रैखिक असमानताएँ. उदाहरण सहित विस्तृत सिद्धांत. संख्यात्मक असमानताएँ और उनके गुण असमानताओं को असमानताओं से विभाजित करना

उदाहरण 1. असमानता को देखते हुए एक्स + 8>3. असमानता के दोनों पक्षों से संख्या 8 घटाने पर, हम पाते हैं एक्स > - 5.

उदाहरण 2. असमानता को देखते हुए एक्स - 6< — 2 . दोनों पक्षों में 6 जोड़ने पर, हम पाते हैं एक्स< 4 .

4 . अगर ए>बीऔर सी > डी,वह ए + सी >बी + डी; बिल्कुल वैसा ही अगर ए< b और साथ< d , वह ए + सी< b + d , यानी एक ही अर्थ की दो असमानताएं) को पद दर पद जोड़ा जा सकता है। यह किसी भी संख्या में असमानताओं के लिए सत्य है, उदाहरण के लिए यदि a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, वह a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

उदाहरण 1. असमानता — 8 > — 10 और 5 > 2 सच हैं। उन्हें पद दर पद जोड़ने पर हमें वास्तविक असमानता का पता चलता है — 3 > — 8 .

उदाहरण 2. असमानताओं की एक प्रणाली को देखते हुए ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . उन्हें पद दर पद जोड़ने पर, हम पाते हैं एक्स< 22 .

टिप्पणी। एक ही अर्थ की दो असमानताओं को एक-दूसरे से पद दर पद घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि परिणाम सही हो सकता है, लेकिन गलत भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि असमानता से 10 > 8 2 > 1 , तो हमें सही असमानता प्राप्त होती है 8 > 7 लेकिन अगर एक ही असमानता से 10 > 8 असमानता को पद दर पद घटाएँ 6 > 1 , तब हमें बेतुकापन मिलता है। अगले बिंदु की तुलना करें.

5 . अगर ए>बीऔर सी< d , वह ए – सी > बी – डी; अगर ए< b और सी - डी, वह एसी< b — d , यानी, एक असमानता से, पद दर पद, विपरीत अर्थ की दूसरी असमानता को घटाया जा सकता है), उस असमानता का चिह्न छोड़कर जिससे दूसरी घटाई गई थी।

उदाहरण 1. असमानता 12 < 20 और 15 > 7 सच हैं। पहले पद से दूसरे पद को घटाने पर और पहले का चिह्न छोड़ने पर, हमें सही असमानता प्राप्त होती है — 3 < 13 . दूसरे पद में से पहले को पद के अनुसार घटाने पर और दूसरे का चिह्न छोड़ने पर, हमें सही असमानता ज्ञात होती है 3 > — 13 .

उदाहरण 2. असमानताओं की एक प्रणाली दी गई है (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . पहली असमानता से दूसरी घटाने पर, हम पाते हैं य< 10 .

6 . अगर ए > बीऔर एमतो, यह एक धनात्मक संख्या है मा > एमबीऔर ए/एन > बी/एन, अर्थात असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित या गुणा किया जा सकता है (असमानता का चिह्न समान रहता है)। ए>बीऔर एनतो, यह एक ऋणात्मक संख्या है ना< nb और एक< b/n अर्थात्, असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, लेकिन असमानता के चिह्न को विपरीत में बदलना होगा।

उदाहरण 1. सच्ची असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित करना 25 > 20 पर 5 , हमें सही असमानता प्राप्त होती है 5 > 4 . यदि हम असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित करें 25 > 20 पर — 5 , तो आपको साइन बदलने की जरूरत है > पर < , और तब हमें सही असमानता मिलती है — 5 < — 4 .

उदाहरण 2. असमानता से 2x< 12 उसका अनुसरण करता है एक्स< 6 .

उदाहरण 3. असमानता से -(1/3)х — (1/3)х >4उसका अनुसरण करता है एक्स< — 12 .

उदाहरण 4. असमानता को देखते हुए एक्स/के > वाई/एल; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एलएक्स > केवाई, यदि संख्याओं के चिह्न एलऔर कवही हैं, तो क्या एलएक्स< ky , यदि संख्याओं के चिह्न एलऔर कविलोम।

गणित में असमानताएँ एक प्रमुख भूमिका निभाती हैं। स्कूल में हम मुख्य रूप से व्यवहार करते हैं संख्यात्मक असमानताएँ, जिसकी परिभाषा के साथ हम इस लेख की शुरुआत करेंगे। और फिर हम सूचीबद्ध करेंगे और औचित्य देंगे संख्यात्मक असमानताओं के गुण, जिस पर असमानताओं के साथ काम करने के सभी सिद्धांत आधारित हैं।

आइए हम तुरंत ध्यान दें कि संख्यात्मक असमानताओं के कई गुण समान हैं। इसलिए, हम सामग्री को उसी योजना के अनुसार प्रस्तुत करेंगे: हम एक संपत्ति तैयार करते हैं, उसका औचित्य और उदाहरण देते हैं, जिसके बाद हम अगली संपत्ति पर आगे बढ़ते हैं।

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संख्यात्मक असमानताएँ: परिभाषा, उदाहरण

जब हमने असमानता की अवधारणा पेश की, तो हमने देखा कि असमानताओं को अक्सर उनके लिखे जाने के तरीके से परिभाषित किया जाता है। इसलिए हमने असमानताओं को अर्थपूर्ण बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ कहा जिनमें चिह्न ≠ के बराबर नहीं, कम होते हैं<, больше >, ≤ से कम या उसके बराबर या ≥ से अधिक या उसके बराबर। उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, संख्यात्मक असमानता की परिभाषा देना सुविधाजनक है:

संख्यात्मक असमानताओं का सामना पहली कक्षा में गणित के पाठों में होता है, 1 से 9 तक की पहली प्राकृतिक संख्याओं से परिचित होने और तुलना ऑपरेशन से परिचित होने के तुरंत बाद। सच है, वहां उन्हें "संख्यात्मक" की परिभाषा को छोड़कर, केवल असमानताएं कहा जाता है। स्पष्टता के लिए, उनके अध्ययन के उस चरण से सबसे सरल संख्यात्मक असमानताओं के कुछ उदाहरण देने में कोई दिक्कत नहीं होगी: 1<2 , 5+2>3 .

और आगे से प्राकृतिक संख्याज्ञान को अन्य प्रकार की संख्याओं (पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक संख्याओं) तक विस्तारित किया जाता है, उनकी तुलना के नियमों का अध्ययन किया जाता है, और यह महत्वपूर्ण रूप से विस्तारित होता है प्रजातीय विविधतासंख्यात्मक असमानताएँ: −5>−72, 3>−0.275·(7−5.6) , .

संख्यात्मक असमानताओं के गुण

व्यवहार में, असमानताओं के साथ काम करने से कई तरह की अनुमति मिलती है संख्यात्मक असमानताओं के गुण. वे हमारे द्वारा प्रस्तुत असमानता की अवधारणा का अनुसरण करते हैं। संख्याओं के संबंध में, यह अवधारणा निम्नलिखित कथन द्वारा दी गई है, जिसे संख्याओं के समूह पर "से कम" और "से अधिक" संबंधों की परिभाषा माना जा सकता है (इसे अक्सर असमानता की अंतर परिभाषा कहा जाता है):

परिभाषा।

• संख्या ए अधिक संख्या b यदि और केवल यदि अंतर a−b एक धनात्मक संख्या है;
• संख्या a, संख्या b से कम है यदि और केवल यदि अंतर a−b एक ऋणात्मक संख्या है;
• संख्या a, संख्या b के बराबर है यदि और केवल यदि अंतर a−b शून्य है।

इस परिभाषा को "इससे कम या इसके बराबर" और "इससे अधिक या इसके बराबर" संबंधों की परिभाषा में फिर से शामिल किया जा सकता है। यहाँ उसका शब्द है:

परिभाषा।

• संख्या a, b से बड़ा या उसके बराबर है यदि और केवल यदि a−b एक गैर-नकारात्मक संख्या है;
• a, b से कम या उसके बराबर है यदि और केवल यदि a−b एक गैर-धनात्मक संख्या है।

संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को साबित करते समय हम इन परिभाषाओं का उपयोग करेंगे, जिसकी समीक्षा के लिए हम आगे बढ़ेंगे।

मूल गुण

हम असमानताओं के तीन मुख्य गुणों के साथ समीक्षा शुरू करते हैं। वे बुनियादी क्यों हैं? क्योंकि वे सबसे सामान्य अर्थों में असमानताओं के गुणों का प्रतिबिंब हैं, न कि केवल संख्यात्मक असमानताओं के संबंध में।

संख्यात्मक असमानताएँ चिन्हों का उपयोग करके लिखी गईं< и >, विशेषता:

जहां तक ​​कमजोर असमानता चिह्नों ≤ और ≥ का उपयोग करके लिखी गई संख्यात्मक असमानताओं का सवाल है, तो उनमें रिफ्लेक्सिविटी (और एंटी-रिफ्लेक्सिविटी नहीं) का गुण होता है, क्योंकि असमानताओं a≤a और a≥a में समानता a=a का मामला शामिल होता है। उन्हें एंटीसिममेट्री और ट्रांज़िटिविटी की भी विशेषता है।

तो, चिह्न ≤ और ≥ का उपयोग करके लिखी गई संख्यात्मक असमानताओं में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• रिफ्लेक्सिविटी a≥a और a≤a सच्ची असमानताएँ हैं;
• एंटीसिममेट्री, यदि a≤b, तो b≥a, और यदि a≥b, तो b≤a।
• परिवर्तनशीलता, यदि a≤b और b≤c है, तो a≤c, और साथ ही, यदि a≥b और b≥c है, तो a≥c है।

उनका प्रमाण पहले से दिए गए प्रमाणों से बहुत मिलता-जुलता है, इसलिए हम उन पर ध्यान नहीं देंगे, बल्कि संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुणों की ओर बढ़ेंगे।

संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुण

आइए हम संख्यात्मक असमानताओं के मूल गुणों को बड़े पैमाने पर परिणामों की एक श्रृंखला के साथ पूरक करें व्यवहारिक महत्व. भावों के मूल्यों का आकलन करने की विधियाँ उन्हीं पर आधारित हैं; असमानताओं का समाधानऔर इसी तरह। इसलिए इन्हें अच्छे से समझने की सलाह दी जाती है।

इस खंड में, हम सख्त असमानता के केवल एक संकेत के लिए असमानताओं के गुणों को तैयार करेंगे, लेकिन यह ध्यान में रखने योग्य है कि समान गुण विपरीत संकेत के साथ-साथ गैर-सख्त असमानताओं के संकेतों के लिए भी मान्य होंगे। चलिए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं. नीचे हम असमानताओं की निम्नलिखित संपत्ति तैयार और साबित करते हैं: यदि ए

• यदि a>b तो a+c>b+c ;
• यदि a≤b, तो a+c≤b+c;
• यदि a≥b, तो a+c≥b+c.

सुविधा के लिए, हम संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को एक सूची के रूप में प्रस्तुत करेंगे, जबकि हम संबंधित कथन देंगे, इसे अक्षरों का उपयोग करके औपचारिक रूप से लिखेंगे, प्रमाण देंगे और फिर उपयोग के उदाहरण दिखाएंगे। और लेख के अंत में हम संख्यात्मक असमानताओं के सभी गुणों को एक तालिका में संक्षेपित करेंगे। जाना!