Baigtinėje aritmetinėje progresijoje. Aritmetinė progresija pagal pavyzdžius

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(8\); \(vienuolika\); \(14\)… yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šešiems.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga žymima maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip ir aritmetinė progresija, bet skaitine indeksu, lygiu elemento numeriui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Užduočių sprendimas aritmetine progresija

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateiktos sąlygos \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite pirmojo neigiamo šios progresijos nario reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami keli vienas po kito einantys aritmetinės progresijos elementai: \(...5; x; 10; 12,5...\) Raskite elemento, žymimo raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Pateikta aritmetinė progresija šias sąlygas: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos uždavinių galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką – kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas kitas šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio (skirtumas progresavimo).

Tačiau kartais pasitaiko situacijų, kai labai nepatogu spręsti „ant kaktos“. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Kas tai, mes \ (385 \) kartus pridėti keturis? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Skaičiavimas yra painus...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia „ant kaktos“, o naudoja specialias formules, išvestas aritmetinei progresijai. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir pirmųjų narių sumos \(n\) formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) yra progresijos narys su skaičiumi \(n\).

Ši formulė leidžia greitai rasti bent trijų šimtų, net milijono elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) yra paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama pirmųjų elementų suma \(n\);
\(a_1\) yra pirmasis terminas, kuris turi būti sumuojamas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite viską reikalinga informacija beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti. Užbaikime temą apsvarstydami problemas, kuriose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek galvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau jūs galite lengvai juos rasti.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Skaitmeninė seka

Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti skaičius. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaitmeninė seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam eilės numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaitinę seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Tokia skaitinė seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ romėnų autorius Boethius įvedė dar VI amžiuje ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip nesibaigianti skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kuria užsiėmė senovės graikai.

Tai skaitinė seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtas tuo pačiu numeriu. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkite mūsų atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Prie ankstesnės progresijos skaičiaus reikšmės galime pridėti tol, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos --asis narys yra lygus.

2. Būdas

Ką daryti, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas būtų užtrukęs ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad sudėdami skaičius nebūtume suklydę.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip prie ankstesnės reikšmės nereikia pridėti aritmetinės progresijos skirtumo. Atidžiai pažiūrėkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą modelį, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kas sudaro šios aritmetinės progresijos --ojo nario reikšmę:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu savarankiškai rasti šios aritmetinės progresijos nario vertę.

Apskaičiuota? Palyginkite savo įrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės iš eilės pridėjome aritmetinės progresijos narius.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę- paverskime ją bendra forma ir gaukime:

Aritmetinės progresijos arba didėja, arba mažėja.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Pažiūrėkime tai praktiškai.
Mums pateikiama aritmetinė progresija, susidedanti iš sekančius skaičius: Pažiūrėkime, koks bus --asis šios aritmetinės progresijos skaičius, jei skaičiuodami naudosime savo formulę:

Nuo tada:

Taigi buvome įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didinant aritmetinę progresiją.
Pabandykite patys rasti --ąjį ir -ąjį šios aritmetinės progresijos narius.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtinginkime užduotį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums pateikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Tai lengva, sakote, ir pradėkite skaičiuoti pagal jums jau žinomą formulę:

Leiskite, a, tada:

Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidų skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir mes stengsimės tai iškelti dabar.

Norimą aritmetinės progresijos narį pažymėkime kaip, žinome jo radimo formulę – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

• ankstesnis progreso narys yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Susukime ankstesnius ir kitus progreso narius:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dvigubai didesnė už tarp jų esančios progresijos nario vertę. Kitaip tariant, norint rasti progresijos nario su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis reikšmę, reikia jas pridėti ir padalinti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Pataisykime medžiagą. Progresavimo vertę apskaičiuokite patys, nes tai visai nesunku.

Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas, nesunkiai išvedė sau...

Kai Carlui Gaussui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, paklausė klasėje kita užduotis: „Suskaičiuokite visų sumą natūraliuosius skaičius nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai. Kuo nustebino mokytojas, kai vienas iš jo mokinių (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolių klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą ...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo modelį, kurį galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ti narių: Turime rasti nurodytų aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet ką daryti, jei užduotyje reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai pažiūrėkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Išbandė? ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar atsakykite, kiek tokių porų bus mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panašių lygių porų, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresavimo skirtumą. Pabandykite sumos formulę pakeisti th nario formule.
Ką tu gavai?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo pateiktas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kokia yra skaičių, prasidedančių nuo -ojo, ir skaičių, prasidedančių nuo -ojo, suma.

Kiek gavai?
Gaussas pasirodė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos narių sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir visą tą laiką sąmojingi žmonės naudojo aritmetinės progresijos ypatybes.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptas ir didžiausia to meto statybų aikštelė – piramidės statyba... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakai, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Suskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei į pagrindą dedamos blokinės plytos. Tikiuosi neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, ar pamenate paskutinę formulę ir viską, ką pasakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip:
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių skaičiuojame 2 būdais).

1 būdas.

2 būdas.

O dabar galite skaičiuoti ir monitoriuje: palyginkite gautas reikšmes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Ar sutiko? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

1. Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša pritūps per savaites, jei darydavo pritūpimus per pirmąją treniruotę.
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Laikydami rąstus, medkirčiai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pagrindas yra rąstai.

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Po dviejų savaičių Maša turėtų pritūpti kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis numeris.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Tačiau nelyginių skaičių skaičius per pusę, tačiau patikrinkite šį faktą naudodami formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos --ąjį narį:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Turimus duomenis pakeičiame į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkite problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , kadangi kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, yra tik krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskite duomenis formulėje:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinant

1. - skaitinė seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jo daugėja ir mažėja.
2. Formulės radimas aritmetinės progresijos narys užrašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur - skaičių skaičius progresijoje.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaitmeninė seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius, jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galite atskirti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaitmeninė seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir tik vienu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei --asis sekos narys gali būti pateiktas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Pasikartojančia vadiname formulę, kurioje, norint sužinoti -tąjį terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal tokią formulę rasti progresijos t-ąjį narį, turime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, tegul. Tada:

Na, dabar aišku, kokia formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame prie, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kam? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis narys yra lygus. Ir koks skirtumas? Ir štai kas:

(juk jis vadinamas skirtumu, nes lygus eilės progresijos narių skirtumui).

Taigi formulė yra tokia:

Tada šimtasis terminas yra:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių nuo iki suma?

Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičiaus suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir trečiojo nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas kitas gaunamas pridedant skaičių prie ankstesnio. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos aštuntojo termino formulė yra tokia:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviejų skaitmenų?

Labai lengva: .

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga 1 m daugiau nei praėjusią dieną. Kiek kilometrų jis nubėgs per savaites, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kiekvieną dieną nuvažiuoja daugiau mylių nei ankstesnis. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jis turi važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat sumažinama šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei pardavimui už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama:, reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netinka, tad atsakymas.
   Apskaičiuokime per paskutinę dieną nuvažiuotą atstumą naudodami -tosios dalies formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Lengviau netampa:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Tai skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija didėja () ir mažėja ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašyta kaip formulė, kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai, kaip rasti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Dėl sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis egzaminas, stojant į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Aš niekuo jūsų neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką ...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos daug kas atsiveria. daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir prieigą prie visų užduočių ir visko paslėptus tekstus juos galima nedelsiant atidaryti.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Prieš pradėdami spręsti aritmetinės progresijos uždaviniai, apsvarstykite, kas yra skaičių seka, nes aritmetinė progresija yra ypatingas skaičių sekos atvejis.

Skaičių seka yra skaitinė rinkinys, kurio kiekvienas elementas turi savo serijos numerį. Šios aibės elementai vadinami sekos nariais. Sekos elemento eilės numeris nurodomas indeksu:

Pirmasis sekos elementas;

Penktasis sekos elementas;

- "n-tas" sekos elementas, t.y. elementas „stovi eilėje“ numeriu n.

Tarp sekos elemento reikšmės ir eilės skaičiaus yra priklausomybė. Todėl seką galime laikyti funkcija, kurios argumentas yra sekos elemento eilės skaičius. Kitaip tariant, galima sakyti seka yra natūralaus argumento funkcija:

Seka gali būti nurodyta trimis būdais:

1 . Seka gali būti nurodyta naudojant lentelę.Šiuo atveju mes tiesiog nustatome kiekvieno sekos nario reikšmę.

Pavyzdžiui, Kažkas nusprendė užsiimti asmeniniu laiko valdymu ir iš pradžių apskaičiuoti, kiek laiko per savaitę praleidžia „VKontakte“. Įrašydamas laiką į lentelę, jis gaus seką, susidedančią iš septynių elementų:

Pirmoje lentelės eilutėje yra savaitės dienos skaičius, antroje - laikas minutėmis. Matome, kad, tai yra, pirmadienį Kažkas „VKontakte“ praleido 125 minutes, tai yra, ketvirtadienį - 248 minutes, o tai yra, penktadienį, tik 15.

2 . Seka gali būti nurodyta naudojant n-ojo nario formulę.

Šiuo atveju sekos elemento reikšmės priklausomybė nuo jo skaičiaus išreiškiama tiesiogiai kaip formulė.

Pavyzdžiui, jei , tada

Norėdami rasti sekos elemento vertę su nurodytu skaičiumi, elemento numerį pakeičiame į n-ojo nario formulę.

Tą patį darome, jei reikia rasti funkcijos reikšmę, jei argumento reikšmė yra žinoma. Vietoj to funkcijos lygtyje pakeičiame argumento reikšmę:

Jei pvz. , Tai

Dar kartą atkreipiu dėmesį, kad sekoje, priešingai nei savavališkoje skaitinėje funkcijoje, tik natūralusis skaičius gali būti argumentas.

3 . Seka gali būti nurodyta naudojant formulę, kuri išreiškia sekos skaičiumi n nario reikšmės priklausomybę nuo ankstesnių narių reikšmės. Šiuo atveju mums neužtenka žinoti tik sekos nario skaičių, kad rastume jo reikšmę. Turime nurodyti pirmąjį sekos narį arba keletą pirmųjų narių.

Pavyzdžiui, apsvarstykite seką ,

Mes galime rasti sekos narių reikšmes sekoje, pradedant nuo trečio:

Tai yra, kiekvieną kartą norėdami rasti n-ojo sekos nario reikšmę, grįžtame prie ankstesnių dviejų. Šis sekos nustatymo būdas vadinamas pasikartojantis, iš lotyniško žodžio pasikartojantis- grįžk.

Dabar galime apibrėžti aritmetinę progresiją. Aritmetinė progresija yra paprastas ypatingas skaitinės sekos atvejis.

Aritmetinė progresija vadinama skaitine seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridedamam tuo pačiu skaičiumi.

Skambina numeriu aritmetinės progresijos skirtumas. Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti teigiamas, neigiamas arba nulis.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} didėja.

Pavyzdžiui, 2; 5; 8; vienuolika;...

Jei , tada kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra mažesnis nei ankstesnis, o progresija yra silpsta.

Pavyzdžiui, 2; -1; -4; -7;...

Jei , tada visi progresijos nariai yra lygūs tam pačiam skaičiui, o progresija yra stacionarus.

Pavyzdžiui, 2;2;2;2;...

Pagrindinė aritmetinės progresijos savybė:

Pažiūrėkime į paveikslėlį.

Mes tai matome

, ir tuo pačiu metu

Sudėjus šias dvi lygybes, gauname:

.

Padalinkite abi lygties puses iš 2:

Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus dviejų gretimų aritmetiniam vidurkiui:

Be to, nuo

, ir tuo pačiu metu

, Tai

, taigi

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, prasidedantis raide title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

nario formulė.

Matome, kad aritmetinės progresijos nariams galioja tokie ryšiai:

ir, galiausiai

Mes turime n-ojo nario formulė.

SVARBU! Bet kuris aritmetinės progresijos narys gali būti išreikštas ir . Žinodami pirmąjį narį ir aritmetinės progresijos skirtumą, galite rasti bet kurį jos narį.

Aritmetinės progresijos n narių suma.

Savavališkoje aritmetinėje progresijoje terminų sumos, vienodais atstumu nuo kraštutinių, yra lygios viena kitai:

Apsvarstykite aritmetinę progresiją su n narių. Tegul šios progresijos n narių suma lygi .

Pirmiausia sutvarkykite progreso sąlygas skaičių didėjimo tvarka, o tada mažėjimo tvarka:

Suporuokime:

Suma kiekviename skliaustelyje yra , porų skaičius yra n.

Mes gauname:

Taigi, n aritmetinės progresijos narių sumą galima rasti naudojant formules:

Apsvarstykite sprendžiant aritmetinės progresijos uždavinius.

1 . Seka pateikiama pagal n-ojo nario formulę: . Įrodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.

Įrodykime, kad skirtumas tarp dviejų gretimų sekos narių yra lygus tam pačiam skaičiui.

Gavome, kad dviejų gretimų sekos narių skirtumas nepriklauso nuo jų skaičiaus ir yra konstanta. Todėl pagal apibrėžimą ši seka yra aritmetinė progresija.

2 . Duota aritmetinė progresija -31; -27;...

a) Raskite 31 progresijos narį.

b) Nustatykite, ar skaičius 41 įtrauktas į šią progresiją.

A) Mes tai matome;

Užrašykime savo progresijos n-ojo nario formulę.

Apskritai

Mūsų atveju , Štai kodėl

Aritmetinė ir geometrinė progresija

Teorinė informacija

	Aritmetinė progresija	Geometrinė progresija
Apibrėžimas	Aritmetinė progresija a n vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam tuo pačiu skaičiumi d (d- progresavimo skirtumas)	geometrinė progresija b n vadinama ne nulinių skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis)
Pasikartojanti formulė	Bet kokiam natūraliam n a n + 1 = a n + d	Bet kokiam natūraliam n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-ojo termino formulė	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
būdinga savybė
Pirmųjų n narių suma

Užduočių pavyzdžiai su komentarais

1 pratimas

Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6, a 2

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Pagal sąlygą:

a 1= -6, taigi a 22= -6 + 21d.

Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Atsakymas : a 22 = -48.

2 užduotis

Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...

1-as būdas (naudojant n terminų formulę)

Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Nes b 1 = -3,

2 būdas (naudojant rekursinę formulę)

Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : b 5 = -48.

3 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.

Aritmetinei progresijai būdinga savybė turi formą .

Todėl:

.

Pakeiskite duomenis formulėje:

Atsakymas: 95.

4 užduotis

Aritmetine progresija ( a n ) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.

Norint rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą, naudojamos dvi formulės:

.

Kurį iš jų šiuo atveju patogiau taikyti?

Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galima rasti iš karto ir a 1, Ir a 16 neradus d . Todėl mes naudojame pirmąją formulę.

Atsakymas: 368.

5 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : a 22 = -48.

6 užduotis

Įrašomi keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:

Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x .

Spręsdami naudojame n-ojo nario formulę b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Dėl geometrinės progresijos. Pirmasis progresijos narys. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš šių progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galite paimti ir padalyti iš. Gauname, kad q \u003d 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį tam tikros geometrinės progresijos narį.

Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:

.

Atsakymas:.

7 užduotis

Iš aritmetinių progresijų, pateiktų n-ojo nario formule, pasirinkite tą, kurios sąlyga tenkinama a 27 > 9:

Kadangi nurodyta sąlyga turi būti įvykdyta 27 progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:

.

Atsakymas: 4.

8 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausia vertė n , kuriai nelygybė a n > -6.

Ką pagrindinis dalykas formules?

Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Žinoma, reikia žinoti pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.

Nepakanka įsiminti (ar apgauti) šią formulę. Būtina įsisavinti jo esmę ir taikyti formulę įvairiose užduotyse. Taip, ir nepamirškite tinkamu laiku, taip ...) Kaip nepamiršti- Nežinau. Ir čia kaip atsiminti Jei reikės, duosiu patarimą. Tiems, kurie įvaldo pamoką iki galo.)

Taigi, panagrinėkime aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.

Kas yra formulė apskritai – įsivaizduojame.) Kas yra aritmetinė progresija, narių skaičius, progresijos skirtumas – aiškiai pasakyta ankstesnėje pamokoje. Pažiūrėkite, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas n-asis narys.

progresija į bendras vaizdas gali būti parašytas kaip skaičių serija:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys a 4- ketvirta ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtas – nuo a 120.

Kaip apibrėžti apskritai bet koks aritmetinės progresijos narys, s bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:

a n

Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Po raide n slepiasi iš karto visi narių skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir pan.

O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvokite, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę ...

Šis žymėjimas suteikia mums galingą įrankį dirbant su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir daugybė užduočių, kurias reikia išspręsti. Pamatysite toliau.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:

a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;

n- nario numeris.

Formulė susieja pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d Ir n. Aplink šiuos parametrus visi galvosūkiai sukasi paeiliui.

N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, užduotyje galima sakyti, kad progresą suteikia sąlyga:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tokia problema gali net supainioti... Nėra serijos, jokio skirtumo... Bet palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 \u003d 5 ir d = 2.

Ir tai gali būti dar piktesnė!) Jei laikysimės tos pačios sąlygos: a n = 5 + (n-1) 2, taip, atverti skliaustus ir duoti panašius? Gauname naują formulę:

an = 3 + 2n.

Tai Tik ne bendrai, o konkrečiai progresijai. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmasis narys yra penketukas... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.

Pažangos užduotyse yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, jūs atspėjote, yra progreso „n plius pirmasis“ terminas. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra vienetu didesnis už skaičių n. Pavyzdžiui, jei sprendžiame kokią nors problemą a n tada penkta kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.

Dažniausiai pavadinimas a n+1 pasitaiko rekursinėse formulėse. Nebijokite šio baisaus žodžio!) Tai tik būdas išreikšti aritmetinės progresijos terminą per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Ir kaip iš karto suskaičiuoti, sakyk dvidešimtą terminą, a 20? Bet jokiu būdu!) Nors 19-asis terminas nėra žinomas, 20-asis negali būti skaičiuojamas. Šiame yra esminis skirtumas pasikartojanti formulė iš n-ojo nario formulės. Rekursyvūs veikia tik per ankstesnis terminas, o n-ojo termino formulė – per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos iš eilės.

Aritmetinėje progresijoje rekursinė formulė gali būti lengvai paversta įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbkite su ja. GIA tokios užduotys dažnai randamos.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.

Pirmiausia pažvelkime į tiesioginį formulės taikymą. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:

Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Šį uždavinį galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti, taip pridėti... Valanda ar dvi.)

O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite laiku.) Mes nusprendžiame.

Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Lieka pažiūrėti, kas n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Čia rašome:

Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra ši prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Pakeiskite visus skaičius formulėje ir apskaičiuokite:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Tai viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą narį ir tūkstantį trečią, bet kurį. Vietoj to dedame n norimą skaičių raidės rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir svarstome.

Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Išspręskime problemą protingiau. Tarkime, kad turime tokią problemą:

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.

Jei turite kokių nors sunkumų, aš pasiūlysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Rašykite ranka tiesiai į užrašų knygelę:

O dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime, o ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Viskas? Jei manote, kad tai viskas, tada jūs negalite išspręsti problemos, taip ...

Turime ir numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du variantai. Tai ir septyniolikto nario reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos, (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos neišspręsi. Nors ... ir be galvos.)

Dabar mes galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, įdėkime:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Iš esmės tai ir yra viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir apskaičiuoti. Jūs gaunate atsakymą: a 1 = 6.

Tokia technika – formulės rašymas ir tiesiog žinomų duomenų pakeitimas – labai padeda atliekant paprastas užduotis. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio matematikos apskritai negalima mokytis ...

Kita populiari problema:

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.

Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)

Apsvarstykite, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypatingas akcentas!) n = 15. Nesivaržykite pakeisti formule:

12=2 + (15-1)d

Atlikime aritmetiką.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tai teisingas atsakymas.

Taigi, užduotys a n, a 1 Ir d nusprendė. Belieka išmokti rasti numerį:

Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.

Žinomus dydžius pakeičiame n-ojo nario formule:

a n = 12 + (n-1) 3

Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n yra tam tikras progresijos narys su skaičiumi n... Ir šis progresijos narys, kurį mes žinome! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, taigi ir šį skaičių reikia surasti. Pakeiskite progresavimo terminą 99 į formulę:

99 = 12 + (n-1) 3

Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.

O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):

Nustatykite, ar skaičius 117 bus aritmetinės progresijos narys (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Dar kartą parašykime formulę. Ką, nėra pasirinkimų? Hm... Kam mums reikalingos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos narį? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 \u003d -3,6. Skirtumas d galima nustatyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Taip, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susidoroti su nežinomu numeriu n ir nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes net nežinome, kad ... Kaip būti!? Na, kaip būti, kaip būti... Įjunk Kūrybiniai įgūdžiai!)

Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. rašome formulę (taip-taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:

Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą darome? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Jis yra kažkur tarp 101 ir 102 narių. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos narys su rastu skaičiumi. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: Nr.

Užduotis tikra versija GIA:

Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:

a n \u003d -4 + 6,8n

Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.

Čia progresas nustatomas neįprastai. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia raskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.

Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi, yra mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje esanti formulė yra modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Nieko, dabar rasime.)

Kaip ir ankstesnėse užduotyse, mes pakeičiame n=1į šią formulę:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!

Panašiai ieškome dešimtojo termino:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Tai viskas.

O dabar tiems, kurie perskaitė iki šių eilučių, pažadėta premija.)

Tarkime, sudėtingoje kovos situacijoje, susijusioje su GIA arba vieningu valstybiniu egzaminu, pamiršote naudingą n-ojo aritmetinės progresijos nario formulę. Kažkas ateina į galvą, bet kažkaip neaiškiai... Nesvarbu n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?

Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Nelabai griežta, bet įsitikinti ir teisingas sprendimas to užtenka!) Išvadai pakanka prisiminti elementariąją aritmetinės progresijos reikšmę ir turėti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.

Nubrėžiame skaitinę ašį ir pažymime joje pirmąją. antras, trečias ir kt. nariai. Ir atkreipkite dėmesį į skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:

Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ar supranti? Kai kurių žodžių nerašau paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis.)

Kas yra ketvirtas terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.

a 4 =a 1 + 3 d

Pats laikas suvokti, kad tarpų skaičius, t.y. d, Visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, iki skaičiaus n, tarpų skaičius valios n-1. Taigi, formulė bus tokia (be variantų!):

Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tai... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendinio prijungti visą galingą matematikos arsenalą – lygtis, nelygybes, sistemas ir kt. Jūs negalite įdėti paveikslėlio į lygtį...

Užduotys savarankiškam apsisprendimui.

Apšilimui:

1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Raskite 3.

Užuomina: pagal paveikslėlį problema išspręsta per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Bet formulės įsisavinimui ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta ir paveikslėliu, ir formule. Jausti skirtumą!)

Ir tai nebėra apšilimas.)

2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .

Ką, nenoras piešti paveikslą?) Vis dėlto! Formulėje geriau, taip...

3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.

Šioje užduotyje progresija pateikiama kartotiniu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktosios kadencijos... Ne kiekvienas gali padaryti tokį žygdarbį.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!

4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.

5. Pagal 4 užduoties sąlygą raskite mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų progresijos narių sumą.

6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga yra -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.

Ne pati lengviausia užduotis, taip...) Čia metodas „ant pirštų“ neveiks. Turite rašyti formules ir išspręsti lygtis.

Atsakymai (netvarkingai):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Įvyko? Tai gražu!)

Ne viskas pavyksta? Atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus punktas. Skaitant problemą reikės dėmesingumo. Ir logika.

Visų šių problemų sprendimas yra išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ir fantazijos elementas ketvirtam, o subtilus momentas šeštajam, ir bendri požiūriai į bet kokių problemų sprendimą n-ojo termino formulei - viskas nudažyta. Rekomenduoju.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.