U konačnoj aritmetičkoj progresiji. Aritmetička progresija s primjerima

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog zbrajanjem tri):

U ovoj progresiji razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije nazivaju se povećavajući se.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijska razlika \(d\) je jednaka minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju smanjujući se.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija je označena malim latiničnim slovom.

Brojevi koji čine progresiju nazivaju se članova(ili elementi).

Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa u redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) sastoji se od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Rješavanje problema aritmetičke progresije

U načelu, gore predstavljene informacije već su dovoljne za rješavanje gotovo svih problema aritmetičke progresije (uključujući one ponuđene na OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Otopina:

Odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Dana su prva tri člana aritmetičke progresije: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Otopina:

Odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Zadano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Otopina:

Odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Dana je aritmetička progresija sljedeće uvjete: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbroj prvih šest članova ove progresije.
Otopina:

Odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Otopina:

Odgovor: \(d=7\).

Važne formule za aritmetičku progresiju

Kao što vidite, mnogi problemi u aritmetičkoj progresiji mogu se riješiti jednostavno razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u tom lancu dobiva se dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je odlučivanje "direktno" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već tristo osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li dodati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbroj prva sedamdeset i tri elementa. Bit ćeš umoran od brojanja...

Stoga se u takvim slučajevima stvari ne rješavaju “direktno”, već se koriste posebnim formulama izvedenim za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbroj \(n\) prvih članova.

Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj traženog elementa;
\(a_n\) – član progresije s brojem \(n\).

Ova formula nam omogućuje da brzo pronađemo čak i tristoti ili milijunti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija određena je uvjetima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Otopina:

Odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbroj prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje

\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija određena je uvjetima \(a_n=3,4n-0,6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Otopina:

Odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbroj \(n\) prvih članova, možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite ga formulom \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobivamo:

Formula za zbroj prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje

\(S_n\) – traženi zbroj \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika progresije;
\(n\) – ukupan broj elemenata.

Primjer. Nađite zbroj prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Otopina:

Odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve potrebne informacije za rješavanje gotovo svih problema aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem zadataka u kojima ne samo da trebate primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Nađite zbroj svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Otopina:

Odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija određena je uvjetima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključivo.
Otopina:

Odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove male praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u svom pregledniku:
2. Prije nego što počnete čitati članak, najviše obratite pozornost na naš navigator koristan izvor Za

Niz brojeva

Dakle, sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva napisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Niz brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema tri druga broja. Drugi broj (kao i th broj) uvijek je isti.
Broj s brojem naziva se th član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

U našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski pisac Boetije još u 6. stoljeću i shvaćao ga je u širem smislu kao beskonačni numerički niz. Naziv "aritmetika" prenesen je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

kužiš Usporedimo naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njenog th člana. postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Broj progresije možemo dodavati prethodnoj vrijednosti dok ne dođemo do 5. člana progresije. Dobro je što nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Što ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri zbrajanju brojeva.
Naravno, matematičari su se dosjetili kako prethodnoj vrijednosti nije potrebno dodavati razliku aritmetičke progresije. Pogledajte malo bolje nacrtanu sliku... Sigurno ste već uočili određeni obrazac, a to je:

Na primjer, pogledajmo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami na taj način pronaći vrijednost člana zadane aritmetičke progresije.

Jeste li izračunali? Usporedite svoje bilješke s odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti uzastopno dodali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu- Stavimo to u opći oblik i dobijemo:

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećavajući se- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim članovima aritmetičke progresije.
Provjerimo ovo u praksi.
Dana nam je aritmetička progresija koja se sastoji od sljedeće brojeve: Provjerimo koji će biti th broj ove aritmetičke progresije ako upotrijebimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo problem – izvest ćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počnete brojati po formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno točno. Ispada da prvo pronađemo, zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda tu nema ništa komplicirano, ali što ako su nam u uvjetu dati brojevi? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da da, i to je ono što ćemo sada pokušati iznijeti.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njegovo pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni izraz progresije je:
• sljedeći član progresije je:

Sažmimo prethodne i sljedeće uvjete napredovanja:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećeg člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresivnog člana s poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, dobili smo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost progresije, nije nimalo teško.

Bravo! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostalo je otkriti samo jednu formulu koju je, prema legendi, lako za sebe izveo jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, pitala je u razredu sljedeći zadatak: “Izbrojte zbroj svega prirodni brojevi od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) minutu kasnije dao točan odgovor na zadatak, dok je većina drznikovih kolega nakon dugih računanja dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi lako možete uočiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -tih članova: Moramo pronaći zbroj ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbroja njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Oslikajmo napredak koji nam je dan. Pažljivo pogledajte označene brojeve i pokušajte s njima izvoditi razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Što ste primijetili? Pravo! Zbrojevi su im jednaki

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobivamo da je ukupni zbroj jednak:
.
Stoga će formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije biti:

U nekim problemima ne znamo th član, ali znamo razliku progresije. Pokušajte formulu th člana zamijeniti formulom zbroja.
Što ste dobili?

Bravo! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gaussu: izračunajte sami čemu je jednak zbroj brojeva koji počinju od th i zbroj brojeva koji počinju od th.

Koliko ste dobili?
Gauss je utvrdio da je zbroj članova jednak, a zbroj članova. Jesi li tako odlučio?

Naime, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to vrijeme duhoviti su ljudi u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najvećeg graditeljskog pothvata tog vremena – izgradnje piramide... Na slici je prikazana jedna njezina strana.

Gdje je tu progresija, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju blokova pijeska u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko blokova je potrebno za izgradnju jednog zida ako se blok opeke postavljaju na podnožje. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. kužiš Bravo, savladali ste zbroj n-tih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u bazi, ali od? Pokušajte izračunati koliko je opeka od pijeska potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor je blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša se sprema za ljeto. Svaki dan povećava broj čučnjeva za. Koliko će puta Maša raditi čučnjeva u tjednu ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom pohranjivanja cjepanica, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jednu cjepanicu manje od prethodne. Koliko je balvana u jednom zidu, ako su temelj zida balvani?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (tjedni = dani).

   Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparan broj, posljednji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je polovica, međutim, provjerimo ovu činjenicu pomoću formule za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Sjetimo se problema o piramidama. Za naš slučaj, a , budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, tada ukupno postoji hrpa slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   Odgovor: U zidanju su balvani.

Sažmimo to

1. - brojčani niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Treći član aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITMETIČKA PROGRESIJA. SREDNJA RAZINA

Niz brojeva

Sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi i tako dalje, odnosno možemo ih pobrojati. Ovo je primjer niza brojeva.

Niz brojeva je skup brojeva od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svakom broju se može pridružiti određeni prirodni broj, i to jedinstven. I nećemo ovaj broj dodijeliti nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se th član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može odrediti nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

formula n-tog člana

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da bi se saznao ti član, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, ti član progresije pomoću ove formule, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

Pa je li sad jasno koja je formula?

U svakom retku dodajemo, pomnožimo s nekim brojem. koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo praktičnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Otopina:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo što:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je taj iznos u nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i 3. od kraja isti itd. Koliko je ukupno takvih parova? Tako je, točno polovica svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Nađi zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Otopina:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći broj dobiva se zbrajanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju tvore aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svaki dan sportaš pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u tjednu ako je prvi dan pretrčao km m?
2. Biciklist svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko mu dana treba putovati da prijeđe kilometar? Koliko kilometara će prijeći tijekom zadnjeg dana svog putovanja?
3. Cijena hladnjaka u trgovini svake godine pada za isti iznos. Odredite koliko je cijena hladnjaka padala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
   .
   Odgovor:
2. Ovdje je dano: , mora se pronaći.
   Očito, trebate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Root očito ne odgovara, pa je odgovor.
   Izračunajmo put prijeđen tijekom prošlog dana pomoću formule th člana:
   (km).
   Odgovor:

3. Dano: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (trljati).
   Odgovor:

ARITMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

zapisuje se formulom, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućuje vam da lako pronađete član progresije ako su njegovi susjedni članovi poznati - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina za pronalaženje iznosa:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što je pred njima puno više otvorenog više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i pristup za sve zadatke i svima skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

I na kraju...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrimo što je niz brojeva, budući da je aritmetička progresija poseban slučaj niza brojeva.

Brojčani niz je brojčani skup čiji svaki element ima svoj redni broj. Elementi tog skupa nazivaju se članovima niza. Serijski broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- “n-ti” element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji odnos između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga niz možemo promatrati kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, možemo to reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može postaviti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tablice. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, Netko se odlučio baviti upravljanjem osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tijekom tjedna. Upisivanjem vremena u tablicu dobit će niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi redak tablice označava broj dana u tjednu, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedjeljak netko proveo 125 minuta na VKontakteu, to jest u četvrtak - 248 minuta, a to jest u petak samo 15.

2 . Niz se može specificirati pomoću formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza o njegovom broju izražava se izravno u obliku formule.

Na primjer, ako , tada

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa zadanim brojem, zamijenimo broj elementa u formulu n-tog člana.

Istu stvar činimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbu funkcije:

Ako npr. , To

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može odrediti pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza broj n o vrijednostima prethodnih članova.

U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvi član ili prvih nekoliko članova niza. ,

Na primjer, razmotrite slijed Možemo pronaći vrijednosti članova niza jedan po jedan

, počevši od trećeg: To jest, svaki put, da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ova metoda specificiranja niza se zove ponavljajući , od latinske riječi ponavljanje

- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj niza brojeva. Aritmetička progresija

je numerički niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pribrojenom istom broju. Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije

. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Ako je naslov="d>0.

povećavajući se

Na primjer, 2; 5; 8; 11;... Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je.

smanjujući se

Na primjer, 2; -1; -4; -7;... Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je.

stacionarni

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, a u isto vrijeme

.

Zbrajanjem ove dvije jednakosti dobivamo:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štoviše, budući da

Vidimo to

, To

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije, počevši s title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člana.

Vidimo da članovi aritmetičke progresije zadovoljavaju sljedeće relacije:

i konačno

Dobili smo formula n-tog člana.

VAŽNO! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti kroz i. Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbroj n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji zbrojevi članova koji su jednako udaljeni od krajnjih međusobno su jednaki:

Razmotrimo aritmetičku progresiju s n članova. Neka zbroj n članova ove progresije bude jednak .

Posložimo uvjete progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim silaznim redoslijedom:

Dodajmo u paru:

Zbroj u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobivamo:

Tako, zbroj n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmotrimo rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dan formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Utvrdili smo da razlika između dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Prema tome, po definiciji, ovaj niz je aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 član progresije.

b) Utvrdite je li broj 41 uključen u ovu progresiju.

A) Vidimo da;

Zapišimo formulu za n-ti član naše progresije.

općenito

U našem slučaju , Eto zašto

Aritmetička i geometrijska progresija

Teorijske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija	Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u progresiji)	Geometrijska progresija b n je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s istim brojem q (q- nazivnik progresije)
Formula ponavljanja	Za svaki prirodni n a n + 1 = a n + d	Za svaki prirodni n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-ti član	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristično svojstvo
Zbroj prvih n članova

Primjeri zadataka s komentarima

Zadatak 1

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Prema stanju:

a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .

Potrebno je pronaći razliku progresije:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 2

Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6;....

1. metoda (upotrebom formule n-člana)

Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Jer b 1 = -3,

2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)

Budući da je nazivnik progresije -2 (q = -2), tada je:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odgovor: b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.

Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo ima oblik .

Iz ovoga slijedi:

.

Zamijenimo podatke u formulu:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Nađite zbroj prvih sedamnaest članova.

Za pronalaženje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:

.

Koji je od njih prikladniji za korištenje u ovom slučaju?

Po uvjetu je poznata formula za n-ti član izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete pronaći odmah i a 1, I a 16 bez pronalaska d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi član progresije.

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pod uvjetom, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresije:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 6

Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:

Pronađite član progresije označen s x.

Pri rješavanju ćemo koristiti formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 Za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od zadanih članova progresije i podijeliti ga s prethodnim. U našem primjeru, možemo uzeti i podijeliti sa. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu stavljamo 3, jer je potrebno pronaći treći član zadane geometrijske progresije.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobivamo:

.

Odgovor: .

Zadatak 7

Od aritmetičkih progresija danih formulom n-tog člana odaberite onu za koju je zadovoljen uvjet a 27 > 9:

Budući da zadani uvjet mora biti zadovoljen za 27. član progresije, zamijenit ćemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:

.

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveća vrijednost n za koje vrijedi nejednakost a n > -6.

Što glavna točka formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Naravno, potrebno je znati i prvi termin a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.

Pamćenje (ili pisanje) ove formule nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. I također da se ne zaboravi u pravom trenutku, da...) Kako nemoj zaboraviti- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako treba, svakako ću vas savjetovati. Za one koji dovrše lekciju do kraja.)

Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Što je uopće formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što je to n-ti pojam.

Napredovanje u opći pogled može se napisati kao niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - s a 120.

Kako ga možemo općenito definirati? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Vrlo jednostavno! Ovako:

a n

To je to n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n skriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.

I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti hrpu drugih problema napredovanja. Dalje ćete vidjeti sami.

U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d I n. Svi problemi napredovanja vrte se oko ovih parametara.

Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija određena uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može biti slijepa ulica... Nema ni niza ni razlike... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.

A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvoriti zagrade i donijeti slične? Dobivamo novu formulu:

a n = 3 + 2n.

Ovaj Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi izraz pet... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.

U problemima progresije postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" izraz progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n peti mandat dakle a n+1 bit će šesti član. I slično.

Najčešće oznaka a n+1 nalaze u formulama ponavljanja. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako možemo odmah računati, recimo, dvadeseti mandat? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, ne možemo računati 20. To je to temeljna razlika rekurentna formula iz formule n-tog člana. Ponavljajuće radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana je kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Bez izračunavanja cijelog niza brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji lako je rekurentnu formulu pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi se zadaci često susreću u Državnoj akademiji znanosti.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodavati i dodavati... Sat-dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Odlučimo.

Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje otkriti što je jednako n. Nema pitanja! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:

Molimo obratite pozornost! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenimo sve brojeve u formulu i izračunamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je to. Isto tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, i tisuću treći, bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i brojimo.

Dopustite mi da vas podsjetim na poantu: ova vam formula omogućuje pronalaženje bilo kojičlan aritmetičke progresije PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Riješimo problem na lukaviji način. Nailazimo na sljedeći problem:

Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da, da. Zapišite rukama, direktno u svoju bilježnicu:

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? na raspolaganju d=-0,5, postoji i sedamnaesti član... Je li to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). one. n=17. Ta “sitnica” često promakne pokraj glave i bez nje (bez “sitnice”, a ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako... i bez glave.)

Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

o da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je uglavnom sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - velika je pomoć u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se možda uopće ne bi proučavala...

Još jedna popularna zagonetka:

Nađite razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.

Što mi radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

Razmotrimo ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaknuti!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:

12=2 + (15-1)d

Mi radimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučio. Sve što ostaje je naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamijenimo nam poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije s brojem n...A mi znamo ovog člana progresije! 99 je. Ne znamo mu broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo član progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Utvrdite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napišimo formulu ponovno. Što, nema parametara? Hm... Zašto su nam dane oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 = -3,6. Razlika d možete li odrediti iz niza? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dakle, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još pozabaviti se nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali ovdje ni sami ne znamo... Što učiniti!? Pa što da radim, što da radim... Pali kreativnost!)

Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. one. napišemo formulu (da, da!)) i zamijenimo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:

Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne događa se. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. Negdje je između sto prvog i sto drugog termina. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.

Na temelju zadatka stvarna opcija GIA:

Aritmetička progresija dana je uvjetom:

a n = -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri fatalno je pogrešno!) Budući da je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. U redu je, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim problemima, zamjenjujemo n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Deseti član tražimo na isti način:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je to.

A sada, za one koji su pročitali ove retke, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji državnog ispita ili jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Ne baš strogo, ali za samopouzdanje i prava odluka sasvim dovoljno!) Za zaključak je dovoljno sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati nekoliko minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtaj brojevnu crtu i na njoj označi prvu. drugi, treći itd. članova. I bilježimo razliku d između članova. Ovako:

Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

shvaćate li Nisam uzalud neke riječi podebljao. U redu, još jedan korak).

Što je četvrti pojam? Četvrti pojam je prvi pojam plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmaka htjeti n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete ubaciti sliku u jednadžbu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Pronađite 3.

Hint: prema slici problem se može riješiti za 20 sekundi... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule, to je korisnije.) U Odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .

Što, ne želiš nacrtati sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...

3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, progresija je određena na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Nije svatko sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uvjetima zadatka 4, pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Metoda "vrhom prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete pisati formule i rješavati jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Je li uspjelo? lijepo je!)

Ne ide sve? Događa se. Usput, postoji jedna suptilna točka u posljednjem zadatku. Prilikom čitanja problema bit će potreban oprez. I logika.

O rješenju svih ovih problema raspravlja se detaljno u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna točka za šesti, i opći pristupi za rješavanje bilo kojih problema koji uključuju formulu n-tog člana - sve je opisano. Preporučam ga.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.