किन कोणों को आसन्न कहा जाता है? दो आसन्न कोणों का योग कितना होता है? ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोण आसन्न कोणों की मात्रा

ज्यामिति पाठ्यक्रम का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, "कोण", "ऊर्ध्वाधर कोण", "आसन्न कोण" की अवधारणाएँ अक्सर सामने आती हैं। प्रत्येक शब्द को समझने से आपको समस्या को समझने और उसे सही ढंग से हल करने में मदद मिलेगी। आसन्न कोण क्या हैं और उनका निर्धारण कैसे करें?

आसन्न कोण - अवधारणा की परिभाषा

शब्द "आसन्न कोण" एक सामान्य किरण द्वारा निर्मित दो कोणों और एक ही सीधी रेखा पर स्थित दो अतिरिक्त अर्ध-रेखाओं को दर्शाता है। तीनों किरणें एक ही बिंदु से निकलती हैं। एक सामान्य अर्ध-रेखा एक साथ एक और दूसरे कोण दोनों की एक भुजा होती है।

आसन्न कोण - मूल गुण

1. आसन्न कोणों के निर्माण के आधार पर, यह देखना आसान है कि ऐसे कोणों का योग हमेशा एक उलटा कोण बनाता है, जिसका डिग्री माप 180° होता है:

• यदि μ और η आसन्न कोण हैं, तो μ + η = 180°.
• आसन्न कोणों में से एक का परिमाण (उदाहरण के लिए, μ) जानने के बाद, आप अभिव्यक्ति η = 180° - μ का उपयोग करके आसानी से दूसरे कोण (η) के डिग्री माप की गणना कर सकते हैं।

2. कोणों का यह गुण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है: एक समकोण से सटा हुआ कोण भी समकोण होगा।

3. आसन्न कोणों μ और η के लिए कमी सूत्रों के आधार पर त्रिकोणमितीय कार्यों (sin, cos, tg, ctg) को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित सत्य है:

• पापη = पाप(180° – μ) = पापμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

आसन्न कोण - उदाहरण

उदाहरण 1

शीर्ष M, P, Q – ΔMPQ वाला एक त्रिभुज दिया गया है। कोणों ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM के निकटवर्ती कोण ज्ञात कीजिए।

• आइए त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को एक सीधी रेखा से फैलाएँ।
• यह जानते हुए कि आसन्न कोण उलटे कोण तक एक दूसरे के पूरक हैं, हम पाते हैं कि:

कोण ∠QMP के समीप ∠LMP है,

कोण ∠MPQ के समीप ∠SPQ है,

कोण ∠PQM के समीप ∠HQP है।

उदाहरण 2

एक आसन्न कोण का मान 35° होता है। दूसरे आसन्न कोण का डिग्री माप क्या है?

• दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
• यदि ∠μ = 35°, तो उसके निकटवर्ती ∠η = 180° – 35° = 145°.

उदाहरण 3

आसन्न कोणों का मान निर्धारित करें यदि यह ज्ञात हो कि उनमें से एक का डिग्री माप दूसरे कोण के डिग्री माप से तीन गुना अधिक है।

• आइए हम एक (छोटे) कोण के परिमाण को - ∠μ = λ से निरूपित करें।
• फिर, समस्या की शर्तों के अनुसार, दूसरे कोण का मान ∠η = 3λ के बराबर होगा।
• आसन्न कोणों की मूल संपत्ति के आधार पर, μ + η = 180° इस प्रकार है

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

इसका मतलब है कि पहला कोण ∠μ = λ = 45° है, और दूसरा कोण ∠η = 3λ = 135° है।

शब्दावली का उपयोग करने की क्षमता, साथ ही आसन्न कोणों के मूल गुणों का ज्ञान, आपको कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में मदद करेगा।

शुभ दोपहर पिछली बार हमने इस प्रश्न पर गौर करना शुरू किया था: "सातवीं कक्षा की ज्यामिति को कैसे समझें?" और कई बुनियादी परिभाषाओं को छुआ, अर्थात्, क्या है

मुझे लगता है कि यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि भविष्य में, जब आप कक्षा 8, 9 और उससे आगे में ज्यामिति का अध्ययन करेंगे, तो आपको आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों के साथ समस्याओं का अधिक से अधिक सामना करना पड़ेगा। इसीलिए हम एक बार फिर आसन्न कोणों से संबंधित समस्याओं को हल कर रहे हैं।

समस्या 1. क्या आसन्न कोणों के एक जोड़े में दो न्यूनकोण हो सकते हैं? समाधान: आइए शीर्ष चित्र देखें। यहां हम देखते हैं कि कोण a 90° से कम है। इस कोण को न्यूनकोण कहते हैं। उसी समय, कोण b 90° से बड़ा और कोण c = 180° से कम है। इस कोण को अधिक कोण कहा जाता है। इसलिए, यदि आसन्न कोणों में से एक न्यून कोण है, तो दूसरा कोण अधिक कोण होना चाहिए। और इसके विपरीत। अपवाद 90° कोण है. वे। यदि दो आसन्न कोण एक दूसरे के बराबर हों तो वे 90° के बराबर होते हैं। इसलिए, कोई भी दो आसन्न न्यूनकोण नहीं हैं।

समस्या 2. आसन्न कोणों में से एक दूसरे से 56 डिग्री कम है। इन कोणों का मान ज्ञात कीजिए। समाधान: मान लीजिए पहला कोण X के बराबर है, तो दूसरा कोण X+56 के बराबर है। कुल मिलाकर वे 180° देते हैं। चलिए समीकरण बनाते हैं: X+X+56 = 180 2X = 180 - 56 2X = 124 X=124/2 = 62. उत्तर: पहला कोण 62°, दूसरा 62+56 = 118° है।

समस्या 3. आसन्न कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण क्या है? समाधान: इस समस्या को हल करने के लिए, हमें एक और अवधारणा - समद्विभाजक पेश करने की आवश्यकता है। समद्विभाजक एक किरण है जो एक कोण के अंदर से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है।ऐसी समस्या का समाधान कैसे होता है? यदि हम चित्र को देखें, तो हम देखेंगे कि कोण AOB और BOC आसन्न हैं। इनका योग 180° है। समद्विभाजक OD और OE कोण AOB और BOC को समान α और α, साथ ही β और β में विभाजित करते हैं। यहां से हमें मिलता है: α+α+β+β=180, या 2α +2β = 180 समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को 2 से कम करने पर, हमें अंतिम परिणाम मिलता है: α +β = 90. द्विभाजक के बीच का कोण आसन्न कोणों का मान सदैव 90° होता है।

समस्या 4. आसन्न कोण ज्ञात कीजिए यदि उनकी डिग्री माप 4:11 के अनुपात में है। समाधान: माना पहला कोण 4X है, फिर दूसरा 11X है। कुल मिलाकर वे 180° देते हैं। हम समीकरण बनाते हैं: 4X+11X=180 15X = 180 X = 180/15 X=12 4X=4*12 = 48, 11X=11*12 = 132. उत्तर: पहला कोण 48° का है, दूसरा 132° का है।

समस्या 5. आसन्न कोणों में से एक दूसरे आसन्न कोण के आधे से 33 डिग्री अधिक है। ये कोण ज्ञात कीजिए. समाधान: मान लीजिए कि आधा कोण X के बराबर है, फिर पूरा कोण 2X मानें। इसके समीप वाला 33° पर X के बराबर है। हम समीकरण बनाते हैं: 2X + X + 33 = 180 3X = 180 - 33 3X = 147 X = 147/3 = 49. उत्तर: पहला कोण 49*2 = 98° है, दूसरा 49+33 = 82° है। इससे आसन्न कोणों की समस्याएँ समाप्त हो जाती हैं। अगली बार हम ऊर्ध्वाधर कोणों से संबंधित समस्याओं का समाधान करेंगे। फिर मिलेंगे!

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक किरणें हों। चित्र 20 में, कोण AOB और BOC आसन्न हैं।

आसन्न कोणों का योग 180° होता है

प्रमेय 1. आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

सबूत। बीम ओबी (चित्र 1 देखें) खुले हुए कोण के किनारों के बीच से गुजरती है। इसीलिए ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

प्रमेय 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक किरणें हों। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोण AOB और COD, BOD और AOC ऊर्ध्वाधर हैं (चित्र 2)।

प्रमेय 2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।

सबूत। आइए ऊर्ध्वाधर कोणों AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोण BOD प्रत्येक कोण AOB और COD के निकट है। प्रमेय 1 के अनुसार ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ∠ AOB = ∠ COD.

उपफल 1. समकोण से सटा हुआ कोण समकोण होता है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AC और BD पर विचार करें (चित्र 3)। वे चार कोने बनाते हैं। यदि उनमें से एक सीधा है (चित्र 3 में कोण 1), तो शेष कोण भी समकोण हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 ऊर्ध्वाधर हैं)। इस मामले में, वे कहते हैं कि ये रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और लंबवत (या परस्पर लंबवत) कहलाती हैं। रेखाओं AC और BD की लंबवतता को इस प्रकार दर्शाया गया है: AC ⊥ BD।

किसी खंड का लंबवत समद्विभाजक इस खंड के लंबवत और इसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।

एएन - एक रेखा पर लंबवत

एक सीधी रेखा a और उस पर न पड़े एक बिंदु A पर विचार करें (चित्र 4)। आइए बिंदु A को एक खंड के साथ बिंदु H को सीधी रेखा a से जोड़ें। खंड AN को बिंदु A से रेखा a पर खींचा गया लंब कहा जाता है यदि रेखा AN और a लंबवत हैं। बिन्दु H को लम्ब का आधार कहा जाता है।

ड्राइंग स्क्वायर

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3. किसी भी बिंदु से जो रेखा पर नहीं है, इस रेखा पर एक लंब खींचना संभव है, और, इसके अलावा, केवल एक।

किसी रेखाचित्र में एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर लंब खींचने के लिए, एक रेखाचित्र वर्ग का उपयोग करें (चित्र 5)।

टिप्पणी। प्रमेय के निर्माण में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक भाग इस बारे में बात करता है कि क्या दिया गया है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहा जाता है। दूसरा भाग इस बारे में बात करता है कि क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की शर्त यह है कि कोण ऊर्ध्वाधर हैं; निष्कर्ष - ये कोण बराबर हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है ताकि उसकी स्थिति "यदि" शब्द से शुरू हो और उसका निष्कर्ष "तब" शब्द से हो। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को इस प्रकार विस्तार से बताया जा सकता है: "यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं।"

उदाहरण 1।आसन्न कोणों में से एक 44° का है। दूसरा किसके बराबर है?

समाधान। आइए प्रमेय 1 के अनुसार, दूसरे कोण की डिग्री माप को x से निरूपित करें।
44° + x = 180°.
परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि x = 136°। इसलिए, दूसरा कोण 136° है।

उदाहरण 2.मान लीजिए चित्र 21 में कोण COD 45° है। कोण AOB और AOC क्या हैं?

समाधान। कोण COD और AOB ऊर्ध्वाधर हैं, इसलिए, प्रमेय 1.2 के अनुसार वे बराबर हैं, अर्थात ∠ AOB = 45°। कोण AOC, कोण COD के समीप है, जिसका अर्थ प्रमेय 1 के अनुसार है।
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

उदाहरण 3.आसन्न कोण ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक दूसरे से 3 गुना बड़ा है।

समाधान। आइए हम छोटे कोण के डिग्री माप को x से निरूपित करें। तब बड़े कोण की डिग्री माप 3x होगी। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° (प्रमेय 1) के बराबर है, तो x + 3x = 180°, जहाँ से x = 45°।
इसका मतलब है कि आसन्न कोण 45° और 135° हैं।

उदाहरण 4.दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100° होता है। चारों कोणों में से प्रत्येक का आकार ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान लीजिए चित्र 2 समस्या की शर्तों को पूरा करता है। ऊर्ध्वाधर कोण COD से AOB बराबर हैं (प्रमेय 2), जिसका अर्थ है कि उनकी डिग्री माप भी समान हैं। इसलिए, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (शर्त के अनुसार उनका योग 100° है)। कोण बीओडी (कोण एओसी भी) कोण सीओडी के निकट है, और इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

वे कोण जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ है और दूसरी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं (आकृति में, कोण 1 और 2 आसन्न हैं)। चावल। कला के लिए. निकटवर्ती कोने... महान सोवियत विश्वकोश

निकटवर्ती कोने- वे कोण जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, और उनकी अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर होती हैं... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

कोण देखें... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

आसन्न कोण, दो कोण जिनका योग 180° होता है। इनमें से प्रत्येक कोण दूसरे को पूर्ण कोण का पूरक बनाता है... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

कोण देखें. * * * आसन्न कोने आसन्न कोने, कोण देखें (कोण देखें) ... विश्वकोश शब्दकोश

- (आसन्न कोण) वे जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा हो। अधिकतर यह नाम ऐसे C. कोणों को संदर्भित करता है, जिनकी अन्य दो भुजाएँ शीर्ष से होकर खींची गई एक सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित होती हैं... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एप्रोन

कोण देखें... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

दो सीधी रेखाएँ ऊर्ध्वाधर कोणों का एक जोड़ा बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती हैं। एक जोड़ी में कोण A और B होते हैं, दूसरे में C और D होते हैं। ज्यामिति में, दो कोणों को ऊर्ध्वाधर कहा जाता है यदि वे दो के प्रतिच्छेदन द्वारा बनाए जाते हैं ... विकिपीडिया

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पुस्तकें

• ज्यामिति में प्रमाण के बारे में, ए.आई. फेटिसोव। एक बार, स्कूल वर्ष की शुरुआत में, मुझे दो लड़कियों के बीच बातचीत सुननी पड़ी। उनमें से सबसे बड़ा छठी कक्षा में चला गया, सबसे छोटा पाँचवीं कक्षा में। लड़कियों ने पाठ के बारे में अपने विचार साझा किए...
• ज्यामिति। 7 वीं कक्षा। ज्ञान नियंत्रण के लिए व्यापक नोटबुक, आई. एस. मार्कोवा, एस. पी. बबेंको। मैनुअल 7वीं कक्षा के छात्रों के ज्ञान के वर्तमान, विषयगत और अंतिम गुणवत्ता नियंत्रण के संचालन के लिए ज्यामिति में नियंत्रण और माप सामग्री (सीएमएम) प्रस्तुत करता है। मैनुअल की सामग्री...

प्रत्येक कोण का, उसके आकार के आधार पर, अपना नाम होता है:

कोण प्रकार	आकार डिग्री में	उदाहरण
मसालेदार	90° से कम
सीधा	90° के बराबर. किसी चित्र में, समकोण को आमतौर पर कोण के एक तरफ से दूसरे तरफ खींचे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
कुंद	90° से अधिक परन्तु 180° से कम
विस्तारित	180° के बराबर एक सीधा कोण दो समकोणों के योग के बराबर होता है, और एक समकोण एक सीधे कोण का आधा होता है।
उत्तल	180° से अधिक परन्तु 360° से कम
भरा हुआ	360° के बराबर

दो कोण कहलाते हैं नज़दीक, यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, और अन्य दो भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं:

एंगल्स एमओपीऔर पॉनआसन्न, किरण के बाद से सेशन- सामान्य पक्ष, और अन्य दो पक्ष - ओमऔर परएक सीधी रेखा बनाओ.

आसन्न कोणों की उभयनिष्ठ भुजा कहलाती है तिरछा से सीधा, जिस पर अन्य दो भुजाएँ स्थित हैं, केवल उस स्थिति में जब आसन्न कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। यदि आसन्न कोण बराबर हों तो उनकी उभयनिष्ठ भुजा होगी सीधा.

आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

दो कोण कहलाते हैं खड़ा, यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं को सीधी रेखाओं से पूरक करती हैं:

कोण 1 और 3, साथ ही कोण 2 और 4, ऊर्ध्वाधर हैं।

ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं.

आइए हम सिद्ध करें कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं:

∠1 और ∠2 का योग एक सीधा कोण है। और ∠3 और ∠2 का योग एक सीधा कोण है। तो ये दोनों राशियाँ बराबर हैं:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

इस समानता में बायीं और दायीं ओर एक समान पद है - ∠2. यदि बाएँ और दाएँ इस शब्द को छोड़ दिया जाए तो समानता का उल्लंघन नहीं होगा। तब हम इसे प्राप्त करते हैं।