Zadan je pravi kružni stožac s vrhom m. Tema: Pravi kružni stožac. Presjek stošca ravninama. Osnovno svojstvo elipse

Uvod

Relevantnost teme istraživanja. Konusne presjeke poznavali su već matematičari stare Grčke (na primjer, Menaechmus, 4. st. pr. Kr.); Uz pomoć ovih krivulja riješeni su neki konstrukcijski problemi (udvostručenje kocke i sl.), koji su se pokazali nedostupnima pri korištenju najjednostavnijih alata za crtanje - šestara i ravnala. U prvim istraživanjima koja su došla do nas, grčki geometri dobivali su konusne presjeke povlačenjem sječne ravnine okomito na jednu od generatrisa, a ovisno o kutu otvaranja na vrhu stošca (tj. najvećem kutu između generatrisa) jedne šupljine), pokazalo se da je sjecišna linija elipsa, ako je ovaj kut oštar, parabola ako je pravi kut, i hiperbola ako je tup. Najpotpunije djelo o ovim krivuljama bilo je Stožasti presjeci Apolonija iz Perge (oko 200. pr. Kr.). Daljnji napredak u teoriji stožastih presjeka povezan je sa stvaranjem u 17. stoljeću. nove geometrijske metode: projektivna (francuski matematičari J. Desargues, B. Pascal) i osobito koordinatna (francuski matematičari R. Descartes, P. Fermat).

Zanimanje za stožaste presjeke oduvijek je potkrijepljeno činjenicom da se te krivulje često nalaze u raznim prirodnim pojavama i ljudskom djelovanju. U znanosti su stožasti presjeci dobili osobitu važnost nakon što je njemački astronom I. Kepler iz promatranja otkrio, a engleski znanstvenik I. Newton teorijski potkrijepio zakone planetarnog gibanja, od kojih jedan kaže da se planeti i kometi Sunčeva sustava gibaju po konici. odjeljaka, u jednom iz čijeg je žarišta Sunce. Sljedeći primjeri odnose se na određene vrste stožastih presjeka: parabola je opisana projektilom ili kamenom bačenim koso prema horizontu (ispravan oblik krivulje donekle je iskrivljen zbog otpora zraka); neki mehanizmi koriste eliptične zupčanike ("eliptični zupčanici"); hiperbola služi kao graf obrnute proporcionalnosti, često promatrane u prirodi (na primjer, Boyle-Mariotteov zakon).

Cilj rada:

Izučavanje teorije konusnih presjeka.

Tema istraživanja:

Konusni presjeci.

Svrha studije:

Teorijski proučavati značajke koničnih presjeka.

Predmet proučavanja:

Konusni presjeci.

Predmet proučavanja:

Povijesni razvoj koničnih presjeka.

1. Oblikovanje konusnih presjeka i njihove vrste

Konusni presjeci su pravci koji nastaju u presjeku pravilnog kružnog stošca različitim ravninama.

Napominjemo da je stožasta ploha ploha nastala kretanjem pravca koji uvijek prolazi kroz fiksnu točku (vrh stošca) i stalno siječe fiksnu krivulju – vodilicu (u našem slučaju kružnicu).

Klasificiranjem ovih linija prema prirodi položaja reznih ravnina u odnosu na generatrise stošca, dobivaju se tri vrste krivulja:

I. Krivulje nastale presijecanjem stošca ravninama koje nisu paralelne ni s jednom od generatrisa. Takve krivulje bit će razne kružnice i elipse. Te se krivulje nazivaju eliptičke krivulje.

II. Krivulje formirane presjekom stošca ravninama od kojih je svaka paralelna s jednom od generatrisa stošca (slika 1 b). Samo će parabole biti takve krivulje.

III. Krivulje formirane presjekom stošca ravninama od kojih je svaka paralelna s neke dvije generatrise (slika 1 c). takve će krivulje biti hiperbole.

Više ne može postojati krivulja IV tipa, budući da ne može postojati ravnina paralelna s tri generatrise stošca odjednom, budući da nijedna tri generatrise samog stošca više ne leže u istoj ravnini.

Imajte na umu da se stožac može presjeći ravninama tako da presjek daje dvije ravne crte. Da biste to učinili, rezne ravnine moraju biti nacrtane kroz vrh konusa.

2. Elipsa

Za proučavanje svojstava konusnih presjeka važna su dva teoreme:

Teorem 1. Neka je dan ravni kružni stožac koji je raščlanjen ravninama b 1, b 2, b 3, okomitim na njegovu os. Tada su svi segmenti generatora stošca između bilo kojeg para kružnica (dobivenih u presjeku sa zadanim ravninama) međusobno jednaki, tj. A 1 B 1 = A 2 B 2 = itd. i B 1 C 1 = B 2 C 2 = itd. Teorem 2. Ako je zadana sferna ploha i neka točka S izvan nje, tada će tangente povučene iz točke S na sfernu plohu biti međusobno jednake, tj. SA 1 = SA 2 = SA 3, itd.

2.1 Osnovno svojstvo elipse

Raščlanimo ravni kružni stožac ravninom koja siječe sve njegove sastavnice. U presjeku dobijemo elipsu. Nacrtajmo ravninu okomitu na ravninu kroz os stošca.

Upišimo dvije kuglice u stožac tako da, smještene na suprotnim stranama ravnine i dodirujući stožastu plohu, svaka od njih u nekoj točki dodiruje ravninu.

Neka jedna kuglica dodirne ravninu u točki F 1 i dodirne stožac duž kružnice C 1, a druga u točki F 2 i dodirne stožac duž kružnice C 2.

Uzmimo proizvoljnu točku P na elipsi.

To znači da će svi zaključci izvedeni u vezi s njom vrijediti za bilo koju točku elipse. Nacrtajmo generatrisu OP stošca i označimo točke R 1 i R 2 u kojima dodiruje konstruirane kuglice.

Spojimo točku P s točkama F1 i F2. Tada je RF 1 =RR 1 i RF 2 =RR 2, budući da su RF 1, RR 1 tangente povučene iz točke P na jednu loptu, a RF 2, RR 2 su tangente povučene iz točke P na drugu loptu (Teorem 2 ). Zbrajajući obje jednakosti član po član, nalazimo

RF 1 + RF 2 = RR 1 + RR 2 = R 1 R 2 (1)

Ovaj odnos pokazuje da je zbroj udaljenosti (RF 1 i RF 2) proizvoljne točke P elipse do dviju točaka F 1 i F 2 konstantna vrijednost za danu elipsu (to jest, ne ovisi o položaj točke P na elipsi).

Točke F 1 i F 2 nazivaju se žarišta elipse. Točke u kojima pravac F 1 F 2 siječe elipsu nazivaju se vrhovi elipse. Isječak između vrhova naziva se velika os elipse.

Duljina segmenta generatrise R 1 R 2 jednaka je velikoj osi elipse. Tada se glavno svojstvo elipse formulira na sljedeći način: zbroj udaljenosti proizvoljne točke P elipse do njezinih žarišta F 1 i F 2 je konstantna vrijednost za danu elipsu, jednaka duljini njezine velike osi. .

Imajte na umu da ako se žarišta elipse podudaraju, tada je elipsa krug, tj. krug je poseban slučaj elipse.

2.2 Jednadžba elipse

Da bismo konstruirali jednadžbu elipse, elipsu moramo promatrati kao geometrijsko mjesto točaka koje imaju neko svojstvo koje karakterizira to geometrijsko mjesto. Uzmimo glavno svojstvo elipse kao njenu definiciju: Elipsa je geometrijsko mjesto točaka na ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F 2 ove ravnine, zvanih žarišta, konstantna vrijednost. jednaka duljini njegove velike osi.

Neka je duljina segmenta F 1 F 2 = 2c, a duljina velike osi jednaka 2a. Za izvođenje kanonske jednadžbe elipse odabiremo ishodište O kartezijevog koordinatnog sustava u sredini segmenta F 1 F 2 i usmjeravamo osi Ox i Oy kao što je prikazano na slici 5. (Ako se žarišta podudaraju, tada O se podudara s F 1 i F 2, a iza Ox osi može biti bilo koja os koja prolazi kroz O). Zatim u odabranom koordinatnom sustavu točke F 1 (c, 0) i F 2 (-c, 0). Očito je 2a>2c, tj. a>c. Neka je M(x, y) točka na ravnini koja pripada elipsi. Neka je MF 1 =r 1, MF 2 =r 2. Prema definiciji elipse, jednakost

r 1 +r 2 =2a (2) je nužan i dovoljan uvjet za položaj točke M (x, y) na zadanoj elipsi. Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka, dobivamo

r 1 =, r 2 =. Vratimo se jednakosti (2):

Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo je:

Smanjivanjem dobivamo:

Predstavljamo slične, smanjimo za 4 i uklonimo radikal:

Kvadratura

Otvorite zagrade i skratite na:

gdje dobivamo:

(a 2 -c 2) x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2). (3)

Primijetimo da je a 2 -c 2 >0. Doista, r 1 +r 2 je zbroj dviju stranica trokuta F 1 MF 2, a F 1 F 2 njegova je treća stranica. Prema tome, r 1 +r 2 > F 1 F 2, odnosno 2a>2c, tj. a>c. Označimo a 2 -c 2 =b 2. Jednadžba (3) će izgledati ovako: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Provedimo transformaciju koja dovodi jednadžbu elipse u kanonski (doslovno: uzet kao model) oblik, naime, podijelimo obje strane jednadžbe s a 2 b 2:

(4) - kanonska jednadžba elipse.

Budući da je jednadžba (4) algebarska posljedica jednadžbe (2*), x i y koordinate bilo koje točke M elipse također će zadovoljiti jednadžbu (4). Budući da se tijekom algebarskih transformacija povezanih s uklanjanjem radikala mogu pojaviti "dodatni korijeni", potrebno je osigurati da se bilo koja točka M, čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (4), nalazi na ovoj elipsi. Da biste to učinili, dovoljno je dokazati da vrijednosti r 1 i r 2 za svaku točku zadovoljavaju odnos (2). Dakle, neka x i y koordinate točke M zadovoljavaju jednadžbu (4). Zamjenom vrijednosti y 2 iz (4) u izraz r 1, nakon jednostavnih transformacija nalazimo da je r 1 =. Budući da je tada r 1 =. Na potpuno isti način nalazimo da je r 2 =. Dakle, za razmatranu točku M r 1 =, r 2 =, tj. r 1 +r 2 =2a, pa se točka M nalazi na elipsi. Veličine a i b nazivamo velikom odnosno malom poluosom elipse.

2.3 Proučavanje oblika elipse pomoću njezine jednadžbe

Odredimo oblik elipse pomoću njezine kanonske jednadžbe.

1. Jednadžba (4) sadrži x i y samo u parnim potencijama, pa ako točka (x, y) pripada elipsi, tada sadrži i točke (x, - y), (-x, y), (- x, - y). Slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na osi Ox i Oy, kao i u odnosu na točku O (0,0), koja se naziva središtem elipse.

2. Odredite sjecišta elipse s koordinatnim osima. Postavivši y=0, nalazimo dvije točke A 1 (a, 0) i A 2 (-a, 0), u kojima os Ox siječe elipsu. Stavljajući x=0 u jednadžbu (4), nalazimo točke presjeka elipse s osi Oy: B 1 (0, b) i. B 2 (0, - b) Točke A 1, A 2, B 1, B 2 nazivamo vrhovima elipse.

3. Iz jednadžbe (4) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedinicu, tj. odvijaju se nejednakosti i ili i. Prema tome, sve točke elipse leže unutar pravokutnika kojeg čine ravne linije.

4. U jednadžbi (4) zbroj nenegativnih članova i jednak je jedan. Prema tome, kako se jedan član povećava, drugi će se smanjivati, tj. ako x raste, onda se y smanjuje i obrnuto.

Iz navedenog proizlazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 6 (ovalna zatvorena krivulja).

Imajte na umu da ako je a = b, tada će jednadžba (4) imati oblik x 2 + y 2 = a 2 . Ovo je jednadžba kruga. Elipsa se može dobiti iz kruga polumjera a ako se sabije faktorom duž osi Oy. S takvom kompresijom, točka (x; y) će se pomaknuti u točku (x; y 1), gdje. Zamjenom kružnica u jednadžbu dobivamo jednadžbu elipse: .

Uvedimo još jednu veličinu koja karakterizira oblik elipse.

Ekscentricitet elipse je omjer žarišne duljine 2c i duljine 2a njezine velike osi.

Ekscentricitet se obično označava e: e=Pošto c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Iz posljednje jednakosti lako je dobiti geometrijsku interpretaciju ekscentriciteta elipse. Kada su vrlo mali, brojevi a i b su gotovo jednaki, odnosno elipsa je blizu kruga. Ako je blizu jedan, tada je broj b vrlo malen u usporedbi s brojem a i elipsa je jako izdužena duž velike osi. Dakle, ekscentricitet elipse karakterizira mjeru izduženja elipse.

3. Hiperbola

3.1 Glavno svojstvo hiperbole

Proučavanjem hiperbole korištenjem konstrukcija sličnih onima koje se koriste za proučavanje elipse, otkrit ćemo da hiperbola ima svojstva slična onima elipse.

Presjecimo ravni kružni stožac kojemu ravnina b siječe obje ravnine, tj. paralelno sa svoja dva generatora. Presjek će rezultirati hiperbolom. Povucimo ravninu ASB kroz os ST stošca, okomitu na ravninu b.

Upišimo dvije kuglice u stožac - jednu u jednu njegovu šupljinu, drugu u drugu, tako da svaka od njih dodiruje stožastu plohu i sekantičnu ravninu. Neka prva kuglica dodirne ravninu b u točki F 1 i dodirne stožastu plohu duž kružnice U´V´. Neka druga kuglica dodiruje ravninu b u točki F 2 i dodiruje stožastu plohu duž kružnice UV.

Odaberimo na hiperboli proizvoljnu točku M. Kroz nju nacrtajmo generatrisu stošca MS i označimo točke d i D u kojima on dodiruje prvu i drugu kuglu. Spojimo točku M s točkama F 1, F 2 koje ćemo zvati žarištima hiperbole. Tada je MF 1 =Md, budući da su oba segmenta tangenta na prvu loptu, povučenu iz točke M. Slično, MF 2 =MD. Oduzimajući drugi član po član jednakosti od prvog, nalazimo

MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,

gdje je dD konstantna vrijednost (kao generator stošca s bazama U´V´ i UV), neovisno o izboru točke M na hiperboli. Označimo s P i Q točke u kojima pravac F 1 F 2 siječe hiperbolu. Te točke P i Q nazivamo vrhovima hiperbole. Isječak PQ naziva se realna os hiperbole. U kolegiju elementarne geometrije dokazano je dD=PQ. Stoga je MF 1 -MF 2 =PQ.

Ako se točka M nalazi na grani hiperbole blizu koje se nalazi žarište F 1, tada je MF 2 -MF 1 = PQ. Tada konačno dobivamo MF 1 -MF 2 =PQ.

Modul razlike udaljenosti proizvoljne točke M hiperbole od njezinih žarišta F 1 i F 2 konstantna je vrijednost jednaka duljini realne osi hiperbole.

3.2 Jednadžba hiperbole

Uzmimo glavno svojstvo hiperbole kao njezinu definiciju: Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka na ravnini za koje je modul razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F 2 ove ravnine, zvanih žarišta, jednak konstantna vrijednost jednaka duljini njegove realne osi.

Neka je duljina segmenta F 1 F 2 = 2c, a duljina realne osi jednaka 2a. Za izvođenje kanonske jednadžbe hiperbole odabiremo ishodište O kartezijevog koordinatnog sustava u sredini segmenta F 1 F 2 i usmjeravamo osi Ox i Oy kao što je prikazano na slici 5. Zatim u odabranom koordinatnom sustavu točke F 1 (c, 0) i F2 (-s, 0). Očito 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2a (5) je nužan i dovoljan uvjet za položaj točke M (x, y) na zadanoj hiperboli. Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka, dobivamo

r 1 =, r 2 =. Vratimo se jednakosti (5):

Kvadrirajmo obje strane jednakosti

(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2

Smanjivanjem dobivamo:

2 xc=4a 2 ±4a-2 xc

±4a=4a 2 -4 xc

a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)

Primijetimo da uz 2 -a 2 >0. Označimo c 2 -a 2 =b 2 . Jednadžba (6) će izgledati ovako: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Izvršimo transformaciju koja dovodi jednadžbu hiperbole u kanonski oblik, naime obje strane jednadžbe podijelimo s a 2 b 2: (7) - kanonske jednadžbe hiperbole, veličine a i b su realna, odnosno imaginarna poluos hiperbole.

Moramo paziti da jednadžba (7), dobivena algebarskim transformacijama jednadžbe (5*), ne dobije nove korijene. Da biste to učinili, dovoljno je dokazati da za svaku točku M, čije koordinate x i y zadovoljavaju jednadžbu (7), vrijednosti r 1 i r 2 zadovoljavaju odnos (5). Provodeći argumente slične onima prilikom izvođenja formule elipse, nalazimo sljedeće izraze za r 1 i r 2:

Dakle, za točku M koju razmatramo imamo r 1 -r 2 =2a, pa se stoga ona nalazi na hiperboli.

3.3 Proučavanje jednadžbe hiperbole

Pokušajmo sada, na temelju razmatranja jednadžbe (7), steći predodžbu o lokaciji hiperbole.
1. Prije svega, jednadžba (7) pokazuje da je hiperbola simetrična oko obje osi. To se objašnjava činjenicom da jednadžba krivulje uključuje samo parne potencije koordinata. 2. Označimo sada područje ravnine gdje će ležati krivulja. Jednadžba hiperbole, riješena u odnosu na y, ima oblik:

To pokazuje da y postoji uvijek kada je x 2? a 2. Znači li to da na x? a i za x? - a ordinata y će biti realna, a za - a

Nadalje, kako x raste (a a je veći), ordinata y će također rasti cijelo vrijeme (osobito, odavde je jasno da krivulja ne može biti valovita, tj. takva da kako apscisa x raste, ordinata y povećava ili smanjuje) .

H. Središte hiperbole je točka u odnosu na koju svaka točka hiperbole ima točku na sebi koja je sama sebi simetrična. Točka O(0,0), ishodište, kao i za elipsu, je središte hiperbole definirane kanonskom jednadžbom. To znači da svaka točka hiperbole ima simetričnu točku na hiperboli u odnosu na točku O. To proizlazi iz simetrije hiperbole u odnosu na osi Ox i Oy. Svaka tetiva hiperbole koja prolazi kroz središte naziva se promjer hiperbole.

4. Točke presjeka hiperbole s pravcem na kojem leže njezini fokusi nazivaju se vrhovi hiperbole, a odsječak između njih naziva se realna os hiperbole. U ovom slučaju, prava os je Ox os. Imajte na umu da se prava os hiperbole često naziva i segment 2a i sama pravac (Ox os) na kojoj ona leži.

Nađimo sjecišne točke hiperbole s osi Oy. Jednadžba za os Oy je x=0. Zamjenom x = 0 u jednadžbu (7) nalazimo da hiperbola nema točaka sjecišta s osi Oy. To je i razumljivo jer u traci širine 2a koja pokriva os Oy nema točaka hiperbole.

Pravac koji je okomit na realnu os hiperbole i prolazi kroz njezino središte naziva se zamišljena os hiperbole. U ovom slučaju, ona se poklapa s osi Oy. Dakle, nazivnici članova s ​​x 2 i y 2 u jednadžbi hiperbole (7) sadrže kvadrate realne i imaginarne poluosi hiperbole.

5. Hiperbola siječe pravac y = kx u točki k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Dokaz

Za određivanje koordinata točaka sjecišta hiperbole i pravca y = kx potrebno je riješiti sustav jednadžbi

Eliminirajući y, dobivamo

ili Za b 2 -k 2 a 2 0 tj. za k rezultirajuća jednadžba, a time i sustav, nema rješenja.

Pravci s jednadžbama y= i y= nazivaju se asimptote hiperbole.

Za b 2 -k 2 a 2 >0, odnosno za k< система имеет два решения:

Prema tome, svaka ravna linija koja prolazi kroz ishodište, s nagibom k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Optičko svojstvo hiperbole: optičke zrake koje izlaze iz jednog žarišta hiperbole, reflektiraju se od njega, izgleda kao da izlaze iz drugog žarišta.

Ekscentricitet hiperbole je omjer žarišne duljine 2c i duljine 2a njezine stvarne osi? = Kako je c > a, onda je e > 1, što znači da su žarišta hiperbole, kao i u slučaju elipse, nalazi unutar krivulje,
oni. sa strane njegove konkavnosti.

3.4 Konjugirana hiperbola

Uz hiperbolu (7) razmatra se i njoj konjugirana tzv. Konjugirana hiperbola definirana je kanonskom jednadžbom.

Na sl. 10 prikazuje hiperbolu (7) i njezinu konjugiranu hiperbolu. Konjugirana hiperbola ima iste asimptote kao navedena, ali F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Osnovno svojstvo parabole

Utvrdimo osnovna svojstva parabole. Presjecimo ravni kružni stožac s vrhom S ravninom paralelnom s jednom od njegovih tvornica. U presjeku dobijemo parabolu. Povucimo ravninu ASB kroz os ST stošca, okomitu na ravninu (slika 11). Generatrisa SA koja u njoj leži bit će paralelna s ravninom. Upišimo u stožac sfernu plohu koja je tangentna na stožac duž kružnice UV i tangira na ravninu u točki F. Povucimo ravnu crtu kroz točku F paralelnu s generatrisom SA. Označimo točku njezina sjecišta s generatrisom SB s P. Točku F nazivamo žarištem parabole, točku P njezinim vrhom, a pravac PF koji prolazi kroz tjeme i žarište (a paralelan je s generatrisom SA). ) naziva se os parabole. Parabola neće imati drugi vrh - točku presjeka PF osi sa SA generatrixom: ova točka "ide u beskonačnost". Nazovimo direktrisom (u prijevodu “vodilica”) pravac q 1 q 2 presjeka ravnine s ravninom u kojoj leži kružnica UV. Uzmimo proizvoljnu točku M na paraboli i spojimo je s vrhom stošca S. Pravac MS dodiruje kuglicu u točki D koja leži na kružnici UV. Spojimo točku M sa žarištem F i spustimo okomicu MK iz točke M na direktrisu. Tada se ispostavlja da su udaljenosti proizvoljne točke M parabole do žarišta (MF) i direktrise (MK) međusobno jednake (glavno svojstvo parabole), tj. MF=MK.

Dokaz: MF=MD (kao tangente na loptu iz jedne točke). Označimo kut između bilo koje generatrise stošca i ST osi kao c. Projicirajmo segmente MD i MK na ST os. Segment MD čini projekciju na os ST jednaku MDcosc, budući da MD leži na generatrisi stošca; segment MK čini projekciju na os ST jednaku MKsosc, budući da je segment MK paralelan s generatrisom SA. (Uistinu, direktrisa q 1 q 1 je okomita na ravninu ASB. Prema tome, pravac PF siječe direktrisu u točki L pod pravim kutom. Ali pravci MK i PF leže u istoj ravnini, a MK je također okomito na direktrisu). Projekcije oba segmenta MK i MD na os ST jednake su jedna drugoj, jer je jedan od njihovih krajeva - točka M - zajednički, a druga dva D i K leže u ravnini okomitoj na os ST (sl.) . Tada je MDcosc = MKcosc ili MD = MK. Prema tome, MF=MK.

Svojstvo 1.(Svojstvo žarišta parabole).

Udaljenost od bilo koje točke parabole do sredine glavne tetive jednaka je njezinoj udaljenosti od direktrise.

Dokaz.

Točka F je sjecište ravne linije QR i glavne tetive. Ta točka leži na osi simetrije Oy. Doista, trokuti RNQ i ROF su jednaki, kao pravokutni trokuti

trokuti s ranjenim kracima (NQ=OF, OR=RN). Stoga, bez obzira koju točku N uzmemo, pravac QR sastavljen iz nje siječe glavnu tetivu u središtu F. Sada je jasno da je trokut FMQ jednakokračan. Doista, segment MR je i središnja i visina ovog trokuta. Slijedi da je MF=MQ.

Svojstvo 2.(Optičko svojstvo parabole).

Svaka tangenta na parabolu čini jednake kutove sa žarišnim polumjerom povučenim na točku dodirivanja i zrakom koja prolazi iz točke dodirivanja i kodirekcijska je s osi (ili će zrake koje izlaze iz jednog žarišta, reflektirane od parabole, ići paralelno prema osi).

Dokaz. Za točku N koja leži na samoj paraboli vrijedi jednakost |FN|=|NH|, a za točku N" koja leži u unutarnjem području parabole |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, odnosno točka M" leži u vanjskom području parabole. Dakle, cijela pravac l, osim točke M, leži u vanjskom području, odnosno unutarnje područje parabole leži s jedne strane l, što znači da je l tangenta na parabolu. Ovo daje dokaz optičkog svojstva parabole: kut 1 jednak je kutu 2, jer je l simetrala kuta FMC.

4.2 Jednadžba parabole

Na temelju glavnog svojstva parabole formuliramo njezinu definiciju: parabola je skup svih točaka ravnine, od kojih je svaka jednako udaljena od dane točke, koja se naziva žarište, i dane ravne crte, koja se naziva direktrisa . Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se s p (p > 0).

Za izvođenje jednadžbe parabole odabiremo koordinatni sustav Oxy tako da os Ox prolazi kroz žarište F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise prema F, a ishodište koordinata O nalazi se u sredini između fokus i direktrisa (slika 12). U odabranom sustavu žarište je F(, 0), a jednadžba direktrise ima oblik x = -, odnosno x + = 0. Neka je m (x, y) proizvoljna točka parabole. Spojimo točku M s F. Nacrtaj dužinu MH okomito na direktrisu. Prema definiciji parabole MF = MN. Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka nalazimo:

Stoga, kvadrirajući obje strane jednadžbe, dobivamo

oni. (8) Jednadžba (8) se zove kanonska jednadžba parabole.

4.3 Proučavanje oblika parabole pomoću njezine jednadžbe

1. U jednadžbi (8) varijabla y pojavljuje se u parnom stupnju, što znači da je parabola simetrična u odnosu na os Ox; Ox os je os simetrije parabole.

2. Kako je c > 0, iz (8) slijedi x>0. Prema tome, parabola se nalazi desno od osi Oy.

3. Neka je x = 0, tada je y = 0. Dakle, parabola prolazi kroz ishodište.

4. Kako x raste neograničeno, modul y također raste neograničeno. Parabola y 2 =2 px ima oblik (oblik) prikazan na slici 13. Točku O (0; 0) nazivamo vrhom parabole, segment FM = r nazivamo žarišnim radijusom točke M. Jednadžbe y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) također definiraju parabole.

1.5. Usmjereno svojstvo konusnih presjeka .

Ovdje ćemo dokazati da se svaki nekružni (nedegenerirani) stožasti presjek može definirati kao skup točaka M tako da je omjer udaljenosti MF od fiksne točke F i udaljenosti MP od fiksne linije d koja ne prolazi kroz točka F jednaka je konstantnoj vrijednosti e: gdje je F - žarište konusnog presjeka, pravac d je direktrisa, a omjer e je ekscentricitet. (Ako točka F pripada liniji d, tada uvjet definira skup točaka koji je par pravaca, tj. degenerirani stožasti presjek; za e = 1, taj se par linija stapa u jednu liniju. Da bismo to dokazali, razmotrimo stožac formiran rotiranjem pravca l oko pravca p koji ga siječe u točki O i čini kut b s l< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Upišimo u stožac kuglicu K koja dodiruje ravninu p u točki F i dodiruje stožac duž kružnice S. Sjecište ravnine p s ravninom y kružnice S označavamo s d.

Spojimo sada proizvoljnu točku M koja leži na pravcu A sjecišta ravnine p i stošca s vrhom O stošca i s točkom F i spustimo okomicu MP iz M na ravninu d; Označimo s E i točku presjeka generatrise MO stošca s kružnicom S.

U ovom slučaju je MF = ME, kao odsječci dviju tangenti na loptu K povučene iz jedne točke M.

Nadalje, segment ME tvori konstantan kut b s osi p stošca (to jest, neovisno o izboru točke M), a segment MP tvori konstantni kut c; stoga su projekcije ova dva segmenta na p os redom jednake ME cos b i MP cos c.

Ali te se projekcije podudaraju, budući da segmenti ME i MP imaju zajedničko ishodište M, a njihovi krajevi leže u ravnini y okomitoj na os p.

Dakle, ME cos b = MP cos c, ili, kako je ME = MF, MF cos b = MP cos c, iz čega slijedi da

Također je lako pokazati da ako točka M ravnine p ne pripada stošcu, tada. Dakle, svaki odjeljak desnog kružnog stošca može se opisati kao skup točaka na ravnini za koje. S druge strane, promjenom vrijednosti kutova b i c, možemo dati ekscentričnosti bilo koju vrijednost e > 0; nadalje, iz razmatranja sličnosti nije teško razumjeti da je udaljenost FQ od fokusa do direktrise izravno proporcionalna polumjeru r lopte K (ili udaljenosti d ravnine p od vrha O kuglice konus). Može se pokazati da, stoga, odabirom udaljenosti d na odgovarajući način, udaljenosti FQ možemo dati bilo koju vrijednost. Prema tome, svaki skup točaka M za koje omjer udaljenosti od M do fiksne točke F i do fiksne ravne linije d ima konstantnu vrijednost može se opisati kao krivulja dobivena u presjeku pravog kružnog stošca ravninom . Dakle, dokazano je da se (nedegenerirani) konusni presjeci također mogu definirati svojstvom koje se razmatra u ovom paragrafu.

Ovo svojstvo konusnih presjeka nazivamo im direktorsko vlasništvo. Jasno je da ako je c > b, onda je e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. S druge strane, lako je vidjeti da ako je β > b, tada ravnina p siječe stožac po zatvorenoj omeđenoj liniji; ako je β = b, tada ravnina p siječe stožac po neograničenoj liniji; ako u< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Konusni presjek za koji e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 naziva se hiperbola. Elipse također uključuju krug, koji se ne može odrediti svojstvom direktorija; budući da za krug omjer postaje 0 (budući da je u ovom slučaju β = 90ê), konvencionalno se smatra da je krug stožasti presjek s ekscentričnosti 0.

6. Elipsa, hiperbola i parabola kao stožasti presjeci

konični presjek elipsa hiperbola

Starogrčki matematičar Menaekmus, koji je otkrio elipsu, hiperbolu i parabolu, definirao ih je kao presjeke kružnog stošca ravninom okomitom na jednu od generatrisa. Dobivene krivulje nazvao je presjecima šiljastih, pravokutnih i tupih stožaca, ovisno o osnom kutu stošca. Prva je, kao što ćemo vidjeti u nastavku, elipsa, druga je parabola, treća je jedna grana hiperbole. Nazive "elipsa", "hiperbola" i "parabola" uveo je Apolonije. Gotovo u potpunosti (7 od 8 knjiga) Apolonijevo djelo "O konusnim presjecima" dospjelo je do nas. U ovom radu Apollonius razmatra obje polovice stošca i siječe stožac ravninama koje nisu nužno okomite na jednu od generatrisa.

Teorema. Presijecanjem bilo kojeg ravnog kružnog stošca ravninom (ne prolazi kroz njegov vrh) određuje se krivulja koja može biti samo hiperbola (sl. 4), parabola (sl. 5) ili elipsa (sl. 6). Štoviše, ako ravnina siječe samo jednu ravninu stošca i duž zatvorene krivulje, tada je ta krivulja elipsa; ako ravnina siječe samo jednu ravninu duž otvorene krivulje, tada je ta krivulja parabola; ako rezna ravnina siječe obje ravnine stošca, tada u presjeku nastaje hiperbola.

Elegantan dokaz ovog teorema predložio je 1822. Dandelin, koji je koristio sfere koje se danas obično nazivaju Dandelinove sfere. Razmotrimo ovaj dokaz.

Upišimo u stožac dvije sfere koje s različitih strana dodiruju presječnu ravninu P. Označimo s F1 i F2 dodirne točke te ravnine s kuglama. Uzmimo proizvoljnu točku M na presjeku stošca ravninom P. Označimo na generatrisi stošca koja prolazi kroz M točke P1 i P2 koje leže na kružnicama k1 i k2 po kojima sfere dodiruju stožac.

Jasno je da je MF1=MP1 kao segmenti dviju tangenti na prvu sferu koja izlazi iz M; slično, MF2=MP2. Prema tome, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = R1R2. Duljina segmenta P1P2 jednaka je za sve točke M našeg presjeka: to je generatriksa krnjeg stošca, ograničenog paralelnim ravninama 1 i 11, u kojima leže kružnice k1 i k2. Prema tome, pravac presjeka stošca ravninom P je elipsa sa žarištima F1 i F2. Valjanost ovog teorema također se može utvrditi na temelju općeg stava da je sjecište plohe drugog reda s ravninom pravac drugog reda.

Književnost

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometrija. U 2 dijela 1. dio Udžbenik za studente fizike i matematike. ped. U - drug-M.: Prosvjetljenje, 1986.

2. Bazylev V.T. i dr. Geometrija. Udžbenik priručnik za studente 1. godine fizike. - mat. fak-tov ped. u. - Drug-M.: Prosvjetljenje, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometrija. Udžbenik za 7-11 razrede. prosj. škola - 4. izd. - M.: Obrazovanje, 1993.

4. Povijest matematike od antičkog doba do početka 19. stoljeća. Juškevič A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Optička svojstva elipse, hiperbole i parabole. // Quantum. - 1975. - br.12. - Sa. 19 - 23 (izvorni znanstveni rad, znanstveni).

6. Efremov N.V. Kratki tečaj analitičke geometrije. - M: Znanost, 6. izdanje, 1967. - 267 str.

Slični dokumenti

Pojam konusnih presjeka. Konusni presjeci su sjecišta ravnina i stožaca. Vrste konusnih presjeka. Konstrukcija konusnih presjeka. Konusni presjek je geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavaju jednadžbu drugog reda.

sažetak, dodan 05.10.2008


"Konični presjeci" Apolonija. Izvođenje jednadžbe krivulje za presjek pravokutnog stošca rotacije. Izvod jednadžbe za parabolu, za elipsu i hiperbolu. Invarijantnost konusnih presjeka. Daljnji razvoj teorije stožastih presjeka u Apolonijevim djelima.

sažetak, dodan 04.02.2010


Pojam i povijesna pozadina stošca, karakteristike njegovih elemenata. Značajke oblikovanja stošca i vrste konusnih presjeka. Konstrukcija Dandelinove sfere i njeni parametri. Primjena svojstava konusnih presjeka. Proračuni površina stošca.

prezentacija, dodano 08.04.2012


Matematički koncept krivulje. Opća jednadžba krivulje drugog reda. Jednadžbe kruga, elipse, hiperbole i parabole. Osi simetrije hiperbole. Proučavanje oblika parabole. Krivulje trećeg i četvrtog reda. Anesi uvojak, kartezijanski list.

diplomski rad, dodan 14.10.2011


Pregled i značajke različitih metoda konstruiranja presjeka poliedra, određivanje njihovih prednosti i nedostataka. Metoda pomoćnih presjeka kao univerzalna metoda za konstruiranje presjeka poliedara. Primjeri rješavanja zadataka na temu istraživanja.

prezentacija, dodano 19.01.2014


Opća jednadžba krivulje drugog reda. Sastavljanje jednadžbi elipse, kružnice, hiperbole i parabole. Ekscentricitet hiperbole. Fokus i direktrisa parabole. Transformacija opće jednadžbe u kanonski oblik. Ovisnost vrste krivulje o invarijantama.

prezentacija, dodano 10.11.2014


Elementi geometrije trokuta: izogonalna i izotomska konjugacija, istaknute točke i linije. Konike pridružene trokutu: svojstva konika; konike opisane oko trokuta i u njega upisane; primjena za rješavanje problema.

kolegij, dodan 17.06.2012


Elipsa, hiperbola, parabola kao krivulje drugog reda koje se koriste u višoj matematici. Pojam krivulje drugog reda je pravac na ravnini, koji je u nekom Kartezijevom koordinatnom sustavu određen jednadžbom. Pascampleov teorem i Brianchonov teorem.

sažetak, dodan 26.01.2011


O podrijetlu problema udvostručenja kocke (jednog od pet poznatih problema antike). Prvi poznati pokušaj rješavanja problema je rješenje Arhita iz Tarenta. Rješavanje problema u staroj Grčkoj nakon Arhita. Rješenja pomoću koničnih presjeka Menehma i Eratostena.

sažetak, dodan 13.04.2014


Glavne vrste konusnih presjeka. Odsjek koji čini ravnina koja prolazi kroz os stošca (aksijalno) i kroz njegov vrh (trokut). Formiranje presjeka ravninom paralelnom (parabola), okomitom (kružnica) i neokomitom (elipsa) na os.

V cilindar = S glavni. ∙h

Primjer 2. Zadan je pravi kružni stožac ABC, jednakostraničan, BO = 10. Nađi obujam stošca.

Riješenje

Nađimo radijus baze stošca. C=60 0, B=30 0,

Neka je OS = A, tada je BC = 2 A. Prema Pitagorinoj teoremi:

Odgovor: .

Primjer 3. Izračunajte obujme figura nastalih rotirajućim površinama omeđenim naznačenim crtama.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Integracijske granice a = 0, b = 4.

V= | =32π

Zadaci

opcija 1

1. Osni presjek valjka je kvadrat čija je dijagonala 4 dm. Nađi obujam cilindra.

2. Vanjski promjer šuplje lopte je 18 cm, debljina stijenki je 3 cm.Nađi volumen stijenki lopte.

x lik omeđen linijama y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

opcija 2

1. Polumjeri triju kuglica su 6 cm, 8 cm, 10 cm Odredi polumjer lopte čiji je volumen jednak zbroju volumena tih kuglica.

2. Osnovna površina stošca je 9 cm 2, njegova ukupna površina je 24 cm 2. Nađi obujam stošca.

3. Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom oko O osi x lik omeđen linijama y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Kontrolna pitanja:

1. Napiši svojstva volumena tijela.

2. Napišite formulu za izračun obujma rotacijskog tijela oko osi Oy.

Neka je dan pravi kružni cilindar čija je horizontalna ravnina projekcije paralelna s njegovom bazom. Kad je valjak presječen ravninom u općem položaju (pretpostavljamo da ravnina ne siječe osnovice valjka), sjecišna linija je elipsa, sam presjek ima oblik elipse, njegova horizontalna projekcija podudara se s projekcija baze valjka, a prednja također ima oblik elipse. Ali ako sekantna ravnina s osi valjka zatvara kut od 45°, tada se presjek koji ima oblik elipse projicira kružnicom na ravninu projekcije prema kojoj je presjek nagnut pod istim kutom.

Ako rezna ravnina siječe bočnu plohu valjka i jednu od njegovih baza (sl. 8.6), tada presječna linija ima oblik nepotpune elipse (dijela elipse). Horizontalna projekcija presjeka u ovom je slučaju dio kružnice (projekcija baze), a frontalna projekcija dio je elipse. Ravnina se može postaviti okomito na bilo koju ravninu projekcije, tada će se presjek projicirati na tu ravninu projekcije kao ravna linija (dio traga ravnine sekante).

Ako je cilindar presječen ravninom paralelnom s generatrisom, tada su crte sjecišta s bočnom plohom ravne, a sam presjek ima oblik pravokutnika ako je cilindar ravan, odnosno paralelograma ako je cilindar nagnut.

Kao što je poznato, i valjak i stožac tvore plohe s linijama.

Sjecište (crta presjeka) linijske površine i ravnine u općem slučaju je određena krivulja, koja je konstruirana iz točaka sjecišta generatrisa s ravninom rezanja.

Neka se da ravni kružni stožac. Kada je presječe ravnina, sjecišna linija može imati oblik: trokuta, elipse, kruga, parabole, hiperbole (sl. 8.7) ovisno o položaju ravnine.

Trokut se dobije kada rezna ravnina, koja siječe stožac, prolazi njegovim vrhom. U ovom slučaju, linije sjecišta s bočnom površinom su ravne linije koje se sijeku na vrhu stošca, a koje zajedno s linijom sjecišta baze tvore trokut projiciran na ravnine projekcije s izobličenjem. Ako ravnina siječe os stošca, tada presjekom nastaje trokut čiji će kut s vrhom koji se poklapa s vrhom stošca biti maksimalan za odsječke trokuta danog stošca. U ovom slučaju presjek se projicira na horizontalnu ravninu projekcije (paralelna je s bazom) ravnim segmentom.

Sjecište ravnine i stošca bit će elipsa ako ravnina nije paralelna ni s jednom od generatrisa stošca. To je ekvivalentno činjenici da ravnina siječe sve generatore (cijelu bočnu plohu stošca). Ako je ravnina sekante paralelna s bazom stošca, tada je linija sjecišta kružnica, sam presjek se projicira na ravninu horizontalne projekcije bez izobličenja, a na frontalnu ravninu kao segment ravne linije.

Sjecište će biti parabola kada je rezna ravnina paralelna samo s jednom generatrisom stošca. Ako je rezna ravnina paralelna s dvije generatrise u isto vrijeme, tada je linija presjeka hiperbola.

Krnji stožac dobije se ako se ravni kružni stožac presječe ravninom paralelnom s osnovicom i okomitom na os stošca, a gornji dio se odbaci. U slučaju kada je vodoravna ravnina projekcija paralelna s bazama krnjeg stošca, te se baze projiciraju na horizontalnu ravninu projekcija bez izobličenja koncentričnim kružnicama, a frontalna projekcija je trapez. Kada je krnji stožac presječen ravninom, ovisno o mjestu na kojem se nalazi, rezna linija može imati oblik trapeza, elipse, kruga, parabole, hiperbole ili dijela jedne od tih krivulja, čiji su krajevi spojeni ravninom. ravna crta.

Općinska obrazovna ustanova

Aleksejevska srednja škola

"Edukacijski centar"

Razvoj lekcije

Tema: RAVNI KRUŽNI STOŠAC.

PRESJEK STOŠCA RAVNINAMA

Profesor matematike

akademska godina

Tema: RAVNI KRUŽNI STOŠAC.

PRESJEK STOŠCA RAVNINAMA.

Svrha lekcije: analizirati definicije stošca i podređenih pojmova (vrh, baza, generatori, visina, os);

razmotrite dijelove stošca koji prolaze kroz vrh, uključujući aksijalne;

pridonijeti razvoju prostorne mašte učenika.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: proučiti osnovne pojmove o rotacijskom tijelu (stošcu).

Razvojni: nastaviti razvijati vještine analize i usporedbe; vještine isticanja glavne stvari i formuliranja zaključaka.

Obrazovni: njegovanje interesa učenika za učenje, usađivanje komunikacijskih vještina.

Vrsta lekcije: predavanje.

Nastavne metode: reproduktivno, problematično, djelomično traženje.

Oprema: stol, modeli tijela revolucije, multimedijska oprema.

Tijekom nastave

ja. Organiziranje vremena.

U prethodnim lekcijama već smo se upoznali s tijelima rotacije i detaljnije se zadržali na pojmu cilindra. Na tablici vidite dva crteža i radeći u paru, formulirajte točna pitanja na obrađenu temu.

P. Provjera domaće zadaće.

Rad u parovima koristeći tematsku tablicu (prizma upisana u cilindar i prizma opisana oko valjka).

Na primjer, u parovima i pojedinačno učenici mogu postavljati pitanja:

Što je kružni cilindar (generator valjka, baza valjka, bočna ploha valjka)?

Za kakvu se prizmu kaže da je opisana oko valjka?

Koja se ravnina naziva tangentom na cilindar?

Koje oblike možemo nazvati poligonima? ABC, A1 B1 C1 , A B C D EIA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Koja je vrsta prizme prizma? ABCDEABCDE? (Ravnomoj.)

- Dokažite da je to ravna prizma.

(po izboru, 2 para učenika rade za pločom)

III. Obnavljanje temeljnih znanja.

Prema planimetrijskom materijalu:

Talesov teorem;

Svojstva srednje crte trokuta;

Površina kruga.

Prema stereometrijskom materijalu:

Koncept homotetija;

Kut između pravca i ravnine.

IV.Učenje novog gradiva.

(edukativno metodički set “Živjeti matematiku” », Prilog 1.)

Nakon prezentiranog materijala predlaže se plan rada:

1. Definicija stošca.

2. Definicija pravog stošca.

3. Elementi stošca.

4. Razvoj konusa.

5. Dobivanje stošca kao rotacijskog tijela.

6. Vrste konusnih presjeka.

Učenici sami pronalaze odgovore na ova pitanja.djece u paragrafima 184-185, prateći ih crtežima.

Valeološka stanka: Umoran? Odmorimo se prije sljedeće praktične faze rada!

· Masaža refleksnih zona na ušnoj školjki, odgovornih za rad unutarnjih organa;

· Masaža refleksnih zona na dlanovima;

· Gimnastika za oči (zatvorite oči i oštro otvorite oči);

· Istezanje kralježnice (podignite ruke prema gore, povucite se desnom pa lijevom rukom)

· Vježbe disanja usmjerene na zasićenje mozga kisikom (oštro udahnite kroz nos 5 puta)

Sastavlja se tematska tablica (zajedno s nastavnikom), uz popunjavanje tablice pitanjima i dobivenim materijalom iz različitih izvora (udžbenik i računalna prezentacija)

"Konus. Frustum".

V.Učvršćivanje materijala.

Frontalni rad.

· Usmeno (po gotovom crtežu) Broj 9 i broj 10 su riješeni.

(dva učenika objašnjavaju rješenja zadataka, ostali mogu napraviti kratke bilješke u svoje bilježnice)

broj 9. Polumjer baze stošca je 3 m, visina stošca je 4 m. pronaći generator.

(Riješenje:l=√ R2 + H2 =√32+42=√25=5m.)

Br. 10 Generator stošca l nagnuta prema ravnini baze pod kutom od 30◦. Pronađite visinu.

(Riješenje:H = l grijeh 30◦ = l|2.)

· Riješite zadatak na temelju gotovog crteža.

Visina stošca je h. Kroz generatore MA I M.B. nacrtana je ravnina koja čini kut A s ravninom baze stošca. Akord AB subtends an arc with a stupnjevna mjera R.

1. Dokaži da je presjek stošca ravninom MAV- jednakokračan trokut.

2. Objasniti kako se konstruira linearni kut diedralnog kuta kojeg tvore sječna ravnina i osnovna ravnina stošca.

3. Pronađite MS.

4. Napraviti (i objasniti) plan za izračunavanje duljine tetive. AB i površina presjeka MAV.

5. Pokaži na slici kako se iz točke može povući okomica OKO na presječnu ravninu MAV(opravdati konstrukciju).

· Ponavljanje:

obrađeno gradivo iz planimetrije:

Definicija jednakokračnog trokuta;

Svojstva jednakokračnog trokuta;

Površina trokuta

obrađeni materijal iz stereometrije:

Određivanje kuta između ravnina;

Metoda za konstruiranje linearnog diedarskog kuta.

Samotestiranje

1. Nacrtajte rotacijska tijela nastala rotacijom ravnih likova prikazanih na slici.

2. Označite rotacijom koje je plošne figure nastalo prikazano okretno tijelo (b)

TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:

Nastavljamo proučavati odjeljak stereometrije "Tijela rotacije".

Tijela rotacije su: cilindri, stošci, kugle.

Prisjetimo se definicije.

Visina je udaljenost od vrha figure ili tijela do baze figure (tijela). Inače, segment koji povezuje vrh i bazu figure i okomito na njega.

Zapamtite, da biste pronašli površinu kruga, morate pomnožiti pi s kvadratom polumjera.

Površina kruga je jednaka.

Sjetimo se kako pronaći površinu kruga znajući promjer? Jer

Stavimo to u formulu:

Stošac je također tijelo rotacije.

Stožac (točnije kružni stožac) je tijelo koje se sastoji od kružnice - baze stošca, točke koja ne leži u ravnini te kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji spajaju vrh stošca. stožac s osnovnim točkama.

Upoznajmo se s formulom za pronalaženje volumena stošca.

Teorema. Volumen stošca jednak je jednoj trećini umnoška površine baze i visine.

Dokažimo ovaj teorem.

Zadano: stožac, S - površina njegove baze,

h - visina konusa

Dokažite: V=

Dokaz: Promotrimo stožac s volumenom V, polumjerom baze R, visinom h i vrhom u točki O.

Uvedimo os Ox kroz OM - os stošca. Proizvoljni presjek stošca ravninom okomitom na os Ox je kružnica sa središtem u točki

M1 - točka presjeka ove ravnine s osi Ox. Označimo radijus te kružnice s R1, a površinu presjeka sa S(x), gdje je x apscisa točke M1.

Iz sličnosti pravokutnih trokuta OM1A1 i OMA (ے OM1A1 = ے OMA - ravni, ے MOA-opće, što znači da su trokuti slični pod dva kuta) slijedi

Slika pokazuje da je OM1=x, OM=h

ili odakle po svojstvu proporcije nalazimo R1 = .

Budući da je poprečni presjek krug, tada je S(x)=πR12, zamijenite prethodni izraz umjesto R1, površina poprečnog presjeka jednaka je omjeru umnoška pier kvadrata s kvadratom x na kvadrat od visine:

Primijenimo osnovnu formulu

računajući volumene tijela, uz a=0, b=h, dobivamo izraz (1)

Budući da je baza stošca krug, površina S baze stošca bit će jednaka stupu kvadrata

u formuli za izračunavanje obujma tijela vrijednost pier kvadrata zamijenimo površinom baze i ustanovimo da je obujam stošca jednak jednoj trećini umnoška površine bazu i visinu

Teorem je dokazan.

Korolar teoreme (formula za volumen krnjeg stošca)

Volumen V krnjeg stošca, čija je visina h, a površina baza S i S1, izračunava se formulom

Ve je jednak jednoj trećini osi pomnoženoj zbrojem površina baza i kvadratnog korijena umnoška površina baza.

Rješavanje problema

Pravokutni trokut s katetama 3 cm i 4 cm rotira oko hipotenuze. Odredi obujam dobivenog tijela.

Kada trokut zakrenemo oko hipotenuze, dobijemo stožac. Prilikom rješavanja ovog problema važno je razumjeti da su moguća dva slučaja. U svakom od njih koristimo se formulom za pronalaženje volumena stošca: volumen stošca jednak je jednoj trećini umnoška baze i visine

U prvom slučaju, crtež će izgledati ovako: s obzirom na konus. Neka je radijus r = 4, visina h = 3

Površina baze jednaka je π puta kvadrat polumjera

Tada je volumen stošca jednak jednoj trećini umnoška broja π i kvadrata polumjera i visine.

Zamijenimo vrijednost u formulu, ispada da je volumen konusa 16π.

U drugom slučaju ovako: dan stožac. Neka je radijus r = 3, visina h = 4

Volumen stošca jednak je jednoj trećini umnoška površine baze i visine:

Površina baze jednaka je π puta kvadrat polumjera:

Tada je obujam stošca jednak jednoj trećini umnoška broja π s kvadratom polumjera i visine:

Zamjenom vrijednosti u formulu ispada da je volumen konusa 12π.

Odgovor: Volumen stošca V je 16 π ili 12 π

Zadatak 2. Zadan je pravi kružni stožac polumjera 6 cm, kut BCO = 45.

Nađi obujam stošca.

Rješenje: Za ovaj problem postoji gotov crtež.

Zapišimo formulu za pronalaženje volumena stošca:

Izrazimo to kroz polumjer baze R:

Konstrukcijom nalazimo h =BO - pravokutni, jer kut BOC = 90 (zbroj kutova trokuta), kutovi na osnovici su jednaki, što znači da je trokut ΔBOC jednakokračan i BO = OC = 6 cm.