थिति (विस्थापन शून्य है) से गुजरती है, तो त्वरण शून्य होता है, और शरीर की गति अधिकतम होती है (द शरीर जड़ता से संतुलन की स्थिति से गुजरता है), और जब विस्थापन का आयाम मान पहुंच जाता है, तो गति शून्य के बराबर होती है, और त्वरण निरपेक्ष मान में अधिकतम होता है (शरीर अपनी गति की दिशा बदलता है)।

हार्मोनिक कंपन- उतार-चढ़ाव जिसमें साइनसोइडल या कोसाइन कानून के अनुसार एक भौतिक (या कोई अन्य) मात्रा समय के साथ बदलती है। हार्मोनिक दोलनों के कीनेमेटिक समीकरण का रूप है

कहाँ पे एक्स- समय टी पर संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन (विचलन); लेकिन- दोलन आयाम, यह वह मान है जो संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु के अधिकतम विचलन को निर्धारित करता है; ω - चक्रीय आवृत्ति, 2π सेकंड के भीतर होने वाले पूर्ण दोलनों की संख्या दिखाने वाला मान; - दोलनों का पूर्ण चरण; - दोलनों का प्रारंभिक चरण।

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(कोई भी गैर-तुच्छ इस अंतर समीकरण का समाधान एक चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन है)

अब तक, हमने प्राकृतिक दोलनों पर विचार किया है, यानी ऐसे दोलन जो बाहरी प्रभावों की अनुपस्थिति में होते हैं। व्यवस्था को संतुलन से बाहर लाने के लिए केवल बाहरी प्रभाव की आवश्यकता थी, जिसके बाद इसे अपने ऊपर छोड़ दिया गया। प्राकृतिक दोलनों के अंतर समीकरण में सिस्टम पर बाहरी प्रभाव का कोई निशान नहीं होता है: यह प्रभाव केवल प्रारंभिक स्थितियों में ही परिलक्षित होता है।

कंपन की स्थापना।लेकिन बहुत बार किसी को लगातार मौजूद बाहरी प्रभाव से होने वाले उतार-चढ़ाव से निपटना पड़ता है। विशेष रूप से महत्वपूर्ण और एक ही समय में अध्ययन करने के लिए काफी सरल मामला है जब बाहरी बल का आवधिक चरित्र होता है। आवधिक बाहरी बल की कार्रवाई के तहत होने वाले मजबूर दोलनों की एक सामान्य विशेषता यह है कि बाहरी बल की शुरुआत के कुछ समय बाद, सिस्टम अपनी प्रारंभिक स्थिति को पूरी तरह से "भूल" जाता है, दोलन स्थिर हो जाते हैं और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं होते हैं। प्रारंभिक स्थितियां केवल दोलन स्थापना की अवधि के दौरान प्रकट होती हैं, जिसे आमतौर पर संक्रमण प्रक्रिया कहा जाता है।

साइनसोइडल प्रभाव।आइए हम पहले एक बाहरी बल की कार्रवाई के तहत एक ऑसिलेटर के मजबूर दोलनों के सबसे सरल मामले पर विचार करें जो एक साइनसोइडल कानून के अनुसार बदलता है:

चावल। 178. एक पेंडुलम के मजबूर दोलनों का उत्तेजना

सिस्टम पर इस तरह के बाहरी प्रभाव को विभिन्न तरीकों से अंजाम दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप एक लंबी छड़ पर एक गेंद के रूप में एक लोलक ले सकते हैं और कम कठोरता के साथ एक लंबा वसंत ले सकते हैं और इसे निलंबन बिंदु के पास लोलक की छड़ से जोड़ सकते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 178. एक क्षैतिज स्प्रिंग के दूसरे सिरे को कानून के अनुसार चलने के लिए मजबूर किया जाना चाहिए? एक इलेक्ट्रिक मोटर द्वारा संचालित क्रैंक तंत्र का उपयोग करना। मौजूदा

वसंत की तरफ से पेंडुलम पर, ड्राइविंग बल व्यावहारिक रूप से साइनसोइडल होगा यदि वसंत बी के बाएं छोर की गति की सीमा लगाव के बिंदु पर पेंडुलम रॉड के दोलनों के आयाम से बहुत अधिक होगी। वसंत सी.

गति का समीकरण।इस और अन्य समान प्रणालियों के लिए गति का समीकरण, जिसमें, प्रत्यानयन बल और प्रतिरोध बल के साथ, थरथरानवाला पर एक बाहरी प्रेरक बल द्वारा कार्य किया जाता है जो समय के साथ ज्यावक्रीय रूप से भिन्न होता है, इस रूप में लिखा जा सकता है

यहाँ बाईं ओर, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, द्रव्यमान और त्वरण का गुणनफल है। दाहिनी ओर का पहला पद प्रत्यानयन बल है जो संतुलन स्थिति से विस्थापन के समानुपाती होता है। किसी स्प्रिंग पर लटके भार के लिए यह एक प्रत्यास्थ बल है, और अन्य सभी मामलों में, जब इसकी भौतिक प्रकृति भिन्न होती है, तो इस बल को अर्ध-लोचदार कहा जाता है। दूसरा शब्द गति के आनुपातिक घर्षण बल है, उदाहरण के लिए, वायु प्रतिरोध बल या धुरी में घर्षण बल। सिस्टम को स्विंग करने वाले ड्राइविंग बल के आयाम और आवृत्ति को स्थिर माना जाएगा।

हम समीकरण (2) के दोनों पक्षों को द्रव्यमान से विभाजित करते हैं और अंकन का परिचय देते हैं

अब समीकरण (2) रूप लेता है

प्रेरक बल की अनुपस्थिति में, समीकरण (4) का दाहिना भाग गायब हो जाता है और जैसा कि अपेक्षित है, यह प्राकृतिक अवमंदित दोलनों के समीकरण में घट जाता है।

अनुभव से पता चलता है कि सभी प्रणालियों में, एक साइनसोइडल बाहरी बल की कार्रवाई के तहत, दोलन अंततः स्थापित होते हैं, जो एक साइनसोइडल कानून के अनुसार ड्राइविंग बल सह की आवृत्ति के साथ और एक निरंतर आयाम ए के साथ होता है, लेकिन कुछ चरण शिफ्ट सापेक्ष के साथ प्रेरक शक्ति को। इस तरह के दोलनों को स्थिर-अवस्था मजबूर दोलन कहा जाता है।

स्थिर उतार-चढ़ाव।आइए हम पहले स्थिर-अवस्था के लिए मजबूर दोलनों पर विचार करें, और सरलता के लिए, हम घर्षण की उपेक्षा करेंगे। इस स्थिति में, समीकरण (4) में कोई वेग पद नहीं होगा:

आइए फॉर्म में स्थिर-राज्य मजबूर दोलनों के अनुरूप समाधान खोजने का प्रयास करें

आइए हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें और इसे एक साथ समीकरण (5) में प्रतिस्थापित करें:

इस समानता के किसी भी समय मान्य होने के लिए, बाएँ और दाएँ के गुणांक समान होने चाहिए। इस स्थिति से हमें दोलन का आयाम a मिलता है:

आइए हम ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर आयाम ए की निर्भरता की जांच करें। इस निर्भरता का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 179. पर , सूत्र (8) देता है। यहां मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम देखते हैं कि समय-स्थिर बल केवल थरथरानवाला को एक नए संतुलन की स्थिति में स्थानांतरित कर देता है, जिसे पुराने (6) से स्थानांतरित कर दिया जाता है, यह इस प्रकार है कि विस्थापन पर

जैसा कि स्पष्ट रूप से होना चाहिए।

चावल। 179. लत का ग्राफ

चरण अनुपात।चूंकि ड्राइविंग बल की आवृत्ति 0 से बढ़ जाती है, स्थिर-राज्य दोलन ड्राइविंग बल के साथ चरण में होते हैं, और उनका आयाम लगातार बढ़ रहा है, धीरे-धीरे पहले, और जैसे-जैसे यह तेज और तेज होता जाता है: पर, दोलन आयाम अनिश्चित काल तक बढ़ता है

प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति से अधिक के मूल्यों के लिए, सूत्र (8) एक (चित्र। 179) के लिए एक नकारात्मक मान देता है। सूत्र (6) से यह स्पष्ट है कि पर, दोलन प्रेरक बल के साथ एंटीपेज़ में होते हैं: जब बल एक दिशा में कार्य करता है, तो ऑसिलेटर को विपरीत दिशा में स्थानांतरित कर दिया जाता है। ड्राइविंग बल की आवृत्ति में असीमित वृद्धि के साथ, दोलन आयाम शून्य हो जाता है।

सभी मामलों में, दोलनों के आयाम को सकारात्मक मानना ​​सुविधाजनक है, जिसे ड्राइविंग के बीच एक चरण बदलाव शुरू करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

बल और विस्थापन:

यहाँ, a अभी भी सूत्र (8) द्वारा दिया गया है, और चरण बदलाव शून्य है और बराबर है। 180.

चावल। 180. मजबूर दोलनों का आयाम और चरण

प्रतिध्वनि। ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता गैर-मोनोटोनिक है। मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि के रूप में ड्राइविंग बल की आवृत्ति दोलक की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है जिसे अनुनाद कहा जाता है।

सूत्र (8) घर्षण की उपेक्षा करते हुए प्रणोदित दोलनों के आयाम के लिए एक व्यंजक देता है। यह इस उपेक्षा के साथ है कि आवृत्ति के सटीक संयोग के साथ दोलन आयाम अनंत में बदल जाता है। वास्तव में, दोलन आयाम, निश्चित रूप से, अनंत तक नहीं बदल सकता है।

इसका मतलब यह है कि प्रतिध्वनि के पास मजबूर दोलनों का वर्णन करते समय, घर्षण को ध्यान में रखना मौलिक रूप से आवश्यक है। जब घर्षण को ध्यान में रखा जाता है, अनुनाद पर मजबूर दोलनों का आयाम परिमित होता है। यह जितना छोटा होगा, सिस्टम में घर्षण उतना ही अधिक होगा। प्रतिध्वनि से दूर, सूत्र (8) का उपयोग घर्षण की उपस्थिति में भी दोलनों के आयाम को खोजने के लिए किया जा सकता है, यदि यह बहुत मजबूत नहीं है, अर्थात इसके अलावा, घर्षण को ध्यान में रखे बिना प्राप्त किए गए इस सूत्र का केवल भौतिक अर्थ है घर्षण अभी भी मौजूद है। तथ्य यह है कि स्थिर मजबूर दोलनों की अवधारणा केवल उन प्रणालियों पर लागू होती है जिनमें घर्षण होता है।

यदि घर्षण बिल्कुल न होता, तो दोलन स्थापित करने की प्रक्रिया अनिश्चित काल तक चलती रहती। वास्तव में, इसका मतलब यह है कि घर्षण को ध्यान में रखे बिना प्राप्त मजबूर दोलनों के आयाम के लिए अभिव्यक्ति (8) ड्राइविंग बल की शुरुआत के बाद पर्याप्त लंबी अवधि के बाद ही सिस्टम में दोलनों का सही वर्णन करेगी। शब्द "पर्याप्त रूप से बड़ी अवधि" का अर्थ यहाँ है कि क्षणिक प्रक्रिया पहले ही समाप्त हो चुकी है, जिसकी अवधि प्रणाली में प्राकृतिक दोलनों के विशिष्ट क्षय समय के साथ मेल खाती है।

कम घर्षण पर, स्थिर मजबूर दोलन चरण में ड्राइविंग बल के साथ और एंटीफेज में और साथ ही घर्षण की अनुपस्थिति में होते हैं। हालांकि, अनुनाद के पास, चरण अचानक नहीं बदलता है, लेकिन लगातार, और आवृत्तियों के सटीक संयोग के साथ, विस्थापन ड्राइविंग बल के पीछे चरण में (अवधि का एक चौथाई) होता है। इस मामले में चालन बल के साथ चरण में गति बदलती है, जो बाहरी प्रेरक बल के स्रोत से दोलक तक ऊर्जा के हस्तांतरण के लिए सबसे अनुकूल परिस्थितियां प्रदान करती है।

समीकरण (4) में प्रत्येक शब्द का भौतिक अर्थ क्या है, जो एक ऑसीलेटर के मजबूर दोलनों का वर्णन करता है?

एक स्थिर अवस्था मजबूर दोलन क्या है?

किन परिस्थितियों में सूत्र (8) का उपयोग घर्षण के बिना प्राप्त स्थिर-अवस्था के मजबूर दोलनों के आयाम के लिए किया जा सकता है?

अनुनाद क्या है? आपको ज्ञात प्रतिध्वनि की परिघटना की अभिव्यक्ति और उपयोग के उदाहरण दीजिए।

चालन बल में आवृत्ति सह और दोलित्र की प्राकृतिक आवृत्ति के बीच अलग-अलग अनुपात में चालन बल और विस्थापन के बीच चरण बदलाव का वर्णन करें।

मजबूर दोलनों की स्थापना की प्रक्रिया की अवधि क्या निर्धारित करती है? अपने उत्तर के लिए तर्क दीजिए।

वेक्टर आरेख।यदि आप समीकरण (4) का समाधान प्राप्त करते हैं, जो घर्षण की उपस्थिति में स्थिर मजबूर दोलनों का वर्णन करता है, तो आप उपरोक्त बयानों की वैधता को सत्यापित कर सकते हैं। चूंकि स्थिर दोलन प्रेरक बल आवृत्ति ω और कुछ चरण बदलाव के साथ होते हैं, ऐसे दोलनों के अनुरूप समीकरण (4) का समाधान फॉर्म में मांगा जाना चाहिए

इस मामले में, गति और त्वरण, जाहिर है, समय के साथ हार्मोनिक कानून के अनुसार भी बदल जाएगा:

वेक्टर आरेखों का उपयोग करके स्थिर मजबूर दोलनों के आयाम और चरण बदलाव को निर्धारित करना सुविधाजनक है। आइए हम इस तथ्य का लाभ उठाएं कि हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलने वाली किसी भी मात्रा का तात्कालिक मूल्य कुछ पूर्व-चयनित दिशा में एक वेक्टर के प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया जा सकता है, और वेक्टर स्वयं आवृत्ति ω के साथ एक विमान में समान रूप से घूमता है, और इसकी निरंतर लंबाई के बराबर है

इस दोलनशील मात्रा का आयाम मान। इसके अनुसार, हम समीकरण (4) के प्रत्येक शब्द की तुलना कोणीय वेग से घूमने वाले वेक्टर से करते हैं, जिसकी लंबाई इस शब्द के आयाम मान के बराबर है।

चूंकि कई वैक्टरों के योग का प्रक्षेपण इन वैक्टरों के अनुमानों के योग के बराबर है, समीकरण (4) का अर्थ है कि बाईं ओर की शर्तों से जुड़े वैक्टरों का योग मूल्य से जुड़े वेक्टर के बराबर है दाएं ओर। इन वैक्टरों के निर्माण के लिए, हम समीकरण (4) के बाईं ओर सभी पदों के तात्कालिक मूल्यों को लिखते हैं, संबंधों को ध्यान में रखते हुए

यह सूत्र (13) से देखा जा सकता है कि मान से जुड़ा लंबाई वेक्टर मूल्य से जुड़े वेक्टर के कोण से आगे है। x शब्द से जुड़ा लंबाई वेक्टर लंबाई वेक्टर से आगे है, यानी ये वैक्टर निर्देशित हैं विपरीत दिशाओं में।

समय के एक मनमाना क्षण के लिए इन वैक्टरों की पारस्परिक व्यवस्था को अंजीर में दिखाया गया है। 181. सदिशों की पूरी प्रणाली बिंदु O के चारों ओर एक कोणीय वेग सह वामावर्त के साथ एक पूरे के रूप में घूमती है।

चावल। 181. मजबूर दोलनों का वेक्टर आरेख

चावल। 182. बाहरी बल से जुड़ा वेक्टर

सभी मात्राओं के तात्कालिक मान संबंधित वैक्टर को पूर्व निर्धारित दिशा में प्रक्षेपित करके प्राप्त किए जाते हैं। समीकरण (4) के दाईं ओर से जुड़ा वेक्टर अंजीर में दिखाए गए वैक्टर के योग के बराबर है। 181. यह जोड़ अंजीर में दिखाया गया है। 182. पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जहां से हम स्थिर-राज्य मजबूर दोलनों का आयाम पाते हैं:

ड्राइविंग बल और विस्थापन के बीच चरण बदलाव जैसा कि अंजीर में वेक्टर आरेख से देखा गया है। 182 ऋणात्मक है क्योंकि लंबाई सदिश सदिश से पीछे है इसलिए

तो, स्थिर मजबूर दोलन हार्मोनिक कानून (10) के अनुसार होते हैं, जहां ए और सूत्र (14) और (15) द्वारा निर्धारित होते हैं।

चावल। 183. प्रेरक बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता

प्रतिध्वनि वक्र।स्थिर-अवस्था के मजबूर दोलनों का आयाम प्रेरक बल के आयाम के समानुपाती होता है आइए हम दोलन आयाम की चालक बल की आवृत्ति पर निर्भरता का अध्ययन करें। कम अवमंदन y पर, यह निर्भरता बहुत तीव्र होती है। यदि तब, जैसा कि ω मुक्त दोलनों की आवृत्ति के लिए जाता है, मजबूर दोलनों का आयाम अनंत तक जाता है, जो पहले प्राप्त परिणाम (8) के साथ मेल खाता है। भिगोना की उपस्थिति में, अनुनाद पर दोलनों का आयाम अब अनंत तक नहीं जाता है, हालांकि यह समान परिमाण के बाहरी बल की कार्रवाई के तहत दोलनों के आयाम से काफी अधिक है, लेकिन गुंजयमान एक से आवृत्ति दूर है। भिगोना स्थिर y के विभिन्न मूल्यों के लिए अनुनाद घटता अंजीर में दिखाया गया है। 183. कोर की अनुनाद आवृत्ति को खोजने के लिए, सूत्र (14) में कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के किस सह पर न्यूनतम होना आवश्यक है। शून्य के संबंध में इस अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की बराबरी करना (या इसे पूर्ण वर्ग में पूरक करना), हम यह सुनिश्चित करते हैं कि मजबूर दोलनों का अधिकतम आयाम होता है

गुंजयमान आवृत्ति प्रणाली के मुक्त दोलनों की आवृत्ति से कम होती है। छोटे 7 के लिए, गुंजयमान आवृत्ति व्यावहारिक रूप से मेल खाती है क्योंकि ड्राइविंग बल की आवृत्ति अनंत तक जाती है, अर्थात, आयाम a, जैसा कि (14) से देखा जा सकता है, शून्य की ओर जाता है। इसके साथ, एक निरंतर बाहरी बल की कार्रवाई के तहत, आयाम अगर हम यहां प्रतिस्थापित करते हैं और हमें यह एक स्थिर बल की कार्रवाई के तहत संतुलन की स्थिति से दोलक का स्थिर विस्थापन होता है और दोलक का विस्थापन एंटीफेज में होता है प्रेरक शक्ति के साथ। अनुनाद पर, जैसा कि (15) से देखा जा सकता है, विस्थापन बाहरी बल के पीछे चरण में रहता है। सूत्रों का दूसरा (13) दर्शाता है कि इस मामले में, बाहरी बल वेग के साथ चरण में बदलता है, यानी, यह कार्य करता है गति की दिशा हर समय। सहज ज्ञान युक्त विचारों से स्पष्ट है कि यह वास्तव में ऐसा ही होना चाहिए।

गति की प्रतिध्वनि।यह सूत्र (13) से देखा जा सकता है कि स्थिर अवस्था में दोलनों की गति का आयाम मजबूर दोलनों के बराबर है। (14) का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

चावल। 184. स्थिर मजबूर दोलनों पर वेग आयाम

बाहरी बल की आवृत्ति पर वेग के आयाम की निर्भरता को अंजीर में दिखाया गया है। 184. वेग के लिए अनुनाद वक्र, हालांकि विस्थापन के लिए अनुनाद वक्र के समान है, कुछ मायनों में इससे भिन्न है। इसलिए, जब, यानी, एक स्थिर बल की कार्रवाई के तहत, थरथरानवाला संतुलन की स्थिति से एक स्थिर विस्थापन का अनुभव करता है और संक्रमण प्रक्रिया समाप्त होने के बाद इसकी गति शून्य के बराबर होती है। यह सूत्र (19) से देखा जा सकता है कि वेग का आयाम लुप्त हो जाता है। वेग अनुनाद तब होता है जब बाहरी बल की आवृत्ति बिल्कुल मुक्त दोलनों की आवृत्ति के साथ मेल खाती है

साइनसोइडल बाहरी क्रिया के तहत स्थिर मजबूर दोलनों के लिए वेक्टर आरेख कैसे बनाए जाते हैं?

स्थिर मजबूर हार्मोनिक दोलनों की आवृत्ति, आयाम और चरण क्या निर्धारित करता है?

विस्थापन आयाम और वेग आयाम के अनुनाद वक्रों के बीच अंतरों का वर्णन कीजिए। ऑसिलेटरी सिस्टम की कौन सी विशेषताएँ अनुनाद वक्रों की तीक्ष्णता निर्धारित करती हैं?

सिस्टम के पैरामीटर से संबंधित अनुनाद वक्र की प्रकृति कैसी है जो अपने स्वयं के दोलनों की नमी को निर्धारित करती है?