अंकगणितीय प्रगति में xn. उदाहरण सहित अंकगणितीय प्रगति

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया है संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, संख्या अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा पद , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया नौवाँ पददृश्यों , और एक प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो निकटवर्ती सदस्यों से एक और एक +1 अनुक्रम सदस्य एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम के सदस्य को ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है nवाँ पद सूत्र , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम के एक सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मकता का क्रम विषम संख्यासूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तब संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात पद निम्नानुसार स्थापित किए जाते हैं:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम , यदि इसमें सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत , यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हों।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों का क्रम प्राकृतिक संख्या:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्याओं का क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घटते , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . — बढ़ता क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . -घटता क्रम. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्वों की संख्या बढ़ने पर घटती नहीं है, या, इसके विपरीत, बढ़ती नहीं है, कहलाता है नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले पदों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और अंतर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c कुछ अंकगणितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

ए एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के समान दूरी वाले सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के पद चरम पदों के आधे योग और पदों की संख्या के गुणनफल के बराबर होते हैं:

यहाँ से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तो पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि तीन का अर्थइनमें से मात्राएँ दी गई हैं, फिर अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

अंकगणितीय प्रगतिएक मोनोटोनिक अनुक्रम है. जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन वां पद सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 .

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बी एन-1 = बी 1 · क्यू.एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू.एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन मान्य है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) · (-3 · 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो वांछित कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन कोई पिछला सदस्य भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू.एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्रश्न 2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू.एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

किसी ज्यामितीय प्रगति के किसी भी पद का वर्ग, दूसरे से प्रारंभ करके, इस प्रगति के उससे समदूरस्थ पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= नायब 1

ध्यान दें कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

अगर दिया जाए ज्यामितीय अनुक्रम, फिर मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता के गुण :

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति बारी-बारी से होती है: विषम संख्याओं वाले इसके पदों का चिह्न इसके पहले पद के समान होता है, और सम संख्याओं वाले पदों का विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

पीएन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह अवसर के अनुकूल है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, क्रम बदल रहा है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिस तक प्रथम संख्याओं का योग बिना किसी सीमा के पहुंचता है एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ एक प्रगति के सदस्य एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरण देखें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , वह

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू , वह

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

इससे पहले कि हम निर्णय लेना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्याएंआइए विचार करें कि संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि अंकगणितीय प्रगति संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

संख्या अनुक्रम एक संख्या समूह है, जिसके प्रत्येक तत्व की अपनी क्रम संख्या होती है. इस समुच्चय के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रम संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पाँचवाँ तत्व;

- अनुक्रम का "एनवां" तत्व, यानी। संख्या n पर तत्व "कतार में खड़ा"।

किसी अनुक्रम तत्व के मान और उसकी अनुक्रम संख्या के बीच एक संबंध होता है। इसलिए, हम अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में हम ऐसा कह सकते हैं अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम को तीन तरीकों से सेट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम बस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और सबसे पहले, गणना करें कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। तालिका में समय रिकॉर्ड करने पर, उसे सात तत्वों से युक्त एक अनुक्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति सप्ताह के दिन की संख्या को इंगित करती है, दूसरी - मिनटों में समय को। हम देखते हैं कि, सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को केवल 15 मिनट।

2 . अनुक्रम को nवें पद सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस स्थिति में किसी अनुक्रम तत्व के मान की उसकी संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो

किसी दिए गए नंबर के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि तर्क का मान ज्ञात है तो हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होने पर हम वही कार्य करते हैं। हम तर्क के मान को फ़ंक्शन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , वह

मुझे एक बार फिर से ध्यान देना चाहिए कि एक अनुक्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक फ़ंक्शन के विपरीत, तर्क केवल एक प्राकृतिक संख्या हो सकता है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्यों पर अनुक्रम सदस्य संख्या n के मान की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए अनुक्रम सदस्य का मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल उसकी संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, क्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम सदस्यों के मान पा सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार, अनुक्रम के nवें पद का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने की इस विधि को कहा जाता है आवर्ती, लैटिन शब्द से पुनरावृत्ति- वापस आओ।

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। अंकगणितीय प्रगति किसी संख्या अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

नंबर पर कॉल किया जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकता है।

यदि शीर्षक='d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; 8; ग्यारह;...

यदि, तो अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद पिछले एक से कम है, और प्रगति है घटते.

उदाहरण के लिए, 2; -1; -4; -7;...

यदि, तो प्रगति के सभी पद एक ही संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर देखें.

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हमें यह मिलता है:

.

आइए समानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, तब से

, और उस समय पर ही

, वह

, और इसलिए

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद, title='k>l) से शुरू होता है">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें पद का सूत्र.

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति की शर्तें निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करती हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र.

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पद और अंतर को जानकर आप उसका कोई भी पद ज्ञात कर सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम से समान दूरी वाले पदों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n पदों वाली एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। माना कि इस प्रगति के n पदों का योग बराबर है।

आइए प्रगति के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए जोड़ियों में जोड़ें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, जोड़ों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

चलो गौर करते हैं अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न पदों के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है।

हमने पाया कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक स्थिरांक है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . अंकगणितीय प्रगति -31 को देखते हुए; -27;...

ए) प्रगति के 31 पद खोजें।

बी) निर्धारित करें कि संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है या नहीं।

ए)हमने देखा कि ;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

अंकगणितीय प्रगति का योग.

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में. लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। बुनियादी से लेकर काफी ठोस तक.

सबसे पहले राशि का अर्थ और सूत्र समझते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे. आपकी अपनी खुशी के लिए।) राशि का अर्थ एक मू जितना सरल है। किसी अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको बस उसके सभी पदों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये पद कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत... जोड़ना कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाव में आता है।

राशि का सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ चीजें साफ हो जाएंगी.

एस एन - अंकगणितीय प्रगति का योग। अतिरिक्त परिणाम सब लोगसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। वे बिल्कुल जोड़ते हैं सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना छोड़े या छोड़े। और, ठीक है, से शुरू हो रहा है पहला।तीसरे और आठवें पदों का योग, या पाँचवें से बीसवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, सूत्र का सीधा प्रयोग निराश करेगा।)

एक 1 - पहलाप्रगति का सदस्य. यहां सब कुछ स्पष्ट है, सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति का सदस्य. शृंखला का अंतिम अंक. यह बहुत परिचित नाम नहीं है, लेकिन जब इसे राशि पर लागू किया जाए तो यह बहुत उपयुक्त है। फिर आप खुद ही देख लेंगे.

एन - अंतिम सदस्य की संख्या. यह समझना जरूरी है कि सूत्र में यह संख्या है जोड़े गए शब्दों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. पेचीदा सवाल: कौन सा सदस्य होगा? अंतिम एकयदि दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?)

आत्मविश्वास से उत्तर देने के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और... कार्य को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के कार्य में, अंतिम पद हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए.अन्यथा, एक अंतिम, विशिष्ट राशि बस अस्तित्व में नहीं है.समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया गया है: संख्याओं की एक श्रृंखला, या nवें पद के लिए एक सूत्र।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से लेकर संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस तरह दिखता है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित होता है। किसी कार्य में, यह सारी बहुमूल्य जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ... लेकिन कोई बात नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करते हैं।)

अंकगणितीय प्रगति के योग पर कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग से जुड़े कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों के सही निर्धारण में निहित है।

कार्य लेखक असीम कल्पना के साथ इन्हीं तत्वों को एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरने की नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझना ही काफी है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए वास्तविक GIA पर आधारित एक कार्य से शुरुआत करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। इसके प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छा काम। आसान।) सूत्र का उपयोग करके राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम सदस्य की संख्या एन।

मुझे अंतिम सदस्य का नंबर कहां मिल सकता है? एन? हाँ, वहीं, शर्त पर! यह कहता है: योग ज्ञात करो पहले 10 सदस्य.अच्छा, यह किस नंबर का होगा? अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, के बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, और इसके बजाय एन- दस। मैं दोहराता हूं, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या से मेल खाती है।

यह तय करना बाकी है एक 1और एक 10. इसकी गणना nवें पद के सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जाती है, जो समस्या विवरण में दिया गया है। यह नहीं जानते कि यह कैसे करें? पिछले पाठ में भाग लें, इसके बिना कोई रास्ता नहीं है।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10=2·10 - 3.5 =16.5

एस एन = एस 10.

हमने अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता लगा लिया है। जो कुछ बचा है वह उन्हें प्रतिस्थापित करना और गिनना है:

इतना ही। उत्तर: 75.

जीआईए पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 =2.3. इसके प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी पद का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक सरल प्रतिस्थापन की तलाश में हैं:

ए 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करना और उत्तर की गणना करना बाकी है:

उत्तर: 423.

वैसे, अगर इसके बजाय योग सूत्र में एकहम बस nवें पद के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

आइए हम समान सूत्र प्रस्तुत करें और अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग के लिए एक नया सूत्र प्राप्त करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां इसकी आवश्यकता नहीं है नौवाँ पद एक. कुछ समस्याओं में ये फॉर्मूला बहुत मदद करता है, हां... आप इस फॉर्मूले को याद रख सकते हैं. या आप इसे यहाँ की तरह सही समय पर आसानी से प्रदर्शित कर सकते हैं। आख़िरकार, आपको योग का सूत्र और nवें पद का सूत्र हमेशा याद रखना होगा।)

अब कार्य संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में):

3. उन सभी सकारात्मक दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन के गुणज हैं।

बहुत खूब! न आपका पहला सदस्य, न आपका अंतिम, न ही कोई प्रगति... कैसे जियें!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और स्थिति से अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को बाहर निकालना होगा। हम जानते हैं कि दो अंकीय संख्याएँ क्या होती हैं। इनमें दो संख्याएं होती हैं।) दो अंकों वाली संख्या कौन सी होगी पहला? 10, संभवतः।) ए आखिरी बातदोहरे अंक वाली संख्या? निःसंदेह, 99! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे...

तीन के गुणज... हम्म... ये वे संख्याएँ हैं जो यहाँ तीन से विभाज्य हैं! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ तो उभर रहा है. आप समस्या की स्थितियों के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला एक अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक पद पिछले एक से सख्ती से तीन से भिन्न होता है। यदि आप किसी पद में 2 या 4 जोड़ते हैं, तो परिणाम कहें, अर्थात। नई संख्या अब 3 से विभाज्य नहीं है। आप तुरंत अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3.यह सुविधाजनक होगा!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

संख्या क्या होगी? एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी यह सोचता है कि 99, वह बुरी तरह गलत है... संख्याएँ हमेशा एक पंक्ति में चलती हैं, लेकिन हमारे सदस्य तीन से आगे निकल जाते हैं। वे मेल नहीं खाते.

यहां दो समाधान हैं. एक रास्ता अति परिश्रमी लोगों के लिए है। आप प्रगति, संख्याओं की पूरी श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, और अपनी उंगली से सदस्यों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील लोगों के लिए है। आपको nवें पद का सूत्र याद रखना होगा। यदि हम अपनी समस्या पर सूत्र लागू करते हैं, तो हम पाते हैं कि 99 प्रगति का तीसवां पद है। वे। एन = 30.

आइए अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखें:

हम देखते हैं और आनंदित होते हैं।) हमने समस्या विवरण से राशि की गणना करने के लिए आवश्यक सभी चीजें निकाल लीं:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो कुछ बचा है वह प्रारंभिक अंकगणित है। हम संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

उत्तर: 1665

अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेली:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवें से चौंतीसवें तक पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम राशि के लिए सूत्र देखते हैं और... हम परेशान हो जाते हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, राशि की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं सदी से...फॉर्मूला काम नहीं करेगा.

बेशक, आप संपूर्ण प्रगति को एक श्रृंखला में लिख सकते हैं, और 20 से 34 तक पद जोड़ सकते हैं। लेकिन... यह किसी तरह से बेवकूफी है और इसमें लंबा समय लगता है, है ना?)

एक और अधिक सुंदर समाधान है. आइए अपनी श्रृंखला को दो भागों में विभाजित करें। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवें तक.दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस तक.यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें तो यह स्पष्ट है एस 1-19, आइए इसे दूसरे भाग की शर्तों के योग के साथ जोड़ें एस 20-34, हमें पहले पद से चौंतीसवें तक की प्रगति का योग मिलता है एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे हम देख सकते हैं कि योग ज्ञात कीजिए एस 20-34साधारण घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर की दोनों राशियों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। आएँ शुरू करें?

हम समस्या कथन से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5.

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों का योग निकालने के लिए हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करके उनकी गणना करते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

एक 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों का योग घटाएँ:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या के समाधान के लिए एक बहुत ही उपयोगी ट्रिक है। प्रत्यक्ष गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (एस 20-34),हमने गिना कुछ ऐसा जिसकी आवश्यकता प्रतीत नहीं होती - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, संपूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटा देना। इस प्रकार का "कानों से बोलना" अक्सर आपको बुरी समस्याओं में बचाता है।)

इस पाठ में हमने उन समस्याओं पर ध्यान दिया जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। खैर, आपको कुछ सूत्र जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग से संबंधित किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से तुरंत दो मुख्य सूत्र लिखने की सलाह देता हूं।

nवें पद के लिए सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बता देंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है और किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

5. उन सभी दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

बढ़िया?) संकेत समस्या 4 के नोट में छिपा है। खैर, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इसके प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है. आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नजरअंदाज न करें, स्टेट एकेडमी ऑफ साइंसेज में अक्सर ऐसी समस्याएं पाई जाती हैं।

7. वास्या ने छुट्टियों के लिए पैसे बचाए। 4550 रूबल जितना! और मैंने अपने पसंदीदा व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को किसी भी चीज से वंचित किए बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और प्रत्येक अगले दिन पिछले दिन से 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा ख़त्म न हो जाये. वास्या को कितने दिनों की ख़ुशी मिली?

क्या यह कठिन है?) कार्य 2 से अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्थित): 7, 3240, 6.

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

ध्यान!
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विशेष धारा 555 में सामग्री।
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और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से समान मात्रा में अधिक (या कम) होती है।

यह विषय प्रायः जटिल एवं समझ से परे लगता है। अक्षरों के सूचकांक, प्रगति का nवाँ पद, प्रगति का अंतर - यह सब किसी तरह भ्रमित करने वाला है, हाँ... आइए अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझें और सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाएगा।)

अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा.

अंकगणितीय प्रगति एक बहुत ही सरल और स्पष्ट अवधारणा है। क्या आपको कोई संदेह है? व्यर्थ में।) स्वयं देखें।

मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला लिखूंगा:

1, 2, 3, 4, 5, ...

क्या आप इस शृंखला को आगे बढ़ा सकते हैं? पाँच के बाद आगे कौन सी संख्याएँ आएंगी? हर कोई... उह..., संक्षेप में, हर किसी को एहसास होगा कि संख्याएँ 6, 7, 8, 9, आदि आगे आएंगी।

आइए कार्य को जटिल बनाएं। मैं आपको संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला देता हूं:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आप पैटर्न को पकड़ने, श्रृंखला का विस्तार करने और नाम देने में सक्षम होंगे सातवींपंक्ति नंबर?

यदि आपको एहसास हुआ कि यह संख्या 20 है, बधाई हो! न केवल आपको महसूस हुआ प्रमुख बिंदुअंकगणितीय प्रगति,बल्कि व्यवसाय में उनका सफलतापूर्वक उपयोग भी किया! यदि आपने इसका पता नहीं लगाया है, तो आगे पढ़ें।

आइए अब मुख्य बिंदुओं को संवेदनाओं से गणित में अनुवाद करें।)

पहला मुख्य बिंदु.

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की श्रृंखला से संबंधित है।यह पहली बार में भ्रमित करने वाला है। हम समीकरणों को हल करने, ग्राफ़ बनाने और वह सब करने के आदी हैं... लेकिन यहां हम श्रृंखला का विस्तार करते हैं, श्रृंखला की संख्या ज्ञात करते हैं...

कोई बात नहीं। बात बस इतनी है कि प्रगति गणित की किसी नई शाखा से पहला परिचय है। अनुभाग को "श्रृंखला" कहा जाता है और यह विशेष रूप से संख्याओं और अभिव्यक्तियों की श्रृंखला के साथ काम करता है। आदत डाल लो।)

दूसरा मुख्य बिंदु.

अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी संख्या पिछली संख्या से भिन्न होती है उसी राशि से.

पहले उदाहरण में, यह अंतर एक है. आप जो भी संख्या लें, वह पिछली संख्या से एक अधिक है। दूसरे में - तीन. कोई भी संख्या पिछली संख्या से तीन अधिक है। दरअसल, यही वह क्षण है जो हमें पैटर्न को समझने और बाद की संख्याओं की गणना करने का अवसर देता है।

तीसरा मुख्य बिंदु.

यह क्षण आश्चर्यजनक नहीं है, हाँ... लेकिन यह बहुत, बहुत महत्वपूर्ण है। यहाँ वह है: प्रत्येक प्रगति संख्याअपनी जगह पर खड़ा है.पहला अंक है, सातवाँ है, पैंतालीसवाँ है, आदि। यदि आप उन्हें यादृच्छिक रूप से मिलाते हैं, तो पैटर्न गायब हो जाएगा। अंकगणितीय प्रगति भी गायब हो जाएगी. जो कुछ बचा है वह केवल संख्याओं की एक श्रृंखला है।

यह पूरी बात है।

बेशक, में नया विषयनए नियम और पदनाम सामने आते हैं। आपको उन्हें जानना होगा. अन्यथा आप कार्य को समझ नहीं पायेंगे। उदाहरण के लिए, आपको कुछ इस तरह निर्णय लेना होगा:

अंकगणितीय प्रगति (ए एन) के पहले छह पद लिखें, यदि ए 2 = 5, डी = -2.5।

प्रेरक?) पत्र, कुछ अनुक्रमणिकाएँ... और वैसे, यह कार्य इससे अधिक सरल नहीं हो सकता। आपको बस शब्दों और पदनामों का अर्थ समझने की आवश्यकता है। अब हम इस मामले में महारत हासिल करेंगे और काम पर लौटेंगे।'

शर्तें और पदनाम.

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से भिन्न होती है उसी राशि से.

यह मात्रा कहलाती है . आइए इस अवधारणा को अधिक विस्तार से देखें।

अंकगणितीय प्रगति अंतर.

अंकगणितीय प्रगति अंतरवह राशि है जिससे कोई भी प्रगति संख्या प्राप्त होती है अधिकपिछला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु. कृपया शब्द पर ध्यान दें "अधिक"।गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि प्रत्येक प्रगति संख्या है जोड़करपिछली संख्या से अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

गणना करने के लिए, मान लीजिए दूसराश्रृंखला की संख्या, आपको चाहिए पहलासंख्या जोड़नायह अंकगणितीय प्रगति का अंतर है। गणना के लिए पांचवां- अंतर जरूरी है जोड़नाको चौथा,खैर, आदि

अंकगणितीय प्रगति अंतरशायद सकारात्मक,तो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या वास्तविक हो जाएगी पिछले वाले से भी ज्यादा.इस प्रगति को कहा जाता है की बढ़ती।उदाहरण के लिए:

8; 13; 18; 23; 28; .....

यहां प्रत्येक नंबर प्राप्त होता है जोड़करसकारात्मक संख्या, पिछले वाले से +5।

अंतर हो सकता है नकारात्मक,तो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या होगी पिछले वाले से कम.इस प्रगति को कहा जाता है (आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे!) घट रहा है.

उदाहरण के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

यहां प्रत्येक नंबर भी प्राप्त होता है जोड़करपिछले वाले से, लेकिन पहले से ही ऋणात्मक संख्या, -5.

वैसे, प्रगति के साथ काम करते समय, इसकी प्रकृति को तुरंत निर्धारित करना बहुत उपयोगी होता है - चाहे वह बढ़ रही हो या घट रही हो। इससे निर्णय लेने, अपनी गलतियों को पहचानने और बहुत देर होने से पहले उन्हें सुधारने में बहुत मदद मिलती है।

अंकगणितीय प्रगति अंतरआमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है डी।

कैसे ढूंढें डी? बहुत सरल। श्रृंखला में किसी भी संख्या में से घटाना आवश्यक है पहले कासंख्या। घटाना. वैसे, घटाने के परिणाम को "अंतर" कहा जाता है।)

आइए परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, डीअंकगणितीय प्रगति बढ़ाने के लिए:

2, 5, 8, 11, 14, ...

हम श्रृंखला में कोई भी संख्या लेते हैं जो हम चाहते हैं, उदाहरण के लिए, 11. हम उसमें से घटा देते हैं पिछला नंबरवे। 8:

यह सही जवाब है। इस अंकगणितीय प्रगति के लिए, अंतर तीन है।

तुम इसे ले सकते हो कोई भी प्रगति संख्या,क्योंकि एक विशिष्ट प्रगति के लिए डी-हमेशा एक ही।कम से कम पंक्ति के आरंभ में कहीं, कम से कम मध्य में, कम से कम कहीं भी। आप केवल पहला नंबर ही नहीं ले सकते. सिर्फ इसलिए कि पहला नंबर कोई पिछला नहीं.)

वैसे, यह जानते हुए भी घ=3, इस प्रगति की सातवीं संख्या ज्ञात करना बहुत सरल है। आइए पांचवें नंबर में 3 जोड़ें - हमें छठा नंबर मिलता है, यह 17 होगा। आइए छठे नंबर में तीन जोड़ें, हमें सातवां नंबर मिलता है - बीस।

आइए परिभाषित करें डीअवरोही अंकगणितीय प्रगति के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मैं आपको याद दिलाता हूं कि, संकेतों की परवाह किए बिना, निर्धारित करें डीकिसी भी नंबर से चाहिए पिछला वाला ले लो.कोई भी प्रगति संख्या चुनें, उदाहरण के लिए -7. इनका पिछला अंक -2 है. तब:

डी = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कोई भी संख्या हो सकता है: पूर्णांक, भिन्नात्मक, अपरिमेय, कोई भी संख्या।

अन्य शर्तें और पदनाम.

श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति का सदस्य।

प्रगति का प्रत्येक सदस्य का अपना नंबर है.संख्याएँ बिल्कुल क्रम में हैं, बिना किसी चालाकी के। पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा, आदि। उदाहरण के लिए, प्रगति 2, 5, 8, 11, 14, में... दो पहला पद है, पांच दूसरा पद है, ग्यारह चौथा है, ठीक है, आप समझते हैं...) कृपया स्पष्ट रूप से समझें - संख्याएँ स्वयंबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, संपूर्ण, आंशिक, नकारात्मक, कुछ भी, लेकिन संख्याओं की संख्या- सख्ती से क्रम में!

में प्रगति कैसे लिखें सामान्य रूप से देखें? कोई बात नहीं! किसी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को एक अक्षर के रूप में लिखा जाता है। अंकगणितीय प्रगति को दर्शाने के लिए आमतौर पर अक्षर का उपयोग किया जाता है ए. सदस्य संख्या नीचे दाईं ओर एक सूचकांक द्वारा इंगित की गई है। हम शब्दों को अल्पविराम (या अर्धविराम) से अलग करके इस तरह लिखते हैं:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, ......

एक 1- यह पहला नंबर है, एक 3- तीसरा, आदि। कुछ भी काल्पनिक नहीं। इस शृंखला को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: (एक).

प्रगति होती है परिमित और अनंत.

अंतिमप्रगति में सदस्यों की सीमित संख्या है। पाँच, अड़तीस, जो भी हो। लेकिन यह एक सीमित संख्या है.

अनंतप्रगति - इसमें सदस्यों की अनंत संख्या है, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं।)

आप अंतिम प्रगति को इस तरह एक श्रृंखला के माध्यम से लिख सकते हैं, सभी पद और अंत में एक बिंदु:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5.

या इस तरह, यदि कई सदस्य हैं:

ए 1, ए 2, ... ए 14, ए 15।

संक्षिप्त प्रविष्टि में आपको सदस्यों की संख्या अतिरिक्त रूप से बतानी होगी। उदाहरण के लिए (बीस सदस्यों के लिए), इस तरह:

(ए एन), एन = 20

एक अनंत प्रगति को पंक्ति के अंत में दीर्घवृत्त द्वारा पहचाना जा सकता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है।

अब आप कार्यों को हल कर सकते हैं. कार्य सरल हैं, विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।

अंकगणितीय प्रगति पर कार्यों के उदाहरण.

आइए ऊपर दिए गए कार्य को विस्तार से देखें:

1. अंकगणितीय प्रगति (ए एन) के पहले छह पद लिखें, यदि ए 2 = 5, डी = -2.5।

हम कार्य को समझने योग्य भाषा में अनुवाद करते हैं। एक अनंत अंकगणितीय प्रगति दी गई है। इस प्रगति की दूसरी संख्या ज्ञात है: ए 2 = 5.प्रगति अंतर ज्ञात है: डी = -2.5.हमें इस प्रगति का पहला, तीसरा, चौथा, पाँचवाँ और छठा पद ज्ञात करना होगा।

स्पष्टता के लिए, मैं समस्या की स्थितियों के अनुसार एक श्रृंखला लिखूंगा। पहले छह पद, जहां दूसरा पद पांच है:

ए 1, 5, ए 3, ए 4, ए 5, ए 6,....

एक 3 = एक 2 + डी

अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें ए 2 = 5और डी = -2.5. माइनस के बारे में मत भूलना!

एक 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तीसरा कार्यकाल निकला दो से कम. सब कुछ तार्किक है. यदि संख्या पिछली से अधिक है नकारात्मकमान, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं पिछले वाले से कम होगी। प्रगति कम हो रही है. ठीक है, आइए इसे ध्यान में रखें।) हम अपनी श्रृंखला का चौथा पद गिनते हैं:

एक 4 = एक 3 + डी

एक 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

एक 5 = एक 4 + डी

एक 5=0+(-2,5)= - 2,5

एक 6 = एक 5 + डी

एक 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

इसलिए, तीसरे से छठे तक के पदों की गणना की गई। परिणाम निम्नलिखित श्रृंखला है:

ए 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

पहला पद खोजना बाकी है एक 1द्वारा प्रसिद्ध दूसरा. यह दूसरी दिशा में, बाईं ओर एक कदम है।) तो, अंकगणितीय प्रगति का अंतर डीमें नहीं जोड़ा जाना चाहिए एक 2, ए ले लेना:

एक 1 = एक 2 - डी

एक 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

इतना ही। असाइनमेंट उत्तर:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि हमने इस कार्य को हल कर लिया है आवर्तीरास्ता। इस भयानक शब्द का अर्थ केवल प्रगति के सदस्य की खोज है पिछली (आसन्न) संख्या के अनुसार.हम नीचे प्रगति के साथ काम करने के अन्य तरीकों पर गौर करेंगे।

इस सरल कार्य से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

याद करना:

यदि हम कम से कम एक पद और अंकगणितीय प्रगति का अंतर जानते हैं, तो हम इस प्रगति का कोई भी पद पा सकते हैं।

तुम्हे याद है? यह सरल निष्कर्ष आपको इस विषय पर स्कूल पाठ्यक्रम की अधिकांश समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। सभी कार्य चारों ओर घूमते हैं तीन मुख्यपैरामीटर: एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य, एक प्रगति का अंतर, प्रगति के एक सदस्य की संख्या।सभी।

बेशक, पिछले सभी बीजगणित को रद्द नहीं किया गया है।) असमानताएं, समीकरण और अन्य चीजें प्रगति से जुड़ी हुई हैं। लेकिन प्रगति के अनुसार ही- हर चीज़ तीन मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमती है।

उदाहरण के तौर पर, आइए इस विषय पर कुछ लोकप्रिय कार्यों को देखें।

2. यदि n=5, d = 0.4, और a 1 = 3.6 है तो परिमित अंकगणितीय प्रगति को एक श्रृंखला के रूप में लिखें।

यहां सब कुछ सरल है. सब कुछ पहले ही दिया जा चुका है. आपको यह याद रखना होगा कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को कैसे गिना जाता है, उन्हें गिनें और उन्हें लिखें। यह सलाह दी जाती है कि कार्य शर्तों में शब्दों को न चूकें: "अंतिम" और " एन=5"। ताकि जब तक आपका चेहरा पूरी तरह से नीला न हो जाए, तब तक गिनती न करें।) इस क्रम में केवल 5 (पांच) सदस्य हैं:

ए 2 = ए 1 + डी = 3.6 + 0.4 = 4

ए 3 = ए 2 + डी = 4 + 0.4 = 4.4

एक 4 = एक 3 + डी = 4.4 + 0.4 = 4.8

एक 5 = एक 4 + डी = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिखना बाकी है:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

दूसरा कार्य:

3. निर्धारित करें कि क्या संख्या 7 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगी, यदि ए 1 = 4.1; डी = 1.2.

हम्म... कौन जानता है? किसी चीज़ का निर्धारण कैसे करें?

कैसे-कैसे... प्रगति को एक श्रृंखला के रूप में लिखें और देखें कि वहां सात होंगे या नहीं! हम गिनते है:

ए 2 = ए 1 + डी = 4.1 + 1.2 = 5.3

ए 3 = ए 2 + डी = 5.3 + 1.2 = 6.5

एक 4 = एक 3 + डी = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

अब तो साफ दिख रहा है कि हम सात ही हैं के माध्यम से फिसल 6.5 और 7.7 के बीच! सात हमारी संख्याओं की श्रृंखला में नहीं आता है, और इसलिए, सात दी गई प्रगति का सदस्य नहीं होगा।

उत्तर: नहीं.

यहाँ एक समस्या पर आधारित है असली विकल्पजीआईए:

4. अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार पद लिखे गए हैं:

...; 15; एक्स; 9; 6; ...

यहां बिना अंत और शुरुआत के लिखी गई एक शृंखला है। कोई सदस्य संख्या नहीं, कोई अंतर नहीं डी. कोई बात नहीं। समस्या को हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझना पर्याप्त है। आइए देखें और देखें कि क्या संभव है जानने केइस श्रृंखला से? तीन मुख्य पैरामीटर क्या हैं?

सदस्य संख्या? यहां एक भी नंबर नहीं है.

लेकिन तीन संख्याएँ हैं और - ध्यान! - शब्द "सुसंगत"इस शर्त। इसका मतलब यह है कि संख्याएँ बिल्कुल क्रम में हैं, बिना किसी अंतराल के। क्या इस पंक्ति में दो हैं? पड़ोसी ज्ञात संख्याएँ? हाँ मेरे पास है! ये 9 और 6 हैं। इसलिए, हम अंकगणितीय प्रगति के अंतर की गणना कर सकते हैं! छह में से घटाएं पहले कासंख्या, यानी नौ:

बस छोटी-छोटी बातें ही बची हैं. X के लिए पिछला कौन सा नंबर होगा? पंद्रह। इसका मतलब यह है कि एक्स को साधारण जोड़ द्वारा आसानी से पाया जा सकता है। अंकगणितीय प्रगति के अंतर को 15 में जोड़ें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स=12

निम्नलिखित समस्याओं का समाधान हम स्वयं करते हैं। नोट: ये समस्याएँ सूत्रों पर आधारित नहीं हैं। विशुद्ध रूप से एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।) हम बस संख्याओं और अक्षरों की एक श्रृंखला लिखते हैं, देखते हैं और इसका पता लगाते हैं।

5. अंकगणितीय प्रगति का पहला सकारात्मक पद ज्ञात करें यदि a 5 = -3; डी = 1.1.

6. यह ज्ञात है कि संख्या 5.5 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां ए 1 = 1.6; डी = 1.3. इस सदस्य की संख्या n निर्धारित करें।

7. यह ज्ञात है कि अंकगणितीय प्रगति में 2 = 4; ए 5 = 15.1. एक 3 खोजें.

8. अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार पद लिखे गए हैं:

...; 15.6; एक्स; 3.4; ...

अक्षर x द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

9. ट्रेन स्टेशन से समान रूप से 30 मीटर प्रति मिनट की गति से बढ़ती हुई चलने लगी। पांच मिनट में ट्रेन की गति क्या होगी? अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

10. यह ज्ञात है कि अंकगणितीय प्रगति में 2 = 5; ए 6 = -5. 1 खोजें.

उत्तर (अव्यवस्थित): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

सब कुछ ठीक हो गया? अद्भुत! आप अधिक जानकारी के लिए अंकगणितीय प्रगति में महारत हासिल कर सकते हैं उच्च स्तर, निम्नलिखित पाठों में।

क्या सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कोई बात नहीं। विशेष धारा 555 में, इन सभी समस्याओं को टुकड़े-टुकड़े करके हल किया गया है।) और, निश्चित रूप से, एक सरल व्यावहारिक तकनीक का वर्णन किया गया है जो ऐसे कार्यों के समाधान को तुरंत, स्पष्ट रूप से, एक नज़र में उजागर करता है!

वैसे, ट्रेन पहेली में दो समस्याएं हैं जिनसे लोग अक्सर लड़खड़ा जाते हैं। एक पूरी तरह से प्रगति के संदर्भ में है, और दूसरा गणित और भौतिकी में किसी भी समस्या के लिए सामान्य है। यह आयामों का एक से दूसरे में अनुवाद है। इससे पता चलता है कि इन समस्याओं का समाधान कैसे किया जाना चाहिए।

इस पाठ में हमने अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ और उसके मुख्य मापदंडों को देखा। यह इस विषय पर लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ना डीसंख्याओं को एक श्रृंखला लिखें, सब कुछ हल हो जाएगा।

फिंगर सॉल्यूशन पंक्ति के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए अच्छा काम करता है, जैसा कि इस ट्यूटोरियल के उदाहरणों में है। यदि श्रृंखला लंबी है, तो गणनाएँ अधिक जटिल हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न में समस्या 9 में हम प्रतिस्थापित करते हैं "पाँच मिनट"पर "पैंतीस मिनट"समस्या काफी बदतर हो जाएगी।)

और ऐसे कार्य भी हैं जो संक्षेप में सरल हैं, लेकिन गणना के संदर्भ में बेतुके हैं, उदाहरण के लिए:

एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है। यदि 1 =3 और d=1/6 है तो 121 ज्ञात कीजिए।

तो क्या, क्या हम 1/6 को कई बार, कई बार जोड़ने जा रहे हैं?! आप खुद को मार सकते हैं!?

आप कर सकते हैं।) यदि आप नहीं जानते हैं सरल सूत्र, जो आपको ऐसे कार्यों को एक मिनट में हल करने की अनुमति देता है। यह सूत्र अगले पाठ में होगा. और यह समस्या वहां हल हो गई है. एक मिनट में।)

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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अथवा अंकगणित एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन किया जाता है स्कूल पाठ्यक्रमबीजगणित. यह आलेख इस प्रश्न पर विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

यह किस प्रकार की प्रगति है?

प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने लायक है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या में कुछ मान जोड़ने (घटाने) से प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाता है। यह परिभाषा, जब गणितीय भाषा में अनुवादित की जाती है, तो यह रूप लेती है:

यहां i पंक्ति a i के तत्व की क्रम संख्या है। इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या को जानकर, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन - 1)।

यानी क्रम से nवें तत्व का मान ज्ञात करने के लिए आपको अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ना चाहिए।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि का सूत्र देने से पहले, एक साधारण विशेष मामले पर विचार करना उचित है। 1 से 10 तक प्राकृतिक संख्याओं की प्रगति को देखते हुए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ पद हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

एक बात विचारणीय है दिलचस्प बात यह है कि: चूँकि प्रत्येक पद अगले से समान मान d = 1 से भिन्न है, तो पहले का दसवें के साथ, दूसरे का नौवें के साथ, इत्यादि का जोड़ीवार योग समान परिणाम देगा। वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, यानी श्रृंखला के तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करने पर आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर पहुंचेंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि सभी तत्वों को एक पंक्ति में जोड़ना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है; यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान जानने के लिए पर्याप्त है; कुल गणना n शर्तें.

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में तब सोचा था जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा दी गई समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग करें।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों) का योग कैसे पाया जाए, लेकिन अक्सर समस्याओं में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि m-वें से n-वें तक पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, आपको प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए। इस दृश्य में माहवाँ पद a m पहले होगा, और a n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के लिए मानक सूत्र लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, आपको इसके पदों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें पदों के मान पा सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के अंत में संख्याओं के मूल्यों को जानने के साथ-साथ यह जानने के साथ कि वे श्रृंखला में किन संख्याओं पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यह निकलेगा:

एस 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग-अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं।