Aritmetinėje progresijoje xn. Aritmetinė progresija pagal pavyzdžius

Jei kiekvienas natūralusis skaičius n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi, skaitinė seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos narys , numeris a 2 — antrasis sekos narys , numeris a 3 — trečias ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis narys sekos , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų kaimyninių narių a n ir a n +1 narių sekos a n +1 paskambino vėliau (link a n ), a a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami nurodyti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka pateikiama su n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiama seka nelyginiai skaičiai galima pateikti pagal formulę

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

jeigu a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis ir begalinis .

Seka vadinama galutinis jei ji turi baigtinį narių skaičių. Seka vadinama begalinis jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviejų skaitmenų seka natūraliuosius skaičius:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama silpsta , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . yra didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . yra mažėjanti seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai didėjant skaičiui nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, prie kurio pridedamas toks pat skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

kur d - kažkoks skaičius.

Taigi skirtumas tarp kito ir ankstesnio tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint nustatyti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

rasti trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

◄

Prisimink tai n -tąjį aritmetinės progresijos narį galima rasti ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

dėl a 5 galima parašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei šios aritmetinės progresijos narių sumos, vienodu atstumu nuo jos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai yra teisinga lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos sandaugai iš narių skaičiaus:

Iš to visų pirma išplaukia, kad jei būtina terminus sumuoti

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada dydžiai a 1 , a n, d, n irS n susietos dviem formulėmis:

Todėl, jei trys Pateikiami šių dydžių, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

• jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

geometrinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

kur q ≠ 0 - kažkoks skaičius.

Taigi kito šios geometrinės progresijos nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint nustatyti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n - terminą galima rasti pagal formulę:

b n = b 1 · q n -1 .

Pavyzdžiui,

rasti septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi teisinga ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo reikalingą teiginį. ◄

Prisimink tai n geometrinės progresijos terminą galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis terminas b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · q n - k.

Pavyzdžiui,

dėl b 5 galima parašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · 2 k,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrojo, yra lygus šios progresijos narių, nutolusių nuo jos vienodu atstumu, sandaugai.

Be to, bet kokiai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

eksponentiškai

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= n.b. 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei mums reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

Pavyzdžiui,

eksponentiškai 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei duota geometrinė progresija, tada kiekius b 1 , b n, q, n ir S n susietos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 ir q> 1;

b 1 < 0 ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra ženklų kaitaliojama: jos nelyginiai terminai turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o lyginiai – priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis už 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka šiuo atveju

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, į kurį sueina pirmoji suma n progresavimo terminai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Panagrinėkime tik du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , tada

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu 2 ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu q , tada

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 6 ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄

Prieš pradėdami spręsti aritmetinės progresijos uždaviniai, apsvarstykite, kas yra skaičių seka, nes aritmetinė progresija yra ypatingas skaičių sekos atvejis.

Skaičių seka yra skaitinė rinkinys, kurio kiekvienas elementas turi savo serijos numerį. Šios aibės elementai vadinami sekos nariais. Sekos elemento eilės numeris nurodomas indeksu:

Pirmasis sekos elementas;

Penktasis sekos elementas;

- "n-tas" sekos elementas, t.y. elementas „stovi eilėje“ numeriu n.

Tarp sekos elemento reikšmės ir eilės skaičiaus yra priklausomybė. Todėl seką galime laikyti funkcija, kurios argumentas yra sekos elemento eilės skaičius. Kitaip tariant, galima sakyti seka yra natūralaus argumento funkcija:

Seka gali būti nurodyta trimis būdais:

1 . Seka gali būti nurodyta naudojant lentelę.Šiuo atveju mes tiesiog nustatome kiekvieno sekos nario reikšmę.

Pavyzdžiui, Kažkas nusprendė užsiimti asmeniniu laiko valdymu ir iš pradžių apskaičiuoti, kiek laiko per savaitę praleidžia „VKontakte“. Įrašydamas laiką į lentelę, jis gaus seką, susidedančią iš septynių elementų:

Pirmoje lentelės eilutėje yra savaitės dienos skaičius, antroje - laikas minutėmis. Matome, kad, tai yra, pirmadienį Kažkas „VKontakte“ praleido 125 minutes, tai yra, ketvirtadienį - 248 minutes, o tai yra, penktadienį, tik 15.

2 . Seka gali būti nurodyta naudojant n-ojo nario formulę.

Šiuo atveju sekos elemento reikšmės priklausomybė nuo jo skaičiaus išreiškiama tiesiogiai kaip formulė.

Pavyzdžiui, jei , tada

Norėdami rasti sekos elemento vertę su nurodytu skaičiumi, elemento numerį pakeičiame į n-ojo nario formulę.

Tą patį darome, jei reikia rasti funkcijos reikšmę, jei argumento reikšmė yra žinoma. Vietoj to funkcijos lygtyje pakeičiame argumento reikšmę:

Jei pvz. , tada

Dar kartą atkreipiu dėmesį, kad sekoje, priešingai nei savavališkoje skaitinėje funkcijoje, tik natūralusis skaičius gali būti argumentas.

3 . Seka gali būti nurodyta naudojant formulę, kuri išreiškia sekos skaičiumi n nario reikšmės priklausomybę nuo ankstesnių narių reikšmės. Šiuo atveju mums neužtenka žinoti tik sekos nario skaičių, kad rastume jo reikšmę. Turime nurodyti pirmąjį sekos narį arba keletą pirmųjų narių.

Pavyzdžiui, apsvarstykite seką ,

Mes galime rasti sekos narių reikšmes sekoje, pradedant nuo trečio:

Tai yra, kiekvieną kartą norėdami rasti n-ojo sekos nario reikšmę, grįžtame prie ankstesnių dviejų. Šis sekos nustatymo būdas vadinamas pasikartojantis, iš lotyniško žodžio pasikartojantis- grįžk.

Dabar galime apibrėžti aritmetinę progresiją. Aritmetinė progresija yra paprastas ypatingas skaitinės sekos atvejis.

Aritmetinė progresija vadinama skaitine seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridedamam tuo pačiu skaičiumi.

Skambina numeriu aritmetinės progresijos skirtumas. Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti teigiamas, neigiamas arba nulis.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} didėja.

Pavyzdžiui, 2; 5; aštuoni; vienuolika;...

Jei , tada kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra mažesnis nei ankstesnis, o progresija yra silpsta.

Pavyzdžiui, 2; - vienas; - keturi; -7;...

Jei , tada visi progresijos nariai yra lygūs tam pačiam skaičiui, o progresija yra stacionarus.

Pavyzdžiui, 2;2;2;2;...

Pagrindinė aritmetinės progresijos savybė:

Pažiūrėkime į paveikslėlį.

Mes tai matome

, ir tuo pačiu metu

Sudėjus šias dvi lygybes, gauname:

.

Padalinkite abi lygties puses iš 2:

Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus dviejų gretimų aritmetiniam vidurkiui:

Be to, nuo

, ir tuo pačiu metu

, tada

, taigi

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, prasidedantis raide title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

nario formulė.

Matome, kad aritmetinės progresijos nariams galioja tokie ryšiai:

ir, galiausiai

Mes turime n-ojo nario formulė.

SVARBU! Bet kuris aritmetinės progresijos narys gali būti išreikštas ir . Žinodami pirmąjį narį ir aritmetinės progresijos skirtumą, galite rasti bet kurį jos narį.

Aritmetinės progresijos n narių suma.

Savavališkoje aritmetinėje progresijoje terminų sumos, vienodais atstumu nuo kraštutinių, yra lygios viena kitai:

Apsvarstykite aritmetinę progresiją su n narių. Tegul šios progresijos n narių suma lygi .

Pirmiausia sutvarkykite progreso sąlygas skaičių didėjimo tvarka, o tada mažėjimo tvarka:

Suporuokime:

Suma kiekviename skliaustelyje yra , porų skaičius yra n.

Mes gauname:

Taigi, n aritmetinės progresijos narių sumą galima rasti naudojant formules:

Apsvarstykite sprendžiant aritmetinės progresijos uždavinius.

1 . Seka pateikiama pagal n-ojo nario formulę: . Įrodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.

Įrodykime, kad skirtumas tarp dviejų gretimų sekos narių yra lygus tam pačiam skaičiui.

Gavome, kad dviejų gretimų sekos narių skirtumas nepriklauso nuo jų skaičiaus ir yra konstanta. Todėl pagal apibrėžimą ši seka yra aritmetinė progresija.

2 . Duota aritmetinė progresija -31; -27;...

a) Raskite 31 progresijos narį.

b) Nustatykite, ar skaičius 41 įtrauktas į šią progresiją.

a) Mes tai matome;

Užrašykime savo progresijos n-ojo nario formulę.

Apskritai

Mūsų atveju , Štai kodėl

Aritmetinės progresijos suma.

Aritmetinės progresijos suma yra paprastas dalykas. Ir prasme, ir formule. Tačiau šia tema yra visokių užduočių. Nuo elementarių iki gana solidžių.

Pirmiausia panagrinėkime sumos reikšmę ir formulę. Ir tada mes nuspręsime. Savo malonumui.) Sumos prasmė tokia pat paprasta kaip sumažėjimas. Norėdami rasti aritmetinės progresijos sumą, tereikia atidžiai pridėti visus jos narius. Jei šių terminų nedaug, galite pridėti be jokių formulių. Bet jei yra daug, ar daug... papildymas erzina.) Tokiu atveju formulė gelbsti.

Sumos formulė paprasta:

Išsiaiškinkime, kokios raidės yra įtrauktos į formulę. Tai daug ką išaiškins.

S n yra aritmetinės progresijos suma. Papildymo rezultatas visi nariai, su Pirmasįjungta paskutinis. Svarbu. Pridėkite tiksliai visi nariai iš eilės, be tarpų ir šuolių. Ir tiksliai, pradedant nuo Pirmas. Tokiose problemose kaip trečiojo ir aštuntojo terminų sumos arba penkių iki dvidešimties terminų sumos radimas, tiesioginis formulės taikymas bus nuviliantis.)

a 1 - Pirmas progresijos narys. Čia viskas aišku, viskas paprasta Pirmas eilutės numeris.

a n- paskutinis progresijos narys. Paskutinis eilutės numeris. Nelabai pažįstamas pavadinimas, bet, pritaikius prie sumos, labai tinka. Tada pamatysite patys.

n yra paskutinio nario numeris. Svarbu suprasti, kad formulėje šis skaičius sutampa su pridėtų narių skaičiumi.

Apibrėžkime sąvoką paskutinis narys a n. Užpildomas klausimas: koks narys bus paskutinis, jei duota begalinis aritmetinė progresija?

Norėdami gauti patikimą atsakymą, turite suprasti elementarią aritmetinės progresijos reikšmę ir ... atidžiai perskaityti užduotį!)

Atliekant užduotį rasti aritmetinės progresijos sumą, paskutinis narys visada pasirodo (tiesiogiai arba netiesiogiai), kuris turėtų būti ribojamas. Kitu atveju – baigtinė, konkreti suma tiesiog neegzistuoja. Sprendimui nesvarbu, kokia progresija pateikiama: baigtinė ar begalinė. Nesvarbu, kaip jis pateikiamas: skaičių seka, ar n-ojo nario formule.

Svarbiausia suprasti, kad formulė veikia nuo pirmojo progresijos nario iki termino su skaičiumi n. Tiesą sakant, visas formulės pavadinimas atrodo taip: aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.Šių pačių pirmųjų narių skaičius, t.y. n, lemia tik užduotis. Užduotyje visa ši vertinga informacija dažnai yra užšifruota, taip ... Bet nieko, toliau pateiktuose pavyzdžiuose atskleisime šias paslaptis.)

Aritmetinės progresijos sumos užduočių pavyzdžiai.

Visų pirma, Naudinga informacija:

Pagrindinis sunkumas atliekant užduotis dėl aritmetinės progresijos sumos yra teisingas formulės elementų nustatymas.

Užduočių autoriai šiuos elementus užšifruoja beribe fantazija.) Svarbiausia čia nebijoti. Suvokus elementų esmę, pakanka tik juos iššifruoti. Išsamiai pažvelkime į kelis pavyzdžius. Pradėkime nuo užduoties, pagrįstos tikru GIA.

1. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a n = 2n-3.5. Raskite pirmųjų 10 terminų sumą.

Šaunuolis. Lengva.) Ką turime žinoti, norėdami nustatyti sumą pagal formulę? Pirmasis narys a 1, Paskutinis terminas a n, taip paskutinio termino numeris n.

Kur gauti paskutinio nario numerį n? Taip, toje pačioje vietoje, tokios būklės! Sako, surask sumą pirmieji 10 narių. Na, koks skaičius bus paskutinis, dešimtas narys?) Nepatikėsite, jo skaičius yra dešimtas!) Todėl vietoj a n pakeisime į formulę a 10, bet vietoj to n- dešimt. Vėlgi, paskutinio nario skaičius yra toks pat kaip narių skaičius.

Belieka nustatyti a 1 ir a 10. Tai nesunkiai apskaičiuojama pagal n-ojo nario formulę, kuri pateikiama problemos teiginyje. Nežinote, kaip tai padaryti? Apsilankykite ankstesnėje pamokoje, be šios - nieko.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10–3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Išsiaiškinome visų aritmetinės progresijos sumos formulės elementų reikšmę. Belieka juos pakeisti ir suskaičiuoti:

Tai viskas. Atsakymas: 75.

Kita užduotis, pagrįsta GIA. Šiek tiek sudėtingiau:

2. Duota aritmetinė progresija (a n), kurios skirtumas lygus 3,7; a 1 \u003d 2.3. Raskite pirmųjų 15 terminų sumą.

Iš karto parašome sumos formulę:

Ši formulė leidžia mums rasti bet kurio nario vertę pagal jo skaičių. Ieškome paprasto pakaitalo:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Belieka aritmetinės progresijos suma pakeisti visus formulės elementus ir apskaičiuoti atsakymą:

Atsakymas: 423.

Beje, jei sumos formulėje vietoj a n tiesiog pakeiskite n-ojo nario formulę, gausime:

Pateikiame panašius, gauname naują aritmetinės progresijos narių sumos formulę:

Kaip matote, nereikia n-asis terminas a n. Kai kuriose užduotyse ši formulė labai padeda, taip... Šią formulę galite atsiminti. Ir jūs galite tiesiog atsiimti jį tinkamu laiku, kaip čia. Juk reikia visaip atsiminti sumos formulę ir n-ojo nario formulę.)

Dabar užduotis trumpo šifravimo forma):

3. Raskite visų teigiamų dviženklių skaičių, kurie yra trijų kartotiniai, sumą.

Kaip! Nei pirmo nario, nei paskutinio, nei progreso visai... Kaip gyventi!?

Turėsite mąstyti galva ir ištraukti iš sąlygos visus aritmetinės progresijos sumos elementus. Kas yra dviženkliai skaičiai – žinome. Jie susideda iš dviejų skaičių.) Koks dviženklis skaičius bus Pirmas? 10, tikriausiai.) paskutinis dalykas dviženklis numeris? 99, žinoma! Triženkliai seks paskui jį...

Trijų kartotiniai... Hm... Tai skaičiai, kurie tolygiai dalijasi iš trijų, štai! Dešimt nesidalija iš trijų, 11 nesidalija... 12... dalijasi! Taigi, kažkas atsiranda. Jau galite parašyti seriją pagal problemos būklę:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ar ši serija bus aritmetinė progresija? Žinoma! Kiekvienas terminas nuo ankstesnio skiriasi griežtai trimis. Jei prie termino pridedamas 2 arba 4, tarkime, rezultatas, t.y. naujas skaičius nebebus dalinamas iš 3. Galite iš karto nustatyti aritmetinės progresijos į krūvą skirtumą: d = 3. Naudinga!)

Taigi, galime saugiai užrašyti kai kuriuos progreso parametrus:

Koks bus skaičius n paskutinis narys? Kas galvoja, kad 99 – mirtinai klysta... Skaičiai – jie visada eina iš eilės, o mūsų nariai peršoka per trejetuką. Jie nesutampa.

Čia yra du sprendimai. Vienas iš būdų – itin darbštiems. Galite nupiešti progresiją, visą skaičių seką ir pirštu suskaičiuoti terminų skaičių.) Antrasis būdas – mąstantiems. Reikia atsiminti n-ojo termino formulę. Jei formulė taikoma mūsų uždaviniui, gauname, kad 99 yra trisdešimtasis progresijos narys. Tie. n = 30.

Mes žiūrime į aritmetinės progresijos sumos formulę:

Žiūrime ir džiaugiamės.) Iš problemos būklės ištraukėme viską, ko reikia sumai apskaičiuoti:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Lieka elementari aritmetika. Pakeiskite skaičius formulėje ir apskaičiuokite:

Atsakymas: 1665 m

Kitas populiarių galvosūkių tipas:

4. Pateikiama aritmetinė progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Raskite terminų sumą nuo dvidešimties iki trisdešimt ketvirtos.

Mes žiūrime į sumos formulę ir ... esame nusiminę.) Priminsiu, formulė apskaičiuoja sumą nuo pirmos narys. Ir užduotyje reikia apskaičiuoti sumą nuo dvidešimties... Formulė neveiks.

Žinoma, galite piešti visą eigą iš eilės ir sudėti narius nuo 20 iki 34. Bet... kažkaip kvailai ir ilgam išeina, tiesa?)

Yra elegantiškesnis sprendimas. Padalinkime seriją į dvi dalis. Pirmoji dalis bus nuo pirmos kadencijos iki devynioliktos. Antroji dalis - nuo dvidešimt iki trisdešimt keturių. Aišku, kad jei paskaičiuotume pirmosios dalies sąlygų sumą S 1-19, pridėkime prie antrosios dalies narių sumos S 20-34, gauname progresijos sumą nuo pirmos iki trisdešimt ketvirtosios S 1-34. Kaip šitas:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tai rodo, kad reikia rasti sumą S 20-34 galima atlikti paprastu atėmimu

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Nagrinėjamos abi sumos dešinėje pusėje nuo pirmos narys, t.y. standartinė sumos formulė jiems yra gana tinkama. Ar pradedame?

Progresavimo parametrus išskiriame iš užduoties sąlygos:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Norint apskaičiuoti pirmųjų 19 ir pirmųjų 34 terminų sumas, mums reikės 19 ir 34 terminų. Skaičiuojame juos pagal n-ojo nario formulę, kaip ir 2 uždavinyje:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nieko nebelieka. Iš 34 terminų sumos atimkite 19 terminų sumą:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Atsakymas: 262,5

Viena svarbi pastaba! Yra labai naudinga funkcija sprendžiant šią problemą. Vietoj tiesioginio skaičiavimo ko jums reikia (S 20-34), suskaičiavome ko, atrodytų, nereikia - S 1-19. Ir tada jie nusprendė S 20-34, iš viso rezultato išmesdami nereikalingus dalykus. Toks „apgaulė su ausimis“ dažnai gelbsti bloguose galvosūkiuose.)

Šioje pamokoje nagrinėjome uždavinius, kuriems pakanka suprasti aritmetinės progresijos sumos reikšmę. Na, jūs turite žinoti keletą formulių.)

praktinių patarimų:

Sprendžiant bet kokį uždavinį dėl aritmetinės progresijos sumos, rekomenduoju nedelsiant išrašyti dvi pagrindines formules iš šios temos.

N-ojo termino formulė:

Šios formulės iš karto pasakys, ko ieškoti, kuria kryptimi galvoti, norint išspręsti problemą. Padeda.

O dabar savarankiško sprendimo užduotys.

5. Raskite visų dviženklių skaičių, kurie nesidalija iš trijų, sumą.

Šaunu?) Užuomina paslėpta pastaboje apie 4 uždavinį. Na, 3 uždavinys padės.

6. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite pirmųjų 24 terminų sumą.

Neįprasta?) Tai pasikartojanti formulė. Apie tai galite perskaityti ankstesnėje pamokoje. Neignoruokite nuorodos, tokie galvosūkiai dažnai randami GIA.

7. Vasya sutaupė pinigų Šventei. Net 4550 rublių! Ir nusprendžiau mylimiausiam žmogui (sau) padovanoti kelias laimės dienas). Gyvenk gražiai, nieko sau neneigdamas. Pirmą dieną išleiskite 500 rublių, o kiekvieną kitą dieną išleiskite 50 rublių daugiau nei praėjusią! Kol baigsis pinigai. Kiek dienų Vasya turėjo laimės?

Ar sunku?) Padės papildoma formulė iš 2 užduoties.

Atsakymai (netvarkingai): 7, 3240, 6.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius yra didesnis (arba mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu dydžiu.

Ši tema dažnai būna sunki ir nesuprantama. Raidžių indeksai, n-tas progresijos narys, progresijos skirtumas - visa tai kažkaip painu, taip ... Išsiaiškinkime aritmetinės progresijos prasmę ir viskas tuoj pat išsispręs.)

Aritmetinės progresijos samprata.

Aritmetinė progresija yra labai paprasta ir aiški sąvoka. Abejoti? Veltui.) Pažiūrėkite patys.

Parašysiu nebaigtą skaičių seką:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Ar galite pratęsti šią eilutę? Kokie skaičiai bus toliau, po penkių? Visi... uh..., trumpai tariant, visi supras, kad skaičiai 6, 7, 8, 9 ir t.t. eis toliau.

Apsunkinkime užduotį. Pateikiu nebaigtą skaičių seką:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Galite pagauti modelį, pratęsti seriją ir pavadinti septintoji eilės numeris?

Jei supratote, kad šis skaičius yra 20 - sveikinu jus! Jūs ne tik jautėte Pagrindiniai klausimai aritmetinė progresija, bet ir sėkmingai panaudojo juos versle! Jei nesuprantate, skaitykite toliau.

Dabar išverskime pagrindinius pojūčių dalykus į matematiką.)

Pirmas esminis punktas.

Aritmetinė progresija susijusi su skaičių serijomis. Iš pradžių tai kelia painiavą. Mes įpratę spręsti lygtis, sudaryti grafikus ir visa tai... Ir tada pratęsti seriją, rasti serijos numerį ...

Viskas gerai. Tiesiog progresijos – pirmoji pažintis su nauja matematikos šaka. Skyrius vadinasi „Serija“ ir veikia su skaičių ir posakių serijomis. Pripraskite.)

Antras esminis punktas.

Aritmetinėje progresijoje bet kuris skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.

Pirmajame pavyzdyje šis skirtumas yra vienas. Kad ir kokį skaičių imtumėte, jis bus vienu daugiau nei ankstesnis. Antroje – trys. Bet kuris skaičius yra tris kartus didesnis nei ankstesnis. Tiesą sakant, būtent šis momentas suteikia mums galimybę pagauti modelį ir apskaičiuoti tolesnius skaičius.

Trečias esminis punktas.

Ši akimirka nėra stulbinanti, taip... Bet labai, labai svarbi. Štai jis: kiekviena progresijos numeris stovi savo vietoje. Yra pirmas numeris, yra septintas, yra keturiasdešimt penktas ir t.t. Jei supainiosite juos atsitiktinai, modelis išnyks. Aritmetinė progresija taip pat išnyks. Tai tik skaičių serija.

Tai ir yra visa esmė.

Žinoma, į nauja tema atsiranda naujų terminų ir užrašų. Jie turi žinoti. Priešingu atveju nesuprasite užduoties. Pavyzdžiui, jūs turite nuspręsti, pavyzdžiui:

Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos (a n) narius, jei a 2 = 5, d = -2,5.

Ar tai įkvepia?) Raidės, kai kurios rodyklės... O užduotis, beje, negalėjo būti lengvesnė. Jums tereikia suprasti terminų ir žymėjimo prasmę. Dabar mes įsisavinsime šį reikalą ir grįšime prie užduoties.

Terminai ir pavadinimai.

Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.

Ši vertė vadinama . Panagrinėkime šią koncepciją išsamiau.

Aritmetinės progresijos skirtumas.

Aritmetinės progresijos skirtumas yra suma, kuria bet koks progresijos skaičius daugiau ankstesnįjį.

Vienas svarbus punktas. Prašome atkreipti dėmesį į žodį "daugiau". Matematiškai tai reiškia, kad gaunamas kiekvienas progresijos skaičius pridedant aritmetinės progresijos skirtumas nuo ankstesnio skaičiaus.

Norėdami apskaičiuoti, tarkime antra eilutės numeriai, būtina Pirmas numerį papildytišis aritmetinės progresijos skirtumas. Skaičiavimui penktoji– skirtumas būtinas papildytiį ketvirta na ir t.t.

Aritmetinės progresijos skirtumas gal būt teigiamas tada kiekvienas serijos skaičius pasirodys tikras daugiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama didėja. Pavyzdžiui:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Čia yra kiekvienas skaičius pridedant teigiamas skaičius, +5 prieš ankstesnįjį.

Skirtumas gali būti neigiamas tada kiekvienas serijos skaičius bus mažiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama (jūs nepatikėsite!) mažėja.

Pavyzdžiui:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Čia taip pat gaunamas kiekvienas skaičius pridedantį ankstesnį, bet neigiamas skaičius, -5.

Beje, dirbant su progresija labai naudinga iš karto nustatyti jos pobūdį – ar ji didėja, ar mažėja. Tai labai padeda orientuotis priimant sprendimą, aptikti savo klaidas ir jas ištaisyti, kol dar nevėlu.

Aritmetinės progresijos skirtumas paprastai žymimas raide d.

Kaip rasti d? Labai paprasta. Būtina atimti iš bet kurio serijos skaičiaus ankstesnis numerį. Atimti. Beje, atimties rezultatas vadinamas „skirtumu“.)

Apibrėžkime, pvz. d didėjančiai aritmetinei progresijai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Paimame bet kokį norimos eilutės skaičių, pavyzdžiui, 11. Iš jo atimame ankstesnis numeris tie. aštuoni:

Tai teisingas atsakymas. Šiai aritmetinei progresijai skirtumas yra trys.

Galite tiesiog paimti bet koks progresavimo skaičius, nes tam tikrai progresijai d-visada taip pat. Bent kažkur eilės pradžioje, bent jau viduryje, bent jau bet kur. Negalite imti tik pirmojo numerio. Vien dėl to, kad pats pirmasis numeris jokio ankstesnio.)

Beje, tai žinant d=3, rasti septintą šios progresijos skaičių labai paprasta. Prie penkto skaičiaus pridedame 3 – gauname šeštą, bus 17. Prie šešto skaičiaus pridedame tris, gauname septintą skaičių – dvidešimt.

Apibrėžkime d mažėjančiai aritmetinei progresijai:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Primenu, kad, nepaisant ženklų, nustatyti d reikia iš bet kurio skaičiaus atimti ankstesnį. Mes pasirenkame bet kokį progresijos skaičių, pavyzdžiui -7. Ankstesnis jo numeris yra -2. Tada:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti bet koks skaičius: sveikasis, trupmeninis, neracionalus, bet koks.

Kiti terminai ir pavadinimai.

Kiekvienas serijos numeris vadinamas aritmetinės progresijos narys.

Kiekvienas progreso narys turi savo numerį. Skaičiai griežtai tvarkingi, be jokių gudrybių. Pirma, antra, trečia, ketvirta ir kt. Pavyzdžiui, progresijoje 2, 5, 8, 11, 14, ... du yra pirmasis narys, penki yra antrasis, vienuolika yra ketvirtas, gerai, jūs suprantate...) Prašome aiškiai suprasti - patys skaičiai gali būti visiškai bet koks, visas, trupmeninis, neigiamas, bet koks, bet numeracija- griežtai tvarka!

Kaip įrašyti progresą bendras vaizdas? Jokiu problemu! Kiekvienas serijos skaičius parašytas kaip raidė. Aritmetinei progresijai žymėti, kaip taisyklė, naudojama raidė a. Nario numeris nurodomas rodyklės apačioje dešinėje. Nariai rašomi atskirti kableliais (arba kabliataškiais), pavyzdžiui:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 yra pirmasis numeris a 3- trečia ir kt. Nieko sudėtingo. Šią seriją galite trumpai parašyti taip: (a n).

Yra progresijos baigtinis ir begalinis.

galutinis progresija turi ribotą narių skaičių. Penki, trisdešimt aštuoni, nesvarbu. Bet tai yra baigtinis skaičius.

Begalinis progresija – turi begalinį narių skaičių, kaip galite spėti.)

Galite parašyti galutinę tokios serijos eigą, visus narius ir tašką pabaigoje:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Arba taip, jei narių daug:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Trumpame įraše turėsite papildomai nurodyti narių skaičių. Pavyzdžiui (dvidešimties narių), taip:

(a n), n = 20

Begalinę eigą galima atpažinti iš elipsės eilutės pabaigoje, kaip šios pamokos pavyzdžiuose.

Dabar jau galite spręsti užduotis. Užduotys paprastos, skirtos tik aritmetinės progresijos prasmės supratimui.

Aritmetinės progresijos užduočių pavyzdžiai.

Pažvelkime atidžiau į aukščiau pateiktą užduotį:

1. Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos narius (a n), jei a 2 = 5, d = -2,5.

Užduotį išverčiame į suprantamą kalbą. Duota begalinė aritmetinė progresija. Žinomas antrasis šios progresijos skaičius: a 2 = 5.Žinomas progresavimo skirtumas: d = -2,5. Turime rasti pirmą, trečią, ketvirtą, penktą ir šeštą šios pažangos narius.

Aiškumo dėlei aš parašysiu seriją pagal problemos būklę. Pirmieji šeši nariai, kai antrasis narys yra penki:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...

a 3 = a 2 + d

Mes pakeičiame išraišką a 2 = 5 ir d=-2,5. Nepamirškite minuso!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trečias terminas yra mažiau nei sekundę. Viskas logiška. Jei skaičius didesnis nei ankstesnis neigiamas vertė, todėl pats skaičius bus mažesnis nei ankstesnis. Progresas mažėja. Gerai, atsižvelkime į tai.) Mes svarstome ketvirtąjį savo serijos narį:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Taigi, buvo apskaičiuoti terminai nuo trečio iki šešto. Taip atsirado serija:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Belieka surasti pirmąjį terminą a 1įjungta garsus antrasis. Tai žingsnis kita kryptimi, į kairę.) Vadinasi, aritmetinės progresijos skirtumas d neturėtų būti pridėta a 2, a Atimti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Tai viskas. Atsakymas į užduotį:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Prabėgomis pažymiu, kad šią užduotį išsprendėme pasikartojantis būdu. Šis baisus žodis reiškia tik progreso nario paiešką pagal ankstesnį (greta esantį) skaičių. Kiti būdai dirbti su progresu bus aptarti vėliau.

Iš šios paprastos užduoties galima padaryti vieną svarbią išvadą.

Prisiminti:

Jei žinome bent vieną aritmetinės progresijos narį ir skirtumą, galime rasti bet kurį šios progresijos narį.

Prisiminti? Ši paprasta išvada leidžia išspręsti daugumą mokyklos kurso problemų šia tema. Visos užduotys sukasi aplink trys pagrindiniai parametrai: aritmetinės progresijos narys, progresijos skirtumas, progresijos nario skaičius. Viskas.

Žinoma, visa ankstesnė algebra neatšaukiama.) Prie progresijos pridedamos nelygybės, lygtys ir kiti dalykai. Bet pagal progresą– viskas sukasi aplink tris parametrus.

Pavyzdžiui, apsvarstykite keletą populiarių užduočių šia tema.

2. Parašykite galutinę aritmetinę progresiją kaip eilutę, jei n=5, d=0,4 ir a 1=3,6.

Čia viskas paprasta. Viskas jau duota. Reikia atsiminti, kaip skaičiuojami aritmetinės progresijos nariai, skaičiuojami ir užrašomi. Patartina nepraleisti žodžių užduoties sąlygoje: „galutinis“ ir „ n=5". Kad neskaičiuotumėte tol, kol visiškai pamėlynuosite.) Šioje eigoje yra tik 5 (penki) nariai:

a 2 \u003d a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Belieka surašyti atsakymą:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Kita užduotis:

3. Nustatykite, ar skaičius 7 bus aritmetinės progresijos narys (a n), jei a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kas žino? Kaip ką nors apibrėžti?

Kaip-kaip... Taip, užrašykite progresą serijos forma ir pažiūrėkite, bus septynetas ar ne! Mes tikime:

a 2 \u003d a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Dabar aiškiai matyti, kad mūsų vos septyni praslydo pro šalį nuo 6,5 iki 7,7! Septyni nepateko į mūsų skaičių seką, todėl septynetas nebus nurodytos progresijos narys.

Atsakymas: ne.

Ir čia yra problema, pagrįsta tikra versija GIA:

4. Išrašomi keli iš eilės aritmetinės progresijos nariai:

...; penkiolika; X; 9; 6; ...

Čia yra serija be pabaigos ir pradžios. Nėra narių numerių, jokio skirtumo d. Viskas gerai. Norėdami išspręsti problemą, pakanka suprasti aritmetinės progresijos reikšmę. Pažiūrėkime ir pažiūrėkime, ką galime žinoti iš šios linijos? Kokie yra trijų pagrindinių parametrai?

Narių numeriai? Čia nėra nei vieno numerio.

Bet yra trys skaičiai ir – dėmesio! - žodis "iš eilės" būklės. Tai reiškia, kad skaičiai yra griežtai tvarkingi, be tarpų. Ar yra du šioje eilutėje? kaimyninis žinomi skaičiai? Taip, ten yra! Tai yra 9 ir 6. Taigi galime apskaičiuoti aritmetinės progresijos skirtumą! Iš šešių atimame ankstesnis numeris, t.y. devyni:

Liko tuščių vietų. Koks skaičius bus ankstesnis x? penkiolika. Taigi x galima lengvai rasti paprastu pridėjimu. Prie 15 pridėkite aritmetinės progresijos skirtumą:

Tai viskas. Atsakymas: x=12

Toliau nurodytas problemas sprendžiame patys. Pastaba: šie galvosūkiai nėra skirti formulėms. Vien tam, kad suprastume aritmetinės progresijos reikšmę.) Tiesiog užrašome skaičių-raidžių eilę, žiūrime ir galvojame.

5. Raskite pirmąjį teigiamą aritmetinės progresijos narį, jei a 5 = -3; d = 1,1.

6. Yra žinoma, kad skaičius 5,5 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nustatykite šio nario skaičių n.

7. Yra žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Raskite 3.

8. Išrašomi keli iš eilės aritmetinės progresijos nariai:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x.

9. Traukinys pradėjo judėti iš stoties, palaipsniui didindamas greitį 30 metrų per minutę. Koks bus traukinio greitis po penkių minučių? Atsakymą pateikite km/val.

10. Žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 5; a 6 = -5. Raskite 1.

Atsakymai (netvarkingai): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; keturi.

Viskas pavyko? Nuostabu! Norėdami sužinoti daugiau, galite išmokti aritmetinę progresiją aukštas lygis, kitose pamokose.

Ar ne viskas pavyko? Jokiu problemu. Specialiame 555 skyriuje visi šie galvosūkiai yra suskirstyti po gabalėlį.) Ir, žinoma, aprašyta paprasta praktinė technika, kuri iš karto aiškiai, aiškiai, kaip ant delno, išryškina tokių užduočių sprendimą!

Beje, galvosūkyje apie traukinį yra dvi problemos, dėl kurių žmonės dažnai suklumpa. Vienas – tik progresuojant, o antrasis – bendras visoms matematikos ir fizikos užduotims. Tai matmenų vertimas iš vieno į kitą. Tai parodo, kaip šios problemos turi būti sprendžiamos.

Šioje pamokoje nagrinėjome elementariąją aritmetinės progresijos reikšmę ir pagrindinius jos parametrus. To pakanka beveik visoms šios temos problemoms išspręsti. Papildyti dį skaičius, parašyk seriją, viskas bus nuspręsta.

Pirštų sprendimas puikiai tinka labai trumpoms serijos dalims, kaip parodyta šios pamokos pavyzdžiuose. Jei serija ilgesnė, skaičiavimai tampa sudėtingesni. Pavyzdžiui, jei klausime 9 uždavinys, pakeiskite "penkios minutės" ant „trisdešimt penkios minutės“ problema taps daug blogesnė.)

Taip pat yra užduočių, kurios yra paprastos iš esmės, bet visiškai absurdiškos skaičiavimo požiūriu, pavyzdžiui:

Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Ir ką, pridėsime 1/6 daug daug kartų?! Ar įmanoma nusižudyti!?

Galite.) Jei nežinote paprasta formulė, pagal kurią tokias užduotis galite išspręsti per minutę. Ši formulė bus kitoje pamokoje. Ir ta problema ten išspręsta. Per minutę.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Arba aritmetika yra tam tikra sutvarkyta skaitinė seka, kurios savybės tiriamos mokyklos kursas algebra. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kas yra ši progresija?

Prieš pradedant svarstyti klausimą (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, kas bus aptariama.

Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematikos kalbą, yra toks:

Čia i yra eilutės elemento eilės skaičius a i . Taigi, žinodami tik vieną pradinį skaičių, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę, skirtumą d pridėkite prie pirmojo elemento a 1 n-1 kartą.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta pagalvoti apie paprastą ypatingą atvejį. Atsižvelgdami į natūraliųjų skaičių progresiją nuo 1 iki 10, turite rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Verta apsvarstyti vieną įdomus dalykas: kadangi kiekvienas terminas skiriasi nuo kito ta pačia reikšme d \u003d 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtuoju, antrojo su devintu ir tt bus toks pat rezultatas. Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada sumų skaičių (5) padauginę iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite pirmame pavyzdyje gautą rezultatą.

Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę, taip pat iš viso terminai n.

Manoma, kad Gaussas pirmą kartą pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo savo mokyklos mokytojo iškeltos problemos sprendimo: susumuoti pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos (pirmųjų elementų) sumą, tačiau dažnai užduotyse reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra atsižvelgiant į tokį pavyzdį: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m iki n. Norint išspręsti problemą, duotas progresijos segmentas nuo m iki n turi būti pavaizduotas kaip nauja skaičių seka. Tokiame pristatyme m-asis terminas a m bus pirmas, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Tokiu atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau yra skaitinė seka, kurioje turėtumėte rasti jos narių sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5-ojo ir 12-ojo progresijos narių reikšmes. Paaiškėja:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos galuose, taip pat žinodami, kuriuos eilės skaičius jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Gaukite:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, o tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją. .