एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के कुल सतह क्षेत्र की गणना करें। ज्यामिति की मूल बातें: एक नियमित पिरामिड है

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होगा। मैं सभी ज्ञात जानकारी को संयोजित करना चाहूंगा, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें। इसके अलावा, आधार और पार्श्व किनारों से शुरू करके संपूर्ण सतह क्षेत्र तक। यदि पार्श्व फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से लेकर एन-गॉन तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अतिरिक्त, एक नियमित आकृति या अनियमित आकृति हो सकता है। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में, जिनमें स्कूली बच्चों की रुचि होती है, केवल आधार पर सही आंकड़ों वाले कार्य होते हैं। इसलिए हम उन्हीं के बारे में बात करेंगे.

नियमित त्रिकोण

अर्थात् समबाहु। वह जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और अक्षर "ए" द्वारा निर्दिष्ट हों। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4.

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "ए" फिर से पक्ष है:

मनमाना नियमित एन-गॉन

बहुभुज के किनारे पर समान अंकन होता है। कोणों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का प्रयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय क्या करें?

चूँकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड के सभी फलक समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि पार्श्व किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होगी। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे गुणनफल को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊँचाई को एपोटेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। पार्श्व सतह क्षेत्र का सामान्य सूत्र है:

एस = ½ पी*ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन पार्श्व किनारे (सी) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर आपको पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

S = n/2 * 2 पाप α में .

कार्य क्रमांक 1

स्थिति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसके आधार की भुजा 4 सेमी है और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरुआत करने की आवश्यकता है। चूँकि यह एक नियमित त्रिभुज है, तो P = 3*4 = 12 सेमी। चूँकि एपोथेम ज्ञात है, हम तुरंत संपूर्ण पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: ½*12*√3 = 6√3 सेमी 2।

आधार पर त्रिभुज के लिए, आपको निम्नलिखित क्षेत्र मान मिलता है: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 सेमी 2।

संपूर्ण क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने की आवश्यकता होगी: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 2

स्थिति. यहाँ एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार पक्ष की लंबाई 7 मिमी है, पार्श्व किनारा 16 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुष्कोणीय और नियमित है, इसका आधार एक वर्ग है। एक बार जब आप आधार और पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल जान लेंगे, तो आप पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने में सक्षम होंगे। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और पार्श्व फलकों के लिए, त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और निम्नलिखित संख्या तक ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करने की आवश्यकता होगी: (7 + 16*2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2। ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह निकला: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 मिमी 2।

उत्तर. वांछित मान 267.576 मिमी 2 है।

समस्या क्रमांक 3

स्थिति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है। वर्ग की भुजा 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी ज्ञात होती है।

समाधान।सबसे आसान तरीका परिधि और एपोथेम के गुणनफल के साथ सूत्र का उपयोग करना है। पहला मान ढूँढना आसान है. दूसरा थोड़ा अधिक जटिल है.

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम, जो कि कर्ण है, से बनता है। दूसरा पैर वर्ग की आधी भुजा के बराबर है, क्योंकि बहुफलक की ऊंचाई इसके मध्य में आती है।

आवश्यक एपोटेम (एक समकोण त्रिभुज का कर्ण) √(3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) के बराबर है।

अब आप आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 4

स्थिति।सही पक्ष दिया गया है। इसके आधार की भुजाएँ 22 मिमी हैं, पार्श्व किनारे 61 मिमी हैं। इस बहुफलक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो कार्य संख्या 2 में वर्णित है। केवल वहाँ आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 सेमी 2।

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना होगा, जो पार्श्व फलक है। (22+61*2):2 = 72 सेमी। ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना बाकी है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे आधार के लिए प्राप्त एक में जोड़ें।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 सेमी 2. गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 = 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2।

उत्तर।आधार 726√3 सेमी2 है, पार्श्व सतह 3960 सेमी2 है, संपूर्ण क्षेत्रफल 5217 सेमी2 है।

समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों के सतह क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

पिरामिड क्या है?

आइए हम पिरामिड की एक सख्त ज्यामितीय परिभाषा दें। मान लीजिए हमारे पास n भुजाओं और n कोणों वाला एक बहुभुज है। आइए अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें जो निर्दिष्ट एन-गॉन के विमान में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ दें। हमें एक निश्चित आयतन वाली एक आकृति मिलेगी, जिसे एन-गोनल पिरामिड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाएं कि एक पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (एन-गॉन) और उसका शीर्ष हैं। ये तत्व n त्रिभुजों द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं, जो सामान्यतः एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। शीर्ष से आधार तक उतरने वाले लम्ब को आकृति की ऊँचाई कहा जाता है। यदि यह आधार को ज्यामितीय केंद्र पर काटता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र से मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस स्थिति के अतिरिक्त, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो संपूर्ण पिरामिड नियमित कहा जाता है। नीचे दी गई तस्वीर दिखाती है कि त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय और षट्कोणीय आधारों वाले नियमित पिरामिड कैसे दिखते हैं।

पिरामिड की सतह

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले, हमें सतह की अवधारणा पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर बताया गया है और आंकड़ों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड फलकों या भुजाओं के समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। संपूर्ण आकृति की सतह प्रत्येक पक्ष के क्षेत्रफलों का योग है।

किसी आकृति के विकास के उदाहरण का उपयोग करके सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का विकास नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रफलों और एक वर्ग के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

किसी आकृति की भुजाओं को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल आमतौर पर पार्श्व सतह क्षेत्र कहा जाता है। आगे हम दिखाएंगे कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे करें।

एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

संकेतित आकृति के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम फिर से उपरोक्त विकास की ओर मुड़ते हैं। आइए मान लें कि हम वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक ए द्वारा निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समान त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानना होगा। ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल S t आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे आधे में विभाजित किया जाना चाहिए। वह है:

जहाँ h b आधार a पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। एक पिरामिड के लिए, यह ऊंचाई एक एपोटेम है। अब प्रश्नगत पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S b प्राप्त करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को 4 से गुणा करना बाकी है:

एस बी = 4*एस टी = 2*एच बी *ए।

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: एपोथेम और आधार का किनारा। यदि उत्तरार्द्ध अधिकांश समस्या स्थितियों में ज्ञात है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। यहां दो मामलों के लिए एपोटेम एच बी की गणना के सूत्र दिए गए हैं:

• जब पार्श्व पसली की लंबाई ज्ञात हो;
• जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात हो जाती है.

यदि हम पार्श्व किनारे (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) की लंबाई को प्रतीक L द्वारा निरूपित करते हैं, तो एपोटेम h b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एच बी = √(एल 2 - ए 2 /4).

यह अभिव्यक्ति पार्श्व सतह त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने का परिणाम है।

यदि पिरामिड की ऊंचाई h ज्ञात है, तो एपोटेम h b की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एच बी = √(एच 2 + ए 2 /4).

यदि हम पिरामिड के अंदर एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, जो पैरों h और a/2 और कर्ण h b द्वारा बनता है, तो इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करना मुश्किल नहीं है।

आइए दिखाते हैं कि दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके इन सूत्रों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र के साथ समस्या

ज्ञातव्य है कि चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 108 सेमी 2 है। यदि पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी है तो इसके एपोटेम एच बी की लंबाई की गणना करना आवश्यक है।

आइए हम पार्श्व सतह के क्षेत्रफल S b के लिए ऊंचाई के संदर्भ में सूत्र लिखें। हमारे पास है:

एस बी = 2*√(एच 2 + ए 2 /4) *ए।

यहां हमने एस बी के लिए अभिव्यक्ति में उचित एपोथेम सूत्र को प्रतिस्थापित किया है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

एस बी 2 = 4*ए 2 *एच 2 + ए 4।

A का मान ज्ञात करने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं:

टी 2 + 4*एच 2 *टी - एस बी 2 = 0.

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

टी 2 + 196*टी - 11664 = 0.

हमने इस समीकरण का केवल सकारात्मक मूल ही लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर होंगी:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 सेमी.

एपोथेम की लंबाई प्राप्त करने के लिए, बस सूत्र का उपयोग करें:

एच बी = √(एच 2 + ए 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2 /4) ≈ 7.808 सेमी।

चेप्स पिरामिड की पार्श्व सतह

आइए हम मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई 230.363 मीटर है। संरचना की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। इन संख्याओं को S b के संगत सूत्र में रखें, हमें प्राप्त होता है:

एस बी = 2*√(एच 2 + ए 2 /4) *ए = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 ≈ 85860 मीटर 2।

पाया गया मूल्य 17 फुटबॉल मैदानों के क्षेत्रफल से थोड़ा बड़ा है।

एक बहुआयामी आकृति है, जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष फलकों को एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया है।

यदि आधार वर्ग हो तो पिरामिड कहलाता है चौकोर, यदि एक त्रिभुज - तो त्रिकोणीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तक खींची गई है। क्षेत्रफल की गणना के लिए भी उपयोग किया जाता है एपोटेम- साइड फेस की ऊंचाई, उसके शीर्ष से कम।
पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है, जो एक दूसरे के बराबर होते हैं। हालाँकि, गणना की इस पद्धति का उपयोग बहुत ही कम किया जाता है। मूल रूप से, पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और एपोथेम के माध्यम से की जाती है:

आइए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि आधार ABCDE और शीर्ष F वाला एक पिरामिड दिया गया है। एबी =बीसी =सीडी =डीई =ईए =3 सेमी. एपोटेम ए = 5 सेमी.
आइए परिधि ज्ञात करें। चूँकि आधार के सभी किनारे बराबर हैं, पंचभुज का परिमाप बराबर होगा:
अब आप पिरामिड का पार्श्व क्षेत्र ज्ञात कर सकते हैं:

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का क्षेत्रफल

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एक आधार होता है जिसमें एक नियमित त्रिकोण और तीन पार्श्व फलक होते हैं जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है।
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के सूत्र की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। आप परिधि और एपोथेम का उपयोग करके सामान्य गणना सूत्र लागू कर सकते हैं, या आप एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं और इसे तीन से गुणा कर सकते हैं। चूँकि पिरामिड का फलक एक त्रिभुज है, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करते हैं। इसके लिए एक एपोथेम और आधार की लंबाई की आवश्यकता होगी। आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

एपोटेम a = 4 सेमी और आधार फलक b = 2 सेमी वाला एक पिरामिड दिया गया है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, किसी एक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करें। इस मामले में यह होगा:
मानों को सूत्र में रखें:
चूँकि एक नियमित पिरामिड में सभी भुजाएँ समान होती हैं, पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन चेहरों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होगा। क्रमश:

एक काटे गए पिरामिड का क्षेत्रफल

छंटनी की गईपिरामिड एक बहुफलक है जो एक पिरामिड और आधार के समानांतर उसके अनुप्रस्थ काट से बनता है।
काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र बहुत सरल है। क्षेत्रफल आधारों और एपोथेम की परिमापों के आधे योग के गुणनफल के बराबर है:

निर्देश

सबसे पहले, यह समझने लायक है कि पिरामिड की पार्श्व सतह को कई त्रिकोणों द्वारा दर्शाया गया है, जिनके क्षेत्र ज्ञात आंकड़ों के आधार पर विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं:

एस = (ए*एच)/2, जहां एच पक्ष ए से कम ऊंचाई है;

S = a*b*sinβ, जहां a, b त्रिभुज की भुजाएं हैं, और β इन भुजाओं के बीच का कोण है;

S = (r*(a + b + c))/2, जहां a, b, c त्रिभुज की भुजाएं हैं, और r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है;

S = (a*b*c)/4*R, जहां R वृत्त के चारों ओर परिचालित त्रिभुज की त्रिज्या है;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (यदि त्रिभुज समकोण है);

S = S = (a²*√3)/4 (यदि त्रिभुज समबाहु है)।

वास्तव में, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ये केवल सबसे बुनियादी ज्ञात सूत्र हैं।

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके पिरामिड के मुख वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना करने के बाद, आप इस पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करना शुरू कर सकते हैं। यह अत्यंत सरलता से किया जाता है: आपको पिरामिड की पार्श्व सतह बनाने वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़ना होगा। इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

Sp = ΣSi, जहाँ Sp पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है, Si i-वें त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जो इसकी पार्श्व सतह का भाग है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम एक छोटे से उदाहरण पर विचार कर सकते हैं: एक नियमित पिरामिड दिया गया है, जिसके पार्श्व फलक समबाहु त्रिभुजों द्वारा बने हैं, और इसके आधार पर एक वर्ग स्थित है। इस पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान: इस पिरामिड के किनारे की लंबाई ज्ञात है, यह ज्ञात है कि इसके फलक समबाहु त्रिभुज हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि पार्श्व सतह पर सभी त्रिभुजों की सभी भुजाएँ 17 सेमी के बराबर हैं, इसलिए, इनमें से किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको सूत्र लागू करने की आवश्यकता होगी:

एस = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 सेमी²

यह ज्ञात है कि पिरामिड के आधार पर एक वर्ग स्थित है। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि चार समबाहु त्रिभुज दिए गए हैं। फिर पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

125.137 सेमी² * 4 = 500.548 सेमी²

उत्तर: पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रफल 500.548 सेमी² है

सबसे पहले, आइए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करें। पार्श्व सतह सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (अर्थात्, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है, और शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित है), तो संपूर्ण पार्श्व सतह की गणना करने के लिए इसकी परिधि को गुणा करना पर्याप्त है आधार (अर्थात, आधार पिरामिड पर स्थित बहुभुज की सभी भुजाओं की लंबाई का योग) को पार्श्व फलक की ऊंचाई से (जिसे एपोथेम भी कहा जाता है) और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें: Sb = 1/2P* एच, जहां एसबी साइड सतह का क्षेत्र है, पी आधार की परिधि है, एच साइड फेस (एपोथेम) की ऊंचाई है।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रफल की अलग-अलग गणना करनी होगी और फिर उन्हें जोड़ना होगा। चूँकि पिरामिड के पार्श्व फलक त्रिभुज हैं, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करें: S=1/2b*h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है, और h ऊँचाई है। जब सभी फलकों के क्षेत्रफल की गणना कर ली जाती है, तो पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ना ही शेष रह जाता है।

फिर आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है। गणना के लिए सूत्र का चुनाव इस बात पर निर्भर करता है कि पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है: नियमित (अर्थात्, जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों) या अनियमित। एक नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या से परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2 से विभाजित करके की जा सकती है: Sn = 1/2P*r, जहां Sn का क्षेत्रफल है बहुभुज, P परिधि है, और r बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

एक छोटा पिरामिड एक बहुफलक है जो एक पिरामिड और आधार के समानांतर उसके क्रॉस सेक्शन द्वारा बनता है। पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रफल ज्ञात करना बिल्कुल भी कठिन नहीं है। यह बहुत सरल है: क्षेत्रफल आधारों के आधे योग के गुणनफल के बराबर है। आइए पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए हमें एक नियमित पिरामिड दिया गया है। आधार की लंबाई b = 5 सेमी, c = 3 सेमी है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको पहले आधारों की परिधि ज्ञात करनी होगी। बड़े आधार में यह p1=4b=4*5=20 सेमी के बराबर होगा। छोटे आधार में सूत्र इस प्रकार होगा: p2=4c=4*3=12 सेमी। इसलिए, क्षेत्रफल बराबर होगा : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 सेमी.

त्रिकोणीय पिरामिडएक बहुफलक है जिसका आधार एक नियमित त्रिभुज है।

ऐसे पिरामिड में आधार के किनारे और भुजाओं के किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं। तदनुसार, पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल तीन समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग से ज्ञात किया जाता है। आप सूत्र का उपयोग करके एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कर सकते हैं। और आप गणना कई गुना तेजी से कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र के लिए सूत्र लागू करना होगा:

जहाँ p आधार की परिधि है, जिसकी सभी भुजाएँ b के बराबर हैं, a शीर्ष से इस आधार तक उतारा गया एपोथेम है। आइए त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

समस्या: एक नियमित पिरामिड दिया जाए. आधार पर त्रिभुज की भुजा b = 4 सेमी है। पिरामिड का शीर्ष भाग a = 7 सेमी है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम सभी आवश्यक तत्वों की लंबाई जानते हैं, हम परिधि ज्ञात करेंगे। हमें याद है कि एक नियमित त्रिभुज में सभी भुजाएँ समान होती हैं, और इसलिए, परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

आइए डेटा को प्रतिस्थापित करें और मान ज्ञात करें:

अब, परिधि को जानकर, हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं:

पूर्ण मूल्य की गणना करने के लिए त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल के सूत्र को लागू करने के लिए, आपको बहुफलक के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

त्रिकोणीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल का सूत्र भिन्न हो सकता है। किसी दिए गए आंकड़े के लिए मापदंडों की किसी भी गणना का उपयोग करना संभव है, लेकिन अक्सर इसकी आवश्यकता नहीं होती है। आइए एक त्रिकोणीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

समस्या: एक नियमित पिरामिड में, आधार पर त्रिभुज की भुजा a = 6 सेमी है। आधार के क्षेत्रफल की गणना करें।
गणना करने के लिए, हमें केवल पिरामिड के आधार पर स्थित नियमित त्रिभुज की भुजा की लंबाई की आवश्यकता है। आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

अक्सर आपको एक बहुफलक का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, आपको पार्श्व सतह और आधार का क्षेत्रफल जोड़ना होगा।

आइए त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

समस्या: मान लीजिए कि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड दिया गया है। आधार भुजा b = 4 सेमी है, एपोटेम a = 6 सेमी है। पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, आइए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करके पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें। आइए परिधि की गणना करें:

डेटा को सूत्र में रखें:
आइए अब आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
आधार और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जानने पर, हम पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

एक नियमित पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करते समय, आपको यह नहीं भूलना चाहिए कि आधार एक नियमित त्रिभुज है और इस बहुफलक के कई तत्व एक दूसरे के बराबर हैं।