Yra pirmos eilės diferencialinė lygtis. Diferencialinės lygtys internete

Straipsnio turinys

DIFERENCINĖS LYGTYBĖS. Daugelis fizinių dėsnių, kuriems taikomi tam tikri reiškiniai, yra parašyti matematinės lygties forma, kuri išreiškia tam tikrą ryšį tarp kai kurių dydžių. Dažnai kalbame apie ryšį tarp verčių, kurios keičiasi laikui bėgant, pavyzdžiui, variklio efektyvumas, matuojamas atstumu, kurį automobilis gali nuvažiuoti su vienu litru degalų, priklauso nuo automobilio greičio. Atitinkama lygtis turi vieną ar daugiau funkcijų ir jų išvestinių ir vadinama diferencialine lygtimi. (Atstumo kitimo greitį laikui bėgant lemia greitis; todėl greitis yra atstumo išvestinė; taip pat pagreitis yra greičio išvestinė, nes pagreitis nustato greičio kitimo laikui bėgant greitį.) Didelė svarba, kurias diferencialinės lygtys turi matematikai ir ypač jos pritaikymui, paaiškinamos tuo, kad tiriant daugelį fizinių ir technines užduotis. Diferencialinės lygtys vaidina svarbų vaidmenį kituose moksluose, pavyzdžiui, biologijoje, ekonomikoje ir elektros inžinerijoje; iš tikrųjų jie atsiranda visur, kur reikia kiekybinio (skaitinio) reiškinių aprašymo (kai tik pasaulis laikui bėgant keičiasi, o sąlygos keičiasi iš vienos vietos į kitą).

Pavyzdžiai.

Šie pavyzdžiai leidžia geriau suprasti, kaip įvairios problemos formuluojamos diferencialinėmis lygtimis.

1) Kai kurių radioaktyviųjų medžiagų skilimo dėsnis yra toks, kad skilimo greitis yra proporcingas turimam šios medžiagos kiekiui. Jeigu x yra medžiagos kiekis tam tikru laiko momentu t, tada šis įstatymas gali būti parašytas taip:

Kur dx/dt yra skilimo greitis ir k yra tam tikra teigiama konstanta, apibūdinanti duotąją medžiagą. (Tai rodo minuso ženklas dešinėje pusėje x laikui bėgant mažėja; pliuso ženklas, visada numanomas, kai ženklas nėra aiškiai nurodytas, tai reikštų x laikui bėgant didėja.)

2) Talpykloje iš pradžių yra 10 kg druskos, ištirpintos 100 m 3 vandens. Jeigu Tyras vanduo pila į indą 1 m 3 per minutę greičiu ir tolygiai susimaišo su tirpalu, o gautas tirpalas tokiu pat greičiu išteka iš indo, tai kiek druskos bus inde bet kuriuo vėlesniu momentu? Jeigu x- druskos kiekis (kg) inde tuo metu t, tada bet kuriuo metu t Talpykloje yra 1 m 3 tirpalo x/100 kg druskos; todėl druskos kiekis mažėja greičiu x/100 kg/min, arba

3) Tegul masė ant kūno m pakabintas nuo spyruoklės galo, atkuriamoji jėga veikia proporcingai spyruoklės įtempimo dydžiui. Leisti x- kūno nukrypimo nuo pusiausvyros padėties dydis. Tada pagal antrąjį Niutono dėsnį, kuris teigia, kad pagreitis (antrasis išvestinis iš x laike, pažymėta d 2 x/dt 2) proporcingai stiprumui:

Dešinė pusė yra su minuso ženklu, nes atkuriamoji jėga sumažina spyruoklės pratęsimą.

4) Kūnų vėsinimo dėsnis teigia, kad šilumos kiekis kūne mažėja proporcingai kūno temperatūrų skirtumui ir aplinką. Jei kavos puodelis, pašildytas iki 90 ° C temperatūros, yra patalpoje, kurios temperatūra yra 20 ° C, tada

Kur T– kavos temperatūra tuo metu t.

5) Blefusku valstijos užsienio reikalų ministras teigia, kad Liliputo priimta ginkluotės programa verčia jo šalį kiek įmanoma didinti karines išlaidas. Panašius pareiškimus daro ir Liliputo užsienio reikalų ministras. Susidariusią situaciją (paprasčiausiu jos aiškinimu) galima tiksliai apibūdinti dviem diferencialinėmis lygtimis. Leisti x Ir y- Lilliput ir Blefuscu ginklavimo išlaidos. Darant prielaidą, kad Lilliputia padidina savo išlaidas ginkluotei proporcingai Blefuscu ginkluotės išlaidų didėjimo tempui ir atvirkščiai, gauname:

kur yra nariai kirvis Ir - pateikė apibūdinti kiekvienos šalies karines išlaidas, k Ir l yra teigiamos konstantos. (Pirmą kartą šią problemą 1939 m. taip suformulavo L. Richardsonas.)

Užduotis parašius diferencialinių lygčių kalba, reikia pabandyti jas išspręsti, t.y. rasti dydžius, kurių kitimo greitis įtrauktas į lygtis. Kartais sprendimai randami aiškių formulių pavidalu, tačiau dažniau jie gali būti pateikti tik apytiksliai arba gauti apie juos kokybinės informacijos. Dažnai sunku nustatyti, ar sprendimas apskritai egzistuoja, jau nekalbant apie jo radimą. Svarbi diferencialinių lygčių teorijos dalis yra vadinamosios „egzistencijos teoremos“, kurios įrodo vieno ar kito tipo diferencialinių lygčių sprendimo egzistavimą.

Pirminėje matematinėje fizinės problemos formuluotėje paprastai yra supaprastinančių prielaidų; jų pagrįstumo kriterijus gali būti matematinio sprendimo suderinamumo su turimais stebėjimais laipsnis.

Diferencialinių lygčių sprendiniai.

Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis dy/dx = x/y, tenkina ne skaičių, o funkciją, šiuo konkrečiu atveju taip, kad jo grafikas bet kuriame taške, pavyzdžiui, taške su koordinatėmis (2,3), turi liestinę, kurios nuolydis yra lygus koordinačių santykiui ( mūsų pavyzdyje 2/3). Tai lengva patikrinti, jei sukonstruota daug taškų ir iš kiekvieno atskirta trumpa atkarpa su atitinkamu nuolydžiu. Sprendimas bus funkcija, kurios grafikas liečia kiekvieną atitinkamos atkarpos tašką. Jei taškų ir atkarpų yra pakankamai, galime apytiksliai nubrėžti sprendimo kreivių eigą (trys tokios kreivės parodytos 1 pav.). Per kiekvieną tašką eina tiksliai viena sprendimo kreivė y Nr. 0. Kiekvienas atskiras sprendimas vadinamas konkrečiu diferencialinės lygties sprendiniu; jei įmanoma rasti formulę, apimančią visus konkrečius sprendimus (galbūt išskyrus keletą specialiųjų), tada sakome, kad gautas bendras sprendimas. Konkretus sprendimas yra viena funkcija, o bendras sprendimas yra visa jų šeima. Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti jos konkretų arba bendrą sprendimą. Mūsų pavyzdyje bendras sprendimas turi formą y 2 – x 2 = c, Kur c- bet koks skaičius; konkretus sprendimas, einantis per tašką (1,1), turi formą y = x ir gaunamas, kai c= 0; konkretus sprendimas, einantis per tašką (2.1), turi formą y 2 – x 2 = 3. Sąlyga, reikalaujanti, kad sprendimo kreivė eitų, pavyzdžiui, per tašką (2,1), vadinama pradine sąlyga (nes ji nurodo sprendimo kreivės pradžios tašką).

Galima parodyti, kad (1) pavyzdyje bendras sprendimas turi formą x = ce –kt, Kur c- konstanta, kurią galima nustatyti, pavyzdžiui, nurodant medžiagos kiekį t= 0. Lygtis iš (2) pavyzdžio yra ypatingas (1) pavyzdžio lygties atvejis, atitinkantis k= 1/100. Pradinė būklė x= 10 val t= 0 pateikia konkretų sprendimą x = 10e –t/100 . (4) pavyzdyje pateikta lygtis turi bendrą sprendimą T = 70 + ce –kt ir tam tikras sprendimas 70 + 130 – kt; norint nustatyti vertę k, reikia papildomų duomenų.

Diferencialinė lygtis dy/dx = x/y vadinama pirmos eilės lygtimi, nes joje yra pirmoji išvestinė (diferencialinės lygties tvarka įprasta laikyti į ją įtrauktos aukščiausios išvestinės eilę). Daugumoje (nors ir ne visų) pirmojo tipo diferencialinių lygčių, kurios atsiranda praktiškai, per kiekvieną tašką eina tik viena sprendimo kreivė.

Yra keletas svarbių pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipų, kurias galima išspręsti formulėmis, kuriose yra tik elementarios funkcijos - laipsniai, eksponentai, logaritmai, sinusai ir kosinusai ir kt. Šios lygtys apima šias lygtis.

Lygtys su atskiriamais kintamaisiais.

Formos lygtys dy/dx = f(x)/g(y) galima išspręsti rašant diferencialais g(y)dy = f(x)dx ir integruojant abi dalis. Blogiausiu atveju sprendimas gali būti pavaizduotas kaip žinomų funkcijų integralai. Pavyzdžiui, lygties atveju dy/dx = x/y mes turime f(x) = x, g(y) = y. Įrašant jį formoje ydy = xdx ir integruodami gauname y 2 = x 2 + c. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais apima lygtis iš (1), (2), (4) pavyzdžių (jas galima išspręsti aukščiau aprašytu metodu).

Lygtys suminiuose diferencialuose.

Jei diferencialinė lygtis turi formą dy/dx = M(x,y)/N(x,y), kur M Ir N yra dvi nurodytos funkcijos, ją galima pavaizduoti kaip M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Jei kairioji pusė yra kokios nors funkcijos diferencialas F(x,y), tada diferencialinę lygtį galima parašyti kaip dF(x,y) = 0, kuri yra lygi lygčiai F(x,y) = konst. Taigi lygties-sprendimo kreivės yra funkcijos „pastovių lygių linijos“ arba taškų lokusas, atitinkantis lygtis. F(x,y) = c. Lygtis ydy = xdx(1 pav.) - su atskiriamais kintamaisiais, ir tai yra tas pats - suminiais skirtumais: norėdami patikrinti pastarąjį, rašome jį formoje ydy – xdx= 0, t.y. d(y 2 – x 2) = 0. Funkcija F(x,y) šiuo atveju yra lygus (1/2)( y 2 – x 2); kai kurios jo pastovaus lygio linijos parodytos fig. 1.

Tiesinės lygtys.

Tiesinės lygtys yra „pirmojo laipsnio“ lygtys – nežinoma funkcija ir jos išvestinės į tokias lygtis įtraukiamos tik pirmojo laipsnio. Taigi pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis turi formą dy/dx + p(x) = q(x), kur p(x) Ir q(x) funkcijos priklauso tik nuo x. Jo sprendimas visada gali būti parašytas naudojant žinomų funkcijų integralus. Daugelis kitų pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipų išsprendžiamos naudojant specialius metodus.

Aukštesnių laipsnių lygtys.

Daugelis diferencialinių lygčių, kurias nagrinėja fizikai, yra antros eilės lygtys (t. y. lygtys, kuriose yra antrosios išvestinės). Tokia, pavyzdžiui, yra paprasta harmoninio judėjimo lygtis iš (3) pavyzdžio, md 2 x/dt 2 = –kx. Paprastai tariant, galima tikėtis, kad antros eilės lygtis turės konkrečius sprendimus, tenkinančius dvi sąlygas; Pavyzdžiui, galima reikalauti, kad sprendimo kreivė praeitų duotas taškas V šią kryptį. Tais atvejais, kai diferencialinėje lygtyje yra koks nors parametras (skaičius, kurio reikšmė priklauso nuo aplinkybių), reikiamo tipo sprendimai egzistuoja tik tam tikroms šio parametro reikšmėms. Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį md 2 x/dt 2 = –kx ir mes to reikalaujame y(0) = y(1) = 0. Funkcija yє 0 tikrai yra sprendimas, bet jei yra sveikasis skaičius kartotinis p, t.y. k = m 2 n 2 p 2, kur n yra sveikasis skaičius, ir iš tikrųjų tik šiuo atveju yra ir kitų sprendimų, būtent: y= nuodėmė npx. Parametrų reikšmės, kurių lygtis turi specialius sprendimus, vadinamos charakteristikomis arba savosiomis reikšmėmis; jie atlieka svarbų vaidmenį atliekant daugelį užduočių.

Paprasto harmoninio judėjimo lygtis parodo svarbią lygčių klasę, būtent tiesines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais. Bendresnis pavyzdys (taip pat antros eilės) yra lygtis

Kur a Ir b suteikiamos konstantos, f(x) yra nurodyta funkcija. Tokias lygtis galima išspręsti Skirtingi keliai, pavyzdžiui, naudojant integralinę Laplaso transformaciją. Tą patį galima pasakyti apie tiesines aukštesnio laipsnio lygtis su pastoviais koeficientais. Linijinės lygtys su kintamaisiais koeficientais taip pat vaidina svarbų vaidmenį.

Netiesinės diferencialinės lygtys.

Netiesinėmis vadinamos lygtys, kuriose yra nežinomų funkcijų ir jų išvestinių, aukštesnių už pirmąją arba kokiu nors sudėtingesniu būdu. IN pastaraisiais metais jie sulaukia vis daugiau dėmesio. Esmė ta, kad fizinės lygtys paprastai yra tiesinės tik pirmuoju aproksimavimu; tolesniam ir tikslesniam tyrimui, kaip taisyklė, reikia naudoti netiesines lygtis. Be to, daugelis problemų iš prigimties yra nelinijinės. Kadangi netiesinių lygčių sprendimai dažnai yra labai sudėtingi ir sunkiai pavaizduojami paprastos formulės, Esminė dalis šiuolaikinė teorija yra skirta kokybinei jų elgesio analizei, t.y. metodų kūrimas, leidžiantis, neišsprendžiant lygčių, pasakyti ką nors reikšmingo apie sprendinių kaip visumos pobūdį: pavyzdžiui, kad jie visi yra riboti, turi periodinį pobūdį arba tam tikru būdu priklauso nuo koeficientus.

Apytikslius diferencialinių lygčių sprendimus galima rasti skaičiais, tačiau tai užima daug laiko. Atsiradus didelės spartos kompiuteriams, šis laikas labai sumažėjo, o tai atvėrė naujas galimybes skaitiniu būdu išspręsti daugelį problemų, kurių anksčiau nebuvo galima išspręsti.

Egzistencijos teoremos.

Egzistencijos teorema yra teorema, teigianti, kad tam tikromis sąlygomis duota diferencialinė lygtis turi sprendimą. Yra diferencialinių lygčių, kurios neturi sprendimų arba turi daugiau sprendinių nei tikėtasi. Egzistencijos teoremos tikslas – įtikinti mus, kad tam tikra lygtis tikrai turi sprendimą, o dažniausiai – užtikrinti, kad ji turi būtent vieną reikiamo tipo sprendinį. Pavyzdžiui, lygtis, su kuria jau susidūrėme dy/dx = –2y turi tiksliai vieną sprendimą, einantį per kiekvieną plokštumos tašką ( x,y), ir kadangi mes jau radome vieną tokį sprendimą, mes visiškai išsprendėme šią lygtį. Kita vertus, lygtis ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 turi daug sprendimų. Tarp jų yra tiesioginių y = 1, y= –1 ir kreivės y= nuodėmė ( x + c). Sprendimas gali būti sudarytas iš kelių šių tiesių ir kreivių segmentų, einančių vienas į kitą sąlyčio taškuose (2 pav.).

Dalinės diferencialinės lygtys.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra teiginys apie vieno kintamojo nežinomos funkcijos išvestinę. Dalinėje diferencialinėje lygtyje yra dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija ir tos funkcijos išvestinės bent dviejuose skirtinguose kintamuosiuose.

Fizikoje tokių lygčių pavyzdžiai yra Laplaso lygtis

X , y) apskritimo viduje, jei reikšmės u yra pateiktos kiekviename ribojančio apskritimo taške. Kadangi problemos su daugiau nei vienu kintamuoju fizikoje yra taisyklė, o ne išimtis, nesunku įsivaizduoti, koks platus yra dalinių diferencialinių lygčių teorijos dalykas.

Paskaitų užrašai apie

diferencialines lygtis

Diferencialinės lygtys

Įvadas

Tiriant kai kuriuos reiškinius dažnai susidaro situacija, kai proceso negalima aprašyti naudojant lygtį y=f(x) arba F(x;y)=0. Be kintamojo x ir nežinomos funkcijos, lygtis apima šios funkcijos išvestinę.

Apibrėžimas: Vadinama lygtis, susijusi su kintamuoju x, nežinoma funkcija y(x) ir jos išvestinėmis diferencialinė lygtis. IN bendras vaizdas diferencialinė lygtis atrodo taip:

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Apibrėžimas: Diferencialinės lygties tvarka yra jos aukščiausios išvestinės eilė.

-1 eilės diferencialinė lygtis

–3 eilės diferencialinė lygtis

Apibrėžimas: Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija, kuri, pakeitus ją į lygtį, paverčia ją tapatybe.

1 eilės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas: Tipo lygtis =f(x;y) arba F(x;y; )=0vadinama 1 eilės diferencialine lygtimi.

Apibrėžimas: Pirmosios eilės diferencialinės lygties bendrasis sprendinys yra funkcija y=γ(x;c), kur (с –const), kuri, pakeitus ją į lygtį, paverčia ją tapatybe. Geometriškai plokštumoje bendrasis sprendimas atitinka integralinių kreivių šeimą, priklausomai nuo parametro c.

Apibrėžimas: Integralinė kreivė, einanti per tašką plokštumoje su koordinatėmis (x 0; y 0), atitinka tam tikrą diferencialinės lygties sprendinį, kuris tenkina pradinę sąlygą:

Teorema apie I eilės diferencialinės lygties sprendinio unikalumo egzistavimą

Duota 1 eilės diferencialinė lygtis
o funkcija f(x; y) yra ištisinė kartu su dalinėmis išvestinėmis XOY plokštumos D srityje, tada per tašką M 0 (x 0; y 0) D praeina vienintelę kreivę, atitinkančią tam tikrą diferencialinės lygties sprendinį, atitinkantį pradinę sąlygą y(x 0)=y 0

Per plokštumos tašką su nurodytomis koordinatėmis eina 1 integralinė kreivė.

Jeigu nepavyksta gauti 1 eilės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio eksplicitine forma, t.y.
, tada jį galima gauti netiesiogiai:

F(x; y; c) =0 – numanoma forma

Bendras sprendimas šioje formoje vadinamas bendras integralas diferencialinė lygtis.

Kalbant apie 1 eilės diferencialinę lygtį, nustatomos 2 užduotys:

1) Raskite bendrą sprendimą (bendrąjį integralą)

2) Raskite konkretų sprendimą (dalinį integralą), kuris tenkina duotą pradinę sąlygą. Ši problema vadinama Koši problema diferencialinei lygčiai.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Formos lygtys:
vadinama diferencialine lygtimi su atskiriamais kintamaisiais.

Pakaitalas

padauginti iš dx

mes atskiriame kintamuosius

padalinti iš

Pastaba: būtina atsižvelgti į ypatingą atvejį, kai

kintamieji yra atskirti

integruojame abi lygties puses

– bendras sprendimas

Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais gali būti parašyta taip:

individualus atvejis
!

Integruojame abi lygties dalis:

1)

2)
anksti sąlygos:

1 eilės vienarūšės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas: Funkcija
vadinamas vienarūšiu n eilės, jei

Pavyzdys: - vienalytė funkcija, kurios eilės n=2

Apibrėžimas: Vadinama vienalytė 0 eilės funkcija vienalytis.

Apibrėžimas: Diferencialinė lygtis
vadinama vienalyte, jei
- vienalytė funkcija, t.y.

Taigi homogeninę diferencialinę lygtį galima parašyti taip:

Keičiant , kur t yra kintamojo x funkcija, homogeninė diferencialinė lygtis redukuojama į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

- pakeisti į lygtį

Kintamieji atskiriami, integruojame abi lygties dalis

Atlikime atvirkštinį pakeitimą pakeisdami , mes gauname bendrą sprendimą numanoma forma.

Vienalytę diferencialinę lygtį galima parašyti diferencine forma.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, kur M(x;y) ir N(x;y) yra tos pačios eilės vienarūšės funkcijos.

Padalinkite iš dx ir išreikškite

1)

Prisiminkite problemą, su kuria susidūrėme ieškodami apibrėžtųjų integralų:

arba dy = f(x)dx. Jos sprendimas:

ir belieka skaičiuoti neapibrėžtas integralas. Praktikoje dažniau atliekama sunkesnė užduotis: surasti funkciją y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausios eilės tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- Pirmas užsakymas

Antras užsakymas,

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei norimai funkcijai y pavyko gauti formulę, kuri pateikia visus sprendimus, tada sakome, kad radome jos bendrą sprendimą , arba bendrasis integralas .

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y Ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas t.y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba privatus integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, prie konstantų reikia pridėti konkrečias skaitines reikšmes.

Tam tikro sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi konkretūs sprendimai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos konstantos; lygčiai nįsakymas – nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti tam tikrą lygties sprendimą nįsakymas, tenkina n pradinės sąlygos:

kurios nustato n konstantų с 1 , с 2 ,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Išvestinės atžvilgiu neišspręstam pirmos eilės diferencialinė lygtis turi tokią formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrą lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei suteikiame C konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią pinigų sumą, įneštą į banką, sukaupus 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx pasibaigus galiojimo laikui x metų. Kai palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paeiliui paima reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Pažymėkite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą su nuolatiniu palūkanų kaupimu:

Taigi galima pastebėti, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas I eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išsprendžiame šią lygtį, todėl ją perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o , iš kur Yo = P. Todėl sprendimas atrodo taip:

Apsvarstykite antrąją ekonominę problemą. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokytį kaip laiko funkciją.

3.48 pavyzdys. Tegul nacionalinės pajamos Y didėja proporcingu jų dydžiui:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y= Yoe kt . Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

tai rodo, kad valstybės skola didėja tokiu pačiu santykiniu tempu k, tai yra nacionalinės pajamos.

Apsvarstykite paprasčiausias diferencialines lygtis n tvarka, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n integracijos laikais.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Ekonomikoje jie labai naudingi, apsvarstykite tokių lygčių sprendimą. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada ji vadinama tiesine, kur po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) pateiktos funkcijos. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinama vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai p o (x), p 1 (x),..., p n (x) yra konstantos, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais eilės koeficientais n .

(9.4) jis turi tokią formą:

Galime nustatyti neprarandant bendrumo p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime sprendinio (9.6) formoje y = e kx , kur k yra konstanta. Mes turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeiskite gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n Ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi yra konkretūs sprendimai (9.7), o bendrieji

Apsvarstykite antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendras sprendimas yra:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Antros eilės tiesinės diferencialinės lygtys naudojamos tiriant į tinklą panašų ekonominį modelį su prekių atsargomis, kur kainos kitimo greitis P priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 pastraipą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra,

a - yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi:

Tam tikram sprendimui galite naudoti konstantą

kuri turi pusiausvyros kainos reikšmę. Nukrypimas tenkina homogeninę lygtį

(9.10)

Būdinga lygtis bus tokia:

Tokiu atveju terminas yra teigiamas. Pažymėti . Charakteristinės lygties k 1,2 = ± i w šaknys, todėl bendrasis sprendinys (9.10) turi tokią formą:

kur C ir savavališkos konstantos, jos nustatomos iš pradinių sąlygų. Gavome kainos kitimo laike dėsnį:

The internetinis skaičiuotuvas leidžia spręsti diferencialines lygtis internetu. Pakanka įvesti savo lygtį į atitinkamą lauką, apostrofu pažymint „funkcijos išvestinę“ ir paspausti mygtuką „išspręsti lygtį“. O populiarios „WolframAlpha“ svetainės pagrindu įdiegta sistema pateiks išsamią informaciją. diferencialinės lygties sprendimas visiškai nemokamai. Taip pat galite nustatyti Cauchy problemą taip, kad iš viso rinkinio galimi sprendimai pasirinkti koeficientą, atitinkantį pateiktas pradines sąlygas. Koši problema įvedama atskirame lauke.

Diferencialinė lygtis

Pagal numatytuosius nustatymus lygtyje funkcija y yra kintamojo funkcija x. Tačiau galite nustatyti savo kintamojo žymėjimą, jei rašote, pavyzdžiui, y(t) lygtyje, skaičiuotuvas automatiškai atpažins, kad y yra kintamojo funkcija t. Su skaičiuokle galite išspręsti diferencialines lygtis bet kokio sudėtingumo ir tipo: vienarūšės ir nehomogeniškos, tiesinės ar netiesinės, pirmos eilės arba antros ir aukštesnės eilės, lygtys su atskiriamais arba neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Sprendimo skirtumas. lygtys pateiktos analitinė forma, Tai turi Išsamus aprašymas. Diferencialinės lygtys yra labai paplitusios fizikoje ir matematikoje. Be jų skaičiavimo neįmanoma išspręsti daugelio problemų (ypač matematinės fizikos).

Vienas iš diferencialinių lygčių sprendimo žingsnių yra funkcijų integravimas. Yra standartiniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai. Reikia suvesti lygtis į formą su atskiriamais kintamaisiais y ir x ir atskirai integruoti atskirtas funkcijas. Norėdami tai padaryti, kartais turite atlikti tam tikrą pakeitimą.

Diferencialinė lygtis (DE) yra lygtis,
kur yra nepriklausomi kintamieji, y yra funkcija ir yra dalinės išvestinės.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti tik vieną nepriklausomą kintamąjį, .

Dalinė diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų.

Žodžių „įprasta“ ir „daliniai dariniai“ galima praleisti, jei aišku, kokia lygtis nagrinėjama. Toliau nagrinėjamos įprastos diferencialinės lygtys.

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Štai pirmosios eilės lygties pavyzdys:

Štai ketvirtos eilės lygties pavyzdys:

Kartais pirmosios eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencialais:

Šiuo atveju kintamieji x ir y yra lygūs. Tai yra, nepriklausomas kintamasis gali būti x arba y. Pirmuoju atveju y yra x funkcija. Antruoju atveju x yra y funkcija. Jei reikia, šią lygtį galime perkelti į tokią formą, kurioje išvestinė y′ įvedama aiškiai.
Padalinę šią lygtį iš dx , gauname:
.
Nuo ir , iš to išplaukia
.

Diferencialinių lygčių sprendimas

Elementariųjų funkcijų išvestinės išreiškiamos elementariomis funkcijomis. Elementariųjų funkcijų integralai dažnai neišreiškiami elementariomis funkcijomis. Su diferencialinėmis lygtimis situacija dar blogesnė. Dėl sprendimo galite gauti:

• aiški funkcijos priklausomybė nuo kintamojo;

  Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija y = u (x), kuris yra apibrėžtas, yra n kartų diferencijuotas ir .

• numanoma priklausomybė Φ tipo lygties forma (x, y) = 0 arba lygčių sistemos;

  Diferencialinės lygties integralas yra diferencialinės lygties sprendimas, turintis numanomą formą.

• priklausomybė, išreikšta elementariomis funkcijomis ir integralais nuo jų;

  Diferencialinės lygties sprendimas kvadratais - tai yra sprendimo paieška elementariųjų funkcijų ir jų integralų derinio pavidalu.

• sprendimas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis.

Kadangi diferencialinių lygčių sprendimas redukuojamas iki integralų skaičiavimo, sprendinys apima aibę konstantų C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Konstantų skaičius lygus lygties tvarkai. Diferencialinės lygties dalinis integralas yra bendrasis integralas nurodytoms konstantų C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n reikšmėms.

Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, LKI, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, Lan, 2003 m.