Maandalizi ya mtihani katika hisabati (kiwango cha wasifu): kazi, ufumbuzi na maelezo. TUMIA katika Hisabati (msingi)

TUMIA katika kiwango cha wasifu wa hisabati

Kazi hiyo ina kazi 19.
Sehemu 1:
Kazi 8 na jibu fupi la kiwango cha msingi cha utata.
Sehemu ya 2:
Kazi 4 zenye jibu fupi
Kazi 7 na jibu la kina la kiwango cha juu cha utata.

Wakati wa kukimbia - masaa 3 dakika 55.

Mifano ya kazi za USE

Kutatua kazi za USE katika hisabati.

Kwa suluhisho la kujitegemea:

1 kilowatt-saa ya umeme gharama 1 ruble 80 kopecks.
Mita ya umeme mnamo Novemba 1 ilionyesha saa za kilowati 12625, na mnamo Desemba 1 ilionyesha saa 12802 za kilowatt.
Je, unahitaji kulipa kiasi gani cha umeme mwezi Novemba?
Toa jibu lako kwa rubles.

Tatizo na suluhisho:

Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu ABCS na msingi wa ABC, kingo zinajulikana: AB \u003d mizizi 5 kati ya 3, SC \u003d 13.

Suluhisho:

4. Kwa kuwa piramidi ni ya kawaida, hatua H ni hatua ya makutano ya urefu / wastani / vipande viwili vya pembetatu ABC, ambayo ina maana inagawanya AD kwa uwiano wa 2: 1 (AH = 2 AD).

5. Tafuta SH kutoka pembetatu ya kulia ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, kwa nadharia ya Pythagorean SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Angle EDP = arctg(6/5)

Jibu: actg(6/5)

Unajua nini?

Uchunguzi wa kimaabara umeonyesha kuwa nyuki wanaweza kuchagua njia bora zaidi. Baada ya kuweka ndani maua yaliyowekwa katika maeneo tofauti, nyuki hufanya ndege na kurudi kwa njia ambayo njia ya mwisho ni fupi zaidi. Kwa hivyo, wadudu hawa hukabiliana kwa ufanisi na "tatizo la muuzaji wa kusafiri" kutoka kwa sayansi ya kompyuta, ambayo kompyuta za kisasa, kulingana na idadi ya pointi, zinaweza kutumia zaidi ya siku moja kutatua.

Ukizidisha umri wako kwa 7, kisha zidisha na 1443, matokeo yake ni umri wako kuandikwa mara tatu mfululizo.

Tunazingatia nambari hasi kuwa kitu cha asili, lakini hii haikuwa hivyo kila wakati. Kwa mara ya kwanza nambari hasi zilihalalishwa nchini China katika karne ya III, lakini zilitumiwa tu kwa kesi za kipekee, kwani zilizingatiwa, kwa ujumla, hazina maana. Baadaye kidogo, nambari hasi zilianza kutumika nchini India kuashiria deni, lakini hazikua na mizizi kuelekea magharibi - Diophantus maarufu wa Alexandria alisema kuwa equation 4x + 20 = 0 ni upuuzi.

Mwanahisabati wa Marekani George Dantzig, akiwa mwanafunzi aliyehitimu katika chuo kikuu, siku moja alichelewa darasani na akachukua milinganyo iliyoandikwa ubaoni kwa ajili ya kazi ya nyumbani. Ilionekana kwake kuwa ngumu kuliko kawaida, lakini baada ya siku chache aliweza kuikamilisha. Ilibadilika kuwa alitatua shida mbili "zisizoweza kusuluhishwa" katika takwimu ambazo wanasayansi wengi walipambana nazo.

Katika fasihi ya hesabu ya Kirusi, sifuri sio nambari ya asili, lakini katika fasihi ya Magharibi, kinyume chake, ni ya seti ya nambari za asili.

Mfumo wa nambari ya nambari tunayotumia uliibuka kwa sababu ya ukweli kwamba mtu ana vidole 10 kwenye mikono yake. Uwezo wa kuhesabu abstract haukuonekana kwa watu mara moja, na ikawa rahisi zaidi kutumia vidole kwa kuhesabu. Ustaarabu wa Mayan, na kwa kujitegemea, Chukchi kihistoria ilitumia mfumo wa nambari ya decimal, kwa kutumia sio vidole tu, bali pia vidole. Msingi wa mifumo ya duodecimal na sexagesimal ya kawaida katika Sumer ya kale na Babeli pia ilikuwa matumizi ya mikono: phalanges ya vidole vingine vya mitende, idadi ambayo ni 12, ilihesabiwa kwa kidole.

Mwanamke mmoja anayefahamika alimwomba Einstein ampigie simu, lakini akaonya kwamba nambari yake ya simu ni ngumu sana kukumbuka: - 24-361. Unakumbuka? Rudia! Einstein aliyeshangaa alijibu: - Bila shaka, nakumbuka! Dazeni mbili na 19 za mraba.

Idadi ya juu inayoweza kuandikwa kwa nambari za Kirumi bila kukiuka sheria za Schwartzman (sheria za kuandika nambari za Kirumi) ni 3999 (MMMCMXCIX) - huwezi kuandika zaidi ya tarakimu tatu mfululizo.

Kuna mifano mingi juu ya jinsi mtu mmoja anavyotoa mwingine kumlipa kwa huduma fulani kama ifuatavyo: ataweka nafaka moja ya mchele kwenye seli ya kwanza ya chessboard, mbili kwa pili, na kadhalika: kila seli inayofuata ni mara mbili zaidi. kama ile iliyotangulia. Matokeo yake, anayelipa kwa njia hii ni lazima aharibike. Hii haishangazi: inakadiriwa kuwa jumla ya uzito wa mchele itakuwa zaidi ya tani bilioni 460.

TUMIA 2019 katika kazi ya hisabati 14 na suluhisho

Toleo la onyesho la Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2019 katika hisabati

Mtihani wa Jimbo la Umoja katika Hisabati 2019 katika muundo wa pdf Kiwango cha msingi | Kiwango cha wasifu

Kazi za kuandaa mitihani katika hisabati: msingi na kiwango cha wasifu na majibu na suluhisho.

TUMIA 2019 katika kazi ya hisabati 14

TUMIA 2019 katika kiwango cha wasifu wa hesabu kazi ya 14 na suluhisho

Amua:

Ukingo wa mchemraba ni mzizi wa 6.
Pata umbali kati ya diagonal ya mchemraba na diagonal ya yoyote ya nyuso zake.

TUMIA 2019 katika kazi ya hisabati 14

Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu ABCS na msingi wa ABC, kingo zinajulikana: AB \u003d mizizi 5 kati ya 3, SC \u003d 13.
Pata pembe inayoundwa na ndege ya msingi na mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya kingo za AS na BC.

Suluhisho:

1. Kwa kuwa SABC ni piramidi ya kawaida, basi ABC ni pembetatu ya equilateral, na nyuso zilizobaki ni pembetatu sawa za isosceles.
Hiyo ni, pande zote za msingi ni 5 sqrt(3), na kingo zote za upande ni 13.

2. Acha D iwe katikati ya BC, E katikati ya AS, SH urefu kutoka hatua S hadi msingi wa piramidi, EP urefu kutoka hatua E hadi msingi wa piramidi.

3. Pata AD kutoka kwa CAD ya pembetatu ya kulia kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Unapata 15/2 = 7.5.

4. Kwa kuwa piramidi ni ya kawaida, hatua H ni hatua ya makutano ya urefu / wastani / vipande viwili vya pembetatu ABC, ambayo ina maana inagawanya AD kwa uwiano wa 2: 1 (AH = 2 AD).

5. Tafuta SH kutoka pembetatu ya kulia ASH. AH=AD 2/3 = 5, AS = 13, kwa nadharia ya Pythagorean SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Pembetatu AEP na ASH zote zina pembe ya kulia na zina pembe A ya kawaida, kwa hivyo zinafanana. Kwa kudhaniwa, AE = AS/2, kwa hivyo zote AP = AH/2 na EP = SH/2.

7. Inabakia kuzingatia pembetatu sahihi EDP (tunavutiwa tu na EDP ya pembe).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Angle tangent EDP = EP/DP = 6/5,
Angle EDP = arctg(6/5)

Katika kazi ya 14 ya USE katika hisabati, wahitimu wanaofanya mtihani wanahitaji kutatua tatizo la sterometry. Ndiyo maana kila mwanafunzi lazima ajifunze jinsi ya kutatua matatizo hayo ikiwa anataka kupata alama chanya kwenye mtihani. Nakala hii inatoa uchambuzi wa aina mbili za kazi 14 kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati mnamo 2016 (kiwango cha wasifu) kutoka kwa mwalimu wa hesabu huko Moscow.

Uchambuzi wa video wa kazi hii unapatikana:

Mchoro wa kazi hiyo utaonekana kama hii:

a) Kwa sababu mstari MN sambamba na mstari wa moja kwa moja DA, ambayo ni ya ndege DAS, kisha mstari wa moja kwa moja MN sambamba na ndege DAS. Kwa hiyo, mstari wa makutano ya ndege DAS na sehemu KMN itakuwa sambamba na mstari MN. wacha iwe mstari KL. Kisha KMNL- sehemu inayotaka.

Hebu tuthibitishe kwamba sehemu ya ndege ni sambamba na ndege SBC. Moja kwa moja BC sambamba na mstari wa moja kwa moja MN, tangu quadrilateral MNCB ni mstatili (thibitisha mwenyewe). Sasa hebu tuthibitishe kufanana kwa pembetatu AKM Na ASB. AC ni ulalo wa mraba. Kulingana na nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ADC tunapata:

AH ni nusu ya ulalo wa mraba, kwa hivyo. Kisha kutoka kwa nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ya kulia tunapata:

Kisha mahusiano yafuatayo hufanyika:

Inatokea kwamba pande zinazounda pembe A katika pembetatu AKM Na ASB, ni sawia. Kwa hiyo, pembetatu ni sawa. Hii ina maana ya usawa wa pembe, hasa, usawa wa pembe AMK Na ABS. Kwa kuwa pembe hizi zinalingana na mistari ya moja kwa moja KM, SB na secant MB, Hiyo KM sambamba SB.

Kwa hivyo, tulipata mistari miwili inayoingiliana ya ndege moja ( KM Na NM) kwa mtiririko huo ni sambamba na mistari miwili inayokatiza ya ndege nyingine ( SB Na BC) Kwa hivyo, ndege MNK Na SBC ziko sambamba.

b) Kwa kuwa ndege ni sambamba, umbali kutoka kwa uhakika K hadi kwenye ndege SBC sawa na umbali kutoka kwa uhakika S hadi kwenye ndege KMN. Tunatafuta umbali huu. Kutoka kwa uhakika S kupunguza perpendicular SP kwa mstari ulionyooka DA. Ndege SPH hupitia sehemu ya ndege katika mstari wa moja kwa moja AU. Umbali unaohitajika ni urefu wa perpendicular kutoka kwa uhakika S kwa mstari ulionyooka AU.

Kweli, KL perpendicular kwa ndege OSR, kwa kuwa ni sawa na mistari miwili inayokatiza iliyo kwenye ndege hii ( AU Na Mfumo wa Uendeshaji) Perpendicularity AU Na KL inafuata kutoka kwa nadharia tatu za perpendiculars. Kwa hivyo, KL perpendicular kwa urefu wa pembetatu ORS uliofanyika kwa upande AU. Hiyo ni, urefu huu ni perpendicular kwa mistari miwili ya intersecting amelazwa katika ndege KMN, ambayo ina maana ni perpendicular kwa ndege hii.

Kutafuta pande za pembetatu SOR. upande SR tunatafuta nadharia ya Pythagorean kutoka kwa pembetatu ya kulia RSH:. Urefu SP tunapata kwa nadharia ya Pythagorean kutoka kwa pembetatu ya kulia PSH:. pembetatu S.O.K. Na SPA zinafanana (ithibitishe mwenyewe) na mgawo wa kufanana . Kisha na. Kutoka kwa pembetatu ya kulia SPH tafuta . Kutoka kwa sheria ya cosine kwa pembetatu POR tunapata hiyo. Kwa hiyo, tulipata pande zote za pembetatu SOR.

Kutoka kwa sheria ya cosine kwa pembetatu SOR tafuta , kisha kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometric tunapata . Kisha eneo la pembetatu OSR ni sawa na:

Kwa upande mwingine, eneo hili ni , Wapi h- urefu uliotaka. Tunapata wapi.

Ndege za besi za prism zinafanana, kwa hiyo sehemu hiyo itaingiliana na ndege hizi kwa mistari ya moja kwa moja. LS Na DK ambayo pia ni sambamba. Hebu B 1 M ni urefu wa pembetatu A 1 B 1 C 1, na KUWA ni urefu wa pembetatu ABC. Kisha mchoro utaonekana kama hii:

Kutoka kwa pembetatu ya kulia B 1 MA 1 tunapata kwa nadharia ya Pythagorean . Kutoka kwa pembetatu ya kulia B 1 QS kupatikana kwa nadharia ya Pythagorean. Kisha. Pia (nusu urefu KUWA pembetatu ya kulia ABC) pembetatu MQT Na PTB zinafanana katika pembe mbili (pembe PTB Na MTQ sawa na wima, pembe TPB Na MQT ni sawa na kulala kwenye mistari sambamba MQ, PB na secant PQ) Mgawo wao wa kufanana ni .

Inatoka kwa pembetatu ya kulia MBE pata . Kwa kutumia kufanana kuthibitishwa, tunapata . Vivyo hivyo,. Kwa hivyo, .

Inaaminika kuwa kazi ya stereometry katika Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Profaili katika hisabati ni kwa wanafunzi bora tu. Kwamba suluhisho lake linahitaji talanta maalum na "mawazo ya anga" ya kushangaza, ambayo ni nadra tu watu wenye bahati wanayo tangu kuzaliwa.

Je, ni hivyo?

Kwa bahati nzuri, kila kitu ni rahisi zaidi. Kinachojulikana kama "mawazo ya anga" mara nyingi inamaanisha ujuzi wa misingi ya stereometry na uwezo wa kujenga michoro.

Kwanza, ujuzi wa kanuni za stereometry ni muhimu. Katika jedwali letu " Polyhedrons"Na" Miili ya mapinduzi"Mbinu zote zimetolewa ambayo kiasi na maeneo ya uso wa miili ya pande tatu huhesabiwa.

Pili, suluhisho la ujasiri la shida za jiometri zilizowasilishwa katika Sehemu ya 1 (matatizo 12 ya kwanza ya USE). Haya ni matatizo ya planimetric na sterometric.

Na muhimu zaidi, ili kutatua Tatizo la 14, utahitaji axioms ya msingi na theorems ya stereometry. Ni bora ikiwa unununua kitabu cha jiometri kwa darasa la 10-11 (mwandishi - A. V. Pogorelov au L. S. Atanasyan), na ujibu maswali yaliyoorodheshwa hapa chini. Andika ufafanuzi na kauli za nadharia katika daftari lako. Tengeneza michoro. Jaribu kuthibitisha nadharia mwenyewe.

Kufanya kazi juu ya kazi hii, jipange mwenyewe - ni tofauti gani kati ya ufafanuzi na ishara. Kuna, kwa mfano, ufafanuzi wa usawa wa mstari wa moja kwa moja na ndege - na ishara ya usawa wa mstari wa moja kwa moja na ndege. Kuna tofauti gani kati yao?

Ni vizuri sana ikiwa unafanya kazi mwenyewe, na kisha uangalie na majibu. Majibu yote yanaweza kupatikana kwenye tovuti yetu, katika sehemu hii.

Mpango wa Stereometry.

Ndege angani Malizia maneno haya: Ndege inaweza kuchorwa kupitia ...
(Toa majibu manne).
Mahali pa ndege angani Maliza sentensi: Ikiwa ndege mbili zina nukta moja, basi ...
Usambamba wa mstari na ndege. Ufafanuzi na ishara.
Ni nini makadirio ya oblique na oblique. Kuchora.
Pembe kati ya mstari na ndege.
Perpendicularity ya mstari na ndege. Ufafanuzi na ishara.
Kuvuka mistari iliyonyooka. Pembe kati ya mistari inayokatiza. Umbali kati ya mistari inayokatiza.
Umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja hadi kwenye ndege inayofanana nayo.
Usambamba wa ndege. Ufafanuzi na ishara.
Perpendicularity ya ndege. Ufafanuzi na ishara.
Maliza sentensi: a) Mistari ya makutano ya ndege mbili sambamba na ndege ya tatu...
b) Sehemu za mistari sambamba iliyofungwa kati ya ndege sambamba...

Hapa kuna sheria chache rahisi za kutatua shida katika stereometry:

Kuna njia mbili kuu za kutatua shida katika stereometry kwenye mtihani katika hisabati. Ya kwanza ni ya classical: matumizi ya vitendo ya ufafanuzi, nadharia na vipengele, orodha ambayo imetolewa hapo juu. Pili -

Kingo zote za piramidi ya kawaida ya pembetatu SBCD juu S ni sawa na 9.

Msingi O urefu HIVYO SS 1 , M- katikati ya mbavu SB, nukta L amelala pembeni CD Hivyo CL : LD = 7: 2.

SBCD ndege S 1 LM- isosceles trapezoid.

Suluhisho.

a) Chora wastani S 1 M pembetatu SS 1 B, ambayo huvuka mstari BB 1 , ambayo pia ni wastani wa pembetatu SS 1B na misingi BCD, kwa uhakika T. Kisha WT : TV 1 = 4: 5.

Nukta L, kwa upande wake, hugawanya sehemu B 1 D kwenye mahusiano DL : LV 1 = 4: 5 tangu LD : LC= 2: 7 na sehemu BB 1 - pembetatu ya kati BCD.

Kwa hiyo, upande wa sehemu kupita kwa pointi L Na T, sambamba na upande BD misingi BCD. Wacha mstari LT misalaba BC kwa uhakika P.

Pitia kwenye nukta M mstari wa kati katika pembetatu SBD mwache avuke upande SD kwa uhakika K. Kisha PMKL- sehemu inayohitajika, na BP = DL Na BM = KD. Kutoka kwa usawa wa pembetatu BMP Na DKL tunapata Mbunge = KL, inamaanisha PMKL- isosceles trapezoid.

b) Msingi mkubwa PL trapezoid ni 7 kwa sababu pembetatu LPC sahihi. Msingi wa pili MK sawa na 4.5 kwa sababu MK- mstari wa kati wa pembetatu ya kulia SBD. Kwa hiyo, mstari wa kati wa trapezoid ni

Vasily punda 09.03.2016 14:53

kwa nini katika sentensi ya 1 ya suluhisho BT: TB1 = 4: 5, mali hii ni nini? "kwa sababu BB1 pia ni wastani wa pembetatu SS1B." hakuna mali kama hiyo

Schg Wrbutr 21.04.2017 19:58

Unapata wapi uwiano wa 4:5 kutoka? Je, unaweza kueleza sifa hii ya wapatanishi?

Alexander Ivanov

Wastani wa pembetatu wamegawanywa na hatua ya makutano kwa uwiano wa 2: 1

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC upande wa msingi AB ni 12, na makali ya upande SA sawa na 8. Pointi M Na N- katikati ya mbavu SA Na SB kwa mtiririko huo. Ndege α ina mstari MN na perpendicular kwa ndege ya msingi wa piramidi.

a) Thibitisha kuwa ndege α inagawanya wastani CE besi katika uwiano wa 5:1, kuhesabu kutoka kwa nukta C.

b) Tafuta kiasi cha piramidi ambayo kilele chake ni uhakika C, na msingi ni sehemu ya piramidi SABC ndege α.

Suluhisho.

a) Pembetatu ya usawa iko chini ya piramidi ya kawaida ya pembetatu. Makadirio ya urefu S piramidi juu ya msingi inatoa uhakika O, ambayo iko kwenye makutano ya wapatanishi. Hivyo uhakika O hugawanya wapatanishi kwa uwiano wa 2: 1, i.e.

Fikiria Urefu SE pembetatu SAB. Nukta F 1 ni katikati yake. Kwa hivyo, makadirio yake kwenye wastani CE hugawanya sehemu OE katika nusu. Kwa upande wake, sehemu basi

Matokeo yake, tunapata uhakika huo F hugawanya wastani CE kama au kwa uwiano wa 5:1 kuanzia kwenye nukta C. Q.E.D.

b) Tafuta urefu wa piramidi inayotaka ya Kati CE pata na nadharia ya Pythagorean kutoka kwa pembetatu ya kulia KK:

Kuhesabu eneo la msingi wa piramidi (eneo la trapezoid MNZK) Sehemu ya sehemu (kwa kuwa hii ni mstari wa kati wa pembetatu ABS), urefu wa trapezoid Pata urefu HIVYO kutoka kwa pembetatu ya kulia SOC:

Eneo la trapezoid (msingi wa piramidi) ni

Kiasi cha piramidi kinapatikana kwa formula

Jibu: b)

Chanzo: Nyenzo za wataalam wa USE 2016

katika piramidi SABC msingi ni pembetatu ya kawaida ABC na Nukta ya upande O- msingi wa urefu wa piramidi inayotolewa kutoka juu S.

a) Thibitisha jambo hilo O iko nje ya pembetatu ABC.

b) Tafuta kiasi cha piramidi ya quadrangular SABCO.

Suluhisho.

a) Kwa sababu SA = SC, nukta S iko kwenye ndege iliyo sawa na sehemu AC na kupita katikati yake M. Kwa hivyo, O iko kwenye mstari ulionyooka BM. Wacha tuonyeshe urefu wa piramidi kama x, basi Kwa sababu hiyo, na Zaidi ya hayo, kwa hiyo, uhakika O iko nje ya pembetatu. Aidha, kwa sababu AO BO, yeye uongo juu ya mwema BM kwa pointi M.

b) Kutoka kwa pembetatu SMA Tafuta Sasa, kutoka kwa pembetatu SMO pata Kisha kutoka kwa pembetatu bosi tuna

Jibu:

Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD juu S upande wa msingi ni 8. Point L- katikati ya mbavu SC. Tanji ya pembe kati ya mistari BL Na SA sawa

a) Acha O- katikati ya msingi wa piramidi. Thibitisha kwamba mistari BO Na LO ni perpendicular.

b) Tafuta eneo la piramidi.

Suluhisho.

a) Tangu mstari wa kati wa pembetatu , Lakini kulingana na nadharia ya perpendiculars tatu - makadirio kwenye ndege ya msingi wa piramidi ni mstari wa moja kwa moja Kwa hivyo, na.

b) Hebu Basi, Kwa kuongeza,, kutoka wapi Kisha urefu wa uso wa piramidi na eneo la uso wa piramidi.

Jibu: 192.

Chanzo: Kazi za mtihani wa kawaida katika hisabati, iliyohaririwa na I. V. Yashchenko 2016

Kingo zote za piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD juu S ni sawa na 6. Msingi wa urefu HIVYO piramidi hii ni katikati ya sehemu SS 1 , M- katikati ya mbavu AS, nukta L amelala pembeni BC Hivyo BL : LC = 1: 2.

a) Thibitisha kuwa sehemu ya piramidi SABCD ndege S 1 LM- isosceles trapezoid.

b) Hesabu urefu wa mstari wa kati wa trapezoid hii.

Suluhisho.

Moja kwa moja S 1 M huvuka wastani AO pembetatu ABD kwa uhakika T Hivyo KATIKA : KWA= 2:1 kwa sababu T- hatua ya makutano ya katikati ya pembetatu SAS 1 na O- hatua ya makutano ya diagonals ya msingi ABCD, tangu piramidi SABCD sahihi.

Kwa hivyo, KATIKA : TC= 1: 2. Nukta L hugawanya sehemu BC kwenye mahusiano BL : LC= 1:2, kwa hivyo pembetatu ACB Na TCL sawa na mgawo wa kufanana k = AC : TC = BC : CL= 3:2 kwani zinashiriki pembe na kipeo C na vyama AC Na BC katika pembetatu ABC sawia na pande TC Na LC pembetatu TCL kuifunga pembe sawa. Hivyo upande wa sehemu kupita pointi L Na T, sambamba na upande AB misingi ya piramidi SABCD AD kwa uhakika P.

Upande wa sehemu inayopita kwenye hatua M katika ndege SAB, sambamba na mstari AB, tangu ndege S 1 LM huvuka ndege SAB na hupitia mstari PL, sambamba na ndege SAB. Acha upande huu wa sehemu uingie upande SB kwa uhakika K. Kisha sehemu PMKL ni trapezoid ya isosceles, tangu AP = BL Na AM = BK.

Msingi mkubwa zaidi LP trapezoid ni 6 kwa sababu ABCD- mraba. Msingi wa pili MK trapezoid ni 3 kwa sababu MK- mstari wa kati wa pembetatu SAB. Kwa hivyo wastani wa trapezoid ni

Jibu: b) 4.5.

Katika piramidi ya pembetatu ABCD pembe za dihedral kwenye kingo AD Na BC ni sawa. AB = BD = DC = AC = 5.

a) Thibitisha hilo AD = BC.

b) Tafuta kiasi cha piramidi ikiwa pembe za dihedral ziko AD Na BC ni sawa na 60 °.

Suluhisho.

a) pembetatu BAC- isosceles. Hebu tutumie AM ⊥ BC. M- katikati BC, Kisha DM ⊥ BC, tangu pembetatu bdc isosceles. ∠ AMD BC. Vile vile ∠ BNC= φ - angle ya mstari wa pembe ya dihedral kwenye makali AD. Δ ABC = Δ DC kwa pande tatu basi MA = MD Na

Vile vile, Δ mbaya = Δ CAD Na NB = NC, A

pembetatu ANM Na BMN sawa kwenye mguu wa kawaida MN na pembe ya papo hapo α, basi AN = BM. Lakini kwa hivyo, AD = BC.

b) Kwa hali φ = 60 °, kisha pembetatu AMD usawa. Hebu AD = AM = MD = BC = a, kisha Katika pembetatu AMB tuna wapi na

Jibu:

Chanzo: Majukumu 14 (C2) Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2016, Mtihani wa Jimbo la Umoja katika Hisabati - 2016. Wimbi la mapema, siku ya hifadhi, chaguo A. Larin (sehemu C).

Chord huchorwa katika msingi mmoja wa silinda ya duara ya kulia yenye urefu wa 12 na radius ya msingi ya 6. AB, sawa na radius ya msingi, na katika msingi wake mwingine kipenyo kinatolewa CD, perpendicular AB. Sehemu iliyojengwa ABNM kupita kwenye mstari AB perpendicular kwa mstari CD hivyo hatua hiyo C na katikati ya msingi wa silinda, ambayo kipenyo hutolewa CD, lala upande mmoja wa sehemu.

a) Thibitisha kuwa diagonal za sehemu hii ni sawa.

b) Tafuta kiasi cha piramidi CABNM.

Suluhisho.

a) Ili kujenga sehemu, tunaacha perpendiculars AM Na BN kwenye msingi wa pili wa silinda. Sehemu AM Na BN sambamba na sawa, hivyo ABNM- parallelogram. Tangu moja kwa moja AM Na BN perpendicular kwa misingi ya silinda na, hasa, kwa mstari wa moja kwa moja AB, parallelogramu ABNM ni mstatili. Ulalo wa mstatili ni sawa, ambao ulipaswa kuthibitishwa.

b) Eneo la mstatili ABNM sawa na Sehemu Oh sawa na Urefu CH piramidi CABNM sawa Kwa hiyo, kiasi cha piramidi CABNM sawa

Jibu: b)

Katika prism ya kawaida ya triangular ABCA 1 B 1 C 1 kingo zote ni sawa na 6. Kwenye kingo AA 1 na CC 1 alama M Na N kwa mtiririko huo, na AM = 2, CN = 1.

a) Thibitisha kuwa ndege MNB 1 inagawanya mche katika polihedra mbili, ujazo wake ambao ni sawa.

b) Tafuta kiasi cha tetrahedron MNBB 1 .

Suluhisho.

Eneo la msingi wa prism ni na kiasi cha prism ni

Katika piramidi ya quadrangular B 1 A 1 C 1 NM A 1 B 1 C 1 upande chini A 1 C 1 , na ni sawa na Base A 1 C 1 NM piramidi B 1 A 1 C 1 NM ni trapezoid ambayo eneo lake ni 27. Kwa hiyo, kiasi cha piramidi B 1 A 1 C 1 NM sawa na nusu ya ujazo wa prism. Kwa hiyo, kiasi cha polihedra B 1 A 1 C 1 NM Na ABCMB 1 N ni sawa.

b) Katika piramidi ya quadrangular BACNM urefu ni sawa na urefu wa msingi wa prism ABC, iliyoshushwa kando AC, na ni sawa na msingi wa piramidi BACNM ni trapezoid ambayo eneo lake ni 9. Kiasi cha piramidi BACNM sawa

Polyhedron ABCMB 1 N lina sehemu mbili: BACNM Na MNBB 1 . Hivyo kiasi cha tetrahedron MNBB 1 sawa

Jibu:

Chanzo: Tasks 14 (C2) USE 2016, USE - 2016. Wimbi la mapema. Chaguo 201. Kusini

Alexander Ivanov

Urefu katika pembetatu iliyo sawa na upande wa 6

Kuna prism ya kawaida ya triangular ABCA 1 B 1 C 1 yenye upande wa msingi 12 na urefu wa 3. Pointi K- katikati BC, nukta L amelala upande A 1 B 1 ili KATIKA 1 L= 5. Point M- katikati A 1 C 1 .

kupitia nukta K Na L ndege inachorwa kwa namna ambayo inafanana na mstari wa moja kwa moja AC.

a) Thibitisha kuwa ndege iliyo hapo juu ni ya kawaida kwa mstari MB.

b) Tafuta kiasi cha piramidi yenye vertex kwa uhakika KATIKA na ambao msingi wake ni sehemu ya prism kwa ndege.

Suluhisho.

a) Weka alama kwenye kingo na kwa mtiririko huo ili Kisha ndege ni ndege

Ni wazi, kwa kuwa makadirio kwenye ndege ni urefu wa pembetatu. Ni ya pembetatu, na kwa hivyo Kwa nadharia tatu za pembejeo.

Hebu sasa tuchunguze makadirio ya uhakika kwenye ndege Kwa kuwa makadirio kwenye ndege hii ni katikati ya makali, basi Hebu sasa tuthibitishe kwamba mstari ni perpendicular Kisha, kulingana na theorem tatu za perpendiculars, zinageuka kuwa, na. kisha na

Onyesha kwa hatua ya makutano ya sehemu na, kwa na - makadirio ya vidokezo na kwenye mstari Kisha.

Kwa hiyo, tangents ya pembe hizi ni kinyume kwa kila mmoja, hivyo jumla ya pembe hutoa 90 ° na angle = 180 ° - 90 ° = 90 °, ambayo ilikuwa imethibitishwa.

b) Ni wazi, kwani ni pembetatu ya usawa.

Jibu:

Chanzo: MATUMIZI - 2016. Wimbi kuu 06/06/2016. Kituo

Urefu wa mchemraba wa diagonal ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sawa na 3. Kwenye boriti A 1 C alama ya uhakika P Hivyo A 1 P = 4.

a) Thibitisha hilo PBDC 1 ni tetrahedron ya kawaida.

b) Tafuta urefu wa sehemu AP.

Suluhisho.

a) Wacha tuanzishe mfumo wa kuratibu kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu. Kwa kuwa makali ya mchemraba hadi mzizi ni chini ya diagonal yake, makali ya mchemraba uliopewa ni Kisha pointi. B, D, C 1 ina viwianishi mtawalia.

Kwa sababu ya P iko kwenye muendelezo A 1 C, sehemu ya mstari A 1 P inaweza kuchukuliwa kama diagonal ya mchemraba na makali Kisha uhakika P ina kuratibu

Tafuta umbali kutoka P kwa pointi D 1 , B Na C 1:

Sehemu C 1 B, D.B. Na DC 1 - diagonal za nyuso za mchemraba, kwa hivyo, kulingana na nadharia ya Pythagorean Kisha, kingo zote za tetrahedron. DC 1 P ni sawa, kwa hivyo ni sawa.

b) Viwianishi vya pointi A: Umbali kutoka kwa uhakika P kwa uhakika A sawa

Jibu:

Wacha tuchukue suluhisho lingine.

a) Ulalo wa mchemraba ni mkubwa kuliko makali yake: Kwa hivyo,

Kumbuka kwamba kama diagonals ya mraba na pande AB. Kisha pembetatu BC 1 D- sahihi.

Hebu Tangu ABCD- tunayo mraba:

Kwa kuwa wote wamelala na kama wima, tunapata: kwa pembe mbili, basi

Kumbuka kwamba pembetatu ni pembetatu ya kulia, basi wapi

Katika pembetatu OMC tuna: tangu - kweli. Kisha, kwa nadharia ya kinyume ya Pythagorean, Δ OMC− mstatili, ∠ M= 90°.