Lygtis kosinusas x lygi a. Trigonometrinės lygtys – formulės, sprendiniai, pavyzdžiai. Faktorizavimas

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!

Lygybė, turinti nežinomąjį po trigonometrinės funkcijos ženklu (`sin x, cos x, tg x` arba `ctg x`), vadinama trigonometrine lygtimi, o jų formules nagrinėsime toliau.

Paprasčiausios lygtys yra „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Parašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.

1. Lygtis „sin x=a“.

„|a|>1“ sprendimų nėra.

Su `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Lygtis „cos x=a“.

Jei `|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, realiųjų skaičių sprendinių nėra.

Su `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose.

3. Lygtis „tg x=a“.

Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.

4. Lygtis „ctg x=a“.

Jame taip pat yra begalinis bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičius.

Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.

Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės

Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

• naudojant konvertuoti jį į paprasčiausią;
• išspręskite gautą paprastą lygtį naudodami aukščiau pateiktas šaknų ir lentelių formules.

Apsvarstykite pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

algebrinis metodas.

Šiuo metodu atliekamas kintamojo pakeitimas ir jo pakeitimas lygybe.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,

randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių seka du atvejai:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizavimas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.

Sprendimas. Perkelkite į kairę visas lygybės sąlygas: „sin x+cos x-1=0“. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:

„sin x – 2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,

1. „sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
2. „cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite perkelti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:

"a sin x+b cos x=0" (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis) arba "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis į „cos x \ne 0“ pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ antruoju atveju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Sprendimas. Parašykime dešinę pusę kaip „1=sin^2 x+cos^2 x“:

„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

„sin^2 x+sin x cos x – 2 cos^2 x=0“.

Tai homogeninė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, padalijus jos kairę ir dešinę puses iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakeitimą `tg x=t`, todėl `t^2 + t - 2=0`. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:

1. „tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
2. „tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Eikite į „Half Corner“.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Sprendimas. Taikant dvigubo kampo formules gaunamas toks rezultatas: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.

Taikydami aukščiau aprašytą algebrinį metodą, gauname:

1. „tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
2. „tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Pagalbinio kampo įvedimas

Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, abi dalis padalijame iš „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, ty jų kvadratų suma lygi 1, o modulis ne didesnis kaip 1. Pažymėkite juos taip: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.

Sprendimas. Padalinę abi lygties puses iš `sqrt (3^2+4^2)`, gauname:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Pažymėkite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, imame `\varphi=arcsin 4/5` kaip pagalbinį kampą. Tada rašome savo lygybę tokia forma:

„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.

Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:

„sin(x+\varphi)=2/5“,

„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,

„x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Trupmeninės-racionalinės trigonometrinės lygtys

Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinės funkcijos.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.

Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygties pusę iš „(1+cos x)“. Dėl to gauname:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Prilyginkite trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.

1. „sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
2. „1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.

Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.

Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, egzaminui visada yra užduočių, tad pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!

Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti daryti išvadą. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys dažniausiai sprendžiamos formulėmis. Leiskite jums priminti, kad šios trigonometrinės lygtys vadinamos paprasčiausiomis:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x yra kampas, kurį reikia rasti,
a yra bet koks skaičius.

O štai formulės, kuriomis iš karto galima užsirašyti šių paprasčiausių lygčių sprendinius.

Dėl sinuso:

Dėl kosinuso:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Dėl liestinės:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Dėl kotangento:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Tiesą sakant, tai yra teorinė paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo dalis. Ir visa!) Visai nieko. Tačiau klaidų skaičius šioje temoje tiesiog didėja. Ypač šiek tiek nukrypstant nuo pavyzdžio nuo šablono. Kodėl?

Taip, nes daug žmonių rašo šias raides, visai nesuprasdami jų prasmės! Su baime jis užsirašo, kad ir kaip kas atsitiktų...) Su tuo reikia susitvarkyti. Trigonometrija žmonėms arba žmonės trigonometrijai!?)

Išsiaiškinkime?

Vienas kampas bus lygus arccos a, antra: -arccos a.

Ir taip tai veiks visada. Bet kuriam a.

Jei netikite manimi, užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos arba palieskite paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje.) Pakeičiau numerį. a į kai kuriuos neigiamus. Šiaip ar taip, gavome vieną kampą arccos a, antra: -arccos a.

Todėl atsakymą visada galima parašyti kaip dvi šaknų serijas:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Sujungiame šias dvi serijas į vieną:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ir visi dalykai. Gavome bendrą formulę, kaip išspręsti paprasčiausią trigonometrinę lygtį su kosinusu.

Jei supranti, kad tai ne kažkokia supermokslinė išmintis, bet tik sutrumpintas dviejų atsakymų serijų įrašas, jūs ir užduotys „C“ bus ant peties. Su nelygybėmis, su šaknų parinkimu iš tam tikro intervalo... Ten atsakymas su pliusu / minusu nesisuka. O jei atsakymą traktuosite dalykiškai ir suskirstysite į du atskirus atsakymus, viskas bus nuspręsta.) Tiesą sakant, tai suprantame. Kas, kaip ir kur.

Paprasčiausioje trigonometrinėje lygtyje

sinx = a

taip pat gauti dvi šaknų serijas. Yra visada. Ir šias dvi serijas taip pat galima įrašyti viena linija. Tik ši eilutė bus protingesnė:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Tačiau esmė išlieka ta pati. Matematikai paprasčiausiai sukonstravo formulę, kad padarytų vieną, o ne du šaknų serijų įrašus. Štai ir viskas!

Patikrinkime matematikus? Ir to neužtenka...)

Ankstesnėje pamokoje buvo detaliai išanalizuotas trigonometrinės lygties su sinusu sprendimas (be formulių):

Atsakymas pasirodė esąs dvi šaknų serijos:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jei tą pačią lygtį išspręsime naudodami formulę, gausime atsakymą:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Tiesą sakant, tai nebaigtas atsakymas. Mokinys turi tai žinoti arcsin 0,5 = π /6. Visas atsakymas būtų toks:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Čia iškyla įdomus klausimas. Atsakyti per x 1; x 2 (tai teisingas atsakymas!) ir per vienišius X (ir tai teisingas atsakymas!) – tas pats, ar ne? Išsiaiškinkime dabar.)

Atsakydami pakeiskite su x 1 vertybes n =0; vienas; 2; ir tt, mes manome, gauname šaknis:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 ir taip toliau.

Su tuo pačiu pakeitimu atsakant į x 2 , mes gauname:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 ir taip toliau.

O dabar pakeičiame vertybes n (0; 1; 2; 3; 4...) į bendrą vienišių formulę X . Tai yra, minus vieną pakeliame iki nulinės galios, tada į pirmą, antrą ir pan. Ir, žinoma, į antrąjį terminą pakeičiame 0; vienas; 2 3; 4 ir tt Ir mes galvojame. Gauname seriją:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ir taip toliau.

Tai viskas, ką matote.) Bendroji formulė mums pateikia lygiai tokie patys rezultatai kurie yra du atsakymai atskirai. Viskas iš karto, tvarka. Matematikai neapgavo.)

Taip pat galima patikrinti trigonometrinių lygčių su liestine ir kotangentu sprendimo formules. Bet tegul ne.) Jie tokie nepretenzingi.

Visą šį pakeitimą ir patikrinimą nupiešiau tyčia. Čia svarbu suprasti vieną paprastą dalyką: yra elementariųjų trigonometrinių lygčių sprendimo formulės, tik atsakymų santrauka. Dėl šio trumpumo turėjau įterpti pliusą/minusą į kosinuso tirpalą ir (-1) n į sinuso tirpalą.

Šie intarpai jokiu būdu nesikiša į užduotis, kur tereikia užrašyti elementarios lygties atsakymą. Bet jei jums reikia išspręsti nelygybę arba jums reikia ką nors padaryti su atsakymu: pasirinkti šaknis intervale, patikrinti, ar nėra ODZ ir pan., Šie intarpai gali lengvai nuliūdinti žmogų.

Ir ką daryti? Taip, arba nupieškite atsakymą dviem serijomis, arba išspręskite lygtį / nelygybę trigonometriniame apskritime. Tada šie intarpai išnyksta ir gyvenimas tampa lengvesnis.)

Galite apibendrinti.

Norint išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis, yra paruoštos atsakymų formulės. Keturi gabaliukai. Jie tinkami norint iš karto parašyti lygties sprendimą. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti lygtis:

sinx = 0,3

Lengvai: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Jokiu problemu: x = ± lankai 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Lengvai: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Liko vienas: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Jeigu tu, spindėdamas žiniomis, iškart parašyk atsakymą:

x= ± lankai 1,8 + 2π n, n ∈ Z

tada tu jau spindi, tai ... tas ... iš balos.) Teisingas atsakymas yra: sprendimų nėra. Nesuprantu kodėl? Perskaitykite, kas yra arkosinas. Be to, jei dešinėje pradinės lygties pusėje yra sinuso, kosinuso, liestinės, kotangento lentelės vertės, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ir tt - atsakymas per arkas bus nebaigtas. Arkos turi būti paverstos radianais.

O jei jau susiduri su nelygybe, pvz

tada atsakymas yra:

x πn, n ∈ Z

yra reta nesąmonė, taip ...) Čia reikia nuspręsti dėl trigonometrinio apskritimo. Ką mes darysime atitinkamoje temoje.

Tiems, kurie herojiškai perskaitė iki šių eilučių. Negaliu neįvertinti jūsų titaniškų pastangų. tau premija.)

Premija:

Rašydami formules nerimastingoje kovos situacijoje net ir užkietėję vėplai dažnai susipainioja kur pn, Ir kur 2πn. Štai jums paprastas triukas. Į visi formules pn. Išskyrus vienintelę formulę su lanko kosinusu. Ten stovi 2πn. Du pien. raktinis žodis – du. Toje pačioje formulėje yra du pradžioje. Pliusas ir minusas. Čia ir ten - du.

Taigi, jei parašėte duženklas prieš lanko kosinusą, lengviau atsiminti, kas bus pabaigoje du pien. Ir atsitinka atvirkščiai. Praleiskite vyro ženklą ± , eik iki galo, parašyk taisyklingai du pien, taip, ir pagauk. Kažko priekyje du pasirašyti! Žmogus grįš į pradžią, bet klaidą ištaisys! Kaip šitas.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Zacharova Liudmila Vladimirovna
MBOU „Vidurinė mokykla Nr. 59“, Barnaulas
matematikos mokytojas [apsaugotas el. paštas]

№1 Paprasčiausios trigonometrinės lygtys

Tikslas: 1. Išveskite paprasčiausių formos trigonometrinių lygčių sprendinių formules sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Išmokti spręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis naudojant formules.

Įranga: 1) Lentelės su trigonometrinių funkcijų grafikais y \u003d sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; 2) Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų verčių lentelė; 3) Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulių suvestinė.

Paskaitos pamokos planas:

1 .Lygties šaknų formulių išvedimas

a) sinx \u003d a,

b) cosx= a,

c) tgx= a,

d) ctgx= a.

2 . Žodinis frontalinis darbas gautoms formulėms konsoliduoti.

3 . Rašto darbas studijuotai medžiagai įtvirtinti

Algebroje, geometrijoje, fizikoje ir kituose dalykuose susiduriame su įvairiausiomis problemomis, kurių sprendimas siejamas su lygčių sprendimu. Mes ištyrėme trigonometrinių funkcijų savybes, todėl natūralu kreiptis į lygtis, kuriose nežinomasis yra po funkcijos ženklu

Apibrėžimas: Formos lygtys sinx = a , cosx= a , tgx= a , ctgx= a vadinamos paprasčiausiomis trigonometrinėmis lygtimis.

Labai svarbu išmokti išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis, nes visi bet kokių trigonometrinių lygčių sprendimo būdai ir būdai susideda iš jų sumažinimo iki paprasčiausių.

Pradėkime nuo formulių, kurios „aktyviai“ veikia sprendžiant trigonometrines lygtis.

1. Sinx = formos lygtys a.

Išspręskite lygtį sinx = a grafiškai. Norėdami tai padaryti, vienoje koordinačių sistemoje nubraižome funkcijų y \u003d sinx ir y \u003d grafikus a.

1) Jei a> 1 ir a nuodėmė x= a neturi sprendinių, nes tiesė ir sinusoidas neturi bendrų taškų.

2) Jei -1a a sinusoidę kerta be galo daug kartų. Tai reiškia, kad lygtis sinx= a turi be galo daug sprendimų.

Kadangi sinuso periodas yra 2 , tada išspręsti lygtį sinx= a pakanka rasti visus sprendimus bet kuriame 2 ilgio segmente.

Išspręsdami lygtį [-/2; /2] pagal arcsinuso x= apibrėžimą lanko nuodėmė a, o ant x=-arcsin a. Atsižvelgdami į funkcijos y=sinx periodiškumą, gauname tokias išraiškas

x=-arcsin a+2n, nZ.

Abi sprendimų serijos gali būti derinamos

X \u003d (-1) n arcsin a+n, nZ.

Šiais trimis atvejais pageidautina naudoti ne bendrą formulę, o paprastesnius santykius:

Jeigu a\u003d -1, tada sin x \u003d -1, x \u003d - / 2 + 2n

Jeigu a=1, tada sin x =1, x =/2+2n

Jeigu a= 0, tada sin x =0. x=n

Pavyzdys: išspręskite lygtį sinx=1/2.

Sudarykite sprendimo formules x = lankas 1/2+ 2n

X \u003d - arcsin a + 2n

Apskaičiuokite vertę arcsin1/2. Pakeiskite sprendinių formulėse rastą reikšmę

x= 5/6+2n

arba pagal bendrą formulę

X \u003d (-1) n arcsin 1/2 + n,

X \u003d (-1) n / 6 + n,

2. Formos lygtys cosx= a.

Išspręskite lygtį cosx= a taip pat grafiškai, sudarant funkcijų y \u003d cosx ir y \u003d grafikus a.

1) Jei 1, tai lygtis cosx= a neturi sprendinių, nes grafikai neturi bendrų taškų.

2) Jei -1 a cosx= a turi begalę sprendimų.

Raskite visus sprendimus cosx= a 2 ilgio intervale, nes kosinuso periodas yra 2.

Lygties sprendimas pagal lanko kosinusą bus x = arcos a. Atsižvelgiant į kosinuso funkcijos paritetą, [-; 0] lygties sprendimas bus x = - arcos a.

Taip išsprendžiant lygtį cosx= a x= + arcos a+ 2n,

Trimis atvejais naudosime ne bendrą formulę, o paprastesnius ryšius:

Jeigu a=-1, tada cosx =-1, x =-/2+2n

Jeigu a=1, tada cosx =1, x = 2n,

Jei a=0, tai cosx=0. x=/2+n

Pavyzdys: išspręskite lygtį cosx=1/2,

Sudarykite sprendimo formules x=arccos 1/2+ 2n

Apskaičiuokite vertę arccos1/2.

Pakeiskite sprendinių formulėse rastą reikšmę

X= + /3+ 2n, nZ.

Formos lygtys tgx= a.

Kadangi liestinės laikotarpis yra , Tada norint rasti visus lygties sprendinius tgx= a, pakanka rasti visus sprendimus bet kuriame ilgio intervale. Pagal arctangento apibrėžimą lygties, esančios (-/2; /2), sprendimas yra arctg a. Atsižvelgiant į funkcijos laikotarpį, visi lygties sprendiniai gali būti parašyti kaip

x = arctan a+ n, nZ.

Pavyzdys: Išspręskite lygtįįdegis x = 3/3

Padarykime formulę x= sprendimui arctan 3/3 +n, nZ.

Apskaičiuokite lanko liestinės reikšmę arctg 3/3= /6, tada

X=/6+ n, nZ.

Lygties sprendimo formulės išvedimas Su tgx= a gali būti teikiama studentams.

Pavyzdys.

išspręsti lygtį ctg x = 1.

x \u003d arcctg 1 + n, nZ,

X = /4 + n, nZ.

Išstudijavę medžiagą, studentai gali užpildyti lentelę:

„Trigonometrinių lygčių sprendimas“.

lygtis

Pratimai studijuojamai medžiagai įtvirtinti.

(Žodžiu) Kurią iš parašytų lygčių galima išspręsti formulėmis:

a) x \u003d (-1) n arcsin a+n, nZ;

b) x= + arcos a+ 2n?

cos x = 2/2, tg x = 1, sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x = 2/3, sin x = 3, cos x = 2 .

Kuri iš šių lygčių neturi sprendinių?

Išspręskite lygtis:

a) sin x = 0; e) sin x = 2/2; h) sin x = 2;

b) cos x = 2/2; f) cos x = -1/2; i) cos x = 1;

d) įdegis x = 3; g) ctg x = -1; j) įdegis x = 1/3.

3. Išspręskite lygtis:

a) nuodėmė 3x \u003d 0; e) 2cos x = 1;

b) cos x/2 = 1/2; f) 3 įdegis 3x =1;

d) sinx/4 = 1; g) 2cos(2x+ /5) = 3.

Sprendžiant šias lygtis, pravartu užsirašyti formos lygčių sprendimo taisykles nuodėmė in x= a, ir Su nuodėmė in x= a, | a|1.

Nuodėmė in x= a, |a|1.

in x = (-1) n arcsin a+n, nZ,

x \u003d (-1) n 1 / in lanko nuodėmė a+n/ in, nZ.

Apibendrinant pamoką:

Šiandien pamokoje išvedėme paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formules.

Išanalizavome paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Užpildėme lentelę, kurią naudosime spręsdami lygtis.

Namų darbai.

№2 Trigonometrinių lygčių sprendimas

Tikslas: Ištirti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus: 1) redukuojamą į kvadratą, 2) redukuojamą į vienarūšes trigonometrines lygtis.

Ugdyti mokinių stebėjimo įgūdžius taikant įvairius trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

Frontalinis darbas su studentais.

Kokios yra trigonometrinių lygčių šaknų formulės cosx= a, sinx= a, tgx= a, ctg x = a.

Išspręskite lygtis (žodžiu):

cos x=-1, sin x=0, tgx=0, ctg x=1, cos x=1,5, sin x=0.

Ieškokite klaidų ir pagalvokite apie klaidų priežastis.

cos x=1/2, x= + /6+2k, k Z.

sin x \u003d 3/2, x \u003d / 3 + k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.

2. Naujos medžiagos mokymasis.

Šioje pamokoje bus aptariami kai kurie dažniausiai naudojami trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

Trigonometrinės lygtys, redukuojamos į kvadratines.

Į šią klasę gali būti įtrauktos lygtys, apimančios vieną funkciją (sinusą arba kosinusą) arba dvi to paties argumento funkcijas, tačiau viena iš jų redukuojama į antrąją, naudojant pagrindines trigonometrines tapatybes.

Pavyzdžiui, jei cosx įveda į lygtį lyginiais laipsniais, tai ją pakeičiame 1-sin 2 x, jei sin 2 x, tai pakeičiame 1-cos 2 x.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį: 8 sin 2 x - 6sin x -5 = 0.

Sprendimas: pažymėkite sin x=t, tada 8t 2 – 6t – 5=0,

D = 196

T 1 \u003d -1/2, t 2 \u003d -5/4.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą ir išspręskime šias lygtis.

Х=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Nuo -5/4>1 lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: x=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Stiprinimo pratimų sprendimas.

Išspręskite lygtį:

1) 2sin 2 x + 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x + 3cos 2 x \u003d -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1=0.

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: 1) Formos lygtisa sinx + b cosx=0, (a=0, b=0) vadinama homogenine pirmojo laipsnio lygtimi sin x ir cos x atžvilgiu.

Ši lygtis išspręsta padalijus abi puses iš cosx 0. Rezultatas yra lygtis atgx+b=0.

2) Formos lygtisa nuodėmė 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x =0 vadinama homogenine antrojo laipsnio lygtimi, kur a, b, c yra bet kokie skaičiai.

Jei a \u003d 0, tada lygtį išspręsime padalydami abi dalis iš cos 2x 0. Rezultate gauname lygtį atg 2 x+ btgx+c =0.

komentaras: Tipo lygtisa nuodėmė mx + b cos mx=0 arba

a nuodėmė 2 mx + b nuodėmė mx cos mx + c cos 2 mx =0 taip pat yra vienalytės. Norėdami juos išspręsti, abi lygties pusės yra padalintos iš cos mx=0 arba cos 2 mx=0

3) Įvairias lygtis galima redukuoti į vienarūšes lygtis, kurios iš pradžių tokios nėra. Pavyzdžiui,nuodėmė 2 mx + b nuodėmė mx cos mx + c cos 2 mx = d, ir a sinx + b cosx= d. Norint išspręsti šias lygtis, reikia padauginti dešinę pusę iš "trigonometrinis vienetas" tie. ant nuodėmė 2 x + cos 2 x ir atlikti matematines transformacijas.

Pratimai studijuojamai medžiagai konsoliduoti:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 nuodėmė 2 x - sin2x \u003d 3;

2) sin2x + cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx \u003d 2 cos 2 x;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x - sinx cosx \u003d 2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx + 2 cos 2 x \u003d 0

3. Pamokos apibendrinimas. Namų darbai.

Šioje pamokoje, priklausomai nuo grupės pasirengimo, galite apsvarstyti formos lygčių sprendimą a sin mx +b cos mx=c, kur a, b, c tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui.

Stiprinimo pratimai:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12 sin x +5 cos x + 13 = 0.

№ 3 Trigonometrinių lygčių sprendimas

Tikslas: 1) Išstudijuoti trigonometrinių lygčių sprendimo faktoringo metodą; išmokti spręsti trigonometrines lygtis naudojant įvairias trigonometrines formules;

2) Patikrinkite: mokinių žinias apie paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formules; gebėjimas spręsti paprastas trigonometrines lygtis.

Pamokos planas:

Namų darbų tikrinimas.

Matematinis diktantas.

Naujos medžiagos mokymasis.

Savarankiškas darbas.

Apibendrinant pamoką. Namų darbai.

Pamokos eiga:

Namų darbų tikrinimas (lentoje trumpai užrašomas trigonometrinių lygčių sprendimas).

Matematinis diktantas.

1

1. Kokios lygtys vadinamos paprasčiausiomis trigonometrinėmis lygtimis?

2. Kaip vadinasi formos lygtisa sinx + b cosx=0? Nurodykite, kaip ją išspręsti.

3. Užrašykite lygties šaknų formulę tgx= a(ctgx= a).

4. Užrašykite formos lygčių šaknų formules cosx= a, kur a=1, a=0, a=-1.

5. Užrašykite bendrąją lygties šaknų formulę sinx= a, | a|

6. Kaip yra formos lygtysa cosx= b, | b|

2

1. Užrašykite lygčių šaknų formules cosx= a,| a|

2. Užrašykite bendrąją lygties šaknų formulę

= a, | a|

3. Kokios yra formos lygtys sinx= a, tgx= a, sinx= a?

4. Užrašykite lygties šaknų formules sinx= a, jeigu a=1, a=0, a=-1.

5. Kaip sprendžiamos formos lygtys nuodėmė a x= b, | b|

6. Kokios lygtys vadinamos antrojo laipsnio vienarūšėmis lygtimis? Kaip jie išsprendžiami?

Naujos medžiagos mokymasis.

Faktoringo metodas.

Vienas iš labiausiai paplitusių trigonometrinių lygčių sprendimo būdų yra faktorizavimo metodas.

Jei lygtis f(x) =0 gali būti pavaizduota kaip f 1 (x) f 2 (x) =0 , tada uždavinys redukuojamas į dviejų lygčių f 1 (x) = 0, f 2 (x) =0 sprendimą. .

(Su mokiniais naudinga prisiminti taisyklę " Veiksnių sandauga yra lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o kiti turi prasmę»)

Tirtos medžiagos konsolidavimas sprendžiant įvairaus sudėtingumo lygtis.

(sinx-1/2)(sinx+1)=0; 2) (cosx- 2/2)(sin x+ 2/2)=0;(savarankiškai)

3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) sin 2 x - nuodėmė x \u003d 0;

5) sin2x – cosx=0; 6) 4 cos 2 x -1 =0; (2 būdai)

7) cosx+cos3x=0; 8) sin 3x= nuodėmė 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x =sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0 (savaime)

13) 2 cos 2 x - sin (x- / 2) + tgx tg (x + / 2) \u003d 0.

Savarankiškas darbas.

1 variantas 2 variantas

1) 6 sin 2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;

2) sin2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5 sin 2 x + sin x cosx -2 cos 2 x \u003d 2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx + 7cos 2 x \u003d 5;

4) sinx+sin5x=sin3x+sin7x; 4) sinx-sin 2x + sin 3x-sin 4x=0;

5) sinx+cosx=1. 5) sinx+cosx=2.

8. Pamokos apibendrinimas. Namų darbai.