Diferencialinės lygtys internete. Diferencialinės lygtys

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimo pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą eiliniam pasauliečiui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo siaubingos ir sunkiai įsisavinamos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip aš visa tai išgyvenčiau?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės neteisingas, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS YRA PAPRASTOS IR NET LINKSINGOS. Ką reikia žinoti ir išmokti spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difuzorus, turite mokėti integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau neblogų integracijos įgūdžių, tada tema praktiškai įvaldyta! Kuo daugiau integralų įvairių tipųžinai kaip apsispręsti – tuo geriau. Kodėl? Reikia daug integruotis. Ir atskirti. Tas pats labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų kontrolinis darbas Yra 3 pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamas lygtis, kurią aptarsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Pradedantiesiems studijuoti difuzorius patariu perskaityti pamokas tokia seka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys, kurios redukuoja į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: lygtys suminiuose diferencialuose, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Iš paskutinių dviejų tipų svarbiausios yra lygtys bendruose diferencialuose, nes, be šio DE, manau nauja medžiaga – dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, tada itin greitam paruošimui valgyti žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys: . Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia surasti skaičių rinkinys kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime, pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas rastas teisingai.

Difuzijos yra išdėstytos panašiai!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis ;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmos eilės lygtyse gali nebūti „x“ arba (ir) „y“, tačiau tai nėra būtina – svarbu kad DU buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnio laipsnio išvestiniai – , ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą ( yra savavališka konstanta), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimą?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą užrašymą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Būtent tai valdo difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma suskaidyti kintamuosius? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "žaidimai", a dešinėje pusėje organizuoti tik x. Kintamųjų atskyrimas atliekamas „mokyklinių“ manipuliacijų pagalba: skliausteliuose, terminų perkėlimas iš dalies į dalį su ženklo keitimu, veiksnių perkėlimas iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Šiame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami apvertimo koeficientais pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje – tik „Žaidimas“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - diferencialinių lygčių integravimas. Tai paprasta, ant abiejų dalių pakabiname integralus:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (nes konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Netiesioginis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra bendrasis integralas.

Atsakymas tokia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai įprasta ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet jokiu būdu ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

Tai yra, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kam to reikia? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „y“. Mes naudojame logaritmų savybę . Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:

Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas atitinka lygtį, kurią reikėjo patikrinti.

Suteikti konstantą įvairios reikšmės, galite gauti be galo daug privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį .

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. AT šis pavyzdys bendras sprendimas yra linijinių funkcijų šeima, tiksliau, tiesioginių proporcingumo šeima.

Išsamiai aptarus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivių klausimų apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mums pavyko atskirti kintamuosius. Ar visada įmanoma tai padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamieji negali būti atskirti. Pavyzdžiui, į vienarūšės pirmos eilės lygtys pirmiausia reikia pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, tiesinėje nehomogeninėje pirmosios eilės lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius triukus ir metodus. Atskiriamos kintamųjų lygtys, kurias nagrinėjame pirmoje pamokoje, yra − paprasčiausias tipas diferencialines lygtis.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembert ir Cauchy garantuoja... ...ugh, lurkmore. Aš ką tik daug skaičiau, beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, išreikšti „y“ aiškiai išreikšta forma? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip čia galiu išreikšti "y"?! Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...kol kas gal užteks. Pirmajame pavyzdyje mes susitikome kitas svarbus punktas , bet tam, kad „manekenų“ neužgožtų lavina nauja informacija Paliksiu iki kitos pamokos.

Neskubėkime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal sąlygą, kurią reikia rasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Toks klausinėjimas dar vadinamas Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų būti gėdinga, svarbiausia, kad ji turi pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome į norima forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima suskirstyti: berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruojame lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su akcentine žvaigžde, faktas, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar bandome paversti bendrąjį integralą į bendrą sprendimą (aiškiai išreikškite „y“). Prisimename seną, gerą, mokyklą: . Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip ne košerinė, todėl dažniausiai nuleidžiama iš dangaus į žemę. Detaliau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, pakeiskite ją raide:

Prisiminkite, kad konstantos „griovimas“ yra antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: Tokia graži eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmė sąlygai tenkinti .

Galite tai išdėstyti įvairiais būdais, bet suprantamiausias, ko gero, bus toks. Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „y“ – dviem:

Tai yra,

Standartinė dizaino versija:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Konkretaus sprendimo patikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar rastas konkretus sprendimas tikrai tenkina pradinę sąlygą? Vietoj „x“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
- taip, tikrai, buvo gautas dvikovas, o tai reiškia, kad pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Pakeiskite pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertinant, ar kintamuosius galima atskirti? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę su ženklo pakeitimu:

Ir apverčiame veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, artėja teismo diena. Jei gerai neišmokote neapibrėžtieji integralai, išsprendė keletą pavyzdžių, tada nebėra kur dėtis – dabar turite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą rasti lengva, su kotangento integralu mes dirbame su standartine technika, kurią aptarėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas Praėjusiais metais:

Dešinėje pusėje yra logaritmas, o pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės maksimaliai „supakuoti“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė sukomplektuota, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar galima išreikšti „y“? Gali. Abi dalys turi būti kvadratinės.

Bet tu neprivalai.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog siaubingai - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome kaip bendrąjį integralą. Manoma, kad gera forma pateikti ją formoje, tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: bendrasis bet kurios lygties integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutapo su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrasis integralas taip pat patikrinamas gana lengvai, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai apibrėžtos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir dalijame iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą. Paleiskite patikrinimą.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas.

Primenu, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį Nr. 2), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą . Paleiskite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą.Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai ir , tai reiškia, kad sprendimas yra supaprastintas. Kintamųjų atskyrimas:

Integruojame lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos sumavimo po diferencialo ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai yra nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime konkretų sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkite, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso tenkina diferencialinę lygtį. Mes randame išvestinę:

Pažvelkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeičiame pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties išreikškite išvestinę, tam visas dalis padalijame iš:

O transformuotame DE pakeičiame gautą konkrečią sprendinį ir rastą išvestinę . Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Išreikškite atsakymą kaip bendrąjį integralą.

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač arbatinukui), kad kintamuosius galima atskirti. Apsvarstykite sąlyginį pavyzdį: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis:. Kaip elgtis toliau, aišku.

2) Pačios integracijos sunkumai. Integralai dažnai atsiranda ne patys paprasčiausi, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, rinkinių ir vadovų sudarytojai yra populiarūs dėl logikos „kadangi diferencialinė lygtis yra paprasta, tada bent jau integralai bus sudėtingesni“.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada yra aiškios pradedantiesiems. Pažvelkime į kitą hipotetinį pavyzdį: . Jame patartina visus terminus padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti į kitą konstantą: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Štai klaidos! Griežtai kalbant, taip. Tačiau, žiūrint iš esmės, klaidų nėra, nes dėl kintamosios konstantos transformacijos vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai vėl yra klaida - dešinėje turėtų būti parašyta . Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra konstanta ( kuri lygiai taip pat įgauna bet kokias vertybes!), todėl dėti „minusą“ nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi išvengti neatsargaus požiūrio ir vis tiek nustatysiu skirtingus konstantų indeksus jas konvertuodamas.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Paleiskite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Kintamųjų atskyrimas:

Mes integruojame:

Konstanta čia neturi būti apibrėžta logaritmu, nes nieko gero iš to nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: išskirkite atsakymą (numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, tam abu terminus padauginame iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia jūs gaunate bendrą integralą ir, teisingiau, reikia sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o privatus integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Priedas

Diferencialinių lygčių sprendimas internete svetainėje, kad studentai galėtų konsoliduoti studijuotą medžiagą. Ir praktikuokite savo praktinius įgūdžius. Diferencialinės lygtys internete. Difuras internete, internetinis matematikos sprendimas. Žingsnis po žingsnio sprendimas matematikos uždaviniai internete. Diferencialinės lygties tvarka arba laipsnis yra aukščiausia į ją įtrauktų išvestinių eilė. Diferencialinės lygtys internete. Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas integravimu. Diferencialinės lygties integravimo problema laikoma išspręsta, jei nežinoma funkcija gali būti kvadratūruojama, nepriklausomai nuo to, ar gautas integralas galutine forma išreiškiamas žinomomis funkcijomis, ar ne. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Visas diferencialines lygtis galima suskirstyti į įprastas diferencialines lygtis (ODE), apimančias tik vieno argumento funkcijas (ir jų išvestines), ir dalines diferencialines lygtis (PDE), kuriose įvesties funkcijos priklauso nuo daugelio kintamųjų. Diferencialinės lygtys internete. Taip pat yra stochastinių diferencialinių lygčių (SDE), apimančių atsitiktinius procesus. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Priklausomai nuo išvestinių, funkcijų, nepriklausomų kintamųjų kombinacijų, diferencialinės lygtys skirstomos į tiesines ir netiesines, su pastoviais arba kintamaisiais koeficientais, vienarūšes arba nehomogenines. Dėl pritaikymo svarbos kvazilinijinės (tiesinės aukštesnių išvestinių atžvilgiu) dalinės diferencialinės lygtys išskiriamos į atskirą klasę. Diferencialinių lygčių sprendiniai skirstomi į bendruosius ir specialiuosius. Diferencialinės lygtys internete. Bendrieji sprendiniai apima neapibrėžtas konstantas, o dalinėms diferencialinėms lygtims – savavališkas nepriklausomų kintamųjų funkcijas, kurias galima patikslinti iš papildomų integravimo sąlygų (paprastųjų diferencialinių lygčių pradinės sąlygos, dalinių diferencialinių lygčių pradinės ir ribinės sąlygos). Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Nustačius šių pastovių ir neapibrėžtų funkcijų formą, sprendiniai tampa konkretūs. Ieškant įprastų diferencialinių lygčių sprendimų, buvo sukurta specialiųjų funkcijų klasė - funkcijos, dažnai sutinkamos programose, kurios nėra išreikštos žinomomis elementariomis funkcijomis. Diferencialinės lygtys internete. Išsamiai ištirtos jų savybės, sudarytos verčių lentelės, nustatyti tarpusavio ryšiai ir t.t. Galima tyrinėti surašytų skaičių rinkinį. Geriausias atsakymas į pateiktą problemą. Kaip pirmuoju aproksimavimu rasti išeinantį vektorių į diferencialinių lygčių konvergencijos sritį, neišaiškinus rastos viršutinės ribos. Pasirinkimas akivaizdus didinant matematines funkcijas. Yra progresyvus metodas, viršijantis tyrimų lygį. Norint suderinti su pradine problemos sąlyga, diferencialo sprendimas padės rasti vienos vertės pasirinktą reikšmę. Gali būti, kad jis iš karto gali nustatyti nežinomybę. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, nurodant sprendimą matematinė problema, tiesinės diferencialinės lygtys yra atsakymas į konkrečią užduotį per nurodytą laikotarpį. Studijų procedūros priežiūra nėra lokaliai apibrėžta. Bus taip, kad kiekvienam mokiniui būtų pavyzdys ir diferencialinių lygčių sprendimą nustatys atsakingam vykdytojui priskirtas asmuo bent iš dviejų reikšmių. Paimkite tam tikro segmento bendrosios vertės funkciją ir perspėkite, išilgai kurios ašies bus tarpas. Ištyrus diferencialines lygtis internete, galima nedviprasmiškai parodyti, koks svarbus yra rezultatas, jei toks pateikiamas iš pradinių sąlygų. Iš funkcijos apibrėžimo regiono iškirpti neįmanoma, nes vietoje užduoties apibrėžimo nėra. Iš lygčių sistemos rastas atsakymas turi kintamąjį, kurį galima apskaičiuoti bendrąja prasme, tačiau, žinoma, diferencialinę lygtį bus galima išspręsti internetu be šio veiksmo, kad būtų nustatyta minėta sąlyga. Netoli segmento intervalo matyti, kaip diferencialinių lygčių sprendimas internete gali pastūmėti tyrimo rezultatą teigiama linkme studentų žinių ribojimo metu. Geriausias dalykas ne visada pasiekiamas taikant visuotinai priimtą požiūrį į verslą. 2x lygyje galima naudingai peržiūrėti visas būtinas natūralias tiesines diferencialines lygtis, tačiau galimybė apskaičiuoti skaitinę reikšmę padidins žinias. Remiantis bet kokia matematikos technika, yra diferencialinių lygčių, kurios pateikiamos iš esmės skirtingomis išraiškomis, pavyzdžiui, vienarūšėmis arba sudėtingomis. Po išlaidų bendra analizė Ištyrus funkciją, tampa aišku, kad diferencialo, kaip galimybių rinkinio, sprendimas reiškia aiškią reikšmių klaidą. Tiesa jame slypi erdvėje virš abscisių linijų. Kai kur sudėtingos funkcijos srityje, tam tikru jos apibrėžimo tašku, tiesinės diferencialinės lygtys galės pateikti atsakymą analitinė forma. tai yra, in bendras vaizdas kaip esmė. Keičiant kintamąjį niekas nepasikeis. Tačiau į atsakymą reikia pažvelgti su ypatingu susidomėjimu. Tiesą sakant, skaičiuotuvas galiausiai pakeičia santykį, tai yra, kaip diferencialinių lygčių sprendimas yra proporcingas visuotinei reikšmei, nurodoma norimame sprendime. Kai kuriais atvejais masinės klaidos įspėjimas yra neišvengiamas. Diferencialinių lygčių internetinis įgyvendinimas bendra idėja apie užduotį, bet galų gale būtina kuo greičiau pateikti teigiamų pusių vektorinis produktas. Matematikoje skaičių teorijos klaidų atvejai nėra neįprasti. Būtinai reikia patikrinti. Natūralu, kad šią teisę geriau suteikti savo srities profesionalams ir būtent jie padės išspręsti diferencialinę lygtį internete, nes jų patirtis kolosali ir teigiama. Figūrų paviršių ir ploto skirtumas yra toks, kad matyti ne diferencialinių lygčių sprendimas internete, o nesikertančių objektų rinkinys yra toks, kad linija būtų lygiagreti ašiai. Dėl to galite gauti dvigubai daugiau verčių. Būdama numanoma, mūsų samprata apie formalaus žymėjimo teisingumą numato tiesines diferencialines lygtis tiek žiūrėjimo srityje, tiek dėl sąmoningo rezultato kokybės pervertinimo. Recenzijoje kelis kartus publikuojama diskusija visiems studentams įdomia tema. Viso viso paskaitų kurso studijų metu aštrinsime savo atidus dėmesys apie diferencialines lygtis ir susijusias mokslo studijų sritis, jei tai neprieštarauja tiesai. Kelionės pradžioje galima išvengti daugelio etapų. Jei diferencinis sprendimas studentams vis dar iš esmės yra kažkas naujo, tai senasis visai neužmirštamas, o sparčiai vystosi į ateitį. Iš pradžių matematikos uždavinio sąlygos skiriasi, tačiau tai nurodyta pastraipoje dešinėje. Pasibaigus apibrėžime nurodytam laikui, neatmetama proporcingos priklausomybės rezultato galimybė skirtingose vektoriaus judėjimo plokštumose. Toks paprastas atvejis taisomas taip pat, kaip tiesinės diferencialinės lygtys aprašomos skaičiuotuvu bendra forma, todėl tai bus greičiau ir skaičiavimų poslinkis nesukels klaidingos nuomonės. Tik penki pagal teoriją įvardinti atvejai gali peržengti to, kas vyksta, ribas. Mūsų diferencialinių lygčių sprendimas padės rankiniu būdu apskaičiuoti vertę skaičiais jau pirmuosiuose skaidymo etapuose funkcijų erdvė. Tinkamose vietose būtina pavaizduoti keturių linijų sąlyčio tašką bendrą reikšmę. Bet jei jūs turite priversti atlikti užduotį, bus lengva sulyginti sudėtingumą. Pradinių duomenų pakanka suprojektuoti gretimą koją, o internetinės diferencialinės lygtys atrodo išlygiuotos kairėje, o vienpusis paviršius nukreiptas į vektoriaus rotorių. Viršijus viršutinę ribą, skaitinės reikšmės gali viršyti nurodytą sąlygą. Galima atsižvelgti į matematinę formulę ir išspręsti diferencialinę lygtį internete dėl trijų nežinomųjų bendrojoje proporcijos reikšmėje. Vietinis skaičiavimo metodas pripažįstamas galiojančiu. Santykiniam plokštumos judėjimui koordinačių sistema yra stačiakampė. Bendras internetinis diferencialinių lygčių sprendimas leidžia vienareikšmiškai padaryti išvadą, palankią skaičiavimo matricos apibrėžimams visoje tiesėje, esančioje virš aiškiai nurodytos funkcijos grafiko. Sprendimas bus matomas, jei judesio vektorių pritaikysite trijų pusrutulių sąlyčio taškui. Cilindras gaunamas sukant stačiakampį aplink šoną ir tiesinės diferencialinės lygtys gali parodyti taško judėjimo kryptį pagal pateiktas jo judėjimo dėsnio išraiškas. Pradiniai duomenys yra teisingi, o matematikos uždavinys yra sukeičiamas viena paprasta sąlyga. Tačiau dėl aplinkybių, atsižvelgiant į nustatymo poproblemos sudėtingumą, diferencialinės lygtys supaprastina skaitinių erdvių skaičiavimo procesą trimatės erdvės lygyje. Nesunku įrodyti priešingai, bet galima to išvengti, kaip nurodyta aukščiau pateiktame pavyzdyje. Aukštojoje matematikoje pateikiami tokie punktai: kai uždavinys redukuojamas į supaprastintą formą, tai turėtų būti išplečiamos kuo didesnės mokinių pastangos. Viena ant kitos esančios linijos patenka į poslinkį. Pro diferencialinis sprendimas vis dar atnaujina minėto metodo pranašumą lenkta linija. Jei iš pradžių atpažinsite ne tai, ko jums reikia, matematinė formulė pateiks naują išraiškos reikšmę. Tikslas – optimalus požiūris į profesoriaus iškeltų uždavinių sprendimą. Neturėtumėte manyti, kad tiesinės diferencialinės lygtys supaprastinta forma viršys laukiamą rezultatą. Ant baigtinės sudėties paviršiaus dedame tris vektorius. statmenos viena kitai. Apskaičiuokime produktą. Atlikime papildymą daugiau simbolius ir iš gautos išraiškos išrašykite visus funkcijos kintamuosius. Yra proporcija. Keli veiksmai prieš skaičiavimo pabaigą neduos vienareikšmiško atsakymo į diferencialinių lygčių sprendimą iš karto, o tik po to, kai išilgai y ašies praeis nustatytas laikas. Į kairę nuo nutrūkimo taško, nubrėžto netiesiogiai iš funkcijos, nubrėžiame ašį, statmeną geriausiai didėjančiam vektoriui, ir pateikiame internetines diferencialines lygtis išilgai mažiausios matematinio objekto apatinės ribos ribinės vertės. Funkcijos pertraukos srityje pridėkime papildomą argumentą. Kreivės linijos taškų dešinėje mūsų parašytos formulės, skirtos sumažinti iki bendro vardiklio, padės išspręsti diferencialinę lygtį internete. Vienintelis teisingas požiūris yra tas, kuris nušvies neišspręstas problemas nuo teorijos iki praktikos, apskritai nedviprasmiškai. Duotų taškų koordinačių kryptimi nukreiptos linijos niekada neuždarė kraštutinės kvadrato padėties, tačiau diferencialinių lygčių sprendimas internete padės tiek studentams, tiek mums, ir tik pradedantiesiems šioje srityje mokytis matematikos. Kalbame apie galimybę pakeisti reikšmės argumentą į visas reikšmingas vieno lauko poeilies. Iš esmės, kaip ir galima tikėtis, mūsų tiesinės diferencialinės lygtys yra atskirtos vienoje sumažintos reikšmės sąvokoje. Norint padėti studentams, viena geriausių tarp panašių paslaugų yra skaičiuotuvas. Pereikite visus kursus ir išsirinkite sau tinkamiausią.

Prisiminkite problemą, su kuria susidūrėme ieškodami apibrėžtųjų integralų:

arba dy = f(x)dx. Jos sprendimas:

ir belieka skaičiuoti neapibrėžtas integralas. Praktikoje dažniau atliekama sunkesnė užduotis: surasti funkciją y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausios eilės tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- Pirmas užsakymas

Antras užsakymas,

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei norimai funkcijai y pavyko gauti formulę, kuri pateikia visus sprendimus, tada sakome, kad radome jos bendrą sprendimą , arba bendrasis integralas .

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas t.y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba privatus integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, prie konstantų reikia pridėti konkrečias skaitines reikšmes.

Tam tikro sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi konkretūs sprendimai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos konstantos; lygčiai nįsakymas – nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti tam tikrą lygties sprendimą nįsakymas, tenkina n pradinės sąlygos:

kurios nustato n konstantų с 1 , с 2 ,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Išvestinės atžvilgiu neišspręstam pirmos eilės diferencialinė lygtis turi tokią formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrą lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei suteikiame C konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią pinigų sumą, įneštą į banką, sukaupus 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx pasibaigus galiojimo laikui x metų. Kai palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paeiliui paima reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Pažymėkite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą su nuolatiniu palūkanų kaupimu:

Taigi galima pastebėti, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas I eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išsprendžiame šią lygtį, todėl ją perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o , iš kur Yo = P. Todėl sprendimas atrodo taip:

Apsvarstykite antrąją ekonominę problemą. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokytį kaip laiko funkciją.

3.48 pavyzdys. Tegul nacionalinės pajamos Y didėja proporcingu jų dydžiui:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y= Yoe kt . Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

tai rodo, kad valstybės skola didėja tokiu pačiu santykiniu tempu k, tai yra nacionalinės pajamos.

Apsvarstykite paprasčiausias diferencialines lygtis n tvarka, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n integracijos laikais.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Ekonomikoje jie labai naudingi, apsvarstykite tokių lygčių sprendimą. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada ji vadinama tiesine, kur po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) pateiktos funkcijos. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinama vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai p o (x), p 1 (x),..., p n (x) yra konstantos, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais eilės koeficientais n .

(9.4) jis turi tokią formą:

Galime nustatyti neprarandant bendrumo p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime sprendinio (9.6) formoje y = e kx , kur k yra konstanta. Mes turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeiskite gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi yra konkretūs sprendimai (9.7), o bendrieji

Apsvarstykite antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendras sprendimas yra:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Antros eilės tiesinės diferencialinės lygtys naudojamos tiriant į tinklą panašų ekonominį modelį su prekių atsargomis, kur kainos kitimo greitis P priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 pastraipą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra,

a - yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi:

Tam tikram sprendimui galite naudoti konstantą

kuri turi pusiausvyros kainos reikšmę. Nukrypimas tenkina homogeninę lygtį

(9.10)

Būdinga lygtis bus tokia:

Tokiu atveju terminas yra teigiamas. Pažymėti . Charakteristinės lygties k 1,2 = ± i w šaknys, todėl bendrasis sprendinys (9.10) turi tokią formą:

kur C ir savavališkos konstantos, jos nustatomos iš pradinių sąlygų. Gavome kainos kitimo laike dėsnį:

Įveskite diferencialinę lygtį, apostrofas "" naudojamas išvestinei įvesti, paspauskite pateikti ir gaukite sprendimą

Paprastoji diferencialinė lygtis vadinama lygtimi, jungiančia nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis nįsakyme nebūtinai turi būti aiškiai nurodyta funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmos iki n eilės tvarka ir nepriklausomas kintamasis. Jame gali nebūti kai kurių eilučių išvestinių, funkcijos, nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijų; (2) lygtyje – antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje - nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtis aiškiai apima visas išvestines, funkciją ir nepriklausomą kintamąjį.

Išspręsdami diferencialinę lygtį vadinama bet kokia funkcija y = f(x), kurią pakeitus į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Šią lygtį užrašome forma . Sprendimas yra surasti funkciją pagal jos išvestinę. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antidarinys už, t.y.

Štai kas yra duotosios diferencialinės lygties sprendimas . keičiasi joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir kuriame yra n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas jo sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms priskiriamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Abi lygties dalis integruojame tiek kartų, kad diferencialinės lygties tvarka būtų lygi.

Dėl to mes gavome bendrą sprendimą -

pateikta trečiosios eilės diferencialinė lygtis.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, vietoj savavališkų koeficientų pakeičiame jų vertes ir gauname

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tai tokia problema vadinama Cauchy problema . Vertės ir pakeičiamos į bendrąjį lygties sprendinį ir randama savavališkos konstantos reikšmė C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio pagal sąlygą .

Sprendimas. Į bendrą sprendimą pakeičiame pradinės sąlygos reikšmes y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome Koši uždavinio sprendimą duotai pirmos eilės diferencialinei lygčiai:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia turėti gerų įgūdžių integruojant ir paimant išvestines, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad iš karto būtų galima integruoti abi puses.

Integravimo metodą taikome keičiant kintamąjį (pakeitimas). Leisk tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija ("obuoliai" - ekstraktas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats, pakelti iki „vienos sekundės“ galios, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos suolo nepamirštos (tačiau bet kas jas turi) žinios apie proporcijas. Tai yra kitas pavyzdys.

Arba jau išspręstos išvestinės atžvilgiu, arba jos gali būti išspręstos išvestinės atžvilgiu .

Bendras intervalo tipo diferencialinių lygčių sprendimas X, kuris pateiktas, galima rasti imant abiejų šios lygybės pusių integralą.

Gauk .

Jei pažvelgsime į neapibrėžto integralo savybes, rasime norimą bendrą sprendimą:

y = F(x) + C,

kur F(x)- vienas iš funkcijos antidarinių f(x) tarp X, a NUO yra savavališka konstanta.

Atkreipkite dėmesį, kad daugumoje užduočių intervalas X nenurodyti. Tai reiškia, kad sprendimas turi būti rastas kiekvienam. x, kuriai ir norima funkcija y, o pradinė lygtis turi prasmę.

Jei reikia apskaičiuoti tam tikrą diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą y(x0) = y0, tada apskaičiavus bendrąjį integralą y = F(x) + C, vis tiek reikia nustatyti konstantos reikšmę C=C0 naudojant pradinę sąlygą. Tai yra, konstanta C=C0 nustatoma iš lygties F(x 0) + C = y 0, o norimas konkretus diferencialinės lygties sprendimas bus toks:

y = F(x) + C0.

Apsvarstykite pavyzdį:

Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį, patikrinkite rezultato teisingumą. Raskime konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą .

Sprendimas:

Integravę pateiktą diferencialinę lygtį, gauname:

Šį integralą imame integravimo dalimis metodu:

Tai., yra bendras diferencialinės lygties sprendimas.

Patikrinkime, ar rezultatas teisingas. Norėdami tai padaryti, rastą sprendimą pakeičiame į pateiktą lygtį:

Tai yra, prie pradinė lygtis virsta tapatybe:

todėl bendras diferencialinės lygties sprendinys buvo nustatytas teisingai.

Mūsų rastas sprendimas yra bendras kiekvienos tikrosios argumento vertės diferencialinės lygties sprendimas x.

Belieka apskaičiuoti konkretų ODE sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą. Kitaip tariant, reikia apskaičiuoti konstantos reikšmę NUO, kurioje lygybė bus teisinga:

Tada pakeičiant C = 2Į bendrą ODE sprendimą gauname konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą:

Paprastoji diferencialinė lygtis Išvestinės atžvilgiu galima išspręsti 2 lygties dalis padalijus iš f(x). Ši transformacija bus lygiavertė, jei f(x) niekaip nenueina iki nulio x nuo diferencialinės lygties integravimo intervalo X.

Tikėtinos situacijos, kai dėl kai kurių argumento verčių x ∈ X funkcijas f(x) ir g(x) tuo pačiu metu pasukti į nulį. Dėl panašių vertybių x bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra bet kuri funkcija y, kuris juose apibrėžtas, nes .

Jei kai kurioms argumento reikšmėms x ∈ X sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad šiuo atveju ODE neturi sprendimų.

Visiems kitiems x nuo intervalo X iš transformuotos lygties nustatomas bendrasis diferencialinės lygties sprendinys.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys

Raskime bendrą ODE sprendimą: .

Sprendimas.

Iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių aišku, kad natūralaus logaritmo funkcija yra apibrėžta neneigiamoms argumento reikšmėms, todėl išraiškos sritis žurnalas (x+3) yra intervalas x > -3 . Taigi pateikta diferencialinė lygtis yra prasminga x > -3 . Su šiomis argumento reikšmėmis išraiška x + 3 neišnyksta, todėl ODE išvestinės atžvilgiu galima išspręsti padalijus 2 dalis iš x + 3.

Mes gauname .

Toliau integruojame gautą diferencialinę lygtį, išspręstą atsižvelgiant į išvestinę: . Norėdami paimti šį integralą, naudojame susumavimo metodą pagal diferencialo ženklą.