Kako pronaći savršen kvadrat. Integracija nekih razlomaka. Metode i tehnike rješenja. Metoda podvođenja pod predznak diferencijala za proste razlomke
Definicija
Izrazi poput 2 x 2 + 3 x + 5 nazivaju se kvadratni trinom. U općem slučaju, kvadratni trinom je izraz oblika a x 2 + b x + c, gdje su a, b, c a, b, c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.
Razmotrimo kvadratni trinom x 2 - 4 x + 5 . Zapišimo to u ovom obliku: x 2 - 2 2 x + 5. Dodajmo 2 2 ovom izrazu i oduzimamo 2 2 , dobivamo: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Primijetite da je x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, pa je x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformacija koju smo napravili zove se "izbor punog kvadrata iz kvadratnog trinoma".
Odaberite potpuni kvadrat iz kvadratnog trinoma 9 x 2 + 3 x + 1 .
Imajte na umu da je 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Zatim `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Dobivenom izrazu dodamo i oduzmemo `(1/2)^2`
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Pokažimo kako se metoda izdvajanja punog kvadrata iz kvadratnog trinoma koristi za faktorizaciju kvadratnog trinoma.
Faktoriziraj kvadratni trinom 4 x 2 - 12 x + 5 .
Iz kvadratnog trinoma biramo puni kvadrat: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Sada primijenimo formulu a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , dobivamo: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .
Rastavite kvadratni trinom - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Sada primijetite da je 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
Dodamo izraz 2 2 izrazu 9 x 2 - 12 x, dobivamo:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Primijenimo formulu za razliku kvadrata, imamo:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Faktorirajte kvadratni trinom 3 x 2 - 14 x - 5 .
Izraz 3 x 2 ne možemo prikazati kao kvadrat nekog izraza jer to još nismo učili u školi. To ćete proći kasnije, a već u zadatku br. 4 proučavat ćemo kvadratne korijene. Pokažimo kako možemo faktorizirati dati kvadratni trinom:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Pokazat ćemo kako se koristi metoda punog kvadrata za pronalaženje najvećih ili najmanjih vrijednosti kvadratnog trinoma.
Razmotrimo kvadratni trinom x 2 - x + 3 . Odabir punog kvadrata:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Imajte na umu da kada je `x=1/2` vrijednost kvadratnog trinoma je `11/4`, a kada je `x!=1/2` pozitivan broj dodaje se vrijednosti `11/4`, tako da mi dobiti broj veći od `11/ 4`. Dakle, najmanja vrijednost kvadratnog trinoma je `11/4` i dobiva se s `x=1/2`.
Odredi najveću vrijednost kvadratnog trinoma - 16 2 + 8 x + 6 .
Odaberemo puni kvadrat iz kvadratnog trinoma: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Uz `x=1/4` vrijednost kvadratnog trinoma je 7 , a uz `x!=1/4` od broja 7 oduzima se pozitivan broj, odnosno dobivamo broj manji od 7 . Dakle, broj 7 je najveća vrijednost kvadratnog trinoma, a dobiva se s `x=1/4`.
Rastavite brojnik i nazivnik "(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)" na faktore i poništite razlomak.
Primijetimo da je nazivnik razlomka x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Brojnik razlomka rastavljamo na faktore metodom izdvajanja punog kvadrata iz kvadratnog trinoma. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Ovaj razlomak je sveden na oblik `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` nakon smanjenja za (x - 3) dobivamo `(x+5)/(x-3) )`.
Rastavi polinom na faktore x 4 - 13 x 2 + 36.
Primijenimo metodu punog kvadrata na ovaj polinom. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
U ovoj lekciji prisjetit ćemo se svih dosad proučenih metoda faktoringa polinoma i razmotriti primjere njihove primjene, osim toga proučiti ćemo novu metodu - metodu punog kvadrata i naučiti je primijeniti u rješavanju raznih problema.
Tema:Rastavljanje polinoma na faktore
Lekcija:Faktorizacija polinoma. Metoda odabira punog kvadrata. Kombinacija metoda
Prisjetite se glavnih metoda rastavljanja polinoma na faktore koje smo ranije proučavali:
Metoda uzimanja zajedničkog faktora iz zagrade, odnosno faktora koji je prisutan u svim članovima polinoma. Razmotrite primjer:
Podsjetimo se da je monom produkt potencija i brojeva. U našem primjeru oba člana imaju neke zajedničke, identične elemente.
Dakle, izbacimo zajednički faktor iz zagrada:
;
Podsjetimo se da množenjem prikazanog množitelja sa zagradom možete provjeriti ispravnost prikaza.
metoda grupiranja. Nije uvijek moguće izdvojiti zajednički faktor u polinomu. U tom slučaju morate podijeliti članove u skupine na način da u svakoj skupini možete izdvojiti zajednički faktor i pokušati ga raščlaniti tako da se nakon izdvajanja faktora u skupinama pojavi zajednički faktor za cijeli izraz, a širenje bi se moglo nastaviti. Razmotrite primjer:
Grupirajte prvi član s četvrtim, drugi s petim, a treći sa šestim redom:
Izdvojimo zajedničke faktore u grupama:
Izraz ima zajednički faktor. Izvadimo ga:
Primjena formula za skraćeno množenje. Razmotrite primjer:
;
Napišimo izraz detaljno:
Očito, pred sobom imamo formulu za kvadrat razlike, budući da postoji zbroj kvadrata dvaju izraza i od njega se oduzima njihov dvostruki umnožak. Idemo po formuli:
Danas ćemo naučiti još jedan način - metodu odabira punog kvadrata. Temelji se na formulama kvadrata zbroja i kvadrata razlike. Prisjetite ih se:
Formula za kvadrat zbroja (razlike);
Posebnost ovih formula je da sadrže kvadrate dva izraza i njihov dvostruki umnožak. Razmotrite primjer:
Napišimo izraz:
Dakle, prvi izraz je , a drugi .
Da bismo napravili formulu za kvadrat zbroja ili razlike, dvostruki umnožak izraza nije dovoljan. Treba zbrajati i oduzimati:
Sažmimo puni kvadrat zbroja:
Transformirajmo dobiveni izraz:
Primjenjujemo formulu razlike kvadrata, prisjetimo se da je razlika kvadrata dvaju izraza umnožak zbroja i njihove razlike:
Dakle, ova se metoda sastoji prije svega u tome što je potrebno identificirati izraze a i b koji su kvadrirani, odnosno odrediti koji su izrazi u ovom primjeru kvadrirani. Nakon toga trebate provjeriti postoji li dvostruki umnožak i ako ga nema, onda ga zbrajati i oduzimati, to neće promijeniti značenje primjera, ali polinom se može faktorizirati pomoću formula za kvadrat zbroj ili razlika i razlika kvadrata, ako je moguće.
Prijeđimo na rješavanje primjera.
Primjer 1 - rastavljanje na faktore:
Pronađite izraze koji su na kvadrat:
Zapišimo koliki bi trebao biti njihov dvostruki umnožak:
Zbrojimo i oduzmemo dvostruki umnožak:
Skupimo puni kvadrat zbroja i dajmo slične:
Zapisat ćemo prema formuli razlike kvadrata:
Primjer 2 - riješiti jednadžbu:
;
Na lijevoj strani jednadžbe nalazi se trinom. Morate to faktorizirati. Koristimo formulu kvadrata razlike:
Imamo kvadrat prvog izraza i dvostruki umnožak, nedostaje kvadrat drugog izraza, zbrajamo i oduzimamo:
Sažmimo cijeli kvadrat i dajmo slične uvjete:
Primijenimo formulu razlike kvadrata:
Dakle, imamo jednadžbu 
Znamo da je umnožak jednak nuli samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Na osnovu toga ćemo napisati jednadžbe:
Riješimo prvu jednadžbu:
Riješimo drugu jednadžbu:
Odgovor: ili
;
Ponašamo se slično kao u prethodnom primjeru - odabiremo kvadrat razlike.
Sposobnost izvođenja takvog postupka iznimno je potrebna u mnogim temama vezanim uz matematiku kvadratni trinomsjekira 2 + bx + c . Najčešći:
1) Crtanje parabola g= sjekira 2 + bx+ c;
2) Rješavanje mnogih zadataka za kvadratni trinom (kvadratne jednadžbe i nejednadžbe, problemi s parametrima itd.);
3) Rad s nekim funkcijama koje sadrže kvadratni trinom, kao i rad s krivuljama drugog reda (za studente).
Korisna stvar, ukratko! Jeste li za peticu? Onda učimo!)
Što znači odabrati puni kvadrat binoma u kvadratnom trinomu?
Ovaj zadatak znači da se izvorni kvadratni trinom mora pretvoriti uz pomoć ovog oblika:
Broj ašto je lijevo, što je desno isti. X-kvadrat koeficijent. Zato je označeno jedno slovo. Množi se s desne strane uglatim zagradama. U samim zagradama nalazi se isti binom o kojem se govori u ovoj temi. Zbroj čistog x i nekog broja m. Da, molim obratite pozornost čisti x! To je važno.
A evo i slova m i n pravo - neki novi brojevima. Što će se dobiti kao rezultat naših transformacija. Mogu ispasti pozitivni, negativni, cijeli, razlomački - svakakvi! Uvjerit ćete se i sami u primjerima u nastavku. Ovi brojevi ovise od koeficijenataa, bic. Imaju svoje posebne opće formule. Dosta glomazan, s razlomcima. Stoga ih neću dati upravo ovdje i sada. Zašto vaši bistri umovi trebaju dodatno smeće? Da, i nije zanimljivo. Budimo kreativni.)
Što trebate znati i razumjeti?
Prije svega, treba znati napamet. Najmanje njih dvoje zbroj na kvadrat i razlika na kvadrat.
Ovi:
Bez ovih par formula - nigdje. Ne samo u ovoj lekciji, nego općenito u gotovo cijeloj drugoj matematici. Je li savjet jasan?)
Ali ovdje nisu dovoljne samo napamet naučene formule. Treba više pameti moći primijeniti ove formule. I ne toliko direktno, slijeva nadesno, nego obrnuto, s desna na lijevo. Oni. izvornim kvadratnim trinomom, moći dešifrirati kvadrat zbroja / razlike. To znači da biste trebali lako, automatski prepoznati jednakosti tipa:
x 2 +4 x+4 = (x+2) 2
x 2 -10 x+25 = (x-5) 2
x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2
Bez ove korisne vještine nema ni načina ... Pa ako imate problema s ovim jednostavnim stvarima, zatvorite ovu stranicu. Ovdje je prerano za vas.) Prvo idite na gornji link. Ona je za tebe!
Oh, koliko dugo se bavite tom temom? izvrsno! Zatim čitajte dalje.)
Tako:
Kako odabrati puni kvadrat binoma u kvadratnom trinomu?
Počnimo, naravno, s jednostavnim.
Razina 1. Koeficijent na x2 je jednako 1
Ovo je najjednostavnija situacija koja zahtijeva minimum dodatnih transformacija.
Na primjer, dan kvadratni trinom:
x 2 +4x+6
Izvana je izraz vrlo sličan kvadratu zbroja. Znamo da kvadrat zbroja sadrži čiste kvadrate prvog i drugog izraza ( a 2 i b 2 ), kao i dvostruki umnožak 2 ab ti isti izrazi.
Pa, već imamo kvadrat prvog izraza u njegovom čistom obliku. to x 2 . Zapravo, upravo je to jednostavnost primjera ove razine. Treba dobiti kvadrat drugog izraza b 2 . Oni. pronaći b. I poslužit će kao trag izraz s x na prvom stupnju, tj. 4x. Nakon svega 4x može se predstaviti kao dvostruki proizvod xx za dvojku. Kao ovo:
4 x = 2 ́ x 2
Pa ako 2 ab=2x2 i a= x, onda b=2 . Možete napisati:
x 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….
Tako nasŽelim. Ali! MatematikaŽelim da naši postupci budu bit izvornog izraza nije se promijenilo. Takva je stvorena. Dodali smo dvostrukom proizvodu 2 2 , mijenjajući tako izvorni izraz. Dakle, da ne vrijeđamo matematiku, ovo je najviše 2 2 trebam ga odmah oduzeti. Kao ovo:
…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….
Gotovo sve. Ostaje samo dodati 6, u skladu s izvornim trinomom. Šestica nije nikamo otišla! Pišemo:
= x 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …
Sada prva tri člana daju neto (ili - puna) binomni kvadrat x+2 . Ili (x+2) 2 . To je ono što pokušavamo postići.) Neću biti ni lijen i staviti zagrade:
… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…
Zagrade ne mijenjaju bit izraza, ali jasno sugeriraju što, kako i zašto. Ostaje sažeti ova tri člana u puni kvadrat prema formuli, prebrojati preostali rep u brojevima -2 2 +6 (to bi bilo 2) i napišite:
x 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2
Sve. Mi izdvojio kvadratna zagrada (x+2) 2 iz izvornog kvadratnog trinoma x 2 +4x+6. Pretvorio to u svotu puni kvadratni binom (x+2) 2 i neki stalni broj (dva). A sada ću u sažetom obliku napisati cijeli lanac naših transformacija. Radi jasnoće.
I to je sve.) To je cijela poanta postupka odabira punog kvadrata.
Usput, o kakvim se brojevima ovdje radi m i n? Da. Svaki od njih jednak je dva: m=2, n=2 . Tako se dogodilo i tijekom selekcije.
Još jedan primjer:
Odaberite puni kvadrat binoma:
x 2 -6x+8
I opet, prvi pogled je na izraz s x. Pretvaramo 6x u dvostruki umnožak x i tri. Prije dvostrukog - minus. Pa izdvajamo razlika na kvadrat. Zbrajamo (da dobijemo puni kvadrat) i odmah oduzimamo (da kompenziramo) trojku u kvadratu, tj. 9. Pa, ne zaboravite na osam. Dobivamo:
Ovdje m=-3 i n=-1 . Oba su negativna.
Shvaćate li princip? Zatim je došlo vrijeme za svladavanje i opći algoritam. Sve je isto, ali kroz slova. Dakle, imamo kvadratni trinom x 2 + bx+ c (a=1) . Što radimo:
bx b /2 :
b S.
Jasno? Prva dva primjera bila su vrlo jednostavna, s cijelim brojevima. Za upoznavanje. Još gore, kada tijekom transformacije razlomci izlaze. Glavna stvar ovdje je ne bojati se! A da se ne bi bojali, svi moraju znati radnje s razlomcima, da ...) Ali ovdje je pet razina, zar ne? Kompliciramo zadatak.
Recimo da je dan sljedeći trinom:
x 2 +x+1
Kako organizirati kvadrat zbroja u ovom trinomu? Nema problema! Sličan. Radimo na bodove.
1. Promatramo član s x na prvom stupnju ( bx) i pretvorite ga u dvostruki umnožak x sab /2 .
Naš izraz s x je samo x. Pa što? Kako usamljeni X možemo pretvoriti u dvostruki proizvod? Da, vrlo jednostavno! Izravno prema uputama. Kao ovo:
Broj b u izvornom trinomu – jedan. To je, b/2 ispada da je razlomak. Pola. 1/2. Pa dobro. Već nije malo.)
2. Dvostrukom umnošku pribrajamo i odmah oduzimamo kvadrat broja b/2. Dodamo - nadopuniti do punog kvadrata. Oduzimamo - za naknadu. Na samom kraju dodajemo slobodan termin S.
Nastavljamo:
3. Prva tri člana pretvaramo u kvadrat zbroja / razlike prema odgovarajućoj formuli. Izraz koji ostaje izvan pažljivo se izračunava u brojevima.
Prva tri pojma odvojena su zagradama. Ne možete se odvojiti, naravno. To je učinjeno isključivo radi praktičnosti i jasnoće naših transformacija. Sada možete jasno vidjeti da je puni kvadrat zbroja u zagradama (x+1/2) 2 . A sve što ostane izvan kvadrata zbroja (ako računate) daje +3/4. Cilj:
Odgovor:
Ovdje m=1/2 , a n=3/4 . Razlomački brojevi. Događa se. Takav trinom je uhvaćen ...
Takva je tehnologija. kužiš Možete li prijeći na sljedeću razinu?
Razina 2. Koeficijent pri x 2 nije jednak 1 - što učiniti?
Ovo je općenitiji slučaj od slučaja a=1. Obim izračuna se, naravno, povećava. Uznemiruje, da ... Ali cjelokupno rješenje uglavnom ostaje isti. Dodan mu je samo jedan novi korak. Ovo me čini sretnim.)
Za sada razmislite o bezopasnom slučaju, bez razlomaka i drugih zamki. Na primjer:
2 x 2 -4 x+6
U sredini je minus. Dakle, uklopit ćemo kvadrat razlike. Ali koeficijent na kvadrat x je dvojka. I lakše je raditi s jednim. S čistim x. Što učiniti? I izbacimo ovu dvojku iz zagrade! Kako se ne bi miješao. Imamo pravo! Dobivamo:
2(x 2 -2 x+3)
Kao ovo. Sada trinom u zagradi - već sa čist X na kvadrat! Kao što zahtijeva algoritam razine 1. I sada je već moguće raditi s ovim novim trinomom prema staroj uhodanoj shemi. Ovdje glumimo. Napišimo to odvojeno i transformirajmo:
x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2
Napola gotovo. Ostaje umetnuti rezultirajući izraz unutar zagrada i proširiti ih natrag. Dobiti:
2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4
Spreman!
Odgovor:
2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4
Popravljamo u glavi:
Ako koeficijent na kvadrat x nije jednak jedan, tada ovaj koeficijent vadimo iz zagrada. S trinomom koji ostaje unutar zagrada, radimo prema uobičajenom algoritmu za a=1. Nakon što ste u njemu odabrali puni kvadrat, zalijepite rezultat na mjesto i otvorite vanjske zagrade.
Ali što ako koeficijenti b i c nisu djeljivi s a? Ovo je najčešći i ujedno najgori slučaj. Onda samo razlomci, da... Ne može se ništa učiniti. Na primjer:
3 x 2 +2 x-5
Sve je isto, pošaljemo trojku iz zagrade, dobijemo:
Nažalost, ni dva ni pet nisu potpuno djeljivi s tri, pa su koeficijenti novog (reduciranog) trinoma frakcijski. Pa, ništa strašno. Izravan rad s razlomcima: dva tercine x pretvoriti u dvostruko umnožak od x prema jedan treće, dodajte kvadrat jedne trećine (tj. 1/9), oduzmite to, oduzmite 5/3...
Općenito, razumijete!
Odlučite što već postoji. Trebalo bi završiti ovako:
I još jedne grablje. Mnogi studenti slavno se bore protiv pozitivnih cijelih brojeva, pa čak i razlomaka, ali drže se negativnih. Na primjer:
- x 2 +2 x-3
Što učiniti s minusom prijex 2 ? U formuli za kvadrat zbroja / razlike potreban je bilo koji plus ... Nije pitanje! Sve isto. Ovaj minus izvlačimo u zagrade. Oni. minus jedan. Kao ovo:
- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)
I sve stvari. I s trinomom u zagradi - opet po nabranoj stazi.
x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2
Dakle, minus:
- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2
To je sve. Što? Ne znate kako izbaciti minus iz zagrade? Pa ovo je pitanje za elementarnu algebru sedmog razreda, a ne za kvadratne trinome...
Zapamtite: radite s negativnim koeficijentom a ništa inherentno drugačije od rada s pozitivnim. Iznošenje negativnog a izvan zagrada, a zatim - prema svim pravilima.
Zašto morate moći odabrati cijeli kvadrat?
Prva korisna stvar je crtanje parabola brzo i bez grešaka!
Na primjer, takav zadatak:
Nacrtajte funkciju:g=- x 2 +2 x+3
Što ćemo učiniti? Graditi po točkama? Naravno da je moguće. Malim koracima na dugom putu. Prilično dosadno i nezanimljivo...
Prije svega podsjećam da prilikom gradnje bilo koji parabole, uvijek joj postavljamo standardni set pitanja. Ima ih dvoje. Naime:
1) Kamo su usmjereni ogranci parabole?
2) Gdje je vrh?
Sa smjerom grana sve je jasno iz izvornog izraza. Podružnice će biti usmjerene put prema dolje, jer koeficijent prijex 2 - negativno. Minus jedan. Minus prije x-kvadrata stalno okreće parabolu.
Ali s položajem vrha, sve nije tako očito. Postoji, naravno, opća formula za izračunavanje njegove apscise preko koeficijenata a i b.
Ovaj:
Ali ne sjećaju se svi ove formule, oh, ne sjećaju se svi ... A 50% onih koji se još sjećaju posrnu iz vedra neba i zabrljaju u banalnoj aritmetici (obično pri brojanju igre). Šteta, zar ne?)
Sada ćete naučiti kako pronaći koordinate vrha bilo koje parabole u mojim mislima u jednoj minuti! I x i y. U jednom mahu i bez ikakvih formula. Kako? Odabirom punog kvadrata!
Dakle, odabiremo cijeli kvadrat u našem izrazu. Dobivamo:
y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4
Tko je dobro upućen u opće informacije o funkcijama i dobro je savladao temu" transformacije grafa funkcije “, lako će shvatiti da je željena parabola dobivena iz uobičajene parabole g= x 2 uz pomoć tri transformacije. To:
1) Promijenite smjer grana.
To je označeno znakom minus ispred uglatih zagrada ( a=-1). Bilo je g= x 2 , postao g=- x 2 .
pretvorba: f ( x ) -> - f ( x ) .
2) Paralelna translacija parabole y=- x 2 X 1 jedinica u DESNO.
Tako se dobije međuraspored y=-(x-1 ) 2 .
pretvorba: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).
Zašto je pomak udesno, a ne ulijevo, iako je u zagradi minus? Ovo je teorija transformacija grafova. Ovo je zasebno pitanje.
I konačno,
3) Paralelni prijenos parabole y=-( x -1) 2 za 4 jedinice GORE.
Tako se dobije konačna parabola. y=-(x-1) 2 +4 .
pretvorba: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)
A sada gledamo naš lanac transformacija i mislimo: Kamo se pomiče vrh parabole?g=x 2 ? Nalazio se u točki (0; 0), nakon prve transformacije vrh se nije nikamo pomaknuo (parabola se jednostavno okrenula), nakon druge se pomaknuo prema dolje za x za +1, a nakon treće za y za +1. +4. Totalni top pogodio je bit (1; 4) . To je sva tajna!
Slika će biti sljedeća:
Zapravo sam vam iz tog razloga toliko uporno skrenuo pozornost na brojke. m i n dobivenih u procesu odabira punog kvadrata. Niste pogodili zašto? Da. Poanta je da točka s koordinatama (- m ; n ) - uvijek je vrh parabole g = a ( x + m ) 2 + n . Samo gledamo brojeve u pretvorenom trinomu i u mojim mislima dajemo točan odgovor, gdje je vrh. Zgodno, zar ne?)
Crtanje parabola je prva korisna stvar. Prijeđimo na drugu.
Druga korisna stvar je rješavanje kvadratnih jednadžbi i nejednadžbi.
Da da! Odabir punog kvadrata u mnogim slučajevima ispada puno brže i učinkovitije tradicionalne metode rješavanja takvih problema. Sumnjati? Molim! Evo zadatka za vas:
Riješite nejednadžbu:
x 2 +4 x+5 > 0
Naučeno? Da! To je klasika kvadrat nejednakosti . Sve takve nejednakosti rješavaju se standardnim algoritmom. Za ovo nam je potrebno:
1) Iz nejednadžbe sastavite jednadžbu standardnog oblika i riješite je, pronađite korijene.
2) Nacrtajte os X i označite korijene jednadžbe točkama.
3) Shematski prikaži parabolu prema izvornom izrazu.
4) Odredite +/- područja na slici. Odaberite željena područja prema izvornoj nejednadžbi i zapišite odgovor.
Zapravo, cijeli ovaj proces je dosadan, da ...) I, štoviše, ne spašava uvijek od pogrešaka u nestandardnim situacijama poput ovog primjera. Hajdemo prvo isprobati uzorak, može?
Dakle, napravimo prvu točku. Iz nejednadžbe sastavljamo jednadžbu:
x 2 +4 x+5 = 0
Standardna kvadratna jednadžba, bez trikova. Mi odlučujemo! Diskriminantom smatramo:
D = b 2 -4 ak = 4 2 - 4∙1∙5 = -4
To je to! A diskriminant je negativan! Jednadžba nema korijena! I nema ništa za crtanje na osi ... Što da radim?
Ovdje bi neki mogli zaključiti da izvorna nejednakost također nema rješenja.. Ovo je kobna zabluda, da... Ali isticanjem cijelog kvadrata točan odgovor na ovu nejednakost može se dati za pola minute! Sumnjati? Pa, možete mjeriti vrijeme.
Dakle, odabiremo cijeli kvadrat u našem izrazu. Dobivamo:
x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1
Izvorna nejednakost počela je izgledati ovako:
(x+2) 2 +1 > 0
I sada, ne rješavajući i ne transformirajući ništa dalje, jednostavno uključimo elementarnu logiku i pomislimo: ako je na kvadrat nekog izraza (vrijednost je očito nenegativan!) dodajte još jedan, koji ćemo broj dobiti na kraju? Da! Strogo pozitivan!
Sada pogledajmo nejednakost:
(x+2) 2 +1 > 0
Prevodimo unos s matematičkog jezika na ruski: za koji je x striktno pozitivan izraz će biti strogo više nula? Niste pogodili? Da! S bilo kojim!
Evo vašeg odgovora: x je bilo koji broj.
Sada se vratimo na algoritam. Ipak, razumijevanje suštine i jednostavno pamćenje dvije su različite stvari.)
Suština algoritma je da od lijeve strane standardne nejednadžbe napravimo parabolu i gledamo gdje je iznad X osi, a gdje ispod. Oni. gdje su pozitivne vrijednosti lijeve strane, gdje su negativne.
Ako napravimo parabolu s naše lijeve strane:
y=x 2 +4 x+5
I nacrtaj njegov graf, vidjet ćemo to svi cijela parabola prolazi iznad x-osi. Slika će izgledati ovako:
Parabola je kriva, da ... Zato je shematska. Ali u isto vrijeme, sve što nam treba vidljivo je na slici. Parabola nema točaka sjecišta s osi X, nema nulte vrijednosti igre. I, naravno, nema ni negativnih vrijednosti. To je prikazano sjenčanjem cijele X-osi. Usput, Y-os i koordinate vrha sam ovdje prikazao s dobrim razlogom. Usporedite koordinate vrha parabole (-2; 1) i naš transformirani izraz!
y=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1
a kako ti Da! U našem slučaju m=2 i n=1 . Dakle, vrh parabole ima koordinate: (- m; n) = (-2; 1) . Sve je logično.)
Još jedan zadatak:
Riješite jednadžbu:
x 2 +4 x+3 = 0
Jednostavna kvadratna jednadžba. Možete odlučiti na starinski način. Moguće je kroz . Kako želiš. Matematika ne smeta.)
Uzmimo korijene: x 1 =-3 x 2 =-1
A ako ni jedan ni drugi način toga ... ne sjećate se? Eto, sija ti dvojka, u dobrom smislu, ali... Neka bude tako, ja ću te spasiti! Pokazat ću vam kako možete riješiti neke kvadratne jednadžbe koristeći samo metode sedmog razreda. Opet odaberite cijeli kvadrat!)
x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1
A sada zapisujemo rezultirajući izraz kao ... razlika kvadrata! Da, da, ima jedan u sedmom razredu:
a 2 -b 2 = (a-b)(a+b)
Cast a zagrade strše(x+2) , i u ulozi b- jedan. Dobivamo:
(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)
Ovo proširenje ubacujemo u jednadžbu umjesto kvadratnog trinoma:
(x+1)(x+3)=0
Ostaje utvrditi da je umnožak faktora jednak nuli tada i samo tada kada je bilo koji od njih jednak nuli. Stoga izjednačavamo (u umu!) s nulom svaku zagradu.
Dobivamo: x 1 =-3 x 2 =-1
To je sve. Dva ista korijena. Takav je vješt primatelj. Pored diskriminante.)
Usput, o diskriminantu i općoj formuli za korijene kvadratne jednadžbe:
U lekciji sam izostavio izvođenje ove glomazne formule. Za beskorisnost. Ali ovdje je mjesto za njega.) Želite li znati kako dobiti ovu formulu? Odakle dolazi izraz za diskriminant i zašto točnob 2 -4ac, ali ne na neki drugi način? Ipak, potpuno razumijevanje suštine onoga što se događa mnogo je korisnije od nepromišljenog škrabanja kojekakvih slova i simbola, zar ne?)
Treća korisna stvar je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe.
Idemo! Uzimamo kvadratni trinom u općem obliku sjekira 2 + bx+ c i… počinjemo birati cijeli kvadrat! Da, ravno kroz pisma! Postojala je aritmetika, postala je algebra.) Prvo, kao i obično, izvadimo slovo a izvan zagrada, a sve ostale koeficijente podijelite s a:
Kao ovo. Ovo je savršeno legalna konverzija: a nije jednak nuli, i može se podijeliti s njim. I opet radimo sa zagradama prema uobičajenom algoritmu: napravimo dvostruki proizvod od izraza s x, dodamo / oduzmemo kvadrat drugog broja ...
Sve je isto, ali sa slovima.) Pokušajte sami završiti! Zdrav!)
Nakon svih transformacija trebali biste dobiti ovo:
I zašto trebamo graditi takve gomile od bezopasnog trinoma - pitate se? Ništa, sad će biti zanimljivo! I sada, naravno, izjednačavamo ovu stvar na nulu:
Rješavamo to kao normalnu jednadžbu, radimo po svim pravilima, samo sa slovima. Radimo elementarno:
1) Pomaknite veći razlomak udesno. Kod pomicanja plusa prelazimo u minus. Kako ne bih nacrtao minus ispred samog razlomka, jednostavno ću promijeniti sve predznake u brojniku. S lijeve strane u brojniku je bilo4ac-b 2 , a nakon prijenosa postaje -( 4ac-b 2 ) , tj. b 2 -4 ak. Nešto poznato, zar ne? Da! Diskriminator, on je najviše ...) Bit će ovako:
2) Čistimo kvadratne zagrade iz koeficijenta. Oba dijela dijelimo s " a". S lijeve strane, prije zagrada, slovo a nestaje, a s desne strane prelazi u nazivnik velikog razlomka, pretvarajući ga u 4 a 2 .
Ispada ova jednakost:
Nije ti išlo? Onda je tema "" za vas. Dođite odmah!
sljedeći korak izvaditi korijen. Zanima nas X, zar ne? A X sjedi ispod kvadrata ... Ekstrahiramo prema pravilima za vađenje korijena, naravno. Nakon ekstrakcije događa se sljedeće:
S lijeve strane je kvadrat zbroja nestaje i ostaje samo sam zbroj. Što je potrebno.) Ali s desne strane pojavljuje se plus/minus. Jer naša pozamašna frakcija, unatoč svom sjajnom izgledu, jest samo neki broj. Razlomački broj. Ovisno o koeficijentu a, b, c. Pritom, korijen iz brojnika ovog razlomka nije lijepo izvučen, postoji razlika od dva izraza. I ovdje je korijen nazivnika 4 a 2 sasvim izvlacivo! Ispast će lako 2 a.
"Teško" pitanje za popunjavanje: jesam li imao pravo, izvlačeći korijen iz izraza 4 a2, dati odgovor samo 2a? Uostalom, pravilo ekstrakcije korijen obvezuje stavljanje znaka modula, tj.2|a| !
Razmislite zašto sam ipak izostavio znak modula. Jako korisno. Savjet: odgovor leži u znaku plus/minus ispred razlomka.)
Ostalo je praznih mjesta. Nudimo čisti x na lijevoj strani. Da biste to učinili, pomaknite malu frakciju udesno. S promjenom predznaka biber je bistar. Podsjećam vas da se znak u razlomku može promijeniti bilo gdje i na bilo koji način. Želimo promijeniti prije razlomka, želimo u nazivniku, želimo u brojniku. promijenit ću znak u brojniku. Bilo je + b, postao – b. Nadam se da nema prigovora?) Nakon prijenosa postat će ovako:
Zbrojimo dva razlomka s istim nazivnicima i dobijemo (konačno!):
Dobro? Što da kažem? Vau!)
Četvrta korisna stvar je za učenike da uzmu na znanje!
Sada glatko prijeđimo iz škole na fakultet. Nećete vjerovati, ali izbor punog kvadrata u višoj matematici također je neophodan!
Na primjer, takav zadatak:
Nađi neodređeni integral:
Gdje započeti? Izravna primjena se ne kotrlja. Sprema samo odabir cijelog kvadrata, da ...)
Oni koji ne znaju odabrati puni kvadrat zauvijek će ostati na ovom jednostavnom primjeru. I tko zna kako raspoređuje i prima:
x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4
I sad se integral (za one koji znaju) uzima jednom lijevom!
Super je, zar ne? I nisu samo integrali! O analitičkoj geometriji već šutim, sa svojim krivulje drugog reda – elipsa, hiperbola, parabola i kružnica.
Na primjer:
Odredite vrstu krivulje dane jednadžbom:
x 2 + g 2 -6 x-8 g+16 = 0
Bez mogućnosti odabira punog kvadrata, zadatak se ne može riješiti, da ... Ali primjer ne može biti lakši! Za one koji znaju, naravno.
Grupiramo članove s x i s y u hrpe i odabiremo pune kvadrate za svaku varijablu. Dobiti:
(x 2 -6x) + (g 2 -8 g) = -16
(x 2 -6x+9)-9 + (g 2 -8 g+16)-16 = -16
(x-3) 2 + (g-4) 2 = 9
(x-3) 2 + (g-4) 2 = 3 2
Pa kako je? Jeste li saznali kakvu životinju?) Pa, naravno! Kružnica polumjera tri sa središtem u točki (3; 4).
I to je sve.) Korisna stvar je odabrati cijeli kvadrat!)
Kao što sam već primijetio, u integralnom računu ne postoji prikladna formula za integriranje razlomka. I stoga postoji tužan trend: što je razlomak "fancy", to je teže iz njega pronaći integral. U tom smislu, potrebno je pribjeći raznim trikovima, o kojima ću sada govoriti. Pripremljeni čitatelji mogu odmah koristiti sadržaj:
- Metoda podvođenja pod predznak diferencijala za proste razlomke
Metoda umjetne transformacije brojnika
Primjer 1
Usput, razmatrani integral također se može riješiti metodom promjene varijable, označavajući , ali rješenje će biti puno duže.
Primjer 2
Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Ovo je primjer "uradi sam". Treba napomenuti da ovdje metoda zamjene varijable više neće raditi.
Pažnja važna! Primjeri br. 1, 2 su tipični i uobičajeni. Konkretno, takvi integrali često nastaju u tijeku rješavanja drugih integrala, posebice pri integriranju iracionalnih funkcija (korijena).
Gore navedena metoda također funkcionira u slučaju ako je najveća potencija brojnika veća od najveće potencije nazivnika.
Primjer 3
Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Počnimo s brojnikom.
Algoritam odabira brojnika je otprilike ovakav:
1) U brojniku trebam organizirati , ali tamo . Što učiniti? Stavljam u zagrade i množim sa: .
2) Sada pokušavam otvoriti ove zagrade, što se događa? . Hmm ... već bolje, ali nema dvojke s inicijalom u brojniku. Što učiniti? Morate pomnožiti sa:
3) Ponovno otvaranje zagrada: . I evo prvog uspjeha! Ispostavilo se potrebno! Ali problem je što se pojavio dodatni termin. Što učiniti? Da se izraz ne bi promijenio, moram svojoj konstrukciji dodati isto: 
. Život je postao lakši. Je li moguće ponovno organizirati u brojniku?
4) Možete. Pokušavamo: 
. Proširite zagrade drugog člana: 
. Žao mi je, ali zapravo sam imao u prethodnom koraku, a ne . Što učiniti? Moramo pomnožiti drugi član sa: 
5) Opet, radi provjere, otvaram zagrade u drugom izrazu: 
. Sada je normalno: dobiveno iz konačne konstrukcije stavka 3! Ali opet postoji mali "ali", pojavio se dodatni izraz, što znači da moram dodati svom izrazu: 
Ako je sve učinjeno ispravno, tada kada otvorimo sve zagrade, trebali bismo dobiti izvorni brojnik integranda. Provjeravamo:
Dobro.
Na ovaj način: 
Spreman. U prošlom semestru primijenio sam metodu podvođenja funkcije ispod diferencijala.
Ako pronađemo derivaciju odgovora i izraz dovedemo na zajednički nazivnik, tada ćemo dobiti točno originalni integrand. Razmatrani način proširenja u zbroj nije ništa drugo nego obrnuta radnja da se izraz dovede do zajedničkog nazivnika.
Algoritam odabira brojnika u takvim primjerima najbolje se izvodi na nacrtu. Uz nešto vještina, djelovat će i mentalno. Sjećam se rekordnog vremena kada sam napravio selekciju na 11. potenciju, a proširenje brojnika je oduzelo skoro dva retka Werda.
Primjer 4
Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Ovo je primjer "uradi sam".
Metoda podvođenja pod predznak diferencijala za proste razlomke
Prijeđimo na sljedeću vrstu razlomaka.
, , , (koeficijenti i nisu jednaki nuli).
Zapravo, nekoliko slučajeva s arksinusom i arktangensom već je iskliznulo u lekciji Metoda promjene varijable u neodređenom integralu. Takvi se primjeri rješavaju dovođenjem funkcije pod predznak diferencijala i zatim integriranjem pomoću tablice. Evo još nekoliko tipičnih primjera s dugim i visokim logaritmom:
Primjer 5
Primjer 6
Ovdje je preporučljivo pokupiti tablicu integrala i slijediti koje formule i kako događa se transformacija. Bilješka, kako i zašto kvadrati su istaknuti u ovim primjerima. Konkretno, u primjeru 6, prvo trebamo predstaviti nazivnik kao 
, zatim dovesti pod znak diferencijala. I sve to trebate učiniti kako biste koristili standardnu tabličnu formulu 
.
Ali što da gledamo, pokušajte sami riješiti primjere br. 7,8, tim više što su dosta kratki:
Primjer 7
Primjer 8
Nađi neodređeni integral:
Ako također možete provjeriti ove primjere, onda veliko poštovanje odnosimo na vaše najbolje vještine razlikovanja.
Metoda odabira punog kvadrata
Integrali oblika , 
(koeficijenti i nisu jednaki nuli) su riješeni metoda odabira punog kvadrata, koji se već pojavio u lekciji Geometrijske transformacije crteža.
Zapravo, takvi se integrali svode na jedan od četiri tablična integrala koje smo upravo razmotrili. A to se postiže korištenjem poznatih skraćenih formula množenja:
Formule se primjenjuju u tom smjeru, odnosno ideja metode je umjetno organizirati izraze ili u nazivniku, a zatim ih pretvoriti u ili .
Primjer 9
Nađi neodređeni integral
Ovo je najjednostavniji primjer gdje uz pojam – jedinični koeficijent(a ne neki broj ili minus).
Gledamo nazivnik, ovdje se cijela stvar jasno svodi na slučaj. Počnimo pretvarati nazivnik:
Očito, trebate dodati 4. I tako da se izraz ne mijenja - ista četiri i oduzmite:
Sada možete primijeniti formulu:
Nakon završetka konverzije STALNO poželjno je izvršiti obrnuti potez: sve je u redu, nema grešaka.
Čisti dizajn predmetnog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako: 
Spreman. Dovođenje "slobodne" složene funkcije pod diferencijalni predznak: , načelno se može zanemariti
Primjer 10
Nađi neodređeni integral:
Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.
Primjer 11
Nađi neodređeni integral:
Što učiniti kada je ispred minus? U ovom slučaju, trebate izvaditi minus iz zagrada i rasporediti pojmove redoslijedom koji nam je potreban:. Konstantno("duplo" u ovom slučaju) Ne dirajte!
Sada dodajemo jedan u zagradi. Analizirajući izraz, dolazimo do zaključka da nam je potreban jedan iza zagrade - dodajte:
Ovdje je formula, primijenite:
STALNO vršimo provjeru nacrta:
, što je trebalo provjeriti.
Čisti dizajn primjera izgleda otprilike ovako: 
Kompliciramo zadatak
Primjer 12
Nađi neodređeni integral: 
Ovdje kod pojma više nije riječ o jednom koeficijentu, već o “petici”.
(1) Ako se konstanta nađe na, odmah je izbacujemo iz zagrada.
(2) Općenito, uvijek je bolje ovu konstantu izvaditi iz integrala, tako da ne smeta.
(3) Očito je da će se sve svesti na formulu . Potrebno je razumjeti pojam, naime, dobiti "dvojku"
(4) Da, . Dakle, dodajemo izrazu i oduzimamo isti razlomak.
(5) Sada odaberite puni kvadrat. U općem slučaju također je potrebno izračunati , ali ovdje imamo formulu dugog logaritma 
, a akcija nema smisla izvoditi, zašto - postat će jasno malo niže.
(6) Zapravo, možemo primijeniti formulu 
, samo umjesto "x" imamo, što ne poništava valjanost tabličnog integrala. Strogo govoreći, nedostaje jedan korak - prije integracije funkciju je trebalo dovesti pod predznak diferencijala: 
, ali, kao što sam više puta primijetio, to se često zanemaruje.
(7) U odgovoru ispod korijena poželjno je otvoriti sve zagrade natrag:
teško? Ovo nije najteže u integralnom računu. Iako, primjeri koji se razmatraju nisu toliko komplicirani koliko zahtijevaju dobru tehniku izračuna.
Primjer 13
Nađi neodređeni integral:
Ovo je primjer "uradi sam". Odgovorite na kraju lekcije.
Postoje integrali s korijenima u nazivniku, koji se uz pomoć zamjene svode na integrale razmatranog tipa, o njima možete pročitati u članku Kompleksni integrali, ali je dizajniran za visoko pripremljene učenike.
Dovođenje brojnika pod znak diferencijala
Ovo je završni dio lekcije, međutim, integrali ovog tipa su prilično česti! Ako se nakupio umor, možda je bolje čitati sutra? ;)
Integrali koje ćemo razmatrati slični su integralima iz prethodnog paragrafa, imaju oblik: ili 
(koeficijenti , i nisu jednaki nuli).
To jest, imamo linearnu funkciju u brojniku. Kako riješiti takve integrale?
