Tiesės lygtis plokštumoje. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis

Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kur k – dar nežinomas koeficientas.

Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį:

Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jei x 1 \u003d x 2, tai tiesi linija, einanti per taškus M 1 (x 1, y I) ir M 2 (x 2, y 2), yra lygiagreti y ašiai. Jo lygtis yra x = x 1 .

Jei y 2 \u003d y I, tada tiesės lygtis gali būti parašyta kaip y \u003d y 1, tiesė M 1 M 2 yra lygiagreti x ašiai.

Tiesios linijos atkarpose lygtis

Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a; 0), o Oy ašį - taške M 2 (0; b). Lygtis bus tokia:
tie.
. Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, nes skaičiai a ir b rodo, kuriuos atkarpas tiesia linija nukerta koordinačių ašyse.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis

Raskime tiesės, einančios per duotą tašką Mo (x O; y o), statmeną duotam nuliniam vektoriui n = (A; B), lygtį.

Paimkite savavališką tiesės tašką M(x; y) ir apsvarstykite vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui: tai yra,

A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)

Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .

Vektorius n = (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .

Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C \u003d -Ax o - Vu o - laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji tiesės lygtis(žr. 2 pav.).

1 pav.2 pav

Kanoninės tiesės lygtys

Kur
yra taško, per kurį eina linija, koordinatės ir
- krypties vektorius.

Antros eilės apskritimo kreivės

Apskritimas yra visų plokštumos taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodyto taško, vadinamo centru, rinkinys.

Kanoninė spindulio apskritimo lygtis R sutelktas į tašką
:

Visų pirma, jei statymo centras sutampa su kilme, lygtis atrodys taip:

Elipsė

Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma ir , kurie vadinami židiniais, yra pastovi reikšmė
, didesnis nei atstumas tarp židinių
.

Kanoninė elipsės, kurios židiniai yra ant Jaučio ašies ir kurios pradžia yra viduryje tarp židinių, lygtis turi formą
G de a didžiosios pusašios ilgis; b yra mažosios pusašios ilgis (2 pav.).

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Yra be galo daug linijų, kurias galima nubrėžti per bet kurį tašką.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus yra tik viena tiesi linija.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

3D erdvėje yra trys parinktys. santykinė padėtis dvi tiesios linijos:

linijos susikerta;

tiesios linijos yra lygiagrečios;

susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ah + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B nelygu nuliui tuo pačiu metu. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų verčių A, B ir NUO Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairių formų priklausomai nuo bet kurio duoto

pradines sąlygas.

Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C

gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

einantis per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Ant

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydžio koeficientas tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.

Jei bendroji tiesės lygtis Ah + Wu + C = 0 atnešti į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino tiesės krypties vektorius.

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesios linijos lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/ A = -3, t.y. norima lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada dalijant iš -C gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ah + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus , kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki linijos,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas rašyti skirtingi tipai lygtys

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi segmentuose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp linijų plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

jeigu k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ah + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jei taip pat С 1 \u003d λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena nurodytai tiesei.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ah + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota linija. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Šiame straipsnyje atskleidžiama tiesės, einančios per du nurodytus taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje, esančioje plokštumoje, lygties išvedimas. Išvedame tiesės, einančios per du nurodytus taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje, lygtį. Vizualiai parodysime ir išspręsime kelis pavyzdžius, susijusius su nagrinėjama medžiaga.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prieš gaunant tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį, būtina atkreipti dėmesį į kai kuriuos faktus. Yra aksioma, kuri sako, kad per du nesutampančius plokštumos taškus galima nubrėžti tiesią liniją ir tik vieną. Kitaip tariant, du duotieji plokštumos taškai nustatomi tiesės, einančios per šiuos taškus.

Jei plokštuma pateikta stačiakampe koordinačių sistema Oxy, tai bet kuri joje pavaizduota tiesė atitiks plokštumos tiesės lygtį. Taip pat yra ryšys su tiesės krypties vektoriumi.Šių duomenų pakanka tiesės, einančios per du duotus taškus, lygčiai sudaryti.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip išspręsti panašią problemą. Būtina sudaryti tiesės a, einančios per du nesutampančius taškus M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2), esančius Dekarto koordinačių sistemoje, lygtį.

Kanoninėje plokštumos tiesės lygtyje, kurios forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , stačiakampė koordinačių sistema O x y nurodoma tiese, kuri susikerta su ja taške, kurio koordinatės M 1 (x 1, y 1) su kreipiamuoju vektoriumi a → = (a x , a y) .

Būtina sudaryti kanoninę tiesės a lygtį, kuri eis per du taškus, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) .

Tiesė a turi nukreipimo vektorių M 1 M 2 → su koordinatėmis (x 2 - x 1, y 2 - y 1), nes ji kerta taškus M 1 ir M 2. Gavome reikiamus duomenis, kad galėtume transformuoti kanoninę lygtį su krypties vektoriaus M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinatėmis ir ant jų esančių taškų M 1 koordinatėmis. (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) . Gauname x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 arba x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 lygtį.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Atlikę skaičiavimus, rašome parametrines tiesės lygtis plokštumoje, kuri eina per du taškus, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) . Gauname x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ arba x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ lygtį y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pažvelkime atidžiau į kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per 2 duotus taškus, kurių koordinatės M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6, lygtį.

Sprendimas

Tiesės, susikertančios dviejuose taškuose, kurių koordinatės x 1, y 1 ir x 2, y 2, kanoninė lygtis yra x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Pagal problemos sąlygą gauname, kad x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Lygtyje x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 būtina pakeisti skaitines reikšmes. Iš čia gauname, kad kanoninė lygtis bus tokia: x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Atsakymas: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jei reikia išspręsti problemą naudojant kitokio tipo lygtį, iš pradžių galite pereiti prie kanoninės, nes iš jos lengviau pasiekti bet kurią kitą.

2 pavyzdys

Sudarykite bendrąją tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės yra M 1 (1, 1) ir M 2 (4, 2), O x y koordinačių sistemoje, lygtį.

Sprendimas

Pirmiausia reikia užrašyti kanoninę tam tikros tiesės, einančios per duotus du taškus, lygtį. Gauname x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 formos lygtį.

Pateikiame kanoninę lygtį į norimą formą, tada gauname:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Atsakymas: x - 3 y + 2 = 0 .

Tokių užduočių pavyzdžiai buvo svarstomi mokykliniuose vadovėliuose algebros pamokose. mokyklos uždaviniai skyrėsi tuo, kad buvo žinoma tiesės su nuolydžio koeficientu lygtis, turinti formą y \u003d k x + b. Jei reikia rasti nuolydžio k reikšmę ir skaičių b, kai lygtis y \u003d k x + b apibrėžia O x y sistemos liniją, kuri eina per taškus M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) , kur x 1 ≠ x 2 . Kai x 1 = x 2 , tada nuolydis įgyja begalybės reikšmę, o tiesė M 1 M 2 apibrėžiama bendra nepilna lygtimi x - x 1 = 0 .

Nes taškai M 1 ir M 2 yra tiesėje, tada jų koordinatės tenkina lygtį y 1 = k x 1 + b ir y 2 = k x 2 + b. Būtina išspręsti lygčių sistemą y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k ir b atžvilgiu.

Norėdami tai padaryti, randame k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 arba k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Esant tokioms k ir b reikšmėms, tiesės, einančios per duotus du taškus, lygtis yra tokia: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 arba y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Vienu metu įsiminti tokį didelį skaičių formulių nepavyks. Norėdami tai padaryti, sprendžiant problemas, būtina padidinti pakartojimų skaičių.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės su nuolydžiu, einančios per taškus, kurių koordinatės M 2 (2, 1) ir y = k x + b, lygtį.

Sprendimas

Norėdami išspręsti problemą, naudojame formulę su nuolydžiu, kurios forma yra y \u003d k x + b. Koeficientai k ir b turi turėti tokią reikšmę, kad ši lygtis atitiktų tiesę, einančią per du taškus, kurių koordinatės M 1 (- 7 , - 5) ir M 2 (2 , 1) .

taškų M 1 ir M 2 esančios tiesioje linijoje, tada jų koordinatės turėtų apversti lygtį y = k x + b teisingą lygybę. Iš čia gauname, kad - 5 = k · (- 7) + b ir 1 = k · 2 + b. Sujungkime lygtį į sistemą - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ir išspręskime.

Pakeitę tai gauname

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Dabar reikšmės k = 2 3 ir b = - 1 3 pakeičiamos į lygtį y = k x + b . Gauname, kad norima lygtis, einanti per duotus taškus, bus lygtis, kurios forma yra y = 2 3 x - 1 3 .

Šis sprendimo būdas iš anksto nulemia išlaidas didelis skaičius laikas. Yra būdas, kuriuo užduotis išsprendžiama pažodžiui dviem etapais.

Rašome kanoninę tiesės, einančios per M 2 (2, 1) ir M 1 (- 7, - 5) lygtį, kurios forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Dabar pereikime prie nuolydžio lygties. Gauname: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Atsakymas: y = 2 3 x - 1 3 .

Jei trimatėje erdvėje yra stačiakampė koordinačių sistema O x y z su dviem nesutampančiais taškais, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tiesė M, einanti per juos 1 M 2 , reikia gauti šios tiesės lygtį.

Turime x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formos kanonines lygtis ir x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + parametrines lygtis a z λ gali nustatyti tiesę O x y z koordinačių sistemoje, einančią per taškus, turinčius koordinates (x 1, y 1, z 1), su nukreipimo vektoriumi a → = (a x, a y, a z) .

Tiesus M 1 M 2 turi krypties vektorių formos M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , kur tiesė eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), taigi kanoninė lygtis gali būti tokios formos: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 arba x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, savo ruožtu, parametrinis x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ arba x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Apsvarstykite paveikslą, kuriame pavaizduoti 2 duotieji erdvės taškai ir tiesės lygtis.

4 pavyzdys

Parašykite tiesės, apibrėžtos trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z, einančios per duotus du taškus, kurių koordinatės M 1 (2, - 3, 0) ir M 2 (1, - 3, - 5), lygtį. ).

Sprendimas

Turime rasti kanoninę lygtį. Kadangi mes kalbame apie trimatę erdvę, tai reiškia, kad kai tiesė eina per nurodytus taškus, norima kanoninė lygtis bus tokia: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Pagal sąlygą gauname, kad x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iš to išplaukia, kad reikiamas lygtis galima parašyti taip:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Atsakymas: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis šią kryptį. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų linijų. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, nuolydis nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos nuolydžio lygtimis

y = k 1 x + B 1 ,

Kanoninės tiesės erdvėje lygtys yra lygtys, apibrėžiančios tiesę, einančią per tam tikrą tašką kolineariai su krypties vektoriumi.

Tegu duotas taškas ir krypties vektorius. Savavališkas taškas yra tiesėje l tik tuo atveju, jei vektoriai ir yra kolineariniai, ty jie atitinka sąlygą:

Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės linijos lygtys.

Skaičiai m , n ir p yra krypties vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Kadangi vektorius yra ne nulis, tada visi skaičiai m , n ir p tuo pačiu metu negali būti nulis. Tačiau vienas ar du iš jų gali būti lygūs nuliui. Pavyzdžiui, analitinėje geometrijoje leidžiama naudoti tokias žymes:

o tai reiškia, kad vektoriaus projekcijos ašyse Oy ir Ozas yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, kurią pateikia kanoninės lygtys, yra statmenos ašims Oy ir Ozas t.y. lėktuvai yOz .

1 pavyzdys Sudarykite tiesės erdvės, statmenos plokštumai, lygtis ir einančios per šios plokštumos susikirtimo su ašimi tašką Ozas .

Sprendimas. Raskite duotosios plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Ozas. Kadangi bet kuris ašies taškas Ozas, turi koordinates, tada, darant prielaidą, kad pateiktoje plokštumos lygtyje x=y= 0, gauname 4 z- 8 = 0 arba z= 2. Todėl duotosios plokštumos susikirtimo taškas su ašimi Ozas turi koordinates (0; 0; 2) . Kadangi norima tiesė yra statmena plokštumai, ji lygiagreti jos normaliajam vektoriui. Todėl normalusis vektorius gali tarnauti kaip tiesės krypties vektorius duotas lėktuvas.

Dabar parašome norimas tiesės, einančios per tašką, lygtis A= (0; 0; 2) vektoriaus kryptimi:

Tiesios linijos, einančios per du duotus taškus, lygtys

Tiesią liniją galima apibrėžti dviem taškais, esančiais ant jos ir Šiuo atveju tiesės nukreipiantis vektorius gali būti vektorius . Tada kanoninės linijos lygtys įgauna formą

Aukščiau pateiktos lygtys apibrėžia tiesią liniją, einančią per du nurodytus taškus.

2 pavyzdys Parašykite tiesės erdvėje, einančios per taškus ir, lygtį.

Sprendimas. Rašome norimas tiesės lygtis aukščiau pateikta forma teorinėje nuorodoje:

Kadangi , Tada norima linija yra statmena ašiai Oy .

Tiesi kaip plokštumų susikirtimo linija

Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija ir, t.y., kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.

Sistemos lygtys dar vadinamos bendrosiomis tiesės erdvėje lygtimis.

3 pavyzdys Sudarykite kanonines tiesės lygtis bendrųjų lygčių pateiktoje erdvėje

Sprendimas. Norėdami parašyti kanonines tiesės lygtis arba, kas yra ta pati, tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis yOz ir xOz .

Tiesės susikirtimo su plokštuma taškas yOz turi abscisę x= 0. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą x= 0 , gauname sistemą su dviem kintamaisiais:

Jos sprendimas y = 2 , z= 6 kartu su x= 0 apibrėžia tašką A(0; 2; 6) norimos eilutės. Darant prielaidą, kad tada duotoje lygčių sistemoje y= 0 , gauname sistemą

Jos sprendimas x = -2 , z= 0 kartu su y= 0 apibrėžia tašką B(-2; 0; 0) tiesės susikirtimas su plokštuma xOz .

Dabar rašome tiesės, einančios per taškus, lygtis A(0; 2; 6) ir B (-2; 0; 0) :

arba padalijus vardiklius iš -2: