समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि सीधी रेखा बिंदु M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप y- y 1 = है क (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ क - अभी भी अज्ञात गुणांक.

चूँकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, तो इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण (10.6) को संतुष्ट करना होगा: y 2 -y 1 \u003d क (एक्स 2-एक्स 1).

यहां से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं क समीकरण (10.6) में, हम बिंदु एम 1 और एम 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

यदि x 1 \u003d x 2, तो बिंदु M 1 (x 1, y I) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 = y I, तो सीधी रेखा का समीकरण y = y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 x-अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a; 0) पर और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0; b) पर प्रतिच्छेद करती है। समीकरण इस प्रकार बनेगा:
वे।
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करती है कि सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर कौन से खंड काटती है.

किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण

आइए किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत किसी दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण खोजें।

सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात,

ए(एक्स - एक्सओ) + बी(वाई - यो) = 0. (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण .

रेखा पर लंबवत वेक्टर n = (ए; बी) को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)

जहाँ A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C = -Ax o - Vu o - मुक्त सदस्य। समीकरण (10.9) एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।

चित्र.1 चित्र.2

सीधी रेखा के विहित समीकरण

,

कहाँ
उस बिंदु के निर्देशांक हैं जिससे होकर रेखा गुजरती है, और
- दिशा वेक्टर.

दूसरे क्रम के वृत्त के वक्र

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं का समूह है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या वाले एक वृत्त का विहित समीकरण आर एक बिंदु पर केन्द्रित
:

विशेष रूप से, यदि दांव का केंद्र मूल बिंदु से मेल खाता है, तो समीकरण इस प्रकार दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक समतल में बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग होता है और , जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है
, foci के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका नाभि ऑक्स अक्ष पर स्थित है और जिसका मूल नाभियों के बीच में है, का रूप है
जी डेए प्रमुख अर्धअक्ष की लंबाई;बी लघु अर्धअक्ष की लंबाई है (चित्र 2)।

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

ऐसी अनगिनत रेखाएँ हैं जो किसी भी बिंदु से होकर खींची जा सकती हैं।

किन्हीं दो असंयोजक बिंदुओं से होकर केवल एक सीधी रेखा गुजरती है।

समतल में दो असंपाती रेखाएँ या तो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले वाले से अनुसरण करता है)।

3डी स्पेस में तीन विकल्प हैं। तुलनात्मक स्थितिदो सीधी रेखाएँ:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा पंक्ति- प्रथम क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा

समतल पर प्रथम डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा दिया गया है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

परिभाषा. समतल में कोई भी रेखा प्रथम कोटि समीकरण द्वारा दी जा सकती है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं. इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है आम

सीधी रेखा समीकरण.स्थिरांक के मूल्यों पर निर्भर करता है ए, बीऔर साथनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए ≠ 0, बी ≠ 0- रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए ≠ 0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए ≠ 0- रेखा अक्ष से मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी ≠ 0- रेखा अक्ष से मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को इसमें दर्शाया जा सकता है विभिन्न रूपकिसी दिए गए पर निर्भर करता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा. कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

आह + वू + सी = 0.

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1,2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान. आइए A = 3 और B = -1 पर सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए

सी = -1. कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)और एम2 (एक्स 2, वाई 2 , जेड 2),तब सीधी रेखा समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरना:

यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर x 1 ≠ x 2और एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = कबुलाया ढलान कारक सीधा.

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण आह + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु और एक निर्देशित वेक्टर पर एक सीधी रेखा का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का दिशा सदिश।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1 , α 2), जिसके घटक शर्त को पूरा करते हैं

एα 1 + बीα 2 = 0बुलाया सीधी रेखा का दिशा सदिश.

आह + वू + सी = 0.

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0.परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना होगा:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी.

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0.

पर x=1, y=2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0 है, तो, -C से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:

या जहां

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

धुरी के साथ सीधा ओह,ए बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओयू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0.इस सीधी रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, , ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्ष आह + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें , जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± इसलिए चुना जाना चाहिए μ * सी< 0.

आर- मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई,

ए φ - इस लम्ब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0. लिखना आवश्यक है विभिन्न प्रकार केसमीकरण

यह सीधी रेखा.

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से भाग दें)

सीधी रेखा का समीकरण:

क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी=5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से होकर गुज़रना।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण.

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, फिर इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समान्तर हैं यदि क 1 = क 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

अगर के 1 = -1/के 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष आह + वू + सी = 0और ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0जब गुणांक आनुपातिक होते हैं तो समानांतर होते हैं

ए 1 = λए, बी 1 = λबी. यदि भी С 1 = λС, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसी दिए गए रेखा पर लंबवत होता है।

परिभाषा. एक बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी.

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया गया है एम(एक्स 0, वाई 0),फिर लाइन की दूरी आह + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित:

सबूत. आइए बात को स्पष्ट करें एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- लम्ब का आधार बिंदु से गिरा एमकिसी प्रदत्त के लिए

प्रत्यक्ष। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमऔर एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1और 1समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

दी गई पंक्ति. यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

ए(एक्स - एक्स 0) + बी(वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यह लेख एक समतल पर स्थित आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति का खुलासा करता है। हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरणों को दृश्य रूप से दिखाएंगे और हल करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक सिद्धांत है जो कहता है कि एक समतल पर दो गैर-संपाती बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक ही। दूसरे शब्दों में, समतल के दो दिए गए बिंदु इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा निर्धारित होते हैं।

यदि समतल को आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी द्वारा दिया गया है, तो इसमें दर्शाई गई कोई भी सीधी रेखा समतल पर सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के साथ भी एक संबंध है। ये डेटा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को तैयार करने के लिए पर्याप्त हैं।

इसी तरह की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में स्थित दो बेमेल बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना आवश्यक है।

एक समतल पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण में, जिसका रूप x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y है, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को एक सीधी रेखा के साथ निर्दिष्ट किया जाता है जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) के साथ एक दिशा वेक्टर a → = (a x, a y) के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

सीधी रेखा a का विहित समीकरण बनाना आवश्यक है, जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) वाले दो बिंदुओं से होकर गुजरेगा।

सीधी रेखा a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक निर्देशन वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदु M 1 और M 2 को काटता है। हमने दिशा वेक्टर M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के निर्देशांक और उन पर स्थित बिंदुओं M 1 (x 1 , y 1) और M 2 (x 2 , y 2) के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त किया है। हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का एक समीकरण मिलता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

गणनाओं के बाद, हम एक समतल में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) वाले दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ के रूप का एक समीकरण मिलता है।

आइए कुछ उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 के साथ 2 दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान

निर्देशांक x 1, y 1 और x 2, y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 है। समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। यहां से हमें पता चलता है कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेगा।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6।

यदि किसी समस्या को भिन्न प्रकार के समीकरण के साथ हल करना आवश्यक है, तो शुरुआत के लिए आप विहित समीकरण पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य पर आना आसान है।

उदाहरण 2

O x y समन्वय प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाएं।

समाधान

सबसे पहले आपको दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली दी गई रेखा का विहित समीकरण लिखना होगा। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का एक समीकरण मिलता है।

हम विहित समीकरण को वांछित रूप में लाते हैं, फिर हमें मिलता है:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

उत्तर:एक्स - 3 वाई + 2 = 0 .

ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में बीजगणित पाठों में विचार किया गया था। स्कूल के कार्यअंतर यह था कि ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात था, जिसका रूप y \u003d k x + b था। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिस पर समीकरण y \u003d k x + b O x y प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से होकर गुजरती है, जहां x 1 ≠ x 2 है। जब x 1 = x 2 , तो ढलान अनंत का मान ले लेता है, और सीधी रेखा M 1 M 2 को x - x 1 = 0 के रूप के एक सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। .

क्योंकि बिंदु एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। K और b के संबंध में समीकरण y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b की प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, हम k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 पाते हैं।

K और b के ऐसे मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है:

इतनी बड़ी संख्या में फॉर्मूले एक साथ याद करने से काम नहीं चलेगा. ऐसा करने के लिए, समस्याओं को हल करने में दोहराव की संख्या बढ़ाना आवश्यक है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम ढलान वाले एक सूत्र का उपयोग करते हैं जिसका रूप y \u003d k x + b है। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए कि यह समीकरण निर्देशांक M 1 (- 7 , - 5) और M 2 (2 , 1) वाले दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा से मेल खाता हो।

अंक एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y = k x + b को सही समानता में उलट देना चाहिए। यहां से हमें पता चलता है कि - 5 = k · (- 7) + b और 1 = k · 2 + b. आइए समीकरण को सिस्टम में संयोजित करें - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर, हमें वह प्राप्त होता है

5 = के - 7 + बी 1 = के 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 ⇔ ⇔ बी = - 5 + 7 के के = 2 3 ⇔ बी = - 5 + 7 2 3 के = 2 3 ⇔ बी = - 1 3 के = 2 3

अब मान k = 2 3 और b = - 1 3 को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला वांछित समीकरण एक समीकरण होगा जिसका रूप y = 2 3 x - 1 3 होगा।

समाधान का यह तरीका खर्च को पूर्व निर्धारित करता है एक लंबी संख्यासमय। एक ऐसा तरीका है जिसमें कार्य को वस्तुतः दो चरणों में हल किया जाता है।

आइए M 2 (2, 1) और M 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का विहित समीकरण लिखें, जिसका रूप x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 है।

अब आइए ढलान समीकरण पर चलते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3।

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3 .

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है जिसमें निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ दो गैर-संयोग बिंदु हैं, तो उनके बीच से गुजरने वाली एक सीधी रेखा M 1 M 2 है, इस सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण और x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण समन्वय प्रणाली में एक रेखा निर्धारित करने में सक्षम हैं। O x y z दिशा वेक्टर a → = (a x , a y , a z) से निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से गुजर रहा है।

सीधा एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा वेक्टर है, जहां रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) से होकर गुजरती है, इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 के रूप का हो सकता है। वाई 2 - वाई 1 = जेड - जेड 1 जेड 2 - जेड 1 या एक्स - एक्स 2 एक्स 2 - एक्स 1 = वाई - वाई 2 वाई 2 - वाई 1 = जेड - जेड 2 जेड 2 - जेड 1, बदले में पैरामीट्रिक एक्स = एक्स 1 + (एक्स 2 - एक्स 1) λ वाई = वाई 1 + (वाई 2 - वाई 1) λ जेड = जेड 1 + (z 2 - z 1) λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ।

एक आकृति पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाती है।

उदाहरण 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z में परिभाषित एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें, जो निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, - 5) के साथ दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है।

समाधान

हमें विहित समीकरण खोजने की आवश्यकता है। चूँकि हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात कर रहे हैं, इसका मतलब है कि जब एक सीधी रेखा दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 का रूप लेगा।

शर्त के अनुसार, हमारे पास है कि x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

एक्स - 2 1 - 2 = वाई - (- 3) - 3 - (- 3) = जेड - 0 - 5 - 0 ⇔ एक्स - 2 - 1 = वाई + 3 0 = जेड - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण यह दिशा. दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण. दो रेखाओं की समांतरता एवं लंबता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , य 1) किसी दी गई दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

य - य 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , य 1), जिसे किरण का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , य 1) और बी(एक्स 2 , य 2) इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा घूमनी चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त घुमाएँ जब तक कि यह दूसरी रेखा से मेल न खा जाए बी. यदि दो रेखाएँ ढलान समीकरण द्वारा दी गई हैं

य = क 1 एक्स + बी 1 ,

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण वे समीकरण हैं जो किसी दिए गए बिंदु से होकर एक दिशा वेक्टर के संरेख रूप से गुजरने वाली सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश और संरेख हैं, अर्थात, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश शून्येतर है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता. लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि अक्षों पर सदिश का प्रक्षेपण ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं. इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दिए गए वेक्टर और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान yOz .

उदाहरण 1किसी समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण बनाएं और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर रहा है आउंस .

समाधान। अक्ष के साथ दिए गए तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आउंस. चूँकि अक्ष पर कोई भी बिंदु आउंस, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए, निर्देशांक हैं x=y= 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2 . इसलिए, अक्ष के साथ दिए गए तल का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूँकि वांछित रेखा समतल के लंबवत है, यह इसके सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सामान्य वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में कार्य कर सकता है दिया गया विमान.

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में :

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2अंतरिक्ष में बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान। हम सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं:

.

चूँकि, तब वांछित रेखा अक्ष के लंबवत है ओए .

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के समान सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, बिंदुओं के एक सेट के रूप में जो दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करता है

सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण बनाएं

समाधान। एक सीधी रेखा के विहित समीकरण या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखने के लिए, आपको सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं दो समन्वय तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं yOzऔर xOz .

एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु yOzफरसीसा है एक्स= 0 . इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय य = 2 , जेड= साथ में 6 एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित रेखा का। फिर समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें य= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में य= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

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या हरों को -2 से विभाजित करने के बाद:

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