Aritmetinė formulės progresija an. Algebrinė progresija

Studijuodami algebrą bendrojo lavinimo mokykla(9 klasė) vienas iš svarbiomis temomis yra skaitinių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina pateikti nagrinėjamos progresijos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Į jį pakeičiame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi buvo atsakyta į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ir 7 = 18.

3 pavyzdys: progresas

Dar labiau apsunkinkime problemos būklę. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galime pateikti tokį pavyzdį: pateikti du skaičiai, pavyzdžiui, 4 ir 5. Būtina atlikti algebrinę progresiją, kad tarp jų tilptų dar trys nariai.

Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą duoti skaičiai užims tolesnėje progresijoje. Kadangi tarp jų bus dar trys terminai, tada 1 \u003d -4 ir 5 \u003d 5. Tai nustatę, pereiname prie užduoties, panašios į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nuo: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia skirtumas yra ne sveikasis skaičius, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progresijos narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 kuri sutapo su problemos sąlyga.

4 pavyzdys: pirmasis progreso narys

Tęskime pavyzdžius aritmetinė progresija su tirpalu. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, nuo kurio skaičiaus prasideda ši seka.

Iki šiol naudotos formulės daro prielaidą, kad žinomos 1 ir d. Apie šiuos skaičius problemos sąlygomis nieko nežinoma. Nepaisant to, užrašykite kiekvieno termino, apie kurį turime informacijos, išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Nurodytą sistemą lengviausia išspręsti, jei kiekvienoje lygtyje išreiškiate 1, o tada palyginsite gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (duodami tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jei kyla abejonių dėl rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos narį. Gauname: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Nedidelė klaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

5 pavyzdys: suma

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, ši problema gali būti išspręsta, tai yra, nuosekliai susumuoti visus skaičius, ką kompiuteris padarys, kai tik žmogus paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, dar būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad sudėjus skaičių poras, esančias sekos kraštuose, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

6 pavyzdys: terminų suma nuo n iki m

Kitas tipiškas pavyzdys aritmetinės progresijos suma yra tokia: pateikiant skaičių eilę: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokia bus jos narių suma nuo 8 iki 14.

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, šią problemą siūloma spręsti antruoju metodu, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad į 2 sumą įeina pirmoji. Paskutinė išvada reiškia, kad jei paimsime skirtumą tarp šių sumų, o prie jo pridėsime terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gauname reikiamą problemos atsakymą. Mes turime: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos n-ojo nario išraiškos ir pirmųjų narių aibės sumos formulės žinojimu. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką norite rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendimu Nr. 6 pavyzdyje galima sustoti ties formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir išsiskyrė bendra užduotisį atskiras poproblemas (šiuo atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Kaip rasti aritmetinę progresiją, sužinojome. Kai tai išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Skaitmeninė seka

Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti skaičius. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaitmeninė seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam eilės numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaitinę seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Tokia skaitinė seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ romėnų autorius Boethius įvedė dar VI amžiuje ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip nesibaigianti skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kuria užsiėmė senovės graikai.

Tai skaitinė seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtas tuo pačiu numeriu. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkite mūsų atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Prie ankstesnės progresijos skaičiaus reikšmės galime pridėti tol, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos --asis narys yra lygus.

2. Metodas

Ką daryti, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas būtų užtrukęs ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad sudėdami skaičius nebūtume suklydę.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip prie ankstesnės reikšmės nereikia pridėti aritmetinės progresijos skirtumo. Atidžiai pažiūrėkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą modelį, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kas sudaro šios aritmetinės progresijos --ojo nario reikšmę:

Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu savarankiškai rasti šios aritmetinės progresijos nario vertę.

Apskaičiuota? Palyginkite savo įrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės iš eilės pridėjome aritmetinės progresijos narius.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę- paverskime ją bendra forma ir gaukime:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetinės progresijos arba didėja, arba mažėja.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Pažiūrėkime tai praktiškai.
Mums pateikiama aritmetinė progresija, susidedanti iš sekančius skaičius: Pažiūrėkime, koks bus --asis šios aritmetinės progresijos skaičius, jei skaičiuodami naudosime savo formulę:

Nuo tada:

Taigi buvome įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didinant aritmetinę progresiją.
Pabandykite patys rasti --ąjį ir -ąjį šios aritmetinės progresijos narius.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtinginkime užduotį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums pateikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Tai lengva, sakote, ir pradėkite skaičiuoti pagal jums jau žinomą formulę:

Leiskite, a, tada:

Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidų skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir mes stengsimės tai iškelti dabar.

Norimą aritmetinės progresijos narį pažymėkime kaip, žinome jo radimo formulę – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

ankstesnis progreso narys yra:
kitas progresavimo terminas yra:

Susukime ankstesnius ir kitus progreso narius:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dvigubai didesnė už tarp jų esančios progresijos nario vertę. Kitaip tariant, norint rasti progresijos nario su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis reikšmę, reikia jas pridėti ir padalinti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Pataisykime medžiagą. Progresavimo vertę apskaičiuokite patys, nes tai visai nesunku.

Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas, nesunkiai išvedė sau...

Kai Carlui Gaussui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, paklausė klasėje kita užduotis: „Suskaičiuokite visų sumą natūraliuosius skaičius nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai. Kuo nustebino mokytojas, kai vienas iš jo mokinių (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolių klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą ...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo modelį, kurį galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ti narių: Turime rasti nurodytų aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet ką daryti, jei užduotyje reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai pažiūrėkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.

Išbandė? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar atsakykite, kiek tokių porų bus mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panašių lygių porų, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresavimo skirtumą. Pabandykite sumos formulę pakeisti th nario formule.
Ką tu gavai?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo pateiktas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kokia yra skaičių, prasidedančių nuo -ojo, ir skaičių, prasidedančių nuo -ojo, suma.

Kiek gavai?
Gaussas pasirodė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos narių sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir visą tą laiką sąmojingi žmonės naudojo aritmetinės progresijos ypatybes.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptas ir didžiausia to meto statybų aikštelė – piramidės statyba... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakai, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.

Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Suskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei į pagrindą dedamos blokinės plytos. Tikiuosi neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, ar pamenate paskutinę formulę ir viską, ką pasakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip:
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių skaičiuojame 2 būdais).

1 būdas.

2 būdas.

O dabar galite skaičiuoti ir monitoriuje: palyginkite gautas reikšmes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Ar sutiko? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša pritūps per savaites, jei darydavo pritūpimus per pirmąją treniruotę.
Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
Laikydami rąstus, medkirčiai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pagrindas yra rąstai.

Atsakymai:

Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
(savaitės = dienos).
Atsakymas: Po dviejų savaičių Maša turėtų pritūpti kartą per dieną.
Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis numeris.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Tačiau nelyginių skaičių skaičius per pusę, tačiau patikrinkite šį faktą naudodami formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos --ąjį narį:
Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
Turimus duomenis pakeičiame į formulę:
Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.
Prisiminkite problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , kadangi kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, yra tik krūva sluoksnių, tai yra.
Pakeiskite duomenis formulėje:
Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinant

- skaitinė seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jo daugėja ir mažėja.
Formulės radimas aritmetinės progresijos narys užrašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur - skaičių skaičius progresijoje.
Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:

, kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaitmeninė seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius, jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galite atskirti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaitmeninė seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir tik vienu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei --asis sekos narys gali būti pateiktas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Pasikartojančia vadiname formulę, kurioje, norint sužinoti -tąjį terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal tokią formulę rasti progresijos t-ąjį narį, turime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, tegul. Tada:

Na, dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame prie, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kam? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Ir koks skirtumas? Ir štai kas:

(juk jis vadinamas skirtumu, nes lygus eilės progresijos narių skirtumui).

Taigi formulė yra tokia:

Tada šimtasis terminas yra:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičiaus suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir trečiojo nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas kitas gaunamas pridedant skaičių prie ankstesnio. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos aštuntojo termino formulė yra tokia:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviejų skaitmenų?

Labai lengva: .

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

Kiekvieną dieną sportininkas nubėga 1 m daugiau nei praėjusią dieną. Kiek kilometrų jis nubėgs per savaites, jei pirmą dieną nubėgo km m?
Dviratininkas kiekvieną dieną nuvažiuoja daugiau mylių nei ankstesnis. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jis turi važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos paskutinę kelionės dieną?
Kasmet tiek pat sumažinama šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei pardavimui už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
.
Atsakymas:
Čia pateikiama:, reikia rasti.
Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
.
Pakeiskite reikšmes:
Šaknis akivaizdžiai netinka, tad atsakymas.
Apskaičiuokime per paskutinę dieną nuvažiuotą atstumą naudodami --ojo nario formulę:
(km).
Atsakymas:
Duota:. Rasti:.
Lengviau netampa:
(trinti).
Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Tai skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija didėja () ir mažėja ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašyta kaip formulė, kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai, kaip rasti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Dėl sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis egzaminas, stojant į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Aš niekuo jūsų neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką ...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos daug kas atsiveria. daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir prieigą prie visų užduočių ir visko paslėptus tekstus juos galima nedelsiant atidaryti.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Ką pagrindinis dalykas formules?

Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Žinoma, reikia žinoti pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.

Nepakanka įsiminti (ar apgauti) šią formulę. Būtina įsisavinti jo esmę ir taikyti formulę įvairiose problemose. Taip, ir nepamirškite tinkamu laiku, taip ...) Kaip nepamiršti- Nežinau. Ir čia kaip atsiminti Jei reikės, duosiu patarimą. Tiems, kurie įvaldo pamoką iki galo.)

Taigi, panagrinėkime aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.

Kas yra formulė apskritai – įsivaizduojame.) Kas yra aritmetinė progresija, narių skaičius, progresijos skirtumas – aiškiai pasakyta ankstesnėje pamokoje. Pažiūrėkite, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas n-asis terminas.

progresija į bendras vaizdas gali būti parašytas kaip skaičių serija:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys a 4- ketvirta ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtas – nuo a 120.

Kaip apibrėžti apskritai bet koks aritmetinės progresijos narys, s bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:

a n

Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Po raide n slepiasi iš karto visi narių skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir pan.

O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvokite, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę ...

Šis žymėjimas suteikia mums galingą įrankį dirbant su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir daugybė užduočių, kurias reikia išspręsti. Pamatysite toliau.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;

n- nario numeris.

Formulė susieja pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d Ir n. Aplink šiuos parametrus visi galvosūkiai sukasi paeiliui.

N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, užduotyje galima sakyti, kad progresą suteikia sąlyga:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tokia problema gali net suklaidinti... Nėra serijos, jokio skirtumo... Bet palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 \u003d 5 ir d = 2.

Ir tai gali būti dar piktesnė!) Jei laikysimės tos pačios sąlygos: a n = 5 + (n-1) 2, taip, atverti skliaustus ir duoti panašius? Gauname naują formulę:

an = 3 + 2n.

Tai Tik ne bendrai, o konkrečiai progresijai. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmasis narys yra penketukas... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.

Pažangos užduotyse yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, jūs atspėjote, yra progreso „n plius pirmasis“ terminas. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra vienetu didesnis už skaičių n. Pavyzdžiui, jei sprendžiame kokią nors problemą a n tada penkta kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.

Dažniausiai pavadinimas a n+1 pasitaiko rekursinėse formulėse. Nebijokite šio baisaus žodžio!) Tai tik būdas išreikšti aritmetinės progresijos terminą per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Ir kaip iš karto suskaičiuoti, sakyk dvidešimtą terminą, a 20? Bet jokiu būdu!) Nors 19-asis terminas nėra žinomas, 20-asis negali būti skaičiuojamas. Šiame yra esminis skirtumas pasikartojanti formulė iš n-ojo nario formulės. Rekursyvūs veikia tik per ankstesnis terminas, o n-ojo termino formulė – per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos iš eilės.

Aritmetinėje progresijoje rekursinė formulė gali būti lengvai paversta įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbkite su ja. GIA tokios užduotys dažnai randamos.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.

Pirmiausia pažvelkime į tiesioginį formulės taikymą. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:

Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Šį uždavinį galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti, taip pridėti... Valanda ar dvi.)

O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite laiku.) Mes nusprendžiame.

Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Lieka pažiūrėti, kas n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Čia rašome:

Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra ši prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Pakeiskite visus skaičius formulėje ir apskaičiuokite:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Tai viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą narį ir tūkstantį trečią, bet kurį. Vietoj to dedame n norimą skaičių raidės rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir svarstome.

Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Išspręskime problemą protingiau. Tarkime, kad turime tokią problemą:

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.

Jei turite kokių nors sunkumų, aš pasiūlysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Rašykite ranka tiesiai į užrašų knygelę:

a n = a 1 + (n-1)d

O dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime, o ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Viskas? Jei manote, kad tai viskas, tada jūs negalite išspręsti problemos, taip ...

Turime ir numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du variantai. Tai ir septyniolikto nario reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos, (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos neišspręsi. Nors ... ir be galvos.)

Dabar mes galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, įdėkime:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Iš esmės tai ir yra viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir apskaičiuoti. Jūs gaunate atsakymą: a 1 = 6.

Tokia technika – formulės rašymas ir tiesiog žinomų duomenų pakeitimas – labai padeda atliekant paprastas užduotis. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio matematikos apskritai negalima mokytis ...

Kita populiari problema:

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.

Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)

a n = a 1 + (n-1)d

Apsvarstykite, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypatingas akcentas!) n=15. Nesivaržykite pakeisti formule:

12=2 + (15-1)d

Atlikime aritmetiką.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tai teisingas atsakymas.

Taigi, užduotys a n, a 1 Ir d nusprendė. Belieka išmokti rasti numerį:

Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.

Žinomus dydžius pakeičiame n-ojo nario formule:

a n = 12 + (n-1) 3

Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n yra tam tikras progresijos narys su skaičiumi n... Ir šis progresijos narys, kurį mes žinome! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, taigi ir šį skaičių reikia surasti. Pakeiskite progresavimo terminą 99 į formulę:

99 = 12 + (n-1) 3

Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.

O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):

Nustatykite, ar skaičius 117 bus aritmetinės progresijos narys (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Dar kartą parašykime formulę. Ką, nėra pasirinkimų? Hm... Kam mums reikalingos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos narį? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 \u003d -3,6. Skirtumas d galima nustatyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Taip, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susidoroti su nežinomu numeriu n ir nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes net nežinome, kad ... Kaip būti!? Na, kaip būti, kaip būti... Įjunk Kūrybiniai įgūdžiai!)

Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. rašome formulę (taip-taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:

Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą darome? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Jis yra kažkur tarp 101 ir 102 narių. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos narys su rastu skaičiumi. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: Nr.

Užduotis pagrįsta tikra versija GIA:

Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:

a n \u003d -4 + 6,8n

Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.

Čia progresas nustatomas neįprastai. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia raskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.

Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi, yra mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje esanti formulė yra modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Nieko, dabar rasime.)

Kaip ir ankstesnėse užduotyse, mes pakeičiame n=1į šią formulę:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!

Panašiai ieškome dešimtojo termino:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Tai viskas.

O dabar tiems, kurie perskaitė iki šių eilučių, pažadėta premija.)

Tarkime, sudėtingoje kovos situacijoje, susijusioje su GIA arba vieningu valstybiniu egzaminu, pamiršote naudingą n-ojo aritmetinės progresijos nario formulę. Kažkas ateina į galvą, bet kažkaip neaiškiai... Nesvarbu n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?

Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Nelabai griežta, bet įsitikinti ir teisingas sprendimas to užtenka!) Išvadai pakanka prisiminti elementariąją aritmetinės progresijos reikšmę ir turėti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.

Nubrėžiame skaitinę ašį ir pažymime joje pirmąją. antras, trečias ir kt. nariai. Ir atkreipkite dėmesį į skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:

Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ar supranti? Kai kurių žodžių nerašau paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis.)

Kas yra ketvirtas terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.

a 4 =a 1 + 3 d

Pats laikas suvokti, kad tarpų skaičius, t.y. d, Visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, iki skaičiaus n, tarpų skaičius valios n-1. Taigi, formulė bus tokia (be variantų!):

a n = a 1 + (n-1)d

Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tai... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendimo prijungti visą galingą matematikos arsenalą – lygtis, nelygybes, sistemas ir t.t. Jūs negalite įdėti paveikslėlio į lygtį...

Užduotys savarankiškam apsisprendimui.

Apšilimui:

1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Raskite 3.

Užuomina: pagal paveikslėlį problema išspręsta per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Bet formulės įsisavinimui ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta ir paveikslėliu, ir formule. Jausti skirtumą!)

Ir tai nebėra apšilimas.)

2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .

Ką, nenoras piešti paveikslą?) Vis dėlto! Formulėje geriau, taip...

3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.

Šioje užduotyje progresija pateikiama kartotiniu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktosios kadencijos... Ne kiekvienas gali padaryti tokį žygdarbį.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!

4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.

5. Pagal 4 užduoties sąlygą raskite mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų progresijos narių sumą.

6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga yra -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.

Ne pati lengviausia užduotis, taip...) Čia metodas „ant pirštų“ neveiks. Turite rašyti formules ir išspręsti lygtis.

Atsakymai (netvarkingai):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Įvyko? Tai gražu!)

Ne viskas pavyksta? Atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus punktas. Skaitant problemą reikės dėmesingumo. Ir logika.

Visų šių problemų sprendimas yra išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ir fantazijos elementas ketvirtam, o subtilus momentas šeštajam, ir bendri požiūriai į bet kokių problemų sprendimą n-ojo termino formulei - viskas nudažyta. Rekomenduoju.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Arba aritmetika yra tam tikra sutvarkyta skaitinė seka, kurios savybės tiriamos mokyklos kursas algebra. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kas yra ši progresija?

Prieš pradedant svarstyti klausimą (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, kas bus aptariama.

Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematikos kalbą, yra toks:

Čia i yra eilutės elemento eilės skaičius a i . Taigi, žinodami tik vieną pradinį skaičių, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę, skirtumą d pridėkite prie pirmojo elemento a 1 n-1 kartą.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta pagalvoti apie paprastą ypatingą atvejį. Atsižvelgdami į natūraliųjų skaičių progresiją nuo 1 iki 10, turite rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Verta apsvarstyti vieną įdomus dalykas: kadangi kiekvienas terminas skiriasi nuo kito ta pačia reikšme d \u003d 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtuoju, antrojo su devintu ir tt bus toks pat rezultatas. Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada sumų skaičių (5) padauginę iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite pirmame pavyzdyje gautą rezultatą.

Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę, taip pat iš viso terminai n.

Manoma, kad Gaussas pirmą kartą pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo savo mokyklos mokytojo iškeltos problemos sprendimo: susumuoti pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos (pirmųjų elementų) sumą, tačiau dažnai užduotyse reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra atsižvelgiant į tokį pavyzdį: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m iki n. Norint išspręsti problemą, duotas progresijos segmentas nuo m iki n turi būti pavaizduotas kaip nauja skaičių seka. Tokiose atstovavimas m-t terminas a m bus pirmasis, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Tokiu atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau yra skaitinė seka, kurioje turėtumėte rasti jos narių sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5-ojo ir 12-ojo progresijos narių reikšmes. Paaiškėja:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos galuose, taip pat žinodami, kuriuos eilės skaičius jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Gaukite:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, o tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją. .