क्या संख्याएँ विघटित की जा सकती हैं। प्रमुख कारकों में एक संख्या का अपघटन। संक्षिप्त गुणन सूत्र

यह किसी व्यंजक को सरल बनाने के सबसे प्रारंभिक तरीकों में से एक है। इस विधि को लागू करने के लिए, आइए जोड़ के संबंध में गुणन के वितरण नियम को याद करें (इन शब्दों से डरें नहीं, आप निश्चित रूप से इस नियम को जानते हैं, आप शायद इसका नाम भूल गए होंगे)।

कानून कहता है: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको प्रत्येक संख्या को इस संख्या से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा, दूसरे शब्दों में,।

आप रिवर्स ऑपरेशन भी कर सकते हैं, और यह रिवर्स ऑपरेशन है जो हमें रूचि देता है। जैसा कि नमूने से देखा जा सकता है, सामान्य कारक a को ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सकता है।

एक समान ऑपरेशन दोनों चर के साथ किया जा सकता है, जैसे और, उदाहरण के लिए, और संख्याओं के साथ:।

हां, यह बहुत प्राथमिक उदाहरण है, ठीक उसी तरह जैसे पहले दिए गए उदाहरण में, किसी संख्या के विस्तार के साथ, क्योंकि हर कोई जानता है कि संख्याएं क्या हैं, और किससे विभाज्य हैं, लेकिन क्या होगा यदि आपके पास एक अधिक जटिल अभिव्यक्ति है:

कैसे पता करें कि, उदाहरण के लिए, एक संख्या को विभाजित किया गया है, नहीं, कैलकुलेटर के साथ, कोई भी कर सकता है, लेकिन इसके बिना यह कमजोर है? और इसके लिए विभाज्यता के संकेत हैं, ये संकेत वास्तव में जानने योग्य हैं, वे आपको जल्दी से समझने में मदद करेंगे कि क्या सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर करना संभव है।

विभाज्यता के लक्षण

उन्हें याद रखना इतना मुश्किल नहीं है, सबसे अधिक संभावना है कि उनमें से ज्यादातर पहले से ही आपसे परिचित थे, और कुछ नई उपयोगी खोज होगी, तालिका में अधिक विवरण:

नोट: तालिका में 4 से विभाज्यता का चिह्न नहीं है। यदि अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो पूरी संख्या 4 से विभाज्य है।

अच्छा, आपको संकेत कैसा लगा? मैं आपको इसे याद रखने की सलाह देता हूं!

ठीक है, चलो अभिव्यक्ति पर वापस आते हैं, शायद इसे ब्रैकेट से बाहर ले जाएं और यह पर्याप्त है? नहीं, यह गणितज्ञों के लिए सरल बनाने की प्रथा है, इसलिए पूरी तरह से, जो कुछ भी निकाला गया है उसे बाहर निकालो!

और इसलिए, खिलाड़ी के साथ सब कुछ स्पष्ट है, लेकिन अभिव्यक्ति के संख्यात्मक भाग के बारे में क्या? दोनों संख्याएँ विषम हैं, इसलिए आप विभाजित नहीं कर सकते

आप विभाज्यता के चिह्न का उपयोग कर सकते हैं, अंकों का योग, और, जिनमें से संख्या शामिल है, बराबर है, और विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि यह विभाज्य है।

यह जानकर, आप सुरक्षित रूप से एक कॉलम में विभाजित कर सकते हैं, विभाजित करने के परिणामस्वरूप हमें मिलता है (विभाज्यता के संकेत काम में आए!)। इस प्रकार, हम संख्या को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं, जैसे y, और परिणामस्वरूप हमारे पास:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि सब कुछ सही ढंग से विघटित हो गया है, आप गुणन द्वारा विस्तार की जांच कर सकते हैं!

साथ ही, शक्ति भावों में सामान्य कारक को बाहर निकाला जा सकता है। यहाँ, उदाहरण के लिए, क्या आप सामान्य कारक देखते हैं?

इस अभिव्यक्ति के सभी सदस्यों के पास एक्स है - हम बाहर निकालते हैं, सभी को विभाजित किया जाता है - हम फिर से बाहर निकालते हैं, हम देखते हैं कि क्या हुआ: .

2. संक्षिप्त गुणन सूत्र

संक्षिप्त गुणन सूत्र पहले ही सिद्धांत में वर्णित किए जा चुके हैं, यदि आप शायद ही याद कर सकें कि यह क्या है, तो आपको उन्हें अपनी स्मृति में ताज़ा करना चाहिए।

ठीक है, अगर आप अपने आप को बहुत स्मार्ट मानते हैं और आप जानकारी के ऐसे बादल को पढ़ने के लिए बहुत आलसी हैं, तो बस पढ़ें, सूत्र देखें और तुरंत उदाहरण लें।

इस अपघटन का सार आपके सामने अभिव्यक्ति में कुछ निश्चित सूत्र को नोटिस करना है, इसे लागू करना और इस प्रकार कुछ और कुछ का उत्पाद प्राप्त करना है, यह सब अपघटन है। निम्नलिखित सूत्र हैं:

अब उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखण्ड करने का प्रयास करें:

और यहाँ वही है जो होना चाहिए था:

जैसा कि आपने देखा है, ये सूत्र गुणनखंडन का एक बहुत प्रभावी तरीका है, यह हमेशा उपयुक्त नहीं होता है, लेकिन यह बहुत उपयोगी हो सकता है!

3. ग्रुपिंग या ग्रुपिंग विधि

यहाँ आपके लिए एक और उदाहरण दिया गया है:

अच्छा, आप इसके साथ क्या करने जा रहे हैं? ऐसा लगता है कि यह किसी चीज से और में और किसी चीज से और में विभाज्य है

लेकिन आप सब कुछ एक साथ एक चीज़ में विभाजित नहीं कर सकते, ठीक है कोई सामान्य कारक नहीं है, किस चीज की तलाश नहीं करनी चाहिए, और इसे बिना फैक्टरिंग के छोड़ देना चाहिए?

यहाँ आपको सरलता दिखाने की आवश्यकता है, और इस सरलता का नाम समूहीकरण है!

इसका उपयोग तब किया जाता है जब सभी सदस्यों के सामान्य विभाजक नहीं होते हैं। ग्रुपिंग के लिए आपको चाहिए सामान्य विभाजक वाले शब्दों के समूह खोजेंऔर उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें ताकि प्रत्येक समूह से समान गुणक प्राप्त किया जा सके।

बेशक, स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करना आवश्यक नहीं है, लेकिन यह दृश्यता देता है, स्पष्टता के लिए, आप अभिव्यक्ति के अलग-अलग हिस्सों को कोष्ठक में ले सकते हैं, उन्हें जितना चाहें उतना डालना मना नहीं है, मुख्य बात यह नहीं है संकेतों को भ्रमित करें।

यह सब बहुत स्पष्ट नहीं है? मुझे एक उदाहरण के साथ समझाता हूँ:

एक बहुपद में - एक सदस्य रखें - सदस्य के बाद - हमें मिलता है

हम पहले दो शब्दों को एक साथ एक अलग कोष्ठक में समूहित करते हैं और तीसरे और चौथे शब्दों को उसी तरह समूहित करते हैं, ऋण चिह्न को कोष्ठक से बाहर छोड़ते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

और अब हम दो "ढेर" में से प्रत्येक को अलग-अलग देखते हैं जिसमें हमने कोष्ठक के साथ अभिव्यक्ति को तोड़ा है।

तरकीब यह है कि इसे ऐसे ढेरों में तोड़ दिया जाए जिससे सबसे बड़ा संभव गुणनखंड निकालना संभव हो, या, जैसा कि इस उदाहरण में है, सदस्यों को इस तरह से समूहित करने का प्रयास करें कि ढेरों से गुणकों को कोष्ठक से बाहर निकालने के बाद, हम कोष्ठक के अंदर समान भाव हैं।

दोनों कोष्ठकों से हम सदस्यों के सामान्य कारक निकालते हैं, पहले कोष्ठक से और दूसरे कोष्ठक से, हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन यह अपघटन नहीं है!

पीगधाअपघटन केवल गुणन ही रहना चाहिए, लेकिन अभी हमारे पास बहुपद को केवल दो भागों में विभाजित किया गया है ...

लेकिन! इस बहुपद का एक सामान्य कारक है। यह

ब्रैकेट के बाहर और हमें अंतिम उत्पाद मिलता है

बिंगो! जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही एक उत्पाद है और कोष्ठक के बाहर न तो जोड़ है और न ही घटाव, अपघटन पूरा हो गया है, क्योंकि हमारे पास कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए और कुछ नहीं है।

यह एक चमत्कार की तरह लग सकता है कि कोष्ठक से कारकों को निकालने के बाद, हमारे पास अभी भी कोष्ठक में वही भाव हैं, जो हमने फिर से कोष्ठक से निकाले हैं।

और यह बिल्कुल भी चमत्कार नहीं है, तथ्य यह है कि पाठ्यपुस्तकों और परीक्षा में उदाहरणों को विशेष रूप से इस तरह से बनाया गया है कि सरलीकरण के लिए कार्यों में अधिकांश भाव या गुणनउनके लिए सही दृष्टिकोण के साथ, वे आसानी से सरल हो जाते हैं और जब आप एक बटन दबाते हैं तो छतरी की तरह अचानक ढह जाते हैं, इसलिए प्रत्येक अभिव्यक्ति में उसी बटन को देखें।

कुछ मैं पछताता हूं, हमारे पास सरलीकरण के साथ क्या है? जटिल बहुपद ने एक सरल रूप ले लिया: .

सहमत हूँ, उतना भारी नहीं है जितना पहले हुआ करता था?

4. एक पूर्ण वर्ग का चयन।

कभी-कभी, संक्षिप्त गुणन (विषय को दोहराएं) के सूत्रों को लागू करने के लिए, मौजूदा बहुपद को इसके किसी एक पद को योग या दो शब्दों के अंतर के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है।

किस मामले में आपको यह करना है, आप उदाहरण से सीखेंगे:

इस रूप में एक बहुपद को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके विघटित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए। शायद पहली बार में यह आपके लिए स्पष्ट नहीं होगा कि किस शब्द को किसमें विभाजित करना है, लेकिन समय के साथ आप संक्षिप्त गुणन सूत्र देखना सीखेंगे, भले ही वे अपनी संपूर्णता में मौजूद न हों, और आप जल्दी से यह निर्धारित करेंगे कि यहां क्या गायब है पूर्ण सूत्र के लिए, लेकिन अभी के लिए - एक छात्र, अधिक सटीक रूप से एक स्कूली छात्र सीखें।

अंतर के वर्ग के पूर्ण सूत्र के लिए, यहाँ आपको इसकी आवश्यकता है। आइए तीसरे पद को एक अंतर के रूप में प्रस्तुत करते हैं, हम प्राप्त करते हैं: हम अंतर वर्ग सूत्र को कोष्ठक में अभिव्यक्ति के लिए लागू कर सकते हैं (वर्गों के अंतर से भ्रमित न हों!!!), हमारे पास है: , इस व्यंजक के लिए, हम वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू कर सकते हैं (स्क्वायर अंतर के साथ भ्रमित नहीं होना !!!), कल्पना करते हुए कि कैसे, हम प्राप्त करते हैं: .

एक अभिव्यक्ति जो हमेशा कारकों में शामिल नहीं होती है, वह अपघटन से पहले की तुलना में सरल और छोटी दिखती है, लेकिन इस रूप में यह अधिक मोबाइल हो जाती है, इस अर्थ में कि आप बदलते संकेतों और अन्य गणितीय बकवास के बारे में चिंता नहीं कर सकते। ठीक है, आपके लिए अपने दम पर निर्णय लेने के लिए, निम्नलिखित भावों को ध्यान में रखना होगा।

उदाहरण:

उत्तर:

5. वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन

वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंड के लिए, अपघटन उदाहरणों में नीचे देखें।

एक बहुपद का गुणनखण्ड करने की 5 विधियों के उदाहरण

1. कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना। उदाहरण।

क्या आपको याद है कि वितरण नियम क्या है? यह ऐसा नियम है:

उदाहरण:

एक बहुपद का गुणनखंडन करें।

समाधान:

एक और उदाहरण:

गुणा करें।

समाधान:

यदि पूरा पद कोष्ठक से निकाल दिया जाए तो एक उसके स्थान पर कोष्ठक में रह जाता है !

2. संक्षिप्त गुणन के सूत्र। उदाहरण।

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्र वर्गों का अंतर, घनों का अंतर और घनों का योग हैं। ये सूत्र याद हैं? यदि नहीं, तो विषय को तुरंत दोहराएं!

उदाहरण:

अभिव्यक्ति का कारक।

समाधान:

इस व्यंजक में, घनों के अंतर का पता लगाना आसान है:

उदाहरण:

समाधान:

3. ग्रुपिंग विधि। उदाहरण

कभी-कभी शर्तों को इस तरह से बदलना संभव होता है कि पड़ोसी शब्दों की प्रत्येक जोड़ी से एक और एक ही कारक निकाला जा सकता है। इस सामान्य भाजक को ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सकता है और मूल बहुपद एक उत्पाद में बदल जाएगा।

उदाहरण:

बहुपद का कारक निकालें।

समाधान:

हम शर्तों को इस प्रकार समूहित करते हैं:
.

पहले समूह में, हम कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकालते हैं, और दूसरे समूह में - :
.

अब उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से भी निकाला जा सकता है:
.

4. पूर्ण वर्ग के चयन की विधि। उदाहरण।

यदि बहुपद को दो भावों के वर्गों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो केवल संक्षिप्त गुणन सूत्र (वर्गों का अंतर) को लागू करना शेष रह जाता है।

उदाहरण:

बहुपद का कारक निकालें।

समाधान:उदाहरण:

\शुरू(सरणी)(*(35)(एल))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(वर्ग\ योग \ ((\बाएं (x+3 \दाएं))^(2)))-9-7=((\बाएं(x+3 \दाएं))^(2))-16= \\
=\बाएं (x+3+4 \दाएं)\बाएं (x+3-4 \दाएं)=\बाएं (x+7 \दाएं)\बाएं (x-1 \दाएं) \\
\ अंत (सरणी)

बहुपद का कारक निकालें।

समाधान:

\शुरू(सरणी)(*(35)(एल))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(वर्ग \ अंतर ((\बाएं(((x)^(2))-2 \दाएं))^(2)))-4-1=((\बाएं(((x)^) (2))-2 \दाईं))^(2))-5= \\
=\बाएं(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \दाएं)\बाएं(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \दाएं) \\
\ अंत (सरणी)

5. वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन। उदाहरण।

एक वर्ग ट्रिनोमियल फॉर्म का एक बहुपद है, जहां एक अज्ञात है, कुछ संख्याएं हैं, इसके अलावा।

वे चर मान जो वर्ग ट्रिनोमियल को शून्य में बदल देते हैं, ट्रिनोमियल की जड़ें कहलाती हैं। इसलिए, त्रिपद के मूल द्विघात समीकरण के मूल होते हैं।

प्रमेय।

उदाहरण:

आइए वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करें: .

सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं: अब हम इस वर्ग त्रिपद के गुणनखंड को गुणनखंडों में लिख सकते हैं:

अब आपकी राय...

हमने विस्तार से वर्णन किया है कि एक बहुपद का गुणनखंडन कैसे और क्यों किया जाता है।

हमने व्यवहार में इसे कैसे करना है, इसके कई उदाहरण दिए, नुकसान बताए, समाधान दिए ...

आप क्या कहते हैं?

आपको यह लेख कैसा लगा? क्या आप इन ट्रिक्स का इस्तेमाल करते हैं? क्या आप उनका सार समझते हैं?

टिप्पणियों में लिखें और... परीक्षा के लिए तैयार हो जाएं!

अब तक, यह आपके जीवन की सबसे महत्वपूर्ण बात है।

बड़ी संख्या का गुणनखण्ड करना कोई आसान काम नहीं है।अधिकांश लोगों को चार या पाँच अंकों की संख्याओं को विघटित करना कठिन लगता है। प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, दो कॉलमों के ऊपर संख्या लिखें।

• आइए संख्या 6552 का गुणनखंड करें।

किसी भी प्राकृतिक संख्या को प्रमुख कारकों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है। यदि आप 5733 जैसी बड़ी संख्याओं से निपटना पसंद नहीं करते हैं, तो जानें कि उन्हें प्रमुख कारकों में कैसे विभाजित किया जाए (इस मामले में, 3 x 3 x 7 x 7 x 13)। क्रिप्टोग्राफी में एक समान कार्य अक्सर सामने आता है, जो सूचना सुरक्षा समस्याओं से संबंधित है। यदि आप अपना स्वयं का सुरक्षित ईमेल सिस्टम बनाने के लिए तैयार नहीं हैं, तो पहले जानें कि संख्याओं को प्रमुख कारकों में कैसे विभाजित किया जाए।

कदम

भाग ---- पहला

1. मूल संख्या से प्रारंभ करें। 3 से बड़ी एक मिश्रित संख्या चुनें। अभाज्य संख्या लेने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह केवल स्वयं और एक से विभाज्य है।

   • उदाहरण: हम संख्या 24 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विघटित करते हैं।

2. आइए इस संख्या को दो कारकों के उत्पाद में विघटित करें।ऐसी दो छोटी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल मूल संख्या के बराबर हो। आप किसी भी गुणक का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ लेना आसान है। एक अच्छा तरीका यह है कि मूल संख्या को पहले 2 से विभाजित करने का प्रयास करें, फिर 3 से, फिर 5 से, और देखें कि यह किन अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है।

   • उदाहरण: यदि आप संख्या 24 के गुणनखंड नहीं जानते हैं, तो इसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाजित करने का प्रयास करें। अतः आप पाएंगे कि दी गई संख्या 2:24 = से विभाज्य है 2 x 12. यह एक अच्छी शुरुआत है।
   • चूँकि 2 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए सम संख्याओं का अपघटन करते समय इसका उपयोग करना अच्छा होता है।

3. गुणक वृक्ष का निर्माण शुरू करें।यह सरल प्रक्रिया आपको किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने में मदद करेगी। आरंभ करने के लिए, मूल संख्या से दो "शाखाएं" नीचे खींचें। प्रत्येक शाखा के अंत में, पाए गए गुणक लिखें।

   • उदाहरण:

4. संख्याओं की निम्न पंक्ति का गुणनखण्ड करें।दो नई संख्याओं (गुणक वृक्ष की दूसरी पंक्ति) पर एक नज़र डालें। क्या वे दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं? यदि उनमें से एक प्रधान नहीं है, तो इसे दो कारकों में विभाजित करें। दो और शाखाएँ बनाएँ और पेड़ की तीसरी पंक्ति में दो नए गुणक लिखें।

   • उदाहरण: 12 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसका गुणनखंड किया जाना चाहिए। हम अपघटन 12 = 2 x 6 का उपयोग करते हैं और इसे पेड़ की तीसरी पंक्ति में लिखते हैं:
   • 2x6

5. पेड़ के नीचे चलते रहो।यदि नए कारकों में से एक अभाज्य संख्या है, तो उसमें से एक "शाखा" बनाएं और उसी संख्या को उसके अंत में लिखें। अभाज्य संख्याएं छोटे कारकों में विघटित नहीं होती हैं, इसलिए उन्हें नीचे के स्तर पर स्थानांतरित करें।

   • उदाहरण: 2 एक अभाज्य संख्या है। बस 2 को दूसरी से तीसरी पंक्ति में ले जाएँ:
   • 2 2 6

6. जब तक आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ न रह जाएँ, तब तक संख्याओं का गुणनखंडन करते रहें।पेड़ की प्रत्येक नई पंक्ति की जाँच करें। यदि नए कारकों में से कम से कम एक अभाज्य संख्या नहीं है, तो इसका गुणनखंड करें और एक नई पंक्ति लिखें। अंत में, आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ रह जाएँगी।

   • उदाहरण: 6 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसका भी गुणनखंड किया जाना चाहिए। उसी समय, 2 एक अभाज्य संख्या है, और हम दो 2 को अगले स्तर तक ले जाते हैं:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. अंतिम पंक्ति को प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में लिखें।अंत में, आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ रह जाएँगी। जब ऐसा होता है, तो प्रधान गुणनखंड पूरा हो जाता है। अंतिम पंक्ति अभाज्य संख्याओं का एक समूह है जिसका गुणनफल मूल संख्या देता है।

   • अपने उत्तर की जाँच करें: अंतिम पंक्ति में संख्याओं का गुणा करें। परिणाम मूल संख्या होना चाहिए।
   • उदाहरण: कारक वृक्ष की अंतिम पंक्ति में संख्याएँ 2 और 3 हैं। ये दोनों संख्याएँ प्रधान हैं, इसलिए विस्तार पूर्ण है। इस प्रकार, संख्या 24 के प्रमुख कारकों में अपघटन के निम्नलिखित रूप हैं: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • गुणकों का क्रम मायने नहीं रखता। विस्तार को 2 x 3 x 2 x 2 के रूप में भी लिखा जा सकता है।

8. यदि आप चाहें तो पावर नोटेशन का उपयोग करके अपने उत्तर को सरल बना सकते हैं।यदि आप संख्याओं को एक घात तक बढ़ाने से परिचित हैं, तो आप अपने उत्तर को सरल तरीके से लिख सकते हैं। याद रखें कि आधार नीचे लिखा गया है, और सुपरस्क्रिप्ट संख्या दर्शाती है कि इस आधार को कितनी बार गुणा किया जाना चाहिए।

   • उदाहरण: 2 x 2 x 2 x 3 के पाए गए विस्तार में संख्या 2 कितनी बार प्रकट होती है? तीन बार, इसलिए व्यंजक 2 x 2 x 2 को 2 3 के रूप में लिखा जा सकता है। सरलीकृत अंकन में, हम प्राप्त करते हैं 23x3.

   भाग 2

   प्राइम फैक्टराइजेशन का उपयोग करना

   1. दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (GCD) वह अधिकतम संख्या है जिससे दोनों संख्याएँ शेष के बिना विभाज्य होती हैं। निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है कि 30 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए अभाज्य गुणनखंड का उपयोग कैसे करें।

      • आइए दोनों संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें। संख्या 30 के लिए, विस्तार 2 x 3 x 5 है। संख्या 36 को मुख्य कारकों में विभाजित किया गया है: 2 x 2 x 3 x 3।
      • वह संख्या ज्ञात कीजिए जो दोनों प्रसारों में आती है। हम इस संख्या को दोनों सूचियों में पार करते हैं और इसे एक नई पंक्ति में लिखते हैं। उदाहरण के लिए, 2 दो विस्तारों में आता है, इसलिए हम लिखते हैं 2 एक नई पंक्ति में। उसके बाद, हमारे पास 30 = 2 x 3 x 5 और 36 = 2 x 2 x 3 x 3 बचता है।
      • इस क्रिया को तब तक दोहराएं जब तक कि विस्तार में कोई सामान्य कारक न बचे। दोनों सूचियों में संख्या 3 भी शामिल है, इसलिए हम एक नई पंक्ति पर लिख सकते हैं 2 और 3 . उसके बाद, विस्तारों की फिर से तुलना करें: 30 = 2 x 3 x 5 और 36 = 2 x 2 x 3 x 3। जैसा कि आप देख सकते हैं, उनमें कोई उभयनिष्ठ कारक नहीं बचा है।
      • सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए, आपको सभी सामान्य कारकों का गुणनफल ज्ञात करना होगा। हमारे उदाहरण में, ये 2 और 3 हैं, इसलिए gcd 2 x 3 = है 6 . यह सबसे बड़ी संख्या है जिससे 30 और 36 संख्याएँ बिना शेषफल के विभाज्य हैं।

   2. GCD का उपयोग भिन्नों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।यदि आपको संदेह है कि अंश को कम किया जा सकता है, तो सबसे बड़े सामान्य विभाजक का उपयोग करें। अंश और हर का GCD ज्ञात करने के लिए उपरोक्त प्रक्रिया का उपयोग करें। फिर भिन्न के अंश और हर को उस संख्या से विभाजित करें। नतीजतन, आपको वही अंश सरल रूप में मिलेगा।

      • उदाहरण के लिए, 30/36 के अंश को सरल करते हैं। जैसा कि हमने ऊपर कहा, 30 और 36 के लिए जीसीडी 6 है, इसलिए हम अंश और हर को 6 से विभाजित करते हैं:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है क्योंकि यह सबसे छोटी संख्या है जो 2 और 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित अभाज्य गुणनखण्ड का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण है:

      • हम दो गुणनखण्डों से प्रधान गुणकों में प्रारंभ करते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 126 के लिए, विस्तार को 2 x 3 x 3 x 7 के रूप में लिखा जा सकता है। संख्या 84 को 2 x 2 x 3 x 7 के रूप में प्रमुख कारकों में विघटित किया गया है।
      • आइए तुलना करें कि विस्तार में प्रत्येक कारक कितनी बार होता है। वह सूची चुनें जहां गुणक अधिकतम बार आता है, और इस स्थान पर घेरा बनाएं। उदाहरण के लिए, संख्या 2 126 के विस्तार में एक बार और 84 के लिए सूची में दो बार आती है, इसलिए सर्कल करें 2x2दूसरी गुणक सूची में।
      • प्रत्येक गुणक के लिए इस क्रिया को दोहराएं। उदाहरण के लिए, 3 पहले विस्तार में अधिक बार आता है, इसलिए इसे सर्कल करें 3x3. संख्या 7 दोनों सूचियों में एक बार दिखाई देती है, इसलिए सर्कल करें 7 (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सी सूची में, यदि दिया गया कारक दोनों सूचियों में समान संख्या में होता है)।
      • लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, सभी वृत्त वाली संख्याओं का गुणा कीजिए। हमारे उदाहरण में, 126 और 84 का लघुत्तम समापवर्तक है 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. यह सबसे छोटी संख्या है जो बिना शेषफल के 126 और 84 से विभाज्य है।

   4. अंशों को जोड़ने के लिए एलसीएम का प्रयोग करें।दो अंशों को जोड़ते समय, आपको उन्हें एक सामान्य भाजक में लाने की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, दो हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। फिर प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इतनी संख्या से गुणा करें कि भिन्न के हर LCM के बराबर हो जाएँ। उसके बाद, आप अंशों को जोड़ सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, आपको 1/6 + 4/21 का योग ज्ञात करना है।
      • उपरोक्त विधि का उपयोग करके, आप 6 और 21 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कर सकते हैं। यह 42 के बराबर है।
      • चलिए अंश 1/6 को बदलते हैं ताकि इसका हर 42 हो। ऐसा करने के लिए, 42 को 6 से विभाजित करें: 42 ÷ 6 = 7। अब भिन्न के अंश और हर को 7 से गुणा करें: 1/6 x 7/7 = 7 /42.
      • दूसरे भिन्न को भाजक 42 पर लाने के लिए, 42 को 21 से विभाजित करें: 42 ÷ 21 = 2. भिन्न के अंश और हर को 2: 4/21 x 2/2 = 8/42 से गुणा करें।
      • अंशों को एक ही भाजक में कम करने के बाद, उन्हें आसानी से जोड़ा जा सकता है: 7/42 + 8/42 = 15/42।

क्या आपने "अभाज्य संख्याएँ" या "अभाज्य गुणनखंड" जैसे किसी शब्द का सामना किया है, लेकिन यह नहीं जानते कि यह क्या है? साथ ही, फिल्म उद्योग में प्राइम नंबर बहुत लोकप्रिय हैं, इसलिए उन्हें फिल्मों और टीवी शो में देखना असामान्य नहीं है। आइए जानें कि इस लेख में अभाज्य संख्याएँ क्या हैं!

प्रमुख संख्याएक सकारात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्या है जिसे केवल एक और स्वयं से विभाजित किया जा सकता है। वे संख्याएँ जिनमें दो से अधिक प्राकृतिक विभाजक होते हैं, मिश्रित होती हैं।

• उदाहरण 1: अभाज्य संख्या 7 को केवल 1 और 7 से विभाजित किया जा सकता है।
• उदाहरण 2: भाज्य संख्या 6 को 1, 2, 3, 6 से विभाजित किया जा सकता है।

100 तक की अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

अभाज्य संख्याएँ गणित में एक बहुत लोकप्रिय विषय हैं, और इसके साथ बड़ी संख्या में समस्याएँ, प्रमेय आदि जुड़े हुए हैं।

प्रधान कारणकारक हैं (उत्पाद के तत्व), जो अभाज्य संख्याएँ हैं। प्रमुख कारकों से जुड़े कई स्कूल असाइनमेंट हैं जो पुरानी पीढ़ी के लिए भी समस्याएँ पैदा कर सकते हैं।

संख्याओं का गुणनखंडन करें...

गणित में काफी लोकप्रिय समस्या। सबसे आम उदाहरण:

संख्या 27, 54, 56, 65, 99, 162, 625, 1000 के गैर-प्रमुख कारकों का विस्तार करें।सबसे पहले, यह कहा जाना चाहिए कि इस समस्या को हल करने में सबसे आम गलती यह है कि कारकों की संख्या इंगित नहीं की जाती है, उनमें से 2 जरूरी नहीं हैं! यदि आपने यह गलती की है, तो आप स्वयं कार्य को हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

उत्तर:

• 27 = 3 x 3 x 3
• 54 = 2 x 3 x 3 x 3
• 56 = 2 x 2 x 2 x 7
• 65 = 5 x 13
• 99 = 3 x 3 x 11
• 162 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3
• 625 = 5 x 5 x 5 x 5
• 1000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5

आइए संख्या 120 को प्रमुख कारकों में विघटित करें

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

फ़ैसला
आइए संख्या 120 का विस्तार करें

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
30: 2 = 15 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
15: 3 = 5
हम भाग पूरा करते हैं, क्योंकि 5 एक अभाज्य संख्या है

उत्तर: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5

आइए संख्या 246 को प्रमुख कारकों में विघटित करें

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

फ़ैसला
आइए संख्या 246 का विस्तार करें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हुए, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न हो जाए

246: 2 = 123 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
123: 3 = 41 अभाज्य संख्या 3 से विभाज्य है।
हम भाग पूरा करते हैं, क्योंकि 41 अभाज्य संख्याएँ हैं

उत्तर: 246 = 2∙ 3 ​​∙ 41

आइए संख्या 1463 को प्रमुख कारकों में विघटित करें

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

फ़ैसला
आइए संख्या 1463 का विस्तार करें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हुए, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न हो जाए

1463: 7 = 209 - अभाज्य संख्या 7 से विभाज्य है
209: 11 = 19
हम विभाजन को पूरा करते हैं, क्योंकि 19 एक अभाज्य संख्या है

उत्तर: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

आइए संख्या 1268 को प्रमुख कारकों में विघटित करें

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

फ़ैसला
आइए संख्या 1268 का विस्तार करें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हुए, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न हो जाए

1268: 2 = 634 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
634: 2 = 317 अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है।
हम भाग पूरा करते हैं, क्योंकि 317 एक अभाज्य संख्या है

उत्तर: 1268 = 2 2 317

आइए संख्या 442464 को प्रमुख कारकों में विघटित करें

442464

फ़ैसला
आइए संख्या 442464 का विस्तार करें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हुए, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न हो जाए

442464: 2 = 221232 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
221232: 2 = 110616 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
110616: 2 = 55308 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
55308: 2 = 27654 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
27654: 2 = 13827 - एक अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य है
13827: 3 = 4609 - एक अभाज्य संख्या 3 से विभाज्य है
4609: 11 = 419 अभाज्य संख्या 11 से विभाज्य है।
हम भाग पूरा करते हैं, क्योंकि 419 एक अभाज्य संख्या है

उत्तर: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419