Aritmetinės progresijos pirmųjų n skaičių suma. Kaip rasti aritmetinę progresiją? Aritmetinės progresijos pavyzdžiai su sprendimu

Ką pagrindinis dalykas formules?

Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Žinoma, reikia žinoti pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.

Nepakanka įsiminti (ar apgauti) šią formulę. Būtina įsisavinti jo esmę ir taikyti formulę įvairiose problemose. Taip, ir nepamirškite tinkamu laiku, taip ...) Kaip nepamiršti- Nežinau. Ir čia kaip atsiminti Jei reikės, duosiu patarimą. Tiems, kurie įvaldo pamoką iki galo.)

Taigi, panagrinėkime aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.

Kas yra formulė apskritai – įsivaizduojame.) Kas yra aritmetinė progresija, narių skaičius, progresijos skirtumas – aiškiai pasakyta ankstesnėje pamokoje. Pažiūrėkite, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas n-asis narys.

progresija į bendras vaizdas gali būti parašytas kaip skaičių serija:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys a 4- ketvirta ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtas – nuo a 120.

Kaip apibrėžti apskritai bet koks aritmetinės progresijos narys, s bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:

a n

Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Po raide n slepiasi iš karto visi narių skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir pan.

O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvokite, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę ...

Šis žymėjimas suteikia mums galingą įrankį dirbant su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir daugybė užduočių, kurias reikia išspręsti. Pamatysite toliau.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:

a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;

n- nario numeris.

Formulė susieja pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d ir n. Aplink šiuos parametrus visi galvosūkiai sukasi paeiliui.

N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, užduotyje galima sakyti, kad progresą suteikia sąlyga:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tokia problema gali net supainioti... Nėra serijos, jokio skirtumo... Bet palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 \u003d 5 ir d = 2.

Ir tai gali būti dar piktesnė!) Jei laikysimės tos pačios sąlygos: a n = 5 + (n-1) 2, taip, atverti skliaustus ir duoti panašius? Gauname naują formulę:

an = 3 + 2n.

Tai Tik ne bendrai, o konkrečiai progresijai. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmasis narys yra penketukas... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.

Pažangos užduotyse yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, jūs atspėjote, yra progreso „n plius pirmasis“ terminas. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra vienetu didesnis už skaičių n. Pavyzdžiui, jei sprendžiame kokią nors problemą a n tada penkta kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.

Dažniausiai pavadinimas a n+1 pasitaiko rekursinėse formulėse. Nebijokite šio baisaus žodžio!) Tai tik būdas išreikšti aritmetinės progresijos terminą per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Ir kaip iš karto suskaičiuoti, sakyk dvidešimtą terminą, a 20? Bet jokiu būdu!) Nors 19-asis terminas nėra žinomas, 20-asis negali būti skaičiuojamas. Šiame yra esminis skirtumas pasikartojanti formulė iš n-ojo nario formulės. Rekursyvūs veikia tik per ankstesnis terminas, o n-ojo termino formulė – per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos iš eilės.

Aritmetinėje progresijoje rekursinė formulė gali būti lengvai paversta įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbkite su ja. GIA tokios užduotys dažnai randamos.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.

Pirmiausia pažvelkime į tiesioginį formulės taikymą. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:

Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Šį uždavinį galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti, taip pridėti... Valanda ar dvi.)

O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite laiku.) Mes nusprendžiame.

Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Lieka pažiūrėti, kas n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Čia rašome:

Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra ši prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Pakeiskite visus skaičius formulėje ir apskaičiuokite:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Tai viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą narį ir tūkstantį trečią, bet kurį. Vietoj to dedame n norimą skaičių raidės rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir svarstome.

Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Išspręskime problemą protingiau. Tarkime, kad turime tokią problemą:

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.

Jei turite kokių nors sunkumų, aš pasiūlysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Rašykite ranka tiesiai į užrašų knygelę:

O dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime, o ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Viskas? Jei manote, kad tai viskas, tada jūs negalite išspręsti problemos, taip ...

Turime ir numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du variantai. Tai ir septyniolikto nario reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos, (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos neišspręsi. Nors ... ir be galvos.)

Dabar mes galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, įdėkime:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Iš esmės tai ir yra viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir apskaičiuoti. Jūs gaunate atsakymą: a 1 = 6.

Tokia technika – formulės rašymas ir tiesiog žinomų duomenų pakeitimas – labai padeda atliekant paprastas užduotis. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio matematikos apskritai negalima mokytis ...

Kita populiari problema:

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.

Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)

Apsvarstykite, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypatingas akcentas!) n = 15. Nesivaržykite pakeisti formule:

12=2 + (15-1)d

Atlikime aritmetiką.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tai teisingas atsakymas.

Taigi, užduotys a n, a 1 ir d nusprendė. Belieka išmokti rasti numerį:

Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.

Žinomus dydžius pakeičiame n-ojo nario formule:

a n = 12 + (n-1) 3

Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n yra tam tikras progresijos narys su skaičiumi n... Ir šis progresijos narys, kurį mes žinome! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, taigi ir šį skaičių reikia surasti. Pakeiskite progresavimo terminą 99 į formulę:

99 = 12 + (n-1) 3

Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.

O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):

Nustatykite, ar skaičius 117 bus aritmetinės progresijos narys (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Dar kartą parašykime formulę. Ką, nėra pasirinkimų? Hm... Kam mums reikalingos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos narį? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 \u003d -3,6. Skirtumas d galima nustatyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Taip, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susidoroti su nežinomu numeriu n ir nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes net nežinome, kad ... Kaip būti!? Na, kaip būti, kaip būti... Įjunk Kūrybiniai įgūdžiai!)

Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. rašome formulę (taip-taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:

Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą darome? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Jis yra kažkur tarp 101 ir 102 narių. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos narys su rastu skaičiumi. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: ne.

Užduotis tikra versija GIA:

Aritmetinė progresija suteikiama sąlyga:

a n \u003d -4 + 6,8n

Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.

Čia progresas nustatomas neįprastu būdu. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia raskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.

Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi, yra mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje esanti formulė yra modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Nieko, dabar rasime.)

Kaip ir ankstesnėse užduotyse, mes pakeičiame n=1 in šią formulę:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!

Panašiai ieškome dešimtojo termino:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Tai viskas.

O dabar tiems, kurie perskaitė iki šių eilučių, pažadėta premija.)

Tarkime, sudėtingoje kovos situacijoje, susijusioje su GIA arba vieningu valstybiniu egzaminu, pamiršote naudingą n-ojo aritmetinės progresijos nario formulę. Kažkas ateina į galvą, bet kažkaip neaiškiai... Nesvarbu n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?

Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Nelabai griežta, bet įsitikinti ir teisingas sprendimas to užtenka!) Išvadai pakanka prisiminti elementariąją aritmetinės progresijos reikšmę ir turėti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.

Nubrėžiame skaitinę ašį ir pažymime joje pirmąją. antras, trečias ir kt. nariai. Ir atkreipkite dėmesį į skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:

Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ar supranti? Kai kurių žodžių nerašau paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis.)

Kas yra ketvirtas terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.

a 4 =a 1 + 3 d

Pats laikas suvokti, kad tarpų skaičius, t.y. d, visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, iki skaičiaus n, tarpų skaičius valios n-1. Taigi, formulė bus tokia (be variantų!):

Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tai... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendimo prijungti visą galingą matematikos arsenalą – lygtis, nelygybes, sistemas ir t.t. Jūs negalite įdėti paveikslėlio į lygtį...

Užduotys savarankiškam apsisprendimui.

Apšilimui:

1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Raskite 3.

Užuomina: pagal paveikslėlį problema išspręsta per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Bet formulės įsisavinimui ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta ir paveikslėliu, ir formule. Jausti skirtumą!)

Ir tai nebėra apšilimas.)

2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .

Ką, nenoras piešti paveikslą?) Vis dėlto! Formulėje geriau, taip...

3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.

Šioje užduotyje progresija pateikiama kartotiniu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktosios kadencijos... Ne kiekvienas gali padaryti tokį žygdarbį.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!

4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.

5. Pagal 4 užduoties sąlygą raskite mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų progresijos narių sumą.

6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga yra -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.

Ne pati lengviausia užduotis, taip...) Čia metodas „ant pirštų“ neveiks. Turite rašyti formules ir išspręsti lygtis.

Atsakymai (netvarkingai):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Įvyko? Tai gražu!)

Ne viskas pavyksta? Taip atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus punktas. Skaitant problemą reikės dėmesingumo. Ir logika.

Visų šių problemų sprendimas yra išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ir fantazijos elementas ketvirtam, o subtilus momentas šeštajam, ir bendri požiūriai į bet kokių problemų sprendimą n-ojo termino formulei - viskas nudažyta. Rekomenduoju.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Mūsų pamokos šūkis bus rusų matematiko V.P. Ermakova: „Matematikoje reikia atsiminti ne formules, o mąstymo procesus“.

Per užsiėmimus

Problemos formulavimas

Ant lentos yra Gauso portretas. Mokytojas ar mokinys, kuriam iš anksto buvo duota užduotis parengti pranešimą, sako, kad kai Gaussas buvo mokykloje, mokytojas paprašė mokinių viską susumuoti. sveikieji skaičiai nuo 1 iki 100. Mažasis Gausas šią problemą išsprendė per minutę.

Klausimas . Kaip Gaussas gavo atsakymą?

Ieškokite sprendimų

Mokiniai išsako savo prielaidas, tada apibendrina: suprasdami, kad sumos 1 + 100, 2 + 99 ir kt. yra lygūs, Gausas padaugintas iš 101 iš 50, tai yra, iš tokių sumų skaičiaus. Kitaip tariant, jis pastebėjo modelį, būdingą aritmetinei progresijai.

Sumos formulės išvedimas n pirmieji aritmetinės progresijos nariai

Pamokos temą užrašykite lentoje ir sąsiuviniuose. Mokiniai kartu su mokytoju užrašo formulės išvedimą:

Leisti būti a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmetinė progresija.

Pirminis tvirtinimas

1. Naudodami (1) formulę išspręskime Gauso uždavinį:

2. Naudodami (1) formulę išspręskite uždavinius žodžiu (jų sąlygos užrašomos lentoje arba užkoduokite teigiamai), ( a n) – aritmetinė progresija:

a) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

in) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Atlikite užduotį.

Duota :( a n) - aritmetinė progresija;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Rasti: S 60 .

Sprendimas. Naudokime sumos formulę n pirmieji aritmetinės progresijos nariai

Atsakymas: 1800.

Papildomas klausimas. Kiek skirtingų problemų rūšių galima išspręsti šia formule?

Atsakymas. Keturių tipų užduotys:

Raskite sumą S n;

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį a 1 ;

Rasti n-tasis aritmetinės progresijos narys a n;

Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių.

4. Atlikti užduotį: Nr.369(b).

Raskite šešiasdešimt pirmųjų aritmetinės progresijos narių sumą ( a n), jei a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Sprendimas.

Atsakymas: 1230.

Papildomas klausimas. Užsirašykite formulę n aritmetinės progresijos narys.

Atsakymas: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos pirmųjų devynių narių formulę ( b n),
jeigu b 1 = –17, d = 6.

Ar galima iš karto apskaičiuoti pagal formulę?

Ne, nes devintas terminas nežinomas.

Kaip jį rasti?

Pagal formulę n aritmetinės progresijos narys.

Sprendimas. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Atsakymas: 63.

Klausimas. Ar galima rasti sumą neskaičiuojant devinto progresijos nario?

Problemos formulavimas

Problema: gaukite sumos formulę n pirmieji aritmetinės progresijos nariai, žinant pirmąjį jos narį ir skirtumą d.

(Mokinio formulės išvestis ant lentos.)

Išsprendžiame Nr. 371(a) naudodami naują formulę (2):

Sutvirtinkite formules žodžiu (2) ( lentoje užrašomos užduoties sąlygos).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Paklauskite mokinių, kokių klausimų jie nesupranta.

Savarankiškas darbas

1 variantas

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

2 variantas

Duota: (a n) yra aritmetinė progresija.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Mokiniai keičia sąsiuvinius ir tikrina vieni kitų sprendimus.

Apibendrinti medžiagos įsisavinimą remiantis savarankiško darbo rezultatais.

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(penki\); \(aštuoni\); \(vienuolika\); \(14\)… yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šešiems.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga žymima maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip ir aritmetinė progresija, bet skaitine indeksu, lygiu elemento numeriui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Užduočių sprendimas aritmetine progresija

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite pirmojo neigiamo šios progresijos nario reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami keli vienas po kito einantys aritmetinės progresijos elementai: \(...5; x; 10; 12,5...\) Raskite elemento, žymimo raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Pateikta aritmetinė progresija šias sąlygas: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos uždavinių galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką – kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas kitas šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio (skirtumas progresavimo).

Tačiau kartais pasitaiko situacijų, kai labai nepatogu spręsti „ant kaktos“. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Kas tai, mes \ (385 \) kartus pridėti keturis? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Skaičiavimas yra painus...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia „ant kaktos“, o naudoja specialias formules, išvestas aritmetinei progresijai. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir pirmųjų narių sumos \(n\) formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) yra progresijos narys su skaičiumi \(n\).

Ši formulė leidžia greitai rasti bent trijų šimtų, net milijono elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) yra paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama pirmųjų elementų suma \(n\);
\(a_1\) yra pirmasis terminas, kuris turi būti sumuojamas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(keturiolika\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite viską reikiamą informaciją beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti. Užbaikime temą apsvarstydami problemas, kuriose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek galvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-devyniolika\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau jūs galite lengvai juos rasti.

Studijuodami algebrą bendrojo lavinimo mokykla(9 klasė) Viena iš svarbių temų yra skaitinių sekų, kurios apima progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina pateikti nagrinėjamos progresijos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.

Aritmetinis arba yra tokia tvarkingų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.

Paimkime pavyzdį. Kita skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 – 12).

Svarbios formulės

Dabar pateikiame pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Tegu a n žymi n-ąjį sekos narį, kur n yra sveikas skaičius. Pažymėkime skirtumą Lotyniška raidė d. Tada teisingi šie posakiai:

1. Norint nustatyti n-ojo nario reikšmę, tinka formulė: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n + a 1)*n/2.

Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su 9 klasės sprendimu pavyzdžius, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes visos nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat nepamirškite, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1 .

1 pavyzdys: Nežinomo nario radimas

Pateikiame paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti sprendžiant.

Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis narius.

Jau iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:

1. Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galima vartoti bet kurias kitas dvi sąvokas, stovi šalia kartu. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d \u003d a n - a n-1, tada d \u003d a 5 - a 4, iš kur gauname: a 5 \u003d a 4 + d. Pakaitalas žinomos vertės: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kaip matote, abu sprendimai leidžia pasiekti tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiamas. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas einantis narys yra mažesnis už ankstesnįjį.

2 pavyzdys: progresijos skirtumas

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Į jį pakeičiame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi buvo atsakyta į pirmąją uždavinio dalį.

Norint atkurti iki 7 terminų seką, reikia naudoti apibrėžimą algebrinė progresija, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ir 7 = 18.

3 pavyzdys: progresas

Dar labiau apsunkinkime problemos būklę. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galime pateikti tokį pavyzdį: pateikti du skaičiai, pavyzdžiui, 4 ir 5. Būtina atlikti algebrinę progresiją, kad tarp jų tilptų dar trys nariai.

Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą duoti skaičiai užims tolesnėje progresijoje. Kadangi tarp jų bus dar trys terminai, tada 1 \u003d -4 ir 5 \u003d 5. Tai nustatę, pereiname prie užduoties, panašios į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nuo: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia skirtumas yra ne sveikasis skaičius, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progresijos narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 kuri sutapo su problemos sąlyga.

4 pavyzdys: pirmasis progreso narys

Toliau pateikiame aritmetinės progresijos su sprendimu pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, nuo kurio skaičiaus prasideda ši seka.

Iki šiol naudotos formulės daro prielaidą, kad žinomos 1 ir d. Apie šiuos skaičius problemos sąlygomis nieko nežinoma. Nepaisant to, užrašykite kiekvieno termino, apie kurį turime informacijos, išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Nurodytą sistemą lengviausia išspręsti, jei kiekvienoje lygtyje išreiškiate 1, o tada palyginsite gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (duodami tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jei kyla abejonių dėl rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos narį. Gauname: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Nedidelė klaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

5 pavyzdys: suma

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, ši problema gali būti išspręsta, tai yra, nuosekliai susumuoti visus skaičius, ką kompiuteris padarys, kai tik žmogus paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, dar būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad sudėjus skaičių poras, esančias sekos kraštuose, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

6 pavyzdys: terminų suma nuo n iki m

Kitas tipiškas pavyzdys aritmetinės progresijos suma yra tokia: pateikiant skaičių eilę: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokia bus jos narių suma nuo 8 iki 14.

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, šią problemą siūloma spręsti antruoju metodu, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad į 2 sumą įeina pirmoji. Paskutinė išvada reiškia, kad jei paimsime skirtumą tarp šių sumų, o prie jo pridėsime terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gauname reikiamą problemos atsakymą. Mes turime: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos n-ojo nario išraiškos ir pirmųjų narių aibės sumos formulės žinojimu. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką norite rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendimu Nr. 6 pavyzdyje galima sustoti ties formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir išsiskyrė bendra užduotisį atskiras poproblemas (šiuo atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Kaip rasti aritmetinę progresiją, sužinojome. Kai tai išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.