Taškas, simetriškas taškui tiesios plokštumos atžvilgiu. Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Abipusis linijų išdėstymas. Kampas tarp eilučių. Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų

Tiesė erdvėje visada gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija. Jei vienos plokštumos lygtis yra antrosios plokštumos lygtis, tai tiesės lygtis pateikiama kaip

čia nekolinearinis
. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesi linija erdvėje.

Kanoninės tiesės lygtys

Bet kuris nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba jai lygiagretus, vadinamas šios tiesės nukreipiamuoju vektoriumi.

Jei esmė žinoma
tiesė ir jos krypties vektorius
, tada kanoninės linijos lygtys yra tokios formos:

. (9)

Parametrinės tiesės lygtys

Tegu pateiktos kanoninės tiesės lygtys

.

Iš čia gauname tiesios linijos parametrines lygtis:

(10)

Šios lygtys naudingos ieškant tiesės ir plokštumos susikirtimo taško.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis
ir
atrodo kaip:

.

Kampas tarp eilučių

Kampas tarp eilučių

ir

yra lygus kampui tarp jų krypties vektorių. Todėl jį galima apskaičiuoti pagal (4) formulę:

Lygiagrečių linijų būklė:

.

Plokštumų statmenumo sąlyga:

Taško atstumas nuo tiesės

P duotas taškas
ir tiesioginis

.

Iš tiesės kanoninių lygčių taškas žinomas
, priklausantis tiesei, ir jos krypties vektorius
. Tada taško atstumas
nuo tiesės lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, aukščiui ir
. Vadinasi,

.

Linijų susikirtimo sąlyga

Dvi nelygiagrečios linijos

,

susikerta tada ir tik tada

.

Tiesės ir plokštumos tarpusavio išdėstymas.

Tegul tiesi linija
ir plokščias. Kampas tarp jų galima rasti pagal formulę

.

73 problema. Parašykite kanonines tiesės lygtis

(11)

Sprendimas. Norint užrašyti kanonines tiesės (9) lygtis, reikia žinoti bet kurį tiesei priklausantį tašką ir tiesės nukreipimo vektorių.

Raskime vektorių lygiagrečiai nurodytai linijai. Kadangi jis turi būti statmenas šių plokštumų normaliesiems vektoriams, t.y.

,
, tada

.

Iš bendrųjų tiesės lygčių turime tai
,
. Tada

.

Nuo taško
bet kurį tiesės tašką, tada jo koordinatės turi atitikti tiesės lygtis, o vieną iš jų galima nurodyti, pvz.
, randame kitas dvi koordinates iš sistemos (11):

Iš čia,
.

Taigi norimos linijos kanoninės lygtys turi tokią formą:

arba
.

74 problema.

ir
.

Sprendimas. Iš pirmosios eilutės kanoninių lygčių žinomos taško koordinatės
priklausančios tiesei, ir krypties vektoriaus koordinates
. Iš antrosios eilutės kanoninių lygčių žinomos ir taško koordinatės
ir krypties vektoriaus koordinates
.

Atstumas tarp lygiagrečių tiesių yra lygus atstumui iki taško
iš antros eilutės. Šis atstumas apskaičiuojamas pagal formulę

.

Raskime vektoriaus koordinates
.

Apskaičiuokite vektorinę sandaugą
:

.

75 problema. Raskite tašką simetriškas taškas
santykinai tiesus

.

Sprendimas. Rašome plokštumos, statmenos duotai tiesei ir einančios per tašką, lygtį . Kaip jo normalus vektorius nukreipimo vektorių galime paimti kaip tiesę. Tada
. Vadinasi,

Raskime tašką
duotosios tiesės ir plokštumos P susikirtimo taškas. Norėdami tai padaryti, užrašome tiesės parametrines lygtis, naudodamiesi (10) lygtimis, gauname

Vadinasi,
.

Leisti
taškas simetriškas taškui
apie šią eilutę. Tada esmė
vidurio taškas
. Norėdami rasti taško koordinates Mes naudojame atkarpos vidurio koordinačių formules:

,
,
.

Taigi,
.

76 problema. Parašykite plokštumos, einančios per tiesę, lygtį
ir

a) per tašką
;

b) statmenai plokštumai.

Sprendimas. Užrašykime bendrąsias šios tiesės lygtis. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite dvi lygybes:

Tai reiškia, kad norima plokštuma priklauso plokštumų pieštukui su generatoriais ir jos lygtį galima parašyti (8) forma:

a) rasti
ir nuo sąlygos, kad plokštuma eina per tašką
, todėl jo koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį. Pakeiskite taško koordinates
į plokštumų pluošto lygtį:

Rasta vertė
pakeičiame į (12) lygtį. gauname norimos plokštumos lygtį:

b) rasti
ir nuo sąlygos, kad norima plokštuma yra statmena plokštumai. Duotos plokštumos normalusis vektorius
, norimos plokštumos normalusis vektorius (žr. plokštumų pluošto (12) lygtį).

Du vektoriai yra statmeni tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra lygi nuliui. Vadinasi,

Pakeiskite rastą vertę
į plokštumų pluošto (12) lygtį. Gauname norimos plokštumos lygtį:

Savarankiško sprendimo užduotys

77 problema.Į kanoninę formą įtraukite linijų lygtis:

1)
2)

78 problema. Parašykite tiesės parametrines lygtis
, jei:

1)
,
; 2)
,
.

79 problema. Parašykite plokštumos, einančios per tašką, lygtį
statmenai linijai

80 problema. Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtis
statmenai plokštumai.

81 problema. Raskite kampą tarp eilučių:

1)
ir
;

2)
ir

82 problema.Įrodykite lygiagrečias tieses:

ir
.

83 problema.Įrodykite linijų statmenumą:

ir

84 problema. Apskaičiuokite taško atstumą
iš tiesiai:

1)
; 2)
.

85 problema. Apskaičiuokite atstumą tarp lygiagrečių linijų:

ir
.

86 problema. Tiesiose lygtyse
apibrėžti parametrą kad ši tiesė susikirstų su linija ir raskite jų susikirtimo tašką.

87 problema. Parodykite, kad tai tiesiai
lygiagrečiai plokštumai
, ir tiesi linija
slypi šioje plotmėje.

88 problema. Raskite tašką simetriškas taškas lėktuvo atžvilgiu
, jei:

1)
, ;

2)
, ;.

89 problema. Parašykite statmens, nukritusio iš taško, lygtį
tiesiogiai
.

90 problema. Raskite tašką simetriškas taškas
santykinai tiesus
.

2020 m. liepą NASA pradeda ekspediciją į Marsą. Erdvėlaivis į Marsą pristatys elektroninį nešiklį su visų registruotų ekspedicijos narių pavardėmis.

Jei šis įrašas išsprendė jūsų problemą arba jums jis tiesiog patiko, pasidalykite nuoroda į jį su draugais socialiniuose tinkluose.

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų ir arba iškart po žymos . Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įvesite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įklijuosite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją įkėlimo kodo versiją ir padėkite valdiklį arčiau šablono pradžia (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo tinklalapius įdėti matematines formules.

Dar viena Naujųjų metų išvakarės... šaltas oras ir snaigės ant lango stiklo... Visa tai paskatino vėl parašyti apie... fraktalus, ir ką apie tai žino Volframas Alfa. Šia proga yra įdomus straipsnis, kuriame pateikiami dvimačių fraktalų struktūrų pavyzdžiai. Čia mes apsvarstysime sudėtingesnius trimačių fraktalų pavyzdžius.

Fraktalas gali būti vizualiai pavaizduotas (apibūdintas) kaip geometrinė figūra ar kūnas (tai reiškia, kad abu yra rinkinys, šiuo atveju taškų rinkinys), kurių detalės turi tokią pačią formą kaip ir pati pradinė figūra. Tai yra, tai yra į save panašus statinys, kurio detales įvertinus padidinus pamatysime tokią pat formą kaip ir be padidinimo. Tuo tarpu įprastos geometrinės figūros (ne fraktalo) atveju, priartinus, pamatysime detales, kurių forma yra paprastesnė nei pati originali figūra. Pavyzdžiui, esant pakankamai dideliam padidinimui, dalis elipsės atrodo kaip tiesios linijos segmentas. Taip neatsitinka su fraktalais: jiems padidėjus, vėl pamatysime tą pačią sudėtingą formą, kuri su kiekvienu padidėjimu kartosis vėl ir vėl.

Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoit Mandelbrot savo straipsnyje Fraktalai ir menas mokslui rašė: "Fraktalai yra geometrinės figūros, kurių detalės yra tokios pat sudėtingos, kaip ir bendra forma. Tai yra, jei dalis fraktalų valios būti padidintas iki visumos dydžio, jis atrodys kaip visas, arba tiksliai, o gal su nedidele deformacija.

Oi-oi-oi... na, skarda, lyg sakinį sau perskaitei =) Tačiau tada atsipalaidavimas padės, juolab kad šiandien nusipirkau tinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.

Abipusis dviejų tiesių linijų išdėstymas

Atvejis, kai salė dainuoja kartu choru. Dvi eilutės gali:

1) rungtynės;

2) būti lygiagrečiai: ;

3) arba susikerta viename taške: .

Pagalba manekenams : atsiminkite matematikos ženklą sankryžų, tai įvyks labai dažnai. Įrašas reiškia, kad tiesė kertasi su taško linija.

Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?

Pradėkime nuo pirmojo atvejo:

Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra toks skaičius "lambda", kad lygybės

Panagrinėkime tieses ir iš atitinkamų koeficientų sudarykime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš -1 (pakeiskite ženklus) ir visus lygties koeficientus Sumažinkite 2, gausite tą pačią lygtį: .

Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:

Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų koeficientai kintamiesiems yra proporcingi: , bet.

Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą:

Tačiau aišku, kad.

Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų įvykdytos lygybės

Taigi tiesioms linijoms sudarysime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , o iš antrosios lygties: , taigi, sistema nenuosekli (sprendimų nėra). Taigi koeficientai ties kintamaisiais nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

Praktiniuose uždaviniuose galima naudoti ką tik svarstytą sprendimo schemą. Beje, jis labai panašus į vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį nagrinėjome pamokoje. Vektorių tiesinės (ne) priklausomybės samprata. Vektorinis pagrindas . Tačiau yra labiau civilizuotas paketas:

1 pavyzdys

Sužinokite santykinę linijų padėtį:

Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: .

, todėl vektoriai nėra kolinearūs, o linijos susikerta.

Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su rodyklėmis sankryžoje:

Likusieji šokinėja per akmenį ir eina tiesiai į Kaščejų Nemirtingą =)

b) Raskite tiesių krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba vienodos. Čia determinantas nėra būtinas.

Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi, o .

Išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga:

Šiuo būdu,

c) Raskite tiesių krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių:
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiogiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:

Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (paprastai ją tenkina bet koks skaičius).

Taigi, linijos sutampa.

Atsakymas:

Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti svarstomą problemą žodžiu pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau jokios priežasties pasiūlyti ką nors savarankiškam sprendimui, geriau į geometrinį pamatą pakloti dar vieną svarbią plytą:

Kaip nubrėžti liniją, lygiagrečią nurodytai?

Už šios paprasčiausios užduoties nežinojimą Lakštingala Plėšikas griežtai nubaudžia.

2 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Pažymėkite nežinomą eilutę raide . Ką apie tai sako sąlyga? Linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės „ce“ nukreipiamasis vektorius tinka ir tiesei „de“ statyti.

Iš lygties išimame krypties vektorių:

Atsakymas:

Pavyzdžio geometrija atrodo paprasta:

Analitinis patikrinimas susideda iš šių žingsnių:

1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.

Daugeliu atvejų analitinį patikrinimą lengva atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai supras, kaip linijos yra lygiagrečios be jokio piešinio.

Šiandienos savarankiško sprendimo pavyzdžiai bus kūrybingi. Nes vis tiek tenka konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra visokių mįslių mėgėja.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį

Yra racionalus ir nelabai racionalus sprendimo būdas. Trumpiausias kelias yra pamokos pabaigoje.

Šiek tiek padirbėjome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime problemą, kuri jums gerai žinoma iš mokyklos programos:

Kaip rasti dviejų linijų susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos

Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Čia tau dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos geometrinė reikšmė yra dvi susikertančios (dažniausiai) tiesės plokštumoje.

4 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.

Grafinis būdas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio:

Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną tiesės lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Tiesą sakant, mes svarstėme grafinį sprendimo būdą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad septintokai taip nusprendžia, esmė ta, kad taisyklingam ir TIKSLIAM piešiniui padaryti prireiks laiko. Be to, kai kurias linijas nėra taip paprasta sukonstruoti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už sąsiuvinio lapo.

Todėl sankirtos taško tikslingiau ieškoti analitiniu metodu. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti buvo naudojamas terminų lygčių sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, apsilankykite pamokoje Kaip išspręsti lygčių sistemą?

Atsakymas:

Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.

5 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Patogu problemą suskirstyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Parašykite tiesės lygtį.
2) Parašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:

Batų pora dar nenudėvėta, nes patekome į antrą pamokos dalį:

Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp eilučių

Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti lygiagrečią tiesią liniją, o dabar namelis ant vištos kojų pasisuks 90 laipsnių:

Kaip nubrėžti liniją, statmeną duotai linijai?

6 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite statmenos tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Darant prielaidą, kad . Būtų malonu rasti tiesės krypties vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:

Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.

Sudarome tiesės lygtį iš taško ir krypties vektoriaus:

Atsakymas:

Išskleiskite geometrinį eskizą:

Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išskirkite krypties vektorius ir su pagalba vektorių taškinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį .

Vėlgi, patvirtinimą lengva atlikti žodžiu.

7 pavyzdys

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir taškas.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotyje yra keli veiksmai, todėl patogu sprendinį išdėstyti taškas po taško.

Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Prieš mus yra tiesi upės juosta ir mūsų užduotis yra ją pasiekti trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėjimas statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „ro“, pavyzdžiui: - atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.

Atstumas nuo taško iki linijos išreiškiamas formule

8 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: viskas, ko jums reikia, yra atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Atlikime piešinį:

Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra lygiai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. \u003d 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.

Apsvarstykite kitą užduotį pagal tą patį brėžinį:

Užduotis yra rasti taško koordinates, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu . Siūlau veiksmus atlikti savarankiškai, tačiau pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.

3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio koordinačių formulės rasti.

Nebus nereikalinga patikrinti, ar atstumas taip pat lygus 2,2 vieneto.

Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte labai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti paprastas trupmenas. Daug kartų patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Tai dar vienas nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Maža užuomina: sprendimo būdų yra be galo daug. Aprašymas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandykite atspėti patys, manau, kad jums pavyko gerai išsklaidyti savo išradingumą.

Kampas tarp dviejų linijų

Kad ir koks kampas, tada stakta:


Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių imamas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nėra laikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jos „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties tamsiai raudonas kampas.

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kampo „slinkimo“ kryptis. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kodėl aš tai pasakiau? Atrodo, kad galite apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulėse, pagal kurias rasime kampus, galima lengvai gauti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Neigiamojo kampo brėžinyje būtina rodykle nurodyti jo orientaciją (pagal laikrodžio rodyklę).

Kaip rasti kampą tarp dviejų linijų? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp eilučių

Sprendimas ir Pirmasis metodas

Apsvarstykite dvi tiesias linijas, pateiktas lygtimis bendra forma:

Jei tiesiai ne statmenai, tada orientuotas kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atidžiai atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas Tiesių linijų krypties vektoriai:

Jei , tada formulės vardiklis išnyksta, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos - statmenos. Štai kodėl buvo padaryta išlyga dėl formuluotės linijų nestatumo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta, sprendimas yra patogiai įforminamas dviem etapais:

1) Apskaičiuokite tiesių nukreipimo vektorių skaliarinę sandaugą:
todėl linijos nėra statmenos.

2) Kampą tarp linijų randame pagal formulę:

Naudojant atvirkštinę funkciją, lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame lanko liestinės nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės ):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, taigi minusas, viskas gerai. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė neigiamos orientacijos, nes problemos sąlygoje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „sukimas“ prasidėjo būtent nuo jos.

Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti tiesias linijas, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties , ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties . Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio .