Konstrukcija razvoja stošca. Kako napraviti skeniranje - uzorak za stožac ili krnji stožac zadane veličine. Jednostavan izračun razvrtača Kalkulator za izračun razvrtača s krnjim stošcem

Geometrija kao znanost formirana je u starom Egiptu i dostigla je visok stupanj razvoja. Slavni filozof Platon utemeljio je Akademiju, gdje se velika pažnja posvetila sistematizaciji postojećeg znanja. Stožac kao jedna od geometrijskih figura prvi put se spominje u poznatoj raspravi Euklida "Počeci". Euklid je bio upoznat s Platonovim djelima. Sada malo ljudi zna da riječ "konus" na grčkom znači "češar". Grčki matematičar Euklid, koji je živio u Aleksandriji, s pravom se smatra utemeljiteljem geometrijske algebre. Stari Grci ne samo da su postali nasljednici znanja Egipćana, već su i značajno proširili teoriju.

Povijest definicije stošca

Geometrija kao znanost nastala je iz praktičnih zahtjeva građenja i promatranja prirode. Postupno su se eksperimentalne spoznaje uopćavale, a svojstva jednih tijela dokazivala su se preko drugih. Stari Grci uveli su pojam aksioma i dokaza. Aksiom je izjava dobivena na praktičan način i ne zahtijeva dokaz.

Euklid je u svojoj knjizi dao definiciju stošca kao lika koji se dobije rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od krakova. Također posjeduje glavni teorem koji određuje volumen stošca. I starogrčki matematičar Eudoksus iz Knida dokazao je ovaj teorem.

Drugi matematičar antičke Grčke, Apolonije iz Perge, koji je bio Euklidov učenik, razvio je i izložio teoriju koničnih površina u svojim knjigama. On posjeduje definiciju stožaste plohe i njezine sekante. Školarci naših dana proučavaju euklidsku geometriju, koja je sačuvala glavne teoreme i definicije iz davnih vremena.

Osnovne definicije

Pravi kružni stožac nastaje rotacijom pravokutnog trokuta oko jednog kraka. Kao što vidite, pojam stošca nije se promijenio od vremena Euklida.

Hipotenuza AS pravokutnog trokuta AOS pri rotaciji oko kraka OS čini bočnu plohu stošca, pa se zove generatrisa. Krak OS trokuta prelazi istodobno u visinu stošca i njegovu os. Točka S postaje vrh stošca. Krak AO, opisavši krug (bazu), pretvorio se u polumjer stošca.

Povučemo li odozgo ravninu kroz vrh i os stošca, vidimo da je dobiveni osni presjek jednakokračni trokut, u kojemu je os visina trokuta.

Gdje C- opseg baze, l je duljina generatrise stošca, R je polumjer baze.

Formula za izračunavanje volumena stošca

Za izračun volumena stošca koristi se sljedeća formula:

gdje je S površina baze stošca. Budući da je baza krug, njegova se površina izračunava na sljedeći način:

Iz čega slijedi:

gdje je V volumen stošca;

n je broj jednak 3,14;

R je polumjer baze koja odgovara segmentu AO na slici 1;

H je visina jednaka segmentu OS.

Krnji stožac, volumen

Postoji pravilan kružni stožac. Ako je gornji dio odrezan ravninom okomitom na visinu, tada će se dobiti krnji stožac. Njegove dvije baze imaju oblik kruga polumjera R 1 i R 2 .

Ako je pravi stožac nastao rotacijom pravokutnog trokuta, tada je krnji stožac nastao rotacijom pravokutnog trapeza oko ravne stranice.

Volumen krnjeg stošca izračunava se pomoću sljedeće formule:

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Stožac i njegov presjek ravninom

Peru starogrčkog matematičara Apolonija iz Perge pripada teorijsko djelo "Konični presjeci". Zahvaljujući njegovom radu u geometriji pojavile su se definicije krivulja: parabola, elipsa, hiperbola. Razmotrite, i ovdje stožac.

Uzmimo pravi kružni stožac. Ako je ravnina siječe okomito na os, tada se u presjeku formira kružnica. Kada sekanta siječe stožac pod kutom u odnosu na os, tada se u presjeku dobije elipsa.

Sječna ravnina, okomita na osnovicu i paralelna s osi stošca, tvori na plohi hiperbolu. Ravnina koja siječe stožac pod kutom prema osnovici i paralelna s tangentom na stožac stvara krivulju na površini koja se naziva parabola.

Rješenje problema

Čak i jednostavan zadatak kako napraviti kantu određenog volumena zahtijeva znanje. Na primjer, morate izračunati dimenzije kante tako da ima volumen od 10 litara.

V \u003d 10 l \u003d 10 dm 3;

Razvoj konusa ima oblik shematski prikazan na slici 3.

L - generatrisa stošca.

Da biste saznali površinu kante, koja se izračunava pomoću sljedeće formule:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

potrebno je izračunati generatrisu. Nalazimo ga iz vrijednosti volumena V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Stoga je H=3V/n*(R12+R22+R1*R2).

Krnji stožac nastaje rotiranjem pravokutnog trapeza kojemu je bočna stranica generatrisa stošca.

L2 \u003d (R2- R1)2 + H2.

Sada imamo sve podatke za izradu crteža žlice.

Zašto su vatrene kante oblikovane kao stožac?

Tko se pitao zašto vatrene kante imaju naizgled čudan konusni oblik? I nije samo to. Ispostavilo se da pri gašenju požara stožasta kanta ima mnoge prednosti u odnosu na konvencionalnu, krnjeg konusnog oblika.

Prvo, kako se ispostavilo, vatrogasna kanta se brže puni vodom i ne prolijeva se kada se nosi. Konus veći od obične kante omogućuje vam da nosite više vode odjednom.

Drugo, voda iz njega može se izbaciti na veću udaljenost nego iz konvencionalne kante.

Treće, ako stožasta kanta padne s ruku i padne u vatru, tada se sva voda izlije na vatru.

Svi ovi čimbenici štede vrijeme – glavno u gašenju požara.

Praktična upotreba

Učenici često imaju pitanje zašto naučiti izračunati volumen različitih geometrijskih tijela, uključujući i stožac.

I dizajneri se stalno suočavaju s potrebom izračunavanja volumena konusnih dijelova dijelova mehanizma. To su vrhovi bušilica, dijelovi strojeva za tokarenje i glodanje. Oblik konusa omogućit će svrdlima da lako uđu u materijal bez potrebe za početnim brušenjem posebnim alatom.

Volumen stošca ima hrpu pijeska ili zemlje nasute na tlo. Ako je potrebno, jednostavnim mjerenjima možete izračunati njegov volumen. Za neke će pitanje kako saznati radijus i visinu hrpe pijeska izazvati poteškoće. Naoružani mjernom vrpcom mjerimo opseg humka C. Pomoću formule R \u003d C / 2n saznajemo polumjer. Bacajući uže (rulet) preko vrha, nalazimo duljinu generatrise. A izračunati visinu pomoću Pitagorinog teorema i volumena nije teško. Naravno, takav izračun je približan, ali vam omogućuje da utvrdite niste li prevareni donošenjem tone pijeska umjesto kocke.

Neke zgrade imaju oblik krnjeg stošca. Na primjer, televizijski toranj Ostankino približava se obliku stošca. Može se prikazati kao da se sastoji od dva stošca postavljena jedan na drugi. Kupole drevnih dvoraca i katedrala su stožac, čiji su volumen drevni arhitekti izračunali s nevjerojatnom točnošću.

Ako pažljivo pogledate okolne predmete, onda su mnogi od njih čunjevi:

• Lijevci za izlijevanje tekućina;
• horna-zvučnik;
• čunjevi za parkiranje;
• abažur za podnu svjetiljku;
• uobičajeno božićno drvce;
• puhački glazbeni instrumenti.

Kao što se može vidjeti iz gornjih primjera, sposobnost izračunavanja volumena stošca, njegove površine neophodna je u profesionalnom i svakodnevnom životu. Nadamo se da će vam ovaj članak pomoći.

Razvoj plohe stošca je ravna figura dobivena spajanjem bočne plohe i baze stošca s određenom ravninom.

Mogućnosti konstrukcije za čišćenje:

Razvoj pravilnog kružnog stošca

Razvijenost bočne plohe pravilnog kružnog stošca je kružni isječak čiji je polumjer jednak duljini generatrise stožaste plohe l, a središnji kut φ određen je formulom φ=360*R/ l, gdje je R polumjer opsega baze stošca.

U brojnim problemima deskriptivne geometrije preferirano rješenje je aproksimacija (zamjena) stošca piramidom koja je upisana u njega i konstrukcija aproksimativnog zahvata, na kojem je prikladno crtati linije koje leže na stožastoj površini.

Algoritam konstrukcije

1. U stožastu plohu upišemo poligonalnu piramidu. Što je više bočnih stranica upisane piramide, točnija je korespondencija između stvarnog i približnog skeniranja.
2. Gradimo razvoj bočne površine piramide metodom trokuta. Točke koje pripadaju osnovici stošca spojene su glatkom krivuljom.

Primjer

Na donjoj slici pravilna šesterokutna piramida SABCDEF upisana je u pravi kružni stožac, a približan razvoj njezine bočne plohe sastoji se od šest jednakokračnih trokuta - lica piramide.

Promotrimo trokut S 0 A 0 B 0 . Duljine njegovih stranica S 0 A 0 i S 0 B 0 jednake su generatrisi l stožaste plohe. Vrijednost A 0 B 0 odgovara duljini A'B'. Da bismo izgradili trokut S 0 A 0 B 0 na proizvoljnom mjestu crteža, odvajamo segment S 0 A 0 =l, nakon čega crtamo krugove polumjera S 0 B 0 =l i A 0 B 0 = A'B' iz točaka S 0 odnosno A 0 . Sjecište kružnica B 0 spojimo s točkama A 0 i S 0 .

Stranice S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 piramide SABCDEF građene su slično trokutu S 0 A 0 B 0 .

Točke A, B, C, D, E i F, koje leže u podnožju konusa, povezane su glatkom krivuljom - lukom kruga čiji je polumjer jednak l.

Razvoj kosog stošca

Razmotrite postupak konstruiranja zahvata bočne površine kosog stošca metodom aproksimacije.

Algoritam

1. U kružnicu baze stošca upišemo šesterokut 123456. Spojimo točke 1, 2, 3, 4, 5 i 6 s vrhom S. Ovako konstruirana piramida S123456 je, s određenim stupnjem aproksimacije, zamjena za stožastu plohu i kao takva se koristi u daljnjim konstrukcijama.
2. Prirodne vrijednosti bridova piramide određujemo metodom rotacije oko projekcijske crte: u primjeru se koristi i-os koja je okomita na horizontalnu projekcijsku ravninu i prolazi kroz vrh S.
   Dakle, kao rezultat rotacije ruba S5, njegova nova horizontalna projekcija S'5' 1 zauzima položaj u kojem je paralelna s frontalnom ravninom π 2 . Prema tome, S''5'' 1 je prirodna vrijednost S5.
3. Konstruiramo razvoj bočne plohe piramide S123456 koja se sastoji od šest trokuta: 0 1 0 . Konstrukcija svakog trokuta izvodi se na tri strane. Na primjer, △S 0 1 0 6 0 ima duljinu S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Stupanj podudarnosti približnog zamaha sa stvarnim ovisi o broju lica upisane piramide. Broj lica odabire se na temelju lakoće čitanja crteža, zahtjeva za njegovu točnost, prisutnosti karakterističnih točaka i linija koje je potrebno prenijeti na skeniranje.

Prenošenje linije s plohe stošca na razvitak

Pravac n koji leži na površini stošca nastaje kao rezultat njegovog presjeka s određenom ravninom (slika dolje). Razmotrimo algoritam za konstruiranje linije n na potezu.

Algoritam

1. Nađite projekcije točaka A, B i C u kojima pravac n siječe bridove piramide upisane u stožac S123456.
2. Stvarnu veličinu odsječaka SA, SB, SC određujemo rotacijom oko projicirane linije. U ovom primjeru, SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Nalazimo položaj točaka A 0 , B 0 , C 0 na odgovarajućim bridovima piramide, odvajajući segmente S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Točke A 0 , B 0 , C 0 povezujemo glatkom linijom.

Razvoj krnjeg stošca

Metoda za konstruiranje zahvata desnog kružnog krnjeg stošca, opisana u nastavku, temelji se na načelu sličnosti.

U geometriji, krnji stožac je tijelo koje nastaje rotacijom pravokutnog trapeza oko njegove stranice, koja je okomita na osnovicu. Kako računaju volumen krnjeg stošca, svi znaju iz školskog tečaja geometrije, au praksi to znanje često koriste dizajneri raznih strojeva i mehanizama, programeri nekih roba široke potrošnje, kao i arhitekti.

Izračunavanje obujma krnjeg stošca

Formula za izračunavanje volumena krnjeg stošca

Volumen krnjeg stošca izračunava se po formuli:

h- visina konusa

r- radijus gornje baze

R- radijus donje baze

V- volumen krnjeg stošca

π - 3,14

Kod takvih geometrijskih tijela kao što su krnji stošci, u svakodnevnom životu, svatko se susreće prilično često, ako ne i stalno. Njihov oblik ima širok izbor posuda koje se široko koriste u svakodnevnom životu: kante, čaše, neke šalice. Nije potrebno spominjati da su dizajneri koji su ih razvili sigurno koristili formulu koja izračunava volumen krnjeg stošca, budući da je ova vrijednost vrlo važna u ovom slučaju, jer određuje tako važnu karakteristiku kao kapacitet proizvoda.

Inženjerske konstrukcije, koje su krnji stošci, često se može vidjeti u velikim industrijskim poduzećima, kao i termoelektranama i nuklearnim elektranama. Upravo takav oblik imaju rashladni tornjevi - uređaji dizajnirani za hlađenje velikih količina vode prisiljavanjem suprotnog toka atmosferskog zraka. Najčešće se ovi dizajni koriste u slučajevima kada je potrebno značajno smanjiti temperaturu velike količine tekućine u kratkom vremenu. Programeri ovih struktura moraju odrediti volumen krnjeg stošca formula za izračunavanje koja je vrlo jednostavna i poznata svima koji su nekoć dobro učili u srednjoj školi.

Pojedinosti ovog geometrijskog oblika često se nalaze u dizajnu raznih tehničkih uređaja. Na primjer, zupčanici koji se koriste u sustavima gdje je potrebna promjena smjera kinetičkog prijenosa najčešće su izvedeni pomoću koničnih zupčanika. Ovi dijelovi sastavni su dio najrazličitijih mjenjača, kao i automatskih i ručnih mjenjača koji se koriste u modernim vozilima.

Oblik krnjeg stošca ima neke alate za rezanje koji se široko koriste u proizvodnji, na primjer, glodala. Uz njihovu pomoć možete obraditi nagnute površine pod određenim kutom. Za oštrenje rezača opreme za obradu metala i drva često se koriste abrazivni kotači, koji su također krnji stošci. Osim, volumen krnjeg stošca potrebno je odrediti konstruktore strojeva za tokarenje i glodanje, koji uključuju pričvršćivanje alata za rezanje opremljenog konusnim drškama (svrdla, razvrtala itd.).

Umjesto riječi "uzorak", ponekad se koristi "sweep", ali ovaj izraz je dvosmislen: na primjer, razvrtač je alat za povećanje promjera rupe, au elektroničkoj tehnologiji postoji pojam razvrtača. Stoga, iako sam dužan upotrijebiti riječi "konusno brisanje" kako bi tražilice pomoću njih mogle pronaći ovaj članak, upotrijebit ću riječ "uzorak".

Izgradnja uzorka za konus je jednostavna stvar. Razmotrimo dva slučaja: za puni stožac i za krnji stožac. Na slici (kliknite za povećanje) prikazane su skice takvih čunjeva i njihovi uzorci. (Odmah napominjem da ćemo govoriti samo o ravnim stošcima s okruglom bazom. U sljedećim člancima razmotrit ćemo čunjeve s ovalnom bazom i nagnute čunjeve).

1. Puni konus

Oznake:

Parametri uzorka izračunavaju se formulama:
;
;
Gdje .

2. Krnji stožac

Oznake:

Formule za izračunavanje parametara uzorka:
;
;
;
Gdje .
Imajte na umu da su ove formule također prikladne za puni stožac ako zamijenimo .

Ponekad je pri konstruiranju stošca temeljna vrijednost kuta na njegovom vrhu (ili na zamišljenom vrhu, ako je stožac skraćen). Najjednostavniji primjer je kada vam je potreban jedan stožac da se čvrsto uklopi u drugi. Označimo taj kut slovom (vidi sliku).
U ovom slučaju, možemo ga koristiti umjesto jedne od tri ulazne vrijednosti: , ili . Zašto "zajedno O“, a ne „zajedno e"? Zato što su tri parametra dovoljna za konstrukciju stošca, a vrijednost četvrtog izračunava se kroz vrijednosti ostala tri. Zašto baš tri, a ne dva ili četiri, pitanje je koje je izvan okvira ovog članka. Tajanstveni glas mi govori da je to na neki način povezano s trodimenzionalnošću objekta "stožac". (Usporedite s dva početna parametra dvodimenzionalnog objekta kružnog segmenta, iz kojih smo izračunali sve njegove ostale parametre u članku.)

Ispod su formule pomoću kojih se određuje četvrti parametar stošca kada su zadana tri.

4. Metode za izradu uzorka

• Izračunajte vrijednosti na kalkulatoru i napravite uzorak na papiru (ili odmah na metalu) pomoću šestara, ravnala i kutomjera.
• Unesite formule i izvorne podatke u proračunsku tablicu (na primjer, Microsoft Excel). Dobiveni rezultat koristi se za izradu uzorka pomoću grafičkog uređivača (na primjer, CorelDRAW).
• koristiti moj program, koji će nacrtati na ekranu i ispisati uzorak za stožac sa zadanim parametrima. Ovaj uzorak se može spremiti kao vektorska datoteka i uvesti u CorelDRAW.

5. Nisu paralelne baze

Što se tiče skraćenih stožaca, program Cones i dalje gradi uzorke za čunjeve koji imaju samo paralelne baze.
Za one koji traže način da konstruiraju uzorak krnjeg stošca s neparalelnim bazama, ovdje je poveznica koju je dao jedan od posjetitelja stranice:
Krnji stožac s neparalelnim bazama.

Ponekad se pojavi zadatak - napraviti zaštitni kišobran za ispuh ili dimnjak, ispušni deflektor za ventilaciju itd. Ali prije nego što počnete s proizvodnjom, morate napraviti uzorak (ili skenirati) za materijal. Na Internetu postoje razni programi za izračunavanje takvih zahvata. Međutim, problem je toliko lako riješiti da ćete ga brzo izračunati kalkulatorom (na računalu) nego što ćete pretraživati, preuzimati i baviti se tim programima.

Počnimo s jednostavnom opcijom - razvojem jednostavnog konusa. Na primjeru je najlakše objasniti princip izračuna uzorka.

Pretpostavimo da trebamo napraviti stožac promjera D cm i visine H centimetara. Sasvim je jasno da će krug s izrezanim segmentom djelovati kao praznina. Poznata su dva parametra - promjer i visina. Pomoću Pitagorine teoreme izračunavamo promjer kruga obratka (nemojte ga brkati s polumjerom završiočešeri). Polovica promjera (radijusa) i visine čine pravokutni trokut. Zato:

Dakle, sada znamo radijus obratka i možemo izrezati krug.

Izračunajte kut isječka koji treba izrezati iz kruga. Tvrdimo na sljedeći način: Promjer obratka je 2R, što znači da je opseg Pi * 2 * R - tj. 6,28*R. Označavamo ga sa L. Krug je potpun, t.j. 360 stupnjeva. A opseg gotovog stošca je Pi * D. Označavamo ga s Lm. To je, naravno, manje od opsega izratka. Trebamo izrezati segment čija je duljina luka jednaka razlici između tih duljina. Primijenite pravilo omjera. Ako nam 360 stupnjeva daje puni opseg izratka, tada bi željeni kut trebao dati opseg gotovog konusa.

Iz formule omjera dobivamo veličinu kuta X. A sektor reza nalazi se oduzimanjem 360 - X.

Iz okruglog obrasca radijusa R mora se izrezati sektor pod kutom (360-X). Obavezno ostavite malu traku materijala koji se preklapa (ako će se konusni nosač preklapati). Nakon spajanja stranica izrezanog sektora dobivamo konus zadane veličine.

Na primjer: Trebamo konus nape za dimnjak visine (H) 100 mm i promjera (D) 250 mm. Prema pitagorejskoj formuli dobivamo radijus izratka - 160 mm. A opseg obratka, odnosno, 160 x 6,28 = 1005 mm. U isto vrijeme, opseg konusa koji nam je potreban je 250 x 3,14 = 785 mm.

Tada dobivamo da će omjer kutova biti: 785 / 1005 x 360 = 281 stupanj. Prema tome, potrebno je rezati sektor 360 - 281 = 79 stupnjeva.

Izračun uzorka uzorka za krnji stožac.

Takav je detalj ponekad potreban u proizvodnji adaptera s jednog promjera na drugi ili za deflektore Volpert-Grigorovich ili Khanzhenkov. Koriste se za poboljšanje propuha u dimnjaku ili ventilacijskoj cijevi.

Zadatak je malo kompliciran činjenicom da ne znamo visinu cijelog stošca, već samo njegovog krnjeg dijela. Općenito, postoje tri početna broja: visina krnjeg stošca H, promjer donje rupe (baze) D i promjer gornje rupe Dm (na presjeku punog stošca). Ali mi ćemo pribjeći istim jednostavnim matematičkim konstrukcijama temeljenim na Pitagorinom teoremu i sličnosti.

Doista, očito je da će vrijednost (D-Dm) / 2 (polovica razlike u promjerima) biti povezana s visinom krnjeg stošca H na isti način kao polumjer baze i visine cijelog stošca, kao da nije krnja. Iz ovog omjera nalazimo ukupnu visinu (P).

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Stoga je R = D x H / (D-Dm).

Sada znajući ukupnu visinu stošca, možemo smanjiti rješenje problema na prethodni. Izračunajte razvoj izratka kao za puni konus, a zatim "oduzmite" od njega razvoj njegovog gornjeg, nepotrebnog dijela. I možemo izravno izračunati polumjere obratka.

Dobivamo Pitagorinim poučkom veći radijus izratka - Rz. Ovo je kvadratni korijen zbroja kvadrata visine P i D/2.

Manji radijus Rm je kvadratni korijen zbroja kvadrata (P-H) i Dm/2.

Opseg našeg obratka je 2 x Pi x Rz, odnosno 6,28 x Rz. A opseg baze stošca je Pi x D, odnosno 3,14 x D. Omjer njihovih duljina dat će omjer kutova sektora, ako pretpostavimo da je puni kut u izratku 360 stupnjeva.

Oni. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz

Otuda X \u003d 180 x D / Rz (Ovo je kut koji se mora ostaviti da bi se dobio opseg baze). I trebate rezati u skladu s tim 360 - X.

Na primjer: Trebamo napraviti krnji stožac visine 250 mm, promjera baze 300 mm, promjera gornje rupe 200 mm.

Nalazimo visinu punog konusa P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm

Prema Pitagorinoj metodi nalazimo vanjski radijus izratka Rz: Kvadratni korijen iz (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm

Istim teoremom nalazimo manji radijus Rm: Kvadratni korijen od (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Određujemo kut sektora našeg obratka: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 stupnja.

Na materijalu nacrtamo luk polumjera 618,5 mm, zatim iz istog središta - luk polumjera 364 mm. Kut luka može imati približno 90-100 stupnjeva otvaranja. Crtamo polumjere s kutom otvaranja od 87,3 stupnja. Naša priprema je spremna. Ne zaboravite uzeti u obzir rubove šavova ako se preklapaju.