Imepewa koni ya duara ya kulia yenye kipeo m Mada: Koni ya duara ya kulia. Sehemu ya koni kwa ndege. Mali ya msingi ya duaradufu

Utangulizi

Umuhimu wa mada ya utafiti. Sehemu za Conic tayari zilijulikana kwa wanahisabati wa Ugiriki ya Kale (kwa mfano, Menaechmus, karne ya 4 KK); Kwa msaada wa curves hizi, baadhi ya matatizo ya ujenzi yalitatuliwa (mara mbili ya mchemraba, nk), ambayo iligeuka kuwa haipatikani wakati wa kutumia zana rahisi zaidi za kuchora - dira na watawala. Katika masomo ya kwanza ambayo yametufikia, jiomita za Kigiriki zilipata sehemu za conic kwa kuchora ndege ya kukata perpendicular kwa moja ya jenereta, na, kulingana na angle ya ufunguzi kwenye kilele cha koni (yaani, pembe kubwa zaidi kati ya jenereta. ya cavity moja), mstari wa makutano uligeuka kuwa duaradufu, ikiwa pembe hii ni ya papo hapo, parabola ikiwa ni pembe ya kulia, na hyperbola ikiwa ni butu. Kazi kamili zaidi kwenye curve hizi ilikuwa Sehemu za Conic na Apollonius wa Perga (karibu 200 BC). Maendeleo zaidi katika nadharia ya sehemu za koni yanahusishwa na uumbaji katika karne ya 17. mbinu mpya za kijiometri: projective (wataalamu wa hisabati wa Kifaransa J. Desargues, B. Pascal) na hasa kuratibu (wanahisabati wa Kifaransa R. Descartes, P. Fermat).

Kuvutiwa na sehemu za conic daima kumeungwa mkono na ukweli kwamba curves hizi mara nyingi hupatikana katika matukio mbalimbali ya asili na katika shughuli za binadamu. Katika sayansi, sehemu za koni zilipata umuhimu hasa baada ya mwanaastronomia wa Ujerumani I. Kepler kugundua kutokana na uchunguzi, na mwanasayansi wa Kiingereza I. Newton alithibitisha kinadharia sheria za mwendo wa sayari, moja wapo ambayo inasema kwamba sayari na comets za mfumo wa jua husonga pamoja na conic. sehemu, katika moja ambayo msingi wake ni Jua. Mifano ifuatayo inarejelea aina fulani za sehemu za conic: parabola inaelezewa na projectile au jiwe lililotupwa oblique kwa upeo wa macho (sura sahihi ya curve kwa kiasi fulani inapotoshwa na upinzani wa hewa); baadhi ya taratibu hutumia gia za duaradufu ("gia za mviringo"); hyperbola hutumika kama grafu ya uwiano kinyume, mara nyingi huzingatiwa katika asili (kwa mfano, sheria ya Boyle-Mariotte).

Lengo la kazi:

Kusoma nadharia ya sehemu za koni.

Mada ya utafiti:

Sehemu za Conic.

Madhumuni ya utafiti:

Jifunze kinadharia sifa za sehemu za koni.

Lengo la utafiti:

Sehemu za Conic.

Mada ya masomo:

Maendeleo ya kihistoria ya sehemu za conic.

1. Uundaji wa sehemu za conic na aina zao

Sehemu za conic ni mistari ambayo huundwa katika sehemu ya koni ya mviringo ya kulia na ndege tofauti.

Kumbuka kwamba uso wa conical ni uso unaoundwa na harakati ya mstari wa moja kwa moja ambayo daima hupitia hatua ya kudumu (vertex ya koni) na mara kwa mara huingilia curve iliyowekwa - mwongozo (kwa upande wetu, mduara).

Kwa kuainisha mistari hii kulingana na asili ya eneo la ndege za kukata kuhusiana na jenereta za koni, aina tatu za curves hupatikana:

I. Mikunjo inayoundwa kwa kukata koni yenye ndege ambazo haziwiani na jenereta zozote. Curves vile zitakuwa duru mbalimbali na ellipses. Mikondo hii inaitwa mikunjo ya mviringo.

II. Curves inayoundwa na sehemu ya koni na ndege, ambayo kila mmoja ni sawa na moja ya jenereta ya koni (Mchoro 1 b). Parabolas pekee zitakuwa curves vile.

III. Mikondo inayoundwa na sehemu ya koni na ndege, ambayo kila moja inalingana na jenereta mbili (Mchoro 1 c). curves vile itakuwa hyperbolas.

Hakuwezi tena kuwa na aina yoyote ya IV ya curves, kwani hawezi kuwa na ndege sambamba na jenereta tatu za koni mara moja, kwa kuwa hakuna jenereta tatu za koni zenyewe haziko tena kwenye ndege moja.

Kumbuka kwamba koni inaweza kuingiliwa na ndege ili sehemu itoe mistari miwili ya moja kwa moja. Ili kufanya hivyo, ndege za kukata lazima zitolewe kupitia vertex ya koni.

2. Mviringo

Ili kusoma mali ya sehemu za conic, nadharia mbili ni muhimu:

Nadharia 1. Hebu koni ya mviringo ya moja kwa moja itolewe, ambayo inatenganishwa na ndege b 1, b 2, b 3, perpendicular kwa mhimili wake. Kisha makundi yote ya jenereta ya koni kati ya jozi yoyote ya miduara (iliyopatikana katika sehemu na ndege zilizopewa) ni sawa kwa kila mmoja, i.e. A 1 B 1 = A 2 B 2 = nk. na B ​​1 C 1 = B 2 C 2 = nk. Nadharia 2. Ikiwa uso wa spherical na sehemu fulani ya S nje hutolewa, basi sehemu za tangent zilizotolewa kutoka kwa uhakika S hadi kwenye uso wa spherical zitakuwa sawa kwa kila mmoja, i.e. SA 1 =SA 2 =SA 3, nk.

2.1 Sifa ya msingi ya duaradufu

Wacha tuchambue koni ya duara iliyonyooka na ndege inayokatiza washiriki wake wote.Katika sehemu tunapata duaradufu. Wacha tuchore ndege ya pembeni kwa ndege kupitia mhimili wa koni.

Hebu tuandike mipira miwili kwenye koni ili, iko kwenye pande tofauti za ndege na kugusa uso wa conical, kila mmoja wao hugusa ndege kwa wakati fulani.

Acha mpira mmoja uguse ndege kwa uhakika F 1 na uguse koni kando ya duara C 1, na mwingine kwa uhakika F 2 na uguse koni kando ya duara C 2.

Wacha tuchukue hatua ya kiholela P kwenye duaradufu.

Hii ina maana kwamba hitimisho zote zinazotolewa kuhusu hilo zitakuwa halali kwa hatua yoyote ya duaradufu. Hebu tuchore jenereta ya OP ya koni na alama pointi R 1 na R 2 ambayo inagusa mipira iliyojengwa.

Wacha tuunganishe sehemu ya P na alama F 1 na F 2. Kisha РF 1 = РR 1 na РF 2 = РR 2, kwa kuwa РF 1, РR 1 ni tangents inayotolewa kutoka kwa uhakika P hadi mpira mmoja, na РF 2, РR 2 ni tangents inayotolewa kutoka kwa uhakika P hadi mpira mwingine (Theorem 2). Kuongeza usawa zote mbili kwa muhula, tunapata

RF 1 + РF 2 = РR 1 + РR 2 = R 1 R 2 (1)

Uhusiano huu unaonyesha kuwa jumla ya umbali (РF 1 na РF 2) ya hatua ya kiholela P ya duaradufu hadi pointi mbili F 1 na F 2 ni thamani ya mara kwa mara ya duaradufu iliyotolewa (hiyo ni, haitegemei nafasi ya hatua P kwenye duaradufu).

Pointi F 1 na F 2 huitwa foci ya duaradufu. Sehemu ambazo mstari wa moja kwa moja F 1 F 2 huingiliana na duaradufu huitwa wima ya duaradufu. Sehemu kati ya wima inaitwa mhimili mkuu wa duaradufu.

Urefu wa sehemu ya jenereta R 1 R 2 ni sawa na mhimili mkuu wa duaradufu. Halafu mali kuu ya duaradufu imeundwa kama ifuatavyo: jumla ya umbali wa hatua ya kiholela P ya duaradufu hadi foci yake F 1 na F 2 ni thamani ya mara kwa mara ya duaradufu fulani, sawa na urefu wa mhimili wake mkuu. .

Kumbuka kwamba ikiwa foci ya ellipse inafanana, basi ellipse ni mduara, i.e. duara ni kesi maalum ya duaradufu.

2.2 Mlinganyo wa mviringo

Ili kuunda mlingano wa duaradufu, ni lazima tuzingatie duaradufu kama eneo la pointi ambazo zina sifa fulani inayoangazia locus hii. Wacha tuchukue mali kuu ya duaradufu kama ufafanuzi wake: duaradufu ni eneo la pointi kwenye ndege ambayo jumla ya umbali hadi pointi mbili zisizohamishika F 1 na F 2 ya ndege hii, inayoitwa foci, ni thamani ya mara kwa mara. sawa na urefu wa mhimili wake mkuu.

Hebu urefu wa sehemu F 1 F 2 = 2c, na urefu wa mhimili mkuu sawa na 2a. Ili kupata mlinganyo wa kisheria wa duaradufu, tunachagua asili ya O ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian katikati ya sehemu F 1 F 2, na kuelekeza shoka za Ox na Oy kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 5. (Ikiwa foci inaambatana, basi O inalingana na F 1 na F 2, na zaidi ya mhimili wa Ox inaweza kuwa mhimili wowote unaopita kupitia O). Kisha katika mfumo uliochaguliwa wa kuratibu pointi F 1 (c, 0) na F 2 (-c, 0). Ni wazi, 2a>2c, i.e. a>c. Acha M(x, y) iwe kielelezo kwenye ndege inayomilikiwa na duaradufu. Acha MF 1 =r 1, MF 2 =r 2. Kulingana na ufafanuzi wa duaradufu, usawa

r 1 +r 2 =2a (2) ni hali ya lazima na ya kutosha kwa eneo la uhakika M (x, y) kwenye duaradufu iliyotolewa. Kwa kutumia formula kwa umbali kati ya pointi mbili, tunapata

r 1 =, r 2 =. Wacha turudi kwenye usawa (2):

Wacha tusogeze mzizi mmoja upande wa kulia wa usawa na uifanye mraba:

Kupunguza, tunapata:

Tunawasilisha zinazofanana, punguza kwa 4 na uondoe kali:

Squaring

Fungua mabano na ufupishe kwa:

tunapata wapi:

(a 2 -c 2) x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2). (3)

Kumbuka kuwa 2 -c 2 >0. Hakika, r 1 +r 2 ni jumla ya pande mbili za pembetatu F 1 MF 2, na F 1 F 2 ni upande wake wa tatu. Kwa hiyo, r 1 +r 2 > F 1 F 2, au 2a>2c, i.e. a>c. Hebu tuangazie 2 -c 2 =b 2. Mlinganyo (3) utaonekana kama: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Wacha tufanye mabadiliko ambayo huleta equation ya duaradufu kwa fomu ya kisheria (kihalisi: iliyochukuliwa kama kielelezo), ambayo ni, tunagawanya pande zote mbili za equation na 2 b 2:

(4) - mlinganyo wa kisheria wa duaradufu.

Kwa kuwa mlingano (4) ni tokeo la aljebra la mlingano (2*), viwianishi vya x na y vya nukta yoyote M ya duaradufu pia vitatosheleza mlingano (4). Kwa kuwa wakati wa mabadiliko ya algebraic yanayohusiana na kuondoa radicals, "mizizi ya ziada" inaweza kuonekana, ni muhimu kuhakikisha kuwa nukta yoyote M, ambayo viwianishi vyake vinakidhi equation (4), iko kwenye duaradufu hii. Ili kufanya hivyo, inatosha kudhibitisha kuwa maadili ya r 1 na r 2 kwa kila nukta yanakidhi uhusiano (2). Kwa hivyo, acha viwianishi vya x na y vya nukta M vikidhi hesabu (4). Kubadilisha thamani ya y 2 kutoka (4) hadi usemi r 1, baada ya mabadiliko rahisi tunapata kwamba r 1 =. Kwa kuwa, basi r 1 =. Kwa njia sawa tunapata kwamba r 2 =. Hivyo, kwa hatua inayozingatiwa M r 1 =, r 2 =, i.e. r 1 +r 2 =2a, hivyo uhakika M iko kwenye duaradufu. Kiasi a na b huitwa mihimili mikuu na midogo ya duaradufu, mtawalia.

2.3 Utafiti wa umbo la duaradufu kwa kutumia mlingano wake

Wacha tuanzishe umbo la duaradufu kwa kutumia mlinganyo wake wa kisheria.

1. Equation (4) ina x na y pekee katika nguvu sawa, kwa hivyo ikiwa nukta (x, y) ni ya duaradufu, basi ina nukta (x, - y), (-x, y), (- x, -y). Inafuata kwamba duaradufu ni ulinganifu kwa heshima na shoka za Ox na Oy, na vile vile kwa heshima na hatua O (0,0), inayoitwa katikati ya duaradufu.

2. Pata pointi za makutano ya duaradufu na axes za kuratibu. Kuweka y = 0, tunapata pointi mbili A 1 (a, 0) na A 2 (-a, 0), ambapo mhimili wa Ox huingiliana na duaradufu. Kuweka x=0 katika equation (4), tunapata pointi za makutano ya duaradufu na mhimili wa Oy: B 1 (0, b) na. B 2 (0, - b) Pointi A 1, A 2, B 1, B 2 huitwa wima ya duaradufu.

3. Kutoka kwa equation (4) inafuata kwamba kila neno upande wa kushoto hauzidi moja, i.e. kukosekana kwa usawa na au na kutokea. Kwa hivyo, sehemu zote za duaradufu ziko ndani ya mstatili unaoundwa na mistari iliyonyooka.

4. Katika mlinganyo (4), jumla ya istilahi zisizo hasi na ni sawa na moja. Kwa hiyo, neno moja linapoongezeka, lingine litapungua, i.e. ikiwa x inaongezeka, basi y inapungua na kinyume chake.

Kutoka hapo juu inafuata kwamba ellipse ina sura iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 6 (mviringo uliofungwa wa mviringo).

Kumbuka kwamba ikiwa a = b, basi equation (4) itachukua fomu x 2 + y 2 = a 2 . Huu ni mlinganyo wa duara. Duaradufu inaweza kupatikana kutoka kwa duara yenye radius a ikiwa imebanwa na sababu kwenye mhimili wa Oy. Kwa ukandamizaji kama huo, hatua (x; y) itasonga hadi mahali (x; y 1), ambapo. Kubadilisha miduara kwenye equation, tunapata equation ya duaradufu:.

Wacha tuonyeshe idadi moja zaidi inayoonyesha sura ya duaradufu.

Ulinganifu wa duaradufu ni uwiano wa urefu wa fokasi 2c hadi urefu wa 2a wa mhimili wake mkuu.

Ekcentricity kawaida huashiria e: e=Tangu c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Kutoka kwa usawa wa mwisho ni rahisi kupata tafsiri ya kijiometri ya eccentricity ya duaradufu. Wakati ni ndogo sana, nambari a na b ni karibu sawa, yaani, duaradufu iko karibu na duara. Ikiwa iko karibu na moja, basi nambari b ni ndogo sana ikilinganishwa na nambari a na duaradufu imeinuliwa kwa nguvu kwenye mhimili mkuu. Kwa hivyo, usawa wa duaradufu huashiria kipimo cha urefu wa duaradufu.

3. Hyperboli

3.1 Sifa kuu ya hyperbola

Kwa kusoma hyperbola kwa kutumia miundo inayofanana na ile iliyofanywa kusoma duaradufu, tutagundua kuwa hyperbola ina sifa sawa na zile za duaradufu.

Hebu tuchambue koni ya mviringo ya moja kwa moja na ndege b inayoingiliana na ndege zake zote mbili, i.e. sambamba na jenereta zake mbili. Sehemu ya msalaba itasababisha hyperbola. Hebu tuchore ndege ya ASB kupitia mhimili wa ST wa koni, perpendicular kwa ndege b.

Hebu tuandike mipira miwili kwenye koni - moja katika moja ya cavity yake, nyingine kwa nyingine, ili kila mmoja wao aguse uso wa conical na ndege ya secant. Ruhusu mpira wa kwanza uguse ndege b kwa uhakika F 1 na uguse uso wa koni kando ya duara UґVґ. Hebu mpira wa pili uguse ndege b kwa uhakika F 2 na uguse uso wa conical kando ya UV ya mduara.

Wacha tuchague alama ya kiholela M kwenye hyperbola Chora jenereta ya koni MS kupitia kwayo na uweke alama d na D ambapo inagusa mipira ya kwanza na ya pili. Hebu tuunganishe hatua M na pointi F 1, F 2, ambazo tutaziita malengo ya hyperbola. Kisha MF 1 = Md, kwa kuwa sehemu zote mbili ni tangent kwa mpira wa kwanza, inayotolewa kutoka kwa uhakika M. Vile vile, MF 2 = MD. Kuondoa muhula wa pili wa usawa kwa muhula kutoka kwa kwanza, tunapata

MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,

ambapo dD ni thamani isiyobadilika (kama jenereta ya koni yenye besi UґVґ na UV), bila kuchaguliwa kwa nukta M kwenye hyperbola. Hebu tuonyeshe kwa P na Q pointi ambazo mstari wa moja kwa moja F 1 F 2 huingilia hyperbola. Pointi hizi P na Q zinaitwa wima ya hyperbola. Sehemu ya PQ inaitwa mhimili halisi wa hyperbola. Katika mwendo wa jiometri ya msingi inathibitishwa kuwa dD=PQ. Kwa hiyo MF 1 -MF 2 =PQ.

Ikiwa hatua M iko kwenye tawi la hyperbola karibu na ambayo lengo F 1 iko, basi MF 2 -MF 1 = PQ. Kisha hatimaye tunapata MF 1 -MF 2 =PQ.

Moduli ya tofauti kati ya umbali wa hatua ya kiholela M ya hyperbola kutoka kwa foci F 1 na F 2 ni thamani ya mara kwa mara sawa na urefu wa mhimili halisi wa hyperbola.

3.2 Mlinganyo wa Hyperbola

Wacha tuchukue mali kuu ya hyperbola kama ufafanuzi wake: Hyperbola ni mahali pa pointi kwenye ndege ambayo moduli ya tofauti katika umbali hadi pointi mbili za kudumu F 1 na F 2 ya ndege hii, inayoitwa foci, ni thamani ya mara kwa mara sawa na urefu wa mhimili wake halisi.

Hebu urefu wa sehemu F 1 F 2 = 2c, na urefu wa mhimili halisi sawa na 2a. Ili kupata mlinganyo wa kisheria wa hyperbola, tunachagua asili ya O ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian katikati ya sehemu F 1 F 2, na kuelekeza shoka za Ox na Oy kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 5. Kisha katika mfumo uliochaguliwa wa kuratibu pointi F. 1 (c, 0) na F 2 ( -s, 0). Ni wazi 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2a (5) ni hali ya lazima na ya kutosha kwa eneo la uhakika M (x, y) kwenye hyperbola iliyotolewa. Kwa kutumia formula kwa umbali kati ya pointi mbili, tunapata

r 1 =, r 2 =. Wacha turudi kwenye usawa (5):

Wacha tuweke pande zote mbili za usawa

(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2

Kupunguza, tunapata:

2 xc=4a 2 ±4a-2 xc

±4a=4a 2 -4 xc

a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)

Kumbuka kuwa na 2 -a 2 >0. Hebu tuonyeshe c 2 -a 2 =b 2 . Mlinganyo (6) utaonekana kama: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Wacha tufanye mageuzi ambayo huleta mlingano wa hyperbola kwa fomu ya kisheria, ambayo ni, tunagawanya pande zote mbili za equation na 2 b 2: (7) - mlinganyo wa kisheria wa hyperbola, kiasi a na b ni mihimili ya nusu halisi na ya kufikirika ya hyperbola, mtawalia.

Ni lazima tuhakikishe kwamba mlinganyo (7), unaopatikana kwa mabadiliko ya aljebra ya equation (5*), haujapata mizizi mpya. Ili kufanya hivyo, inatosha kudhibitisha kuwa kwa kila nukta M, kuratibu x na y ambazo zinakidhi equation (7), maadili r 1 na r 2 yanakidhi uhusiano (5). Kutoa hoja zinazofanana na zile zilizotolewa wakati wa kupata fomula ya duaradufu, tunapata misemo ifuatayo ya r 1 na r 2:

Kwa hivyo, kwa hatua M inayozingatiwa tuna r 1 -r 2 = 2a, na kwa hiyo iko kwenye hyperbola.

3.3 Utafiti wa mlingano wa hyperbola

Sasa hebu tujaribu, kwa kuzingatia kuzingatia equation (7), ili kupata wazo la eneo la hyperbola.
1. Kwanza kabisa, mlingano (7) unaonyesha kwamba hyperbola ina ulinganifu kuhusu shoka zote mbili. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba equation ya Curve inajumuisha tu hata nguvu za kuratibu. 2. Wacha sasa tuweke alama eneo la ndege ambapo curve italala. Equation ya hyperbola, iliyotatuliwa kwa heshima na y, ina fomu:

Inaonyesha kuwa y ipo kila wakati wakati x 2? a 2. Je, hii ina maana kwamba katika x? a na kwa x? - a kuratibu y itakuwa halisi, na kwa - a

Zaidi ya hayo, kadiri x inavyoongezeka (na a ni kubwa), mpangilio y pia utaongezeka wakati wote (haswa, ni wazi kutoka hapa kwamba curve haiwezi kuwa ya wavy, i.e., kama vile abscissa x inavyoongezeka, kuratibu y ama kuongezeka au kupungua) .

H. Katikati ya hyperbola ni hatua ambayo kila sehemu ya hyperbola ina nukta juu yake ambayo ni linganifu yenyewe. Pointi O(0,0), asili, kama duaradufu, ni kitovu cha hyperbola kinachofafanuliwa na mlinganyo wa kisheria. Hii ina maana kwamba kila nukta ya hyperbola ina pointi linganifu kwenye haipabola inayohusiana na pointi O. Hii inafuatia kutoka kwa ulinganifu wa hyperbola kuhusiana na shoka za Ox na Oy. Kila chord ya hyperbola kupita katikati yake inaitwa kipenyo cha hyperbola.

4. Pointi za makutano ya hyperbola na mstari ambao foci yake iko huitwa vertices ya hyperbola, na sehemu kati yao inaitwa mhimili halisi wa hyperbola. Katika kesi hii, mhimili halisi ni mhimili wa Ox. Kumbuka kuwa mhimili halisi wa hyperbola mara nyingi huitwa sehemu ya 2a na mstari ulionyooka wenyewe (mhimili wa Ox) ambayo inalala.

Wacha tupate sehemu za makutano ya hyperbola na mhimili wa Oy. Mlinganyo wa mhimili wa Oy ni x=0. Kubadilisha x = 0 kwenye equation (7), tunapata kwamba hyperbola haina pointi za makutano na mhimili wa Oy. Hii inaeleweka, kwa kuwa katika ukanda wa upana wa 2a, unaofunika mhimili wa Oy, hakuna pointi za hyperbola.

Mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa mhimili halisi wa hyperbola na kupita katikati yake inaitwa mhimili wa kufikiria wa hyperbola. Katika kesi hii, inafanana na mhimili wa Oy. Kwa hivyo, viambajengo vya istilahi zilizo na x 2 na y 2 katika mlingano wa hyperbola (7) huwa na miraba ya mihimili halisi na ya kuwaziwa ya hyperbola.

5. Hyperbola huingilia mstari y = kx kwa k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Ushahidi

Kuamua kuratibu za pointi za makutano ya hyperbola na mstari wa moja kwa moja y = kx, unahitaji kutatua mfumo wa equations.

Kuondoa y, tunapata

au Kwa b 2 -k 2 a 2 0 yaani, kwa k mlinganyo unaotokana, na kwa hivyo mfumo, hauna masuluhisho.

Mistari yenye milinganyo y= na y= inaitwa asymptotes ya hyperbola.

Kwa b 2 -k 2 a 2 >0 yaani, kwa k< система имеет два решения:

Kwa hivyo, kila mstari ulionyooka unaopitia asili, na mteremko k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Mali ya macho ya hyperbola: mionzi ya macho inayotokana na mtazamo mmoja wa hyperbola, inaonekana kutoka kwayo, inaonekana kutoka kwa lengo la pili.

Ulinganifu wa hyperbola ni uwiano wa urefu wa 2c hadi urefu wa 2a wa mhimili wake halisi? = Kwa kuwa c > a, basi e > 1, ambayo ina maana ya foci ya hyperbola, kama ilivyo kwa duaradufu, ni iko ndani ya curve,
hizo. kutoka upande wa mshikamano wake.

3.4 Unganisha hyperbola

Pamoja na hyperbola (7), kinachojulikana kama hyperbola conjugate kwake inazingatiwa. Hyperbola ya conjugate inafafanuliwa na equation ya kisheria.

Katika Mtini. 10 inaonyesha hyperbola (7) na hyperbola yake ya kuunganisha. Hyperbola ya conjugate ina asymptotes sawa na ile iliyotolewa, lakini F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Mali ya msingi ya parabola

Wacha tuanzishe mali ya msingi ya parabola. Hebu tuchambue koni ya mviringo ya moja kwa moja na vertex S kwa ndege inayofanana na moja ya jenereta zake. Katika sehemu ya msalaba tunapata parabola. Hebu tuchore ndege ya ASB kupitia mhimili ST wa koni, perpendicular kwa ndege (Mchoro 11). Jenereta SA iliyolala ndani yake itakuwa sambamba na ndege. Hebu tuandike uso wa spherical kwenye koni, tangent kwa koni kando ya UV ya mduara na tangent kwa ndege kwenye hatua F. Hebu tuchore mstari wa moja kwa moja kupitia hatua F sambamba na generatrix SA. Hebu tuonyeshe hatua ya makutano yake na jenereta SB na P. Point F inaitwa lengo la parabola, uhakika P ni vertex yake, na mstari wa moja kwa moja wa PF unapita kupitia vertex na lengo (na sambamba na jenereta SA ) inaitwa mhimili wa parabola. Parabola haitakuwa na vertex ya pili - mahali pa makutano ya mhimili wa PF na jenereta ya SA: hatua hii "inakwenda kwa infinity". Wacha tuite directrix (iliyotafsiriwa kama "mwongozo") mstari q 1 q 2 wa makutano ya ndege na ndege ambayo mduara wa UV umelazwa. Chukua hatua ya kiholela M kwenye parabola na uunganishe kwenye vertex ya koni S. Mstari wa moja kwa moja MS hugusa mpira kwenye hatua D iliyolala kwenye UV ya mduara. Wacha tuunganishe hatua M kwa kuzingatia F na kupunguza MK ya perpendicular kutoka kwa uhakika M hadi mstari wa moja kwa moja. Kisha inageuka kuwa umbali wa hatua ya kiholela M ya parabola kwa kuzingatia (MF) na kwa directrix (MK) ni sawa na kila mmoja (mali kuu ya parabola), i.e. MF=MK.

Uthibitisho: MF=MD (kama tangents kwa mpira kutoka pointi moja). Wacha tuonyeshe pembe kati ya jenereta zozote za koni na mhimili wa ST kama c. Wacha tuandae sehemu MD na MK kwenye mhimili wa ST. Sehemu ya MD inaunda makadirio kwenye mhimili wa ST sawa na MDcosc, kwani MD iko kwenye jenereta ya koni; sehemu ya MK huunda makadirio kwenye mhimili wa ST sawa na MKsosc, kwa kuwa sehemu ya MK ni sambamba na jenereta SA. (Kwa hakika, directrix q 1 q 1 ni perpendicular kwa ndege ASB. Kwa hiyo, mstari wa moja kwa moja wa PF unaingiliana na directrix kwa uhakika L kwa pembe ya kulia. Lakini mistari ya moja kwa moja MK na PF iko kwenye ndege moja, na MK pia ni. perpendicular kwa directrix). Makadirio ya sehemu zote mbili MK na MD kwenye mhimili wa ST ni sawa kwa kila mmoja, kwa kuwa moja ya ncha zao - uhakika M - ni ya kawaida, na nyingine mbili D na K ziko kwenye ndege inayoelekea kwa mhimili wa ST (Mtini.) . Kisha MDcosc = MKcosc au MD = MK. Kwa hiyo, MF=MK.

Mali 1.(Sifa kuu ya parabola).

Umbali kutoka kwa hatua yoyote ya parabola hadi katikati ya chord kuu ni sawa na umbali wake kwa directrix.

Ushahidi.

Pointi F ni sehemu ya makutano ya mstari wa moja kwa moja wa QR na kiitikio kikuu. Hatua hii iko kwenye mhimili wa ulinganifu Oy. Hakika, pembetatu RNQ na ROF ni sawa, kama pembetatu za kulia

pembetatu zenye miguu iliyojeruhiwa (NQ=OF, AU=RN). Kwa hiyo, bila kujali ni hatua gani ya N tunayochukua, mstari wa moja kwa moja wa QR uliojengwa kutoka kwake utaingiliana na chord kuu katikati yake F. Sasa ni wazi kwamba pembetatu ya FMQ ni isosceles. Hakika, sehemu MR ni wastani na urefu wa pembetatu hii. Inafuata kwamba MF=MQ.

Mali 2.(Mali ya macho ya parabola).

Kila tangenti hadi parabola hufanya pembe sawa na radius ya msingi inayotolewa hadi hatua ya kubadilika na miale kupita kutoka kwa hatua ya tanji na kuelekeza kwa mhimili (au, miale inayojitokeza kutoka kwa lengo moja, inayoakisiwa kutoka kwa parabola, itaenda sambamba. kwa mhimili).

Ushahidi. Kwa nukta N inayoegemea kwenye parabola yenyewe, usawa |FN|=|NH| ni halali, na kwa nukta N" iliyo katika eneo la ndani la parabola, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, yaani, uhakika M" iko katika eneo la nje la parabola. Kwa hivyo, mstari mzima wa moja kwa moja l, isipokuwa hatua M, iko katika eneo la nje, yaani, eneo la ndani la parabola liko upande mmoja wa l, ambayo ina maana kwamba l ni tangent kwa parabola. Hii inatoa uthibitisho wa mali ya macho ya parabola: angle 1 ni sawa na angle 2, kwani l ni bisector ya angle FMC.

4.2 Mlinganyo wa Parabola

Kulingana na mali kuu ya parabola, tunaunda ufafanuzi wake: parabola ni seti ya vidokezo vyote vya ndege, ambayo kila moja iko mbali na sehemu fulani, inayoitwa lengo, na mstari wa moja kwa moja uliopewa, unaoitwa directrix. . Umbali kutoka kwa lengo F hadi directrix inaitwa parabola ya parabola na inaonyeshwa na p (p> 0).

Ili kupata equation ya parabola, tunachagua mfumo wa kuratibu Oxy ili mhimili wa Ox upite kwa kuzingatia F perpendicular kwa directrix katika mwelekeo kutoka kwa directrix hadi F, na asili ya kuratibu O iko katikati kati ya kuzingatia na directrix (Mchoro 12). Katika mfumo uliochaguliwa, lengo ni F (, 0), na equation ya directrix ina fomu x = -, au x + = 0. Hebu m (x, y) iwe hatua ya kiholela ya parabola. Hebu tuunganishe uhakika wa M hadi F. Chora sehemu ya MH kwa usawa wa mstari wa moja kwa moja. Kulingana na ufafanuzi wa parabola MF = MN. Kutumia fomula ya umbali kati ya nukta mbili tunapata:

Kwa hivyo, tunapata pande zote mbili za equation

hizo. (8) Mlingano (8) unaitwa mlinganyo wa kisheria wa parabola.

4.3 Utafiti wa maumbo ya parabola kwa kutumia mlingano wake

1. Katika mlinganyo (8) kigezo y kinaonekana katika kiwango sawa, ambayo ina maana kwamba parabola ni ulinganifu kuhusu mhimili wa Ox; Mhimili wa Ox ni mhimili wa ulinganifu wa parabola.

2. Tangu c > 0, inafuata kutoka (8) kwamba x>0. Kwa hivyo, parabola iko upande wa kulia wa mhimili wa Oy.

3. Hebu x = 0, basi y = 0. Kwa hiyo, parabola hupita kupitia asili.

4. Kadiri x inavyoongezeka kwa muda usiojulikana, moduli y pia huongezeka kwa muda usiojulikana. Parabola y 2 = 2 px ina umbo (sura) iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 13. Pointi O (0; 0) inaitwa vertex ya parabola, sehemu ya FM = r inaitwa radius focal ya uhakika M. Equations y 2. = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) pia hufafanua parabolas.

1.5. Mali ya saraka ya sehemu za conic .

Hapa tutathibitisha kwamba kila sehemu isiyo ya mviringo (isiyoharibika) inaweza kufafanuliwa kama seti ya pointi M ili uwiano wa umbali wa MF kutoka kwa uhakika F hadi umbali wa Mbunge kutoka kwa mstari wa kudumu d usiopita. hatua F ni sawa na thamani ya mara kwa mara e: ambapo F - lengo la sehemu ya conic, mstari wa moja kwa moja d ni directrix, na uwiano e ni eccentricity. (Ikiwa pointi F ni ya mstari d, basi sharti hufafanua seti ya pointi ambazo ni jozi ya mistari, yaani, sehemu ya koni iliyoharibika; kwa e = 1, jozi hii ya mistari huunganishwa katika mstari mmoja. Ili kuthibitisha hilo, fikiria. koni inayoundwa na mstari unaozunguka l kuzunguka kukatiza kwa ncha O ya mstari ulionyooka p kutengeneza pembe b na l.< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Hebu tuandike mpira K kwenye koni, tangent kwa ndege p kwenye hatua F na tangent kwa koni kando ya mduara S. Tunaashiria mstari wa makutano ya ndege p na ndege y ya mzunguko S kwa d.

Sasa tunaunganisha hatua ya kiholela M amelala kwenye mstari A wa makutano ya ndege p na koni yenye vertex O ya koni na kwa uhakika F na kupunguza mbunge perpendicular kutoka M hadi mstari wa moja kwa moja d; Wacha pia tuonyeshe kwa E hatua ya makutano ya jenereta ya MO ya koni na duara S.

Katika kesi hii, MF = ME, kama sehemu za tanjenti mbili kwa mpira K inayotolewa kutoka kwa hatua moja M.

Zaidi ya hayo, sehemu ya ME huunda angle ya mara kwa mara b na mhimili p ya koni (yaani, huru ya uchaguzi wa uhakika M), na mbunge wa sehemu huunda angle ya mara kwa mara c; kwa hivyo, makadirio ya sehemu hizi mbili kwenye mhimili wa p ni sawa na ME cos b na MP cos c.

Lakini makadirio haya yanapatana, kwa kuwa sehemu za ME na Mbunge zina asili ya pamoja M, na miisho yao iko katika y ndege perpendicular kwa mhimili wa p.

Kwa hiyo, ME cos b = MP cos c, au, kwa kuwa ME = MF, MF cos b = MP cos c, ambayo inafuata kwamba

Pia ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa hatua M ya ndege p sio ya koni, basi. Kwa hivyo, kila sehemu ya koni ya mviringo ya kulia inaweza kuelezewa kama seti ya pointi kwenye ndege ambayo. Kwa upande mwingine, kwa kubadilisha maadili ya pembe b na c, tunaweza kutoa eccentricity thamani yoyote e > 0; Zaidi ya hayo, kutokana na mazingatio ya kufanana si vigumu kuelewa kwamba umbali wa FQ kutoka lengo hadi mwelekeo wa mwelekeo ni sawia moja kwa moja na radius r ya mpira K (au umbali d wa ndege p kutoka kwa vertex O ya koni). Inaweza kuonyeshwa kuwa, kwa hivyo, kwa kuchagua umbali d ipasavyo, tunaweza kutoa umbali wa FQ thamani yoyote. Kwa hivyo, kila seti ya alama M ambayo uwiano wa umbali kutoka M hadi hatua ya kudumu F na kwa mstari wa moja kwa moja d ina thamani ya mara kwa mara inaweza kuelezewa kama curve iliyopatikana katika sehemu ya koni ya mviringo ya kulia na ndege. . Kwa hivyo, inathibitishwa kuwa sehemu za koni (zisizo za kuharibika) pia zinaweza kufafanuliwa na mali iliyojadiliwa katika aya hii.

Mali hii ya sehemu za conic inaitwa yao mali ya mwongozo. Ni wazi kwamba ikiwa c > b, basi e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Kwa upande mwingine, ni rahisi kuona kwamba ikiwa β > b, basi ndege p inaingiliana na koni pamoja na mstari uliofungwa uliofungwa; ikiwa β = b, basi ndege p inaingiliana na koni pamoja na mstari usio na mipaka; ikiwa ndani< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Sehemu ya koni ambayo e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 inaitwa hyperbola. Ellipses pia ni pamoja na mduara, ambayo haiwezi kutajwa na mali ya mwongozo; kwa kuwa kwa mduara uwiano unakuwa 0 (kwani katika kesi hii β = 90є), inazingatiwa kawaida kuwa mduara ni sehemu ya conical na eccentricity ya 0.

6. Ellipse, hyperbola na parabola kama sehemu za conic

hyperbola sehemu ya conic duaradufu

Mtaalamu wa hesabu wa kale wa Uigiriki Menaechmus, ambaye aligundua duaradufu, hyperbola na parabola, alizifafanua kama sehemu za koni ya mviringo na ndege inayoelekea kwa moja ya jenereta. Aliita curves kusababisha sehemu ya koni papo hapo, mstatili na butu, kulingana na angle axial ya koni. Ya kwanza, kama tutakavyoona hapa chini, ni duaradufu, ya pili ni parabola, ya tatu ni tawi moja la hyperbola. Majina "ellipse", "hyperbola" na "parabola" yalianzishwa na Apollonius. Karibu kabisa (vitabu 7 kati ya 8) kazi ya Apollonius "Kwenye Sehemu za Conic" imetufikia. Katika kazi hii, Apollonius anazingatia nusu zote za koni na huingiliana na koni na ndege ambazo sio lazima zielekezwe kwa moja ya jenereta.

Nadharia. Kwa kukata koni yoyote ya moja kwa moja ya mviringo na ndege (sio kupita kupitia vertex yake), curve imedhamiriwa, ambayo inaweza tu kuwa hyperbola (Mchoro 4), parabola (Mchoro 5) au ellipse (Mchoro 6). Kwa kuongezea, ikiwa ndege inaingiliana na ndege moja tu ya koni na kando ya curve iliyofungwa, basi curve hii ni duaradufu; ikiwa ndege inaingiliana na ndege moja tu kando ya curve iliyo wazi, basi curve hii ni parabola; ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na ndege zote mbili za koni, basi hyperbola huundwa katika sehemu hiyo.

Uthibitisho wa kifahari wa nadharia hii ulipendekezwa mnamo 1822 na Dandelin, ambaye alitumia nyanja ambazo sasa zinaitwa duara za Dandelin. Hebu tuzingatie uthibitisho huu.

Hebu tuandike nyanja mbili kwenye koni, tukigusa sehemu ya ndege P kutoka pande tofauti. Hebu tuonyeshe kwa F1 na F2 pointi za mawasiliano ya ndege hii na nyanja. Hebu tuchukue hatua ya kiholela M kwenye mstari wa sehemu ya koni kwa ndege P. Tunaweka alama kwenye jenereta ya koni inayopitia M pointi P1 na P2 amelala kwenye miduara k1 na k2 ambayo nyanja hugusa koni.

Ni wazi kwamba MF1=MP1 kama sehemu za tanjenti mbili hadi duara ya kwanza zinazotoka kwa M; vile vile, MF2=MP2. Kwa hiyo, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = Р1Р2. Urefu wa sehemu ya P1P2 ni sawa kwa pointi zote M za sehemu yetu: hii ni jenereta ya koni iliyopunguzwa, iliyopunguzwa na ndege sambamba 1 na 11, ambayo miduara k1 na k2 iko. Kwa hivyo, mstari wa sehemu ya koni kwa ndege P ni duaradufu yenye foci F1 na F2. Uhalali wa nadharia hii pia inaweza kuanzishwa kwa kuzingatia nafasi ya jumla kwamba makutano ya uso wa pili na ndege ni mstari wa pili.

Fasihi

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Jiometri. Katika sehemu 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa fizikia na hisabati. ped. Katika - comrade-M.: Mwangaza, 1986.

2. Bazylev V.T. na wengine Jiometri. Kitabu cha kiada mwongozo kwa wanafunzi wa mwaka wa 1 wa fizikia. - mkeka. fak-tov ped. katika. - Comrade-M.: Mwangaza, 1974.

3. Pogorelov A.V. Jiometri. Kitabu cha kiada kwa darasa la 7-11. wastani. shule - Toleo la 4 - M.: Elimu, 1993.

4. Historia ya hisabati kutoka nyakati za kale hadi mwanzo wa karne ya 19. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Mali ya macho ya ellipse, hyperbola na parabola. // Quantum. - 1975. - Nambari 12. - Pamoja. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Kozi fupi katika jiometri ya uchambuzi. - M: Sayansi, toleo la 6, 1967. - 267 p.

Nyaraka zinazofanana

Dhana ya sehemu za conic. Sehemu za koni ni makutano ya ndege na koni. Aina za sehemu za conic. Ujenzi wa sehemu za conic. Sehemu ya koni ni mahali pa alama zinazokidhi mlingano wa mpangilio wa pili.

muhtasari, imeongezwa 10/05/2008


"Sehemu za Conic" na Apollonius. Utoaji wa mlinganyo wa curve kwa sehemu ya koni ya mstatili ya mapinduzi. Utoaji wa equation kwa parabola, kwa duaradufu na hyperbola. Tofauti ya sehemu za conic. Maendeleo zaidi ya nadharia ya sehemu za conic katika kazi za Apollonius.

muhtasari, imeongezwa 02/04/2010


Dhana na historia ya historia ya koni, sifa za vipengele vyake. Vipengele vya malezi ya koni na aina za sehemu za conic. Ujenzi wa nyanja ya Dandelin na vigezo vyake. Utumiaji wa mali ya sehemu za conic. Mahesabu ya maeneo ya uso wa koni.

uwasilishaji, umeongezwa 04/08/2012


Dhana ya hisabati ya curve. Mlingano wa curve ya mpangilio wa pili wa jumla. Milinganyo ya duara, duaradufu, hyperbola na parabola. Axes ya ulinganifu wa hyperbola. Utafiti wa sura ya parabola. Tatu na nne ili curves. Anesi curl, jani la Cartesian.

tasnifu, imeongezwa 10/14/2011


Mapitio na sifa za mbinu mbalimbali za kujenga sehemu za polihedra, kuamua nguvu na udhaifu wao. Njia ya sehemu za msaidizi kama njia ya ulimwengu kwa ajili ya ujenzi wa sehemu za polihedra. Mifano ya kutatua matatizo kwenye mada ya utafiti.

uwasilishaji, umeongezwa 01/19/2014


Mlingano wa curve ya mpangilio wa pili wa jumla. Kuchora milinganyo ya duaradufu, duara, hyperbola na parabola. Eccentricity ya hyperbola. Kuzingatia na mwelekeo wa moja kwa moja wa parabola. Ubadilishaji wa mlingano wa jumla hadi umbo la kisheria. Utegemezi wa aina ya curve juu ya kutofautiana.

wasilisho, limeongezwa 11/10/2014


Vipengele vya jiometri ya pembetatu: uunganisho wa isogonal na isotomic, pointi za ajabu na mistari. Conics zinazohusiana na pembetatu: mali ya sehemu za conic; conics iliyozunguka juu ya pembetatu na kuandikwa ndani yake; maombi ya kutatua matatizo.

kazi ya kozi, imeongezwa 06/17/2012


Ellipse, hyperbola, parabola kama mikondo ya mpangilio wa pili inayotumika katika hisabati ya juu. Dhana ya curve ya pili ni mstari kwenye ndege, ambayo katika mfumo fulani wa kuratibu wa Cartesian imedhamiriwa na equation. Nadharia ya Pascample na nadharia ya Brianchon.

muhtasari, imeongezwa 01/26/2011


Juu ya asili ya shida ya kuzidisha mchemraba (moja ya shida tano maarufu za zamani). Jaribio la kwanza linalojulikana la kutatua tatizo, ufumbuzi wa Archytas wa Tarentum. Kutatua tatizo katika Ugiriki ya Kale baada ya Archytas. Suluhisho kwa kutumia sehemu za koni za Menaechmus na Eratosthenes.

muhtasari, imeongezwa 04/13/2014


Aina kuu za sehemu za koni. Sehemu inayoundwa na ndege inayopita kwenye mhimili wa koni (axial) na kupitia kilele chake (pembetatu). Uundaji wa sehemu kwa ndege sambamba (parabola), perpendicular (mduara) na si perpendicular (ellipse) kwa mhimili.

V silinda = S kuu. ∙h

Mfano 2. Imepewa koni ya duara ya kulia ABC, usawa, BO = 10. Pata kiasi cha koni.

Suluhisho

Wacha tupate radius ya msingi wa koni. C=60 0, B=30 0,

Acha OS = A, kisha BC = 2 A. Kulingana na nadharia ya Pythagorean:

Jibu: .

Mfano 3. Kuhesabu idadi ya takwimu zinazoundwa na maeneo yanayozunguka yaliyofungwa na mistari iliyoonyeshwa.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Vikomo vya ujumuishaji a = 0, b = 4.

V= | =32π

Kazi

Chaguo 1

1. Sehemu ya axial ya silinda ni mraba, diagonal ambayo ni 4 dm. Pata kiasi cha silinda.

2. Kipenyo cha nje cha mpira wa mashimo ni 18 cm, unene wa kuta ni cm 3. Pata kiasi cha kuta za mpira.

X kielelezo kilichofungwa na mistari y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

Chaguo la 2

1. Radi ya mipira mitatu ni 6 cm, 8 cm, cm 10. Tambua radius ya mpira ambayo kiasi chake ni sawa na jumla ya kiasi cha mipira hii.

2. Eneo la msingi la koni ni 9 cm 2, eneo lake la jumla ni 24 cm 2. Pata kiasi cha koni.

3. Kokotoa kiasi cha mwili unaoundwa na mzunguko kuzunguka mhimili wa O X takwimu iliyofungwa na mistari y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Maswali ya kudhibiti:

1. Andika sifa za wingi wa miili.

2. Andika fomula ya kukokotoa kiasi cha mwili wa mapinduzi kuzunguka mhimili wa Oy.

Hebu silinda ya mviringo ya kulia itolewe, ndege ya makadirio ya usawa ni sawa na msingi wake. Wakati silinda inakatishwa na ndege kwa nafasi ya jumla (tunadhani kwamba ndege haiingiliani na misingi ya silinda), mstari wa makutano ni duaradufu, sehemu yenyewe ina sura ya duaradufu, makadirio yake ya usawa yanafanana na makadirio ya msingi wa silinda, na ya mbele pia ina sura ya duaradufu. Lakini ikiwa ndege ya secant hufanya angle ya 45 ° na mhimili wa silinda, basi sehemu, ambayo ina sura ya duaradufu, inakadiriwa na mduara kwenye ndege ya makadirio ambayo sehemu hiyo inaelekea kwa pembe sawa.

Ikiwa ndege ya kukata inaingilia uso wa upande wa silinda na moja ya besi zake (Mchoro 8.6), basi mstari wa makutano una sura ya duaradufu isiyokamilika (sehemu ya ellipse). Makadirio ya usawa ya sehemu katika kesi hii ni sehemu ya mduara (makadirio ya msingi), na makadirio ya mbele ni sehemu ya duaradufu. Ndege inaweza kuwekwa sawa na ndege yoyote ya makadirio, kisha sehemu itakadiriwa kwenye ndege hii ya makadirio kama mstari wa moja kwa moja (sehemu ya ufuatiliaji wa ndege ya secant).

Ikiwa silinda imeingiliwa na ndege inayofanana na jenereta, basi mistari ya makutano na uso wa upande ni sawa, na sehemu yenyewe ina sura ya mstatili ikiwa silinda ni sawa, au parallelogram ikiwa silinda inaelekea.

Kama inavyojulikana, silinda na koni huundwa na nyuso zilizotawaliwa.

Mstari wa makutano (mstari wa kukata) wa uso uliotawaliwa na ndege katika kesi ya jumla ni curve fulani, ambayo hujengwa kutoka kwa pointi za makutano ya jenereta na ndege ya kukata.

Hebu itolewe koni ya mviringo ya moja kwa moja. Inapovuka na ndege, mstari wa makutano unaweza kuwa na sura ya: pembetatu, ellipse, mduara, parabola, hyperbola (Mchoro 8.7) kulingana na eneo la ndege.

Pembetatu hupatikana wakati ndege ya kukata, inayoingilia koni, inapita kupitia vertex yake. Katika kesi hii, mistari ya makutano na uso wa upande ni mistari ya moja kwa moja inayoingilia kwenye kilele cha koni, ambayo, pamoja na mstari wa makutano ya msingi, huunda pembetatu iliyopangwa kwenye ndege za makadirio na kuvuruga. Ikiwa ndege inaingiliana na mhimili wa koni, basi sehemu hiyo hutoa pembetatu ambayo pembe na vertex inayofanana na vertex ya koni itakuwa ya juu kwa sehemu za pembetatu za koni iliyotolewa. Katika kesi hii, sehemu hiyo inakadiriwa kwenye ndege ya makadirio ya usawa (ni sambamba na msingi wake) na sehemu ya mstari wa moja kwa moja.

Makutano ya ndege na koni itakuwa duaradufu ikiwa ndege hailingani na jenereta zozote za koni. Hii ni sawa na ukweli kwamba ndege huingilia jenereta zote (uso mzima wa pembeni wa koni). Ikiwa ndege ya secant iko sambamba na msingi wa koni, basi mstari wa makutano ni mduara, sehemu yenyewe inakadiriwa kwenye ndege ya makadirio ya usawa bila kupotosha, na kwenye ndege ya mbele kama sehemu ya mstari wa moja kwa moja.

Mstari wa makutano utakuwa parabola wakati ndege ya kukata ni sawa na jenereta moja tu ya koni. Ikiwa ndege ya kukata ni sawa na jenereta mbili kwa wakati mmoja, basi mstari wa makutano ni hyperbola.

Koni iliyopunguzwa hupatikana ikiwa koni ya moja kwa moja ya mviringo imeunganishwa na ndege inayofanana na msingi na perpendicular kwa mhimili wa koni, na sehemu ya juu inatupwa. Katika kesi wakati ndege ya usawa ya makadirio inafanana na misingi ya koni iliyopunguzwa, besi hizi zinaonyeshwa kwenye ndege ya usawa ya makadirio bila kuvuruga na miduara ya kuzingatia, na makadirio ya mbele ni trapezoid. Wakati koni iliyokatwa inakatizwa na ndege, kulingana na eneo lake, mstari uliokatwa unaweza kuwa na sura ya trapezoid, duaradufu, duara, parabola, hyperbola, au sehemu ya moja ya curves hizi, ambazo mwisho wake umeunganishwa na mstari wa moja kwa moja.

Taasisi ya elimu ya manispaa

Shule ya Sekondari ya Alekseevskaya

"Kituo cha Elimu"

Maendeleo ya somo

Mada: KONI YA MVIRINGO MOJA KWA MOJA.

SEHEMU YA KONI KWA NDEGE

Mwalimu wa hisabati

mwaka wa masomo

Mada: KONI YA MVIRINGO MOJA KWA MOJA.

SEHEMU YA KONI KWA NDEGE.

Kusudi la somo: kuchambua ufafanuzi wa koni na dhana ndogo (vertex, msingi, jenereta, urefu, mhimili);

fikiria sehemu za koni inayopita kwenye vertex, pamoja na zile za axial;

kuchangia maendeleo ya mawazo ya anga ya wanafunzi.

Malengo ya somo:

Kielimu: soma dhana za msingi za mwili wa mapinduzi (koni).

Maendeleo: kuendelea kuendeleza ujuzi wa uchambuzi na kulinganisha; ujuzi wa kuonyesha jambo kuu na kuunda hitimisho.

Kielimu: kukuza hamu ya wanafunzi katika kujifunza, kukuza ustadi wa mawasiliano.

Aina ya somo: hotuba.

Mbinu za kufundisha: uzazi, tatizo, utafutaji wa sehemu.

Vifaa: meza, mifano ya miili ya mapinduzi, vifaa vya multimedia.

Wakati wa madarasa

I. Wakati wa kuandaa.

Katika masomo ya awali, tayari tumefahamiana na miili ya mapinduzi na kukaa kwa undani zaidi juu ya dhana ya silinda. Kwenye meza unaona michoro mbili na kufanya kazi kwa jozi, tengeneza maswali sahihi juu ya mada iliyofunikwa.

P. Kukagua kazi ya nyumbani.

Fanya kazi kwa jozi kwa kutumia meza ya mada (prism iliyoandikwa kwenye silinda na prism iliyoelezwa karibu na silinda).

Kwa mfano, katika jozi na mmoja mmoja, wanafunzi wanaweza kuuliza maswali:

Je, silinda ya mviringo (jenereta ya silinda, msingi wa silinda, uso wa upande wa silinda) ni nini?

Ni aina gani ya prism inasemekana kuzungushwa karibu na silinda?

Ni ndege gani inayoitwa tangent kwa silinda?

Ni maumbo gani yanaweza kuitwa poligoni? ABC, A1 B1 C1 , ABCDENaA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Ni aina gani ya prism ni prism? ABCDEABCDE? (Moja kwa mojayangu.)

- Thibitisha kuwa ni prism iliyonyooka.

(hiari, jozi 2 za wanafunzi hufanya kazi kwenye ubao)

III. Kusasisha maarifa ya kimsingi.

Kulingana na nyenzo za planimetry:

Nadharia ya Thales;

Sifa za mstari wa kati wa pembetatu;

Eneo la mduara.

Kulingana na nyenzo za stereometry:

Dhana mapenzi;

Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege.

IV.Kujifunza nyenzo mpya.

(seti ya kielimu na ya kimbinu "Hisabati Hai" », Kiambatisho cha 1.)

Baada ya nyenzo iliyowasilishwa, mpango wa kazi unapendekezwa:

1. Ufafanuzi wa koni.

2. Ufafanuzi wa koni sahihi.

3. Vipengele vya koni.

4. Maendeleo ya koni.

5. Kupata koni kama chombo cha mapinduzi.

6. Aina za sehemu za koni.

Wanafunzi hupata majibu ya maswali haya peke yao.watoto katika aya ya 184-185, wakiongozana nao na michoro.

Pause ya Valeological: Umechoka? Wacha tupumzike kabla ya hatua inayofuata ya kazi!

· Massage ya kanda za reflex kwenye auricle, inayohusika na utendaji wa viungo vya ndani;

· Massage ya kanda za reflex kwenye mikono ya mikono;

· Gymnastics kwa macho (funga macho yako na kufungua macho yako kwa kasi);

· Kunyoosha mgongo (inua mikono yako juu, jivute kwa mkono wako wa kulia na kisha mkono wako wa kushoto)

· Mazoezi ya kupumua yanayolenga kuujaza ubongo na oksijeni (pumua kwa kasi kupitia pua yako mara 5)

Jedwali la mada imeundwa (pamoja na mwalimu), ikiambatana na kujaza meza na maswali na nyenzo zilizopokelewa kutoka kwa vyanzo anuwai (mawasilisho ya kiada na kompyuta)

"Koni. Frustum".

V.Kurekebisha nyenzo.

Kazi ya mbele.

· Kwa mdomo (kwa kutumia mchoro uliokamilika) Nambari 9 na Nambari 10 zinatatuliwa.

(wanafunzi wawili wanaeleza suluhu la matatizo, wengine wanaweza kuandika maelezo mafupi kwenye madaftari yao)

Nambari 9. Radi ya msingi wa koni ni 3 m, urefu wa koni ni 4 m. tafuta jenereta.

(Suluhisho:l=√ R2 + H2 =√32+42=√25=m.)

Nambari 10 Jenereta ya koni l inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe ya 30◦. Tafuta urefu.

(Suluhisho:H = l dhambi 30◦ = l|2.)

· Tatua tatizo kulingana na kuchora kumaliza.

Urefu wa koni ni h. Kupitia jenereta MA Na M.B. ndege inachorwa ambayo hufanya pembe A na ndege ya msingi wa koni. Chord AB hupunguza safu kwa kipimo cha digrii R.

1. Thibitisha kuwa sehemu ya koni na ndege MAV- pembetatu ya isosceles.

2. Eleza jinsi ya kujenga pembe ya mstari wa pembe ya dihedral inayoundwa na ndege ya kukata na ndege ya msingi ya koni.

3. Tafuta MS.

4. Tengeneza (na ueleze) mpango wa kuhesabu urefu wa chord. AB na eneo la msalaba MAV.

5. Onyesha kwenye takwimu jinsi unaweza kuteka perpendicular kutoka kwa uhakika KUHUSU kwa ndege ya sehemu MAV(kuhalalisha ujenzi).

· Kurudia:

nyenzo zilizosomwa kutoka kwa planimetry:

Ufafanuzi wa pembetatu ya isosceles;

Mali ya pembetatu ya isosceles;

Eneo la pembetatu

nyenzo zilizosomwa kutoka kwa sterometri:

Kuamua angle kati ya ndege;

Njia ya kuunda pembe ya dihedral ya mstari.

Kujijaribu

1. Chora miili ya mapinduzi iliyoundwa na mzunguko wa takwimu za ndege zilizoonyeshwa kwenye takwimu.

2. Onyesha mzunguko wa kielelezo bapa kilichosababisha mwili wa mapinduzi. (b)

NUKUU YA MAANDIKO YA SOMO:

Tunaendelea kusoma sehemu ya sterometry "Miili ya Mzunguko".

Miili ya mzunguko ni pamoja na: mitungi, mbegu, mipira.

Hebu tukumbuke ufafanuzi.

Urefu ni umbali kutoka juu ya takwimu au mwili hadi msingi wa takwimu (mwili). Vinginevyo, sehemu inayounganisha juu na msingi wa takwimu na perpendicular yake.

Kumbuka, ili kupata eneo la duara unahitaji kuzidisha pi kwa mraba wa radius.

Eneo la mduara ni sawa.

Hebu tukumbuke jinsi ya kupata eneo la mduara kujua kipenyo? Kwa sababu

Wacha tuibadilishe katika fomula:

Koni pia ni mwili wa mzunguko.

Koni (kwa usahihi zaidi, koni ya mviringo) ni mwili ambao una mduara - msingi wa koni, hatua ambayo haijalala kwenye ndege ya mduara huu - sehemu ya juu ya koni na sehemu zote zinazounganisha sehemu ya juu. koni yenye pointi za msingi.

Wacha tufahamiane na formula ya kupata kiasi cha koni.

Nadharia. Kiasi cha koni ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi na urefu.

Hebu tuthibitishe nadharia hii.

Imepewa: koni, S - eneo la msingi wake,

h - urefu wa koni

Thibitisha: V=

Uthibitisho: Zingatia koni yenye ujazo wa V, kipenyo cha msingi R, urefu h na kilele katika sehemu O.

Wacha tuanzishe mhimili wa Ox kupitia OM - mhimili wa koni. Sehemu ya kiholela ya koni kwa ndege iliyo sawa na mhimili wa Ox ni duara na kituo kwenye hatua.

M1 - mahali pa makutano ya ndege hii na mhimili wa Ox. Hebu tuonyeshe radius ya mduara huu kwa R1, na eneo la msalaba kwa S (x), ambapo x ni abscissa ya uhakika M1.

Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu za kulia ОМ1A1 na ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА - mistari ya moja kwa moja, ے MOA-jumla, ambayo ina maana kwamba pembetatu ni sawa katika pembe mbili) inafuata kwamba

Takwimu inaonyesha kuwa OM1=x, OM=h

au kutoka wapi, kwa mali ya uwiano, tunapata R1 = .

Kwa kuwa sehemu ya mtambuka ni duara, kisha S(x)=πR12, badilisha usemi uliotangulia badala ya R1, eneo la sehemu ya msalaba ni sawa na uwiano wa bidhaa ya mraba wa pier kwa mraba wa x hadi mraba. ya urefu:

Wacha tutumie formula ya msingi

kuhesabu idadi ya miili, na a=0, b=h, tunapata usemi (1)

Kwa kuwa msingi wa koni ni duara, eneo S la msingi wa koni litakuwa sawa na mraba wa pier.

katika fomula ya kuhesabu kiasi cha mwili, tunabadilisha thamani ya mraba wa pier na eneo la msingi na kupata kwamba kiasi cha koni ni sawa na theluthi moja ya bidhaa za eneo hilo. msingi na urefu

Nadharia imethibitishwa.

Mfuatano wa nadharia (formula ya kiasi cha koni iliyokatwa)

Kiasi cha V ya koni iliyokatwa, urefu wake ni h, na eneo la besi S na S1, huhesabiwa na formula.

Ve ni sawa na shoka moja ya tatu iliyozidishwa na jumla ya maeneo ya besi na mizizi ya mraba ya bidhaa ya maeneo ya msingi.

Kutatua tatizo

Pembetatu ya kulia yenye miguu 3 cm na 4 cm huzunguka hypotenuse. Kuamua kiasi cha mwili unaosababisha.

Tunapozunguka pembetatu karibu na hypotenuse, tunapata koni. Wakati wa kutatua tatizo hili, ni muhimu kuelewa kwamba kesi mbili zinawezekana. Katika kila moja yao tunatumia formula kupata kiasi cha koni: kiasi cha koni ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya msingi na urefu.

Katika kesi ya kwanza, mchoro utaonekana kama hii: ukipewa koni. Acha kipenyo r = 4, urefu h = 3

Eneo la msingi ni sawa na mara π mraba wa radius

Kisha kiasi cha koni ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya π kwa mraba wa radius na urefu.

Wacha tubadilishe thamani katika fomula, zinageuka kuwa kiasi cha koni ni 16π.

Katika kesi ya pili, kama hii: kupewa koni. Acha kipenyo r = 3, urefu h = 4

Kiasi cha koni ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi na urefu:

Eneo la msingi ni sawa na mara π mraba wa radius:

Kisha kiasi cha koni ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya π kwa mraba wa radius na urefu:

Kubadilisha thamani katika formula, zinageuka kuwa kiasi cha koni ni 12π.

Jibu: Kiasi cha koni V ni 16 π au 12 π

Tatizo 2. Kutokana na koni ya mviringo ya kulia na radius ya 6 cm, angle BCO = 45.

Pata kiasi cha koni.

Suluhisho: Mchoro uliofanywa tayari hutolewa kwa tatizo hili.

Wacha tuandike fomula ya kupata kiasi cha koni:

Wacha tuieleze kupitia eneo la msingi R:

Tunapata h = BO kwa ujenzi - mstatili, kwa sababu angle BOC = 90 (jumla ya pembe za pembetatu), pembe kwenye msingi ni sawa, ambayo ina maana ya pembetatu ΔBOC ni isosceles na BO = OC = 6 cm.