Kas yra b sinusas. Kas yra sinusas ir kosinusas yra procentai. Ryšys su kitomis trigonometrinėmis funkcijomis

Manau, kad tu nusipelnei daugiau. Štai mano raktas į trigonometriją:

• Nubrėžkite kupolą, sieną ir lubas
• Trigonometrinės funkcijos yra ne kas kita, kaip šių trijų formų procentai.

Sinuso ir kosinuso metafora: kupolas

Užuot žiūrėję į pačius trikampius, įsivaizduokite, kaip jie veikia, surasdami kokį nors konkretų realų pavyzdį.

Įsivaizduokite, kad esate kupolo viduryje ir norite pakabinti kino projektoriaus ekraną. Rodote pirštu į kupolą tam tikru "x" kampu, ir nuo to taško turėtų būti pakabintas ekranas.

Kampas, į kurį nukreipiate, lemia:

• sinusas (x) = sin (x) = ekrano aukštis (tvirtinimo taškas nuo grindų iki kupolo)
• kosinusas (x) = cos (x) = atstumas nuo jūsų iki ekrano (pagal aukštą)
• hipotenuzė, atstumas nuo jūsų iki ekrano viršaus, visada vienodas, lygus kupolo spinduliui

Ar norite, kad ekranas būtų kuo didesnis? Pakabinkite jį tiesiai virš savęs.

Ar norite, kad ekranas kabėtų kuo toliau nuo jūsų? Pakabinkite tiesiai statmenai. Šioje padėtyje ekrano aukštis bus lygus nuliui ir kabės atgal, kiek pageidaujate.

Aukštis ir atstumas nuo ekrano yra atvirkščiai proporcingi: kuo arčiau ekranas kabo, tuo didesnis bus jo aukštis.

Sinusas ir kosinusas yra procentai

Deja, niekas mano studijų metais man nepaaiškino, kad trigonometrinės funkcijos sinusas ir kosinusas yra ne kas kita, kaip procentai. Jų reikšmės svyruoja nuo +100% iki 0 iki -100%, arba nuo teigiamo maksimumo iki nulio iki neigiamo maksimumo.

Tarkime, sumokėjau 14 rublių mokestį. Jūs nežinote, kiek tai yra. Bet jei pasakysite, kad mokėjau 95% mokesčių, suprasite, kad buvau tiesiog nulupta kaip lipnus.

Absoliutus aukštis nieko nereiškia. Bet jei sinuso reikšmė yra 0,95, tai suprantu, kad televizorius kabo beveik ant jūsų kupolo. Labai greitai jis pasieks maksimalų aukštį kupolo centre ir vėl pradės mažėti.

Kaip galime apskaičiuoti šį procentą? Labai paprasta: dabartinį ekrano aukštį padalinkite iš didžiausio galimo (kupolo spindulio, dar vadinamo hipotenuse).

Štai kodėl mums sakoma, kad „kosinusas = priešinga koja / hipotenuzė“. Visa tai tam, kad gautum procentą! Geriausias būdas apibrėžti sinusą yra „dabartinio aukščio procentas nuo didžiausio galimo“. (Sinusas tampa neigiamas, jei jūsų kampas yra "po žeme". Kosinusas tampa neigiamas, jei kampas nukreiptas į kupolo tašką už jūsų.)

Supaprastinkime skaičiavimus, darydami prielaidą, kad esame vienetinio apskritimo centre (spindulys = 1). Galime praleisti padalijimą ir tiesiog paimti sinusą, lygų aukščiui.

Kiekvienas apskritimas iš tikrųjų yra vienas, padidintas arba sumažintas iki norimo dydžio. Taigi nustatykite vieneto apskritimo ryšius ir pritaikykite rezultatus savo konkrečiam apskritimo dydžiui.

Eksperimentuokite: paimkite bet kurį kampą ir pažiūrėkite, kiek procentų aukščio ir pločio jis rodomas:

Sinuso vertės augimo grafikas nėra tik tiesė. Pirmieji 45 laipsniai apima 70% aukščio, o paskutiniai 10 laipsnių (nuo 80° iki 90°) – tik 2%.

Taip jums bus aiškiau: jei einate ratu, 0 ° kampu kylate beveik vertikaliai, tačiau artėjant prie kupolo viršaus aukštis keičiasi vis mažiau.

Tangentas ir sekantas. Siena

Vieną dieną kaimynas pastatė sieną tiesiai atgal į nugarąį tavo kupolą. Verkė jūsų vaizdas iš lango ir gera perpardavimo kaina!

Bet ar šioje situacijoje įmanoma kaip nors laimėti?

Žinoma taip. O jei pakabintume kino ekraną tiesiai ant kaimyno sienos? Nutaikote į kampą (x) ir gaunate:

• tan(x) = tan(x) = ekrano aukštis ant sienos
• atstumas nuo jūsų iki sienos: 1 (tai jūsų kupolo spindulys, siena nuo jūsų niekur nejuda, tiesa?)
• secant(x) = sec(x) = „kopėčių ilgis“ nuo jūsų, stovinčio kupolo centre, iki pakabinamo ekrano viršaus

Paaiškinkime keletą dalykų apie liestinę arba ekrano aukštį.

• jis prasideda nuo 0 ir gali būti be galo didelis. Galite ištempti ekraną vis aukščiau ir aukščiau ant sienos, kad gautumėte tik begalinę drobę mėgstamam filmui žiūrėti! (Už tokį didžiulį, žinoma, teks išleisti daug pinigų).
• tangentas yra tik padidinta sinuso versija! Ir nors sinuso augimas sulėtėja judant link kupolo viršaus, liestinė toliau auga!

Sekansu taip pat turi kuo pasigirti:

• sekantas prasideda nuo 1 (kopėčios yra ant grindų, toliau nuo jūsų link sienos) ir pradeda kilti iš ten
• Sekantas visada yra ilgesnis už liestinę. Nuožulnios kopėčios, su kuriomis pakabinate ekraną, turi būti ilgesnės už patį ekraną, tiesa? (Nerealiuose dydžiuose, kai ekranas laaabai ilgas ir kopėčias reikia statyti beveik vertikaliai, jų dydžiai beveik vienodi. Bet ir tada sekantas bus šiek tiek ilgesnis).

Atminkite, kad vertybės yra procentų. Jei nuspręsite pakabinti ekraną 50 laipsnių kampu, tan(50)=1,19. Jūsų ekranas yra 19 % didesnis nei atstumas iki sienos (kupolo spindulys).

(Įveskite x=0 ir patikrinkite savo intuiciją – tan(0) = 0 ir sec(0) = 1.)

Kotangentas ir kosekantas. Lubos

Neįtikėtina, bet jūsų kaimynas dabar nusprendė pastatyti lubas virš jūsų kupolo. (Kas su juo? Matyt, nenori, kad tu žvilgteltum į jį, kai jis nuogas vaikšto po kiemą...)

Na, laikas statyti išėjimą į stogą ir pasikalbėti su kaimynu. Pasirenkate pasvirimo kampą ir pradėkite statyti:

• vertikalus atstumas tarp stogo išleidimo angos ir grindų visada yra 1 (kupolo spindulys)
• kotangentas (x) = cot (x) = atstumas tarp kupolo viršaus ir išėjimo taško
• kosekantas (x) = csc (x) = jūsų kelio iki stogo ilgis

Tangentas ir sekantas apibūdina sieną, o kotangentas ir kosekantas apibūdina grindis.

Šį kartą mūsų intuityvios išvados yra panašios į ankstesnes:

• Jei pasirinksite 0° kampą, jūsų išėjimas į stogą truks amžinai, nes jis niekada nepasieks lubų. Problema.
• Trumpiausius „laiptus“ į stogą gausite, jei pastatysite juos 90 laipsnių kampu grindų atžvilgiu. Kotangentas bus lygus 0 (visiškai nejudame išilgai stogo, išeiname griežtai statmenai), o kosekantas bus lygus 1 ("kopėčių ilgis" bus minimalus).

Vizualizuokite ryšius

Jei visi trys dėklai nubraižyti kupolo, sienos ir grindų derinyje, bus gauta:

Na, oho, tai toks pat trikampis, padidintas, kad pasiektų sieną ir lubas. Turime vertikalias puses (sinusą, liestinę), horizontalias puses (kosinusą, kotangentą) ir „hipotenusus“ (sekantą, kosekantą). (Pagal rodykles matote, kiek kiekvienas elementas pasiekia. Kosekantas yra bendras atstumas nuo jūsų iki stogo).

Šiek tiek magijos. Visi trikampiai turi tas pačias lygybes:

Iš Pitagoro teoremos (a 2 + b 2 = c 2) matome, kaip sujungtos kiekvieno trikampio kraštinės. Be to, visų trikampių aukščio ir pločio santykis taip pat turi būti vienodas. (Tiesiog atsitraukite nuo didžiausio trikampio prie mažesnio. Taip, dydis pasikeitė, bet kraštinių proporcijos išliks tokios pat).

Žinodami, kuri kiekvieno trikampio pusė yra 1 (kupolo spindulys), galime nesunkiai apskaičiuoti, kad „sin/cos = tan/1“.

Visada stengiausi prisiminti šiuos faktus per paprastą vizualizaciją. Paveikslėlyje galite aiškiai matyti šias priklausomybes ir suprasti, iš kur jos kyla. Ši technika yra daug geresnė nei sausų formulių įsiminimas.

Nepamirškite kitų kampų

Š...

Pitagoro jungtys visada veikia, tačiau santykiniai dydžiai gali būti skirtingi.

(Turbūt pastebėjote, kad sinuso ir kosinuso santykis visada yra mažiausias, nes jie yra kupolo viduje.)

Apibendrinant: ką turime atsiminti?

Daugeliui iš mūsų sakyčiau, kad to pakaks:

• trigonometrija paaiškina matematinių objektų, tokių kaip apskritimai ir pasikartojantys intervalai, anatomiją
• kupolo/sienos/stogo analogija parodo ryšį tarp skirtingų trigonometrinių funkcijų
• trigonometrinių funkcijų rezultatas yra procentai, kuriuos taikome savo scenarijui.

Nereikia įsiminti tokių formulių kaip 1 2 + vaikiška lovelė 2 = csc 2 . Jie tinka tik kvailiems testams, kuriuose fakto žinojimas pateikiamas kaip jo supratimas. Skirkite minutę nupieškite puslankį kupolo, sienos ir stogo pavidalu, pasirašykite elementus ir visos formulės bus paprašytos jūsų popieriuje.

Taikymas: atvirkštinės funkcijos

Bet kuri trigonometrinė funkcija paima kampą kaip įvestį ir grąžina rezultatą procentais. sin(30) = 0,5. Tai reiškia, kad 30 laipsnių kampas užima 50% maksimalaus aukščio.

Atvirkštinė trigonometrinė funkcija parašyta sin -1 arba arcsin („arksinas“). Jis taip pat dažnai rašomas įvairiomis programavimo kalbomis.

Jei mūsų aukštis yra 25% kupolo aukščio, koks yra mūsų kampas?

Mūsų proporcijų lentelėje galite rasti santykį, kai sekantas yra padalintas iš 1. Pavyzdžiui, sekantas iš 1 (hipotenuzė su horizontale) bus lygus 1, padalijus iš kosinuso:

Tarkime, mūsų sekantas yra 3,5, t.y. 350% vieneto apskritimo spindulio. Kokį pasvirimo kampą į sieną atitinka ši vertė?

Priedas: keli pavyzdžiai

Nuobodus uždavinys. Sudėtinkite banalų „raskite sinusą“ į „Koks yra aukštis procentais nuo maksimumo (hipotenūza)?

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad trikampis yra pasuktas. Čia nieko blogo. Trikampis taip pat turi aukštį, paveikslėlyje jis parodytas žaliai.

Kam lygi hipotenuzė? Pagal Pitagoro teoremą žinome, kad:

3 2 + 4 2 = hipotenuzė 2 25 = hipotenuzė 2 5 = hipotenuzė

Gerai! Sinusas yra aukščio procentinė dalis nuo ilgiausios trikampio kraštinės arba hipotenuzės. Mūsų pavyzdyje sinusas yra 3/5 arba 0,60.

Žinoma, galime eiti keliais būdais. Dabar žinome, kad sinusas yra 0,60 ir galime tiesiog rasti arcsinusą:

Asin(0,6)=36,9

Ir čia yra kitas požiūris. Atkreipkite dėmesį, kad trikampis yra „akis į veidą su siena“, todėl vietoj sinuso galime naudoti tangentą. Aukštis yra 3, atstumas iki sienos yra 4, taigi liestinė yra ¾ arba 75%. Galime naudoti lanko tangentą, kad pereitume nuo procentų atgal į kampą:

Tan = 3/4 = 0,75 atanas (0,75) = 36,9 Pavyzdys: ar plauksite į krantą?

Jūs esate valtyje ir turite pakankamai degalų nuplaukti 2 km. Dabar esate 0,25 km nuo kranto. Kokiu maksimaliu kampu į krantą galima plaukti iki jo, kad užtektų kuro? Uždavinio sąlygos papildymas: turime tik lanko kosinuso reikšmių lentelę.

Ką mes turime? Pajūrio liniją galima pavaizduoti kaip „siena“ mūsų garsiajame trikampyje, o prie sienos pritvirtintų „laiptų ilgį“ – kaip didžiausią įmanomą atstumą laivu iki kranto (2 km). Atsiranda sekantas.

Pirmiausia turite pereiti prie procentų. Turime 2 / 0,25 = 8, o tai reiškia, kad galime plaukti 8 kartus didesnį atstumą tiesiai iki kranto (arba iki sienos).

Kyla klausimas „Kas yra sekantas 8?“. Bet mes negalime į tai atsakyti, nes turime tik lanko kosinusus.

Naudojame anksčiau gautas priklausomybes, kad susietume sekantą su kosinusu: „sec/1 = 1/cos“

8 sekantas yra lygus ⅛ kosinusui. Kampas, kurio kosinusas yra ⅛, yra acos(1/8) = 82,8. Ir tai yra didžiausias kampas, kurį galime sau leisti laive su nurodytu degalų kiekiu.

Neblogai, tiesa? Be kupolo-sienos-lubų analogijos būčiau sutrikęs daugybėje formulių ir skaičiavimų. Problemos vizualizavimas labai supaprastina sprendimo paiešką, be to, įdomu, kuri trigonometrinė funkcija ilgainiui padės.

Kiekvienai užduočiai pagalvokite taip: ar mane domina kupolas (sin/cos), siena (tan/sec) ar lubos (lovytė/csc)?

Ir trigonometrija taps daug malonesnė. Lengvi skaičiavimai jums!

Viena iš matematikos šakų, su kuria moksleiviai susiduria su didžiausiais sunkumais, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikia erdvinio mąstymo, gebėjimo pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas ir mokėti naudoti skaičių pi skaičiavimuose. Be to, įrodant teoremas reikia mokėti taikyti trigonometriją, o tam reikia arba išvystytos matematinės atminties, arba gebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.

Trigonometrijos ištakos

Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia reikia išsiaiškinti, ką trigonometrija daro apskritai.

Istoriškai stačiakampiai trikampiai buvo pagrindinis šios matematikos mokslo skyriaus tyrimo objektas. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti statydami pastatus, navigaciją, astronomiją ir net mene.

Pirmas lygmuo

Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti šios matematikos dalies naudojimo kasdieniame gyvenime ribas.

Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių įgytas žinias mokiniai panaudoja fizikoje ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, su kuriomis darbas pradedamas vidurinėje mokykloje.

Sferinė trigonometrija

Vėliau, mokslui pasiekus kitą išsivystymo lygį, sferinėje geometrijoje pradėtos naudoti formulės su sinusu, kosinusu, tangentu, kotangentu, kur galioja kitos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Ši dalis mokykloje nėra studijuojama, tačiau būtina žinoti apie jos egzistavimą, bent jau todėl, kad žemės paviršius ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „lanko formos“ trimatė erdvė.

Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Būtent su tokiomis formomis susiduria sferinė geometrija, naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.

Taisyklingas trikampis

Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.

Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Ji pati ilgiausia. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jo skaitinė reikšmė yra lygi kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.

Pavyzdžiui, jei dvi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.

Dvi likusios pusės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma stačiakampėje koordinačių sistemoje yra 180 laipsnių.

Apibrėžimas

Galiausiai, gerai suprasdami geometrinį pagrindą, galime pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo.

Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia.Nesvarbu, kokios ilgio koja bebūtų, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, vadinasi, jų santykis visada bus mažesnis už vieną. Taigi, jei atsakydami į problemą gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas akivaizdžiai neteisingas.

Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Tas pats rezultatas duos sinuso padalijimą iš kosinuso. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padalijame iš hipotenuzės, po to padaliname iš antrosios pusės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį santykį kaip ir liestinės apibrėžime.

Kotangentas atitinkamai yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalinę vienetą iš liestinės.

Taigi, mes apsvarstėme apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime nagrinėti formules.

Paprasčiausios formulės

Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Ir būtent to reikia sprendžiant problemas.

Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei norite sužinoti kampo, o ne kraštinės, reikšmę.

Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienai, padalytai iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: juk tai tas pats teiginys, kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, dėl paprasto matematinio veiksmo trigonometrinė formulė tampa visiškai neatpažįstama. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konvertavimo taisykles ir kelias pagrindines formules, bet kuriuo metu galite savarankiškai išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.

Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas

Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie parodyti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.

Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai kilę iš ankstesnių - kaip praktika, pabandykite juos gauti patys, paimdami alfa kampą, lygų beta kampui.

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima konvertuoti, kad būtų sumažintas sinuso, kosinuso, tangento alfa laipsnis.

Teoremos

Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.

Sinuso teorema teigia, kad padalijus kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo vertės, gauname tą patį skaičių. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžto apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.

Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš greta esančio kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.

Klaidos dėl neatidumo

Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, susipažinkime su populiariausiomis iš jų.

Pirma, neturėtumėte konvertuoti įprastų trupmenų į dešimtainius, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip paprastąją trupmeną, nebent sąlyga nurodo kitaip. Tokios transformacijos negalima vadinti klaida, tačiau reikia atminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, pagal autoriaus sumanymą, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite laiką nereikalingiems matematiniams veiksmams. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų ar dviejų šaknis, nes jos atsiranda atliekant užduotis kiekviename žingsnyje. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir parodysite visišką dalyko nesupratimą. Tai yra blogiau nei neatsargumo klaida.

Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Atsiminkite šias reikšmes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Juos nesunku sumaišyti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.

Taikymas

Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos taikomosios reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, numatyti meteorito kritimą, nusiųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo ​​muzikos iki medicinos.

Pagaliau

Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.

Visa trigonometrijos esmė susiveda į tai, kad nežinomi parametrai turi būti skaičiuojami iš žinomų trikampio parametrų. Iš viso yra šeši parametrai: trijų kraštinių ilgiai ir trijų kampų dydžiai. Visas užduočių skirtumas slypi tame, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.

Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, liestinę pagal žinomus kojų ilgius arba hipotenuzą. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrinės problemos tikslas yra rasti įprastos lygties arba lygčių sistemos šaknis. O čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.

Sinusas Stačiojo trikampio smailusis kampas α yra santykis priešingas kateteris į hipotenuzę.
Jis žymimas taip: sin α.

Kosinusas Stačiojo trikampio smailusis kampas α yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Jis žymimas taip: cos α.

Tangentas smailusis kampas α – priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.
Jis žymimas taip: tg α.

Kotangentas smailusis kampas α yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.
Jis žymimas taip: ctg α.

Kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas priklauso tik nuo kampo dydžio.

Taisyklės:

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės stačiakampiame trikampyje:

(α - smailus kampas priešais koją b ir greta kojos a . Šoninė Su - hipotenuzė. β - antrasis smailusis kampas).

Didėjant smailiam kampuisinα irtg α padidėjimas ircos α mažėja.

Bet kuriam smailiam kampui α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Aiškinamasis pavyzdys:

Įtraukite stačiakampį trikampį ABC
AB = 6,
BC = 3,
kampas A = 30º.

Raskite kampo A sinusą ir kampo B kosinusą.

Sprendimas.

1) Pirmiausia randame kampo B reikšmę. Čia viskas paprasta: kadangi stačiakampio trikampio smailių kampų suma yra 90º, tada kampas B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Apskaičiuokite nuodėmę A. Žinome, kad sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui. Kampui A priešinga kojelė yra BC pusė. Taigi:

BC 31
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Dabar apskaičiuojame cos B. Žinome, kad kosinusas yra lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Kampui B gretima kojelė yra ta pati pusė BC. Tai reiškia, kad vėl turime padalyti BC į AB - tai yra, atlikti tuos pačius veiksmus, kaip ir skaičiuojant kampo A sinusą:

BC 31
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultatas yra:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iš to išplaukia, kad stačiakampiame trikampyje vieno smailiojo kampo sinusas yra lygus kito smailiojo kampo kosinusui ir atvirkščiai. Būtent tai reiškia mūsų dvi formulės:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pažiūrėkime dar kartą:

1) Tegul α = 60º. Pakeitę α reikšmę į sinuso formulę, gauname:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Tegul α = 30º. Pakeitę α reikšmę kosinuso formulėje, gauname:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Daugiau apie trigonometriją žr. skyrių „Algebra“)

Trigonometrija yra matematikos šaka, tirianti trigonometrines funkcijas ir jų panaudojimą geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo senovės Graikijos laikais. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo raidos.

Šis straipsnis skirtas pagrindinėms trigonometrijos sąvokoms ir apibrėžimams. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Paaiškinta ir iliustruota jų reikšmė geometrijos kontekste.

Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti stačiojo trikampio kraštinių santykiu.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai

Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.

Kampo kosinusas (cos α) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė (t g α) yra priešingos kojos santykis su gretima.

Kampo kotangentas (c t g α) yra gretimos ir priešingos kojos santykis.

Šie apibrėžimai pateikiami stačiojo trikampio smailiam kampui!

Pateikime iliustraciją.

Trikampyje ABC su stačiu kampu C kampo A sinusas yra lygus kojos BC ir hipotenuzės AB santykiui.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes pagal žinomus trikampio kraštinių ilgius.

Svarbu atsiminti!

Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas: nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinuso ir kosinuso reikšmės yra nuo -1 iki 1. Liečiamųjų ir kotangentinių verčių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra šios funkcijos gali turėti bet kokią reikšmę.

Aukščiau pateikti apibrėžimai susiję su smailiais kampais. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo samprata, kurios reikšmė, skirtingai nei smailiojo kampo, neribojama rėmeliais nuo 0 iki 90 laipsnių.. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo - ∞ iki + ∞.

Šiame kontekste galima apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokite vienetinį apskritimą, kurio centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.

Pradinis taškas A su koordinatėmis (1 , 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1 . Apibrėžimas pateikiamas per taško A 1 (x, y) koordinates.

Sukimosi kampo sinusas (sin).

Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sinα = y

Sukimosi kampo kosinusas (cos).

Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x

Sukimosi kampo liestinė (tg).

Sukimosi kampo α liestinė yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x

Sukimosi kampo kotangentas (ctg).

Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžiama, kai taškas po sukimo eina į tašką su nuline abscise (0 , 1) ir (0 , - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė išnyksta.

Svarbu atsiminti!

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.

Liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Spręsdami praktinius pavyzdžius nesakykite „sukimosi kampo sinuso α“. Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, kas yra ant kortos.

Skaičiai

O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t vadinamas skaičius, kuris yra atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.

Pavyzdžiui, 10 π sinusas yra lygus 10 π rad sukimosi kampo sinusui.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo būdas. Panagrinėkime tai išsamiau.

Bet koks tikrasis skaičius t vienetinio apskritimo taškas sutampa su centru, esančiu stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas apibrėžiami šio taško koordinatėmis.

Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1 , 0).

teigiamas skaičius t

Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį pajudės pradžios taškas, jei judės prieš laikrodžio rodyklę aplink apskritimą ir praeis taku t .

Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.

Skaičiaus t sinusas (sinusas).

Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y

Kosinusas (cos) iš t

Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x

T liestinė (tg).

Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t

Pastarieji apibrėžimai atitinka ir neprieštarauja šio skyriaus pradžioje pateiktam apibrėžimui. Taškas apskritime, atitinkančiame skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus per kampą t radianas.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip minėta aukščiau, yra apibrėžtas visiems α, išskyrus α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Galime sakyti, kad sin α , cos α , t g α , c t g α yra kampo alfa, arba kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galima kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka konkrečią skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k , k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas yra panašiai apibrėžtas visiems skaičiams, išskyrus π · k , k ∈ Z.

Pagrindinės trigonometrijos funkcijos

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto dažniausiai aišku, su kokiu trigonometrinės funkcijos argumentu (kampiniu ar skaitiniu argumentu) mes susiduriame.

Grįžkime prie duomenų pačioje apibrėžimų pradžioje ir kampo alfa, kuris yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai visiškai atitinka geometrinius apibrėžimus, pateiktus naudojant stačiojo trikampio kraštinių santykius. Parodykime.

Paimkite vienetinį apskritimą, kurio centras yra stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Pradinį tašką A (1, 0) pasukime iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkime statmenai x ašiai. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus sukimosi kampui α, kojelės O H ilgis lygus taško A 1 abscisei (x, y) . Priešais kampą esančios kojos ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.

Pagal geometrijos apibrėžimą, kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso apibrėžimas per kraštinių santykį yra lygiavertis sukimosi kampo α sinuso apibrėžimui, kai alfa yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \ (AC \) ); kojos yra dvi likusios pusės \ (AB \) ir \ (BC \) (tos, kurios yra greta stačiojo kampo), be to, jei atsižvelgsime į kojas kampo \ (BC \) atžvilgiu, tada koja \ (AB \) yra gretima kojelė, o koja \ (BC \) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kampo liestinė- tai priešingos (tolimosios) kojos ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją iš ko padalinti, turite tai aiškiai suprasti liestinė ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas kaip trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (vienu kampu). Nepasitikėk? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą, iš trikampio \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir pataisykite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .

Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnio ir radiano sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \ (1 \) . Toks ratas vadinamas vienišas. Tai labai naudinga tiriant trigonometriją. Todėl mes apie tai pasikalbėsime šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas yra pastatytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys yra lygus vienetui, o apskritimo centras yra pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra fiksuota teigiama \(x \) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB \) ).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai ašies \(x \) ir koordinatę išilgai ašies \(y \) . Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, prisiminkite apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG \) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG \) yra statmena \(x \) ašiai.

Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Teisingai \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC \) yra vienetinio apskritimo spindulys, taigi \(AC=1 \) . Pakeiskite šią reikšmę mūsų kosinuso formule. Štai kas nutinka:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

O kas yra \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Pakeiskite spindulio reikšmę \ (AC \) šioje formulėje ir gaukite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Taigi, ar galite man pasakyti, kokios yra taško \(C \) koordinatės, priklausančios apskritimui? Na, niekaip? Bet ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x \) ! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, \(y \) koordinatė! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Kas tada yra \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

O jei kampas didesnis? Štai, pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl kreipiamės į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \ (y \) ; kampo kosinuso reikšmė - koordinatė \ (x \) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiems spindulio vektoriaus sukimams.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x \) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, gausite ir tam tikro dydžio kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos ties \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ) atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visus šiuos kampus galima užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m \) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)

\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kam lygios reikšmės:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Bet kokių sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas) \)

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Reikia atsiminti arba turėti galimybę išvesti!! \) !}

Ir čia yra kampų ir trigonometrinių funkcijų reikšmės \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:

Nereikia bijoti, dabar parodysime vieną iš gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdžių:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampų matavimų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana lengva atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masyvas) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), žinant tai, galima atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis "\(1 \) " atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , o vardiklis "\(\sqrt(\text(3)) \) " atitiks \ (\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės reikšmės perkeliamos pagal paveikslėlyje parodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate schemą su rodyklėmis, tada užteks atsiminti tik \(4 \) reikšmes iš lentelės.

Apskritimo taško koordinatės

Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išveskime bendrą formulę taško koordinatėms rasti. Pavyzdžiui, turime tokį ratą:

Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5 \) . Reikia rasti taško \(P \) koordinates, gautas sukant tašką \(O \) \(\delta \) laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško \ (P \) koordinatė \ (x \) atitinka atkarpos \ ilgį (TP=UQ=UK+KQ \) . Atkarpos \ (UK \) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \ (x \), tai yra, jis yra lygus \ (3 \) . Atkarpos \(KQ \) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada turime taško \(P \) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Pagal tą pačią logiką randame taško \(P \) y koordinatės reikšmę. Šiuo būdu,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Taigi, bendrai tariant, taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), kur

\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,

\(r\) – apskritimo spindulys,

\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)