Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili ulizopewa

Hebu mstari upite kupitia pointi M 1 (x 1; y 1) na M 2 (x 2; y 2). Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja unaopita kwa uhakika M 1 una fomu y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Wapi k - bado mgawo haujulikani.

Kwa kuwa mstari wa moja kwa moja hupitia hatua ya M 2 (x 2 y 2), viwianishi vya hatua hii lazima vikidhi equation (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Kuanzia hapa tunapata Kubadilisha thamani iliyopatikana k katika equation (10.6), tunapata equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi M 1 na M 2:

Inachukuliwa kuwa katika mlingano huu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ikiwa x 1 = x 2, basi mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia pointi M 1 (x 1,y I) na M 2 (x 2, y 2) ni sawa na mhimili wa kuratibu. Equation yake ni x = x 1 .

Ikiwa y 2 = y I, basi usawa wa mstari unaweza kuandikwa kama y = y 1, mstari wa moja kwa moja M 1 M 2 ni sawa na mhimili wa abscissa.

Mlinganyo wa mstari katika sehemu

Acha mstari wa moja kwa moja ukute mhimili wa Ox kwa uhakika M 1 (a;0), na mhimili wa Oy kwenye hatua ya M 2 (0;b). Equation itachukua fomu:
hizo.
. Equation hii inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi, kwa sababu nambari a na b zinaonyesha ni sehemu gani ambazo mstari unakata kwenye shoka za kuratibu.

Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta fulani inayoendana na vekta fulani

Hebu tupate equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye hatua fulani Mo (x O; y o) perpendicular kwa vector isiyo ya sifuri iliyotolewa n = (A; B).

Hebu tuchukue hatua ya kiholela M (x; y) kwenye mstari na fikiria vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (angalia Mchoro 1). Kwa kuwa vekta n na M o M ni za pembeni, bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri: hiyo ni.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Equation (10.8) inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwa uhakika fulani perpendicular kwa vector iliyotolewa .

Vector n = (A; B), perpendicular kwa mstari, inaitwa kawaida vector ya kawaida ya mstari huu .

Equation (10.8) inaweza kuandikwa upya kama Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ambapo A na B ni viwianishi vya vekta ya kawaida, C = -Ax o - Vu o ni neno huru. Mlinganyo (10.9) ni mlinganyo wa jumla wa mstari(tazama Mchoro 2).

Mtini.1 Mtini.2

Milinganyo ya kanuni za mstari

Wapi
- kuratibu za hatua ambayo mstari hupita, na
- vector ya mwelekeo.

Mviringo wa mpangilio wa pili Mduara

Mduara ni seti ya pointi zote za usawa wa ndege kutoka kwa uhakika fulani, unaoitwa katikati.

Mlinganyo wa kisheria wa mduara wa radius R inayozingatia hatua
:

Hasa, ikiwa katikati ya dau inaambatana na asili ya kuratibu, basi equation itaonekana kama:

Ellipse

Mduara duaradufu ni seti ya pointi kwenye ndege, jumla ya umbali kutoka kwa kila moja hadi pointi mbili zilizotolewa. Na , ambayo huitwa foci, ni wingi wa mara kwa mara
, kubwa kuliko umbali kati ya foci
.

Equation ya kisheria ya duaradufu ambayo foci iko kwenye mhimili wa Ox, na asili ya kuratibu katikati kati ya foci ina fomu.
G de a urefu wa mhimili wa nusu; b - urefu wa mhimili wa nusu ndogo (Mchoro 2).

Sifa za mstari wa moja kwa moja katika jiometri ya Euclidean.

Idadi isiyo na kikomo ya mistari iliyonyooka inaweza kuchorwa kupitia sehemu yoyote.

Kupitia pointi zozote mbili zisizo sanjari mstari mmoja wa moja kwa moja unaweza kuchorwa.

Mistari miwili tofauti katika ndege ama hukatiza katika sehemu moja au iko

sambamba (ifuatayo kutoka kwa uliopita).

Katika nafasi tatu-dimensional kuna chaguzi tatu msimamo wa jamaa mistari miwili iliyonyooka:

mistari huingiliana;

mistari ni sambamba;

mistari iliyonyooka hukatiza.

Moja kwa moja mstari— curve algebraic ya utaratibu wa kwanza: mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian

inatolewa kwenye ndege na equation ya shahada ya kwanza (linear equation).

Mlinganyo wa jumla wa mstari wa moja kwa moja.

Ufafanuzi. Mstari wowote wa moja kwa moja kwenye ndege unaweza kutajwa na usawa wa utaratibu wa kwanza

Shoka + Wu + C = 0,

na mara kwa mara A, B si sawa na sifuri kwa wakati mmoja. Mlinganyo huu wa mpangilio wa kwanza unaitwa jumla

equation ya mstari wa moja kwa moja. Kulingana na maadili ya mara kwa mara A, B Na NA Kesi maalum zifuatazo zinawezekana:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- mstari wa moja kwa moja hupitia asili

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Kwa + C = 0)- mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili Oh

. B = C = 0, A ≠0- mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili Oh

. A = C = 0, B ≠0- mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili Oh

Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja unaweza kuwakilishwa ndani kwa namna mbalimbali kulingana na yoyote aliyopewa

masharti ya awali.

Equation ya mstari wa moja kwa moja kutoka kwa uhakika na vector ya kawaida.

Ufafanuzi. Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian, vekta yenye vipengele (A, B)

perpendicular kwa mstari uliotolewa na equation

Shoka + Wu + C = 0.

Mfano. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta A(1, 2) perpendicular kwa vector (3, -1).

Suluhisho. Kwa A = 3 na B = -1, hebu tutunge mlinganyo wa mstari ulionyooka: 3x - y + C = 0. Ili kupata mgawo C

Wacha tubadilishe kuratibu za nukta A kwenye usemi unaosababisha: 3 - 2 + C = 0, kwa hivyo

C = -1. Jumla: mlinganyo unaohitajika: 3x - y - 1 = 0.

Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili.

Acha pointi mbili zitolewe kwenye nafasi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Na M2 (x 2, y 2, z 2), Kisha equation ya mstari,

kupitia pointi hizi:

Ikiwa yoyote ya denomineta ni sifuri, nambari inayolingana inapaswa kuwekwa sawa na sifuri. Washa

ndege, mlinganyo wa mstari ulionyooka ulioandikwa hapo juu umerahisishwa:

Kama x 1 ≠ x 2 Na x = x 1,Kama x 1 = x 2 .

Sehemu = k kuitwa mteremko moja kwa moja.

Mfano. Pata equation ya mstari unaopita kupitia pointi A (1, 2) na B (3, 4).

Suluhisho. Kwa kutumia fomula iliyoandikwa hapo juu, tunapata:

Equation ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na mteremko.

Ikiwa equation ya jumla ya mstari Shoka + Wu + C = 0 kusababisha:

na kuteua , basi equation inayotokana inaitwa

mlinganyo wa mstari ulionyooka na mteremko k.

Equation ya mstari wa moja kwa moja kutoka kwa uhakika na vector ya mwelekeo.

Kwa kulinganisha na hatua ya kuzingatia equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia vector ya kawaida, unaweza kuingiza kazi.

mstari wa moja kwa moja kupitia hatua na vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.

Ufafanuzi. Kila vector isiyo ya sifuri (α 1, α 2), ambao vipengele vyake vinakidhi hali hiyo

Aα 1 + Bα 2 = 0 kuitwa kuelekeza vector ya mstari wa moja kwa moja.

Shoka + Wu + C = 0.

Mfano. Pata equation ya mstari wa moja kwa moja na vector ya mwelekeo (1, -1) na kupitia hatua A (1, 2).

Suluhisho. Tutatafuta equation ya mstari unaotaka katika fomu: Shoka + Kwa + C = 0. Kulingana na ufafanuzi,

coefficients lazima ikidhi masharti yafuatayo:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kisha equation ya mstari wa moja kwa moja ina fomu: Shoka + Ay + C = 0, au x + y + C / A = 0.

saa x = 1, y = 2 tunapata C/A = -3, i.e. mlinganyo unaohitajika:

x + y - 3 = 0

Equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi.

Ikiwa katika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja Ах + Ву + С = 0 С≠0, basi, kugawanya na -С, tunapata:

au wapi

Maana ya kijiometri ya coefficients ni kwamba mgawo a ni uratibu wa hatua ya makutano

moja kwa moja na mhimili Oh, A b- kuratibu hatua ya makutano ya mstari na mhimili Oh.

Mfano. Equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja hutolewa x - y + 1 = 0. Tafuta equation ya mstari huu katika sehemu.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Mlinganyo wa kawaida wa mstari.

Ikiwa pande zote mbili za equation Shoka + Wu + C = 0 kugawanya kwa idadi ambayo inaitwa

sababu ya kawaida, basi tunapata

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equation ya kawaida ya mstari.

Ishara ± ya sababu ya kawaida lazima ichaguliwe ili μ*C< 0.

r- urefu wa perpendicular imeshuka kutoka asili hadi mstari wa moja kwa moja;

A φ - angle inayoundwa na perpendicular hii na mwelekeo mzuri wa mhimili Oh.

Mfano. Equation ya jumla ya mstari imetolewa 12x - 5y - 65 = 0. Inahitajika kuandika aina mbalimbali milinganyo

mstari ulionyooka huu.

Mlinganyo wa mstari huu katika sehemu:

Equation ya mstari huu na mteremko: (gawanya kwa 5)

Mlinganyo wa mstari:

cos φ = 12/13; dhambi φ= -5/13; p = 5.

Ikumbukwe kwamba sio kila mstari ulionyooka unaweza kuwakilishwa na equation katika sehemu, kwa mfano, mistari iliyonyooka,

sambamba na shoka au kupita asili.

Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye ndege.

Ufafanuzi. Ikiwa mistari miwili imetolewa y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, Hiyo angle ya papo hapo kati ya mistari hii

itafafanuliwa kama

Mistari miwili ni sambamba ikiwa k 1 = k 2. Mistari miwili ni perpendicular

Kama k 1 = -1/ k 2 .

Nadharia.

Moja kwa moja Shoka + Wu + C = 0 Na A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sambamba wakati coefficients ni sawia

A 1 = λA, B 1 = λB. Ikiwa pia С 1 = λС, basi mistari inalingana. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari miwili

zinapatikana kama suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mistari hii.

Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye sehemu fulani ya mstari uliopeanwa.

Ufafanuzi. Mstari unaopita kwa uhakika M 1 (x 1, y 1) na perpendicular kwa mstari y = kx + b

kuwakilishwa na equation:

Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.

Nadharia. Ikiwa hatua imetolewa M(x 0, y 0), kisha umbali wa mstari wa moja kwa moja Shoka + Wu + C = 0 hufafanuliwa kama:

Ushahidi. Hebu uhakika M 1 (x 1, y 1)- msingi wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika M kwa kupewa

moja kwa moja. Kisha umbali kati ya pointi M Na M 1:

(1)

Kuratibu x 1 Na saa 1 inaweza kupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations:

Equation ya pili ya mfumo ni equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua fulani M 0 perpendicularly.

kupewa mstari ulionyooka. Ikiwa tutabadilisha equation ya kwanza ya mfumo kuwa fomu:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Shoka 0 + Kwa 0 + C = 0,

basi, kutatua, tunapata:

Kubadilisha misemo hii katika equation (1), tunapata:

Nadharia imethibitishwa.

Kifungu hiki kinaonyesha kupatikana kwa equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia pointi mbili zilizotolewa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ulio kwenye ndege. Hebu tupate equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizotolewa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili. Tutaonyesha wazi na kutatua mifano kadhaa kuhusiana na nyenzo zilizofunikwa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kabla ya kupata equation ya mstari unaopitia pointi mbili zilizotolewa, ni muhimu kuzingatia ukweli fulani. Kuna axiom ambayo inasema kwamba kwa njia ya pointi mbili tofauti kwenye ndege inawezekana kuteka mstari wa moja kwa moja na moja tu. Kwa maneno mengine, pointi mbili zilizopewa kwenye ndege zinafafanuliwa na mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi hizi.

Ikiwa ndege inafafanuliwa na mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Oxy, basi mstari wowote wa moja kwa moja unaoonyeshwa ndani yake utafanana na equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Pia kuna uhusiano na vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja Data hii inatosha kukusanya equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizotolewa.

Wacha tuangalie mfano wa kutatua shida kama hiyo. Ni muhimu kuunda equation kwa mstari unaopita kupitia pointi mbili tofauti M 1 (x 1, y 1) na M 2 (x 2, y 2), ziko katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

Katika equation ya kisheria ya mstari kwenye ndege, yenye fomu x - x 1 a x = y - y 1 a y, mfumo wa kuratibu wa mstatili O x y umeainishwa na mstari unaoingiliana nayo kwa uhakika na kuratibu M 1 (x 1, y 1) yenye vekta elekezi a → = (a x, a y) .

Ni muhimu kuunda equation ya canonical ya mstari wa moja kwa moja a, ambayo itapitia pointi mbili na kuratibu M 1 (x 1, y 1) na M 2 (x 2, y 2).

Moja kwa moja a ina vekta ya mwelekeo M 1 M 2 → na viwianishi (x 2 - x 1, y 2 - y 1), kwani inaingiliana na pointi M 1 na M 2. Tumepata data muhimu ili kubadilisha equation ya kisheria na kuratibu za vekta ya mwelekeo M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) na kuratibu za pointi M 1 ziko juu yao. (x 1, y 1) na M 2 (x 2, y 2) . Tunapata equation ya fomu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 au x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Fikiria takwimu hapa chini.

Kufuatia mahesabu, tunaandika equations ya parametric ya mstari kwenye ndege ambayo hupitia pointi mbili na kuratibu M 1 (x 1, y 1) na M 2 (x 2, y 2). Tunapata mlinganyo wa fomu x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ au x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Hebu tuchunguze kwa undani zaidi kutatua mifano kadhaa.

Mfano 1

Andika mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia pointi 2 ulizopewa na kuratibu M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Suluhisho

Mlinganyo wa kisheria wa mstari unaokatiza kwa pointi mbili na viwianishi x 1, y 1 na x 2, y 2 huchukua fomu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Kulingana na hali ya tatizo, tunayo kwamba x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Ni muhimu kubadilisha maadili ya nambari katika equation x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Kuanzia hapa tunapata kwamba mlinganyo wa kisheria unachukua fomu x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jibu: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ikiwa unahitaji kutatua tatizo na aina tofauti ya equation, basi kwanza unaweza kwenda kwenye canonical, kwa kuwa ni rahisi kutoka kwake hadi nyingine yoyote.

Mfano 2

Tunga mlinganyo wa jumla wa mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi na kuratibu M 1 (1, 1) na M 2 (4, 2) katika mfumo wa kuratibu wa O x y.

Suluhisho

Kwanza, unahitaji kuandika equation ya kisheria ya mstari uliopeanwa ambao unapita kupitia pointi mbili. Tunapata equation ya fomu x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Wacha tulete equation ya kisheria kwa fomu inayotaka, kisha tunapata:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Jibu: x - 3 y + 2 = 0 .

Mifano ya kazi kama hizo ilijadiliwa katika vitabu vya shule wakati wa masomo ya aljebra. Kazi za shule tofauti kwa kuwa usawa wa mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular ulijulikana, kuwa na fomu y = k x + b. Ikiwa unahitaji kupata thamani ya mteremko k na nambari b ambayo equation y = k x + b inafafanua mstari katika mfumo wa O x y unaopitia pointi M 1 (x 1, y 1) na M 2 ( x 2, y 2) , ambapo x 1 ≠ x 2. Wakati x 1 = x 2 , basi mgawo wa angular unachukua thamani ya infinity, na mstari wa moja kwa moja M 1 M 2 unafafanuliwa na equation ya jumla isiyo kamili ya fomu x - x 1 = 0. .

Kwa sababu pointi M 1 Na M 2 ziko kwenye mstari wa moja kwa moja, basi kuratibu zao zinakidhi equation y 1 = k x 1 + b na y 2 = k x 2 + b. Ni muhimu kutatua mfumo wa equations y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b kwa k na b.

Ili kufanya hivyo, tunapata k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 au k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Kwa maadili haya ya k na b, equation ya mstari unaopitia pointi mbili zilizotolewa inakuwa y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 au y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Haiwezekani kukumbuka idadi kubwa ya fomula mara moja. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuongeza idadi ya marudio katika kutatua matatizo.

Mfano 3

Andika equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular unaopitia pointi na kuratibu M 2 (2, 1) na y = k x + b.

Suluhisho

Ili kutatua tatizo, tunatumia formula na mgawo wa angular wa fomu y = k x + b. Coefficients k na b lazima kuchukua thamani kwamba equation hii inalingana na mstari wa moja kwa moja kupita pointi mbili na kuratibu M 1 (- 7, - 5) na M 2 (2, 1).

Pointi M 1 Na M 2 ziko kwenye mstari wa moja kwa moja, basi kuratibu zao lazima kufanya equation y = k x + b usawa wa kweli. Kutoka hili tunapata kwamba - 5 = k · (- 7) + b na 1 = k · 2 + b. Hebu tuunganishe equation katika mfumo - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b na kutatua.

Juu ya uingizwaji tunapata hiyo

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sasa maadili k = 2 3 na b = - 1 3 yanabadilishwa kuwa equation y = k x + b. Tunaona kwamba equation inayohitajika inayopitia pointi zilizotolewa itakuwa equation ya fomu y = 2 3 x - 1 3 .

Njia hii ya suluhisho huamua matumizi kiasi kikubwa wakati. Kuna njia ambayo kazi hiyo inatatuliwa kwa hatua mbili halisi.

Wacha tuandike mlingano wa kisheria wa mstari unaopitia M 2 (2, 1) na M 1 (- 7, - 5), ukiwa na fomu x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sasa hebu tuendelee kwenye equation ya mteremko. Tunapata kwamba: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Jibu: y = 2 3 x - 1 3 .

Ikiwa ndani nafasi tatu-dimensional kuna mfumo wa kuratibu wa mstatili O x y z na pointi mbili zilizopewa zisizo sanjari na kuratibu M 1 (x 1, y 1, z 1) na M 2 (x 2, y 2, z 2), mstari wa moja kwa moja M 1 M 2 kupita kwao, ni muhimu kupata equation ya mstari huu.

Tuna milinganyo hiyo ya kisheria ya fomu x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z na milinganyo ya parametric ya fomu x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ wana uwezo wa kufafanua mstari katika mfumo wa kuratibu O x y z, kupitia pointi zilizo na kuratibu (x 1, y 1, z 1) na vekta ya mwelekeo a → = (a x, y, a z).

Moja kwa moja M 1 M 2 ina vector ya mwelekeo wa fomu M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), ambapo mstari wa moja kwa moja unapita kupitia hatua M 1 (x 1, y 1, z 1) na M 2 (x 2, y 2, z 2), kwa hivyo mlingano wa kisheria unaweza kuwa wa fomu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 au x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, kwa upande parametric x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ au x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Fikiria mchoro unaoonyesha pointi 2 katika nafasi na usawa wa mstari wa moja kwa moja.

Mfano 4

Andika equation ya mstari uliofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili O x y z wa nafasi ya tatu-dimensional, kupita kwa kupewa pointi mbili na kuratibu M 1 (2, - 3, 0) na M 2 (1, - 3, - 5).

Suluhisho

Inahitajika kupata mlinganyo wa kisheria. Kwa kuwa tunazungumza juu ya nafasi ya pande tatu, inamaanisha kwamba wakati mstari unapita kupitia pointi zilizotolewa, equation ya canonical inayohitajika itachukua fomu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z. - z 1 z 2 - z 1 .

Kwa hali tunayo kwamba x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Inafuata kwamba equations zinazohitajika zitaandikwa kama ifuatavyo:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Jibu: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Mlinganyo wa mstari unaopita katika sehemu fulani katika mwelekeo huu. Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili ulizopewa. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka. Hali ya usawa na perpendicularity ya mistari miwili iliyonyooka. Kuamua hatua ya makutano ya mistari miwili

1. Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye sehemu fulani A(x 1 , y 1) katika mwelekeo fulani, uliowekwa na mteremko k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Mlinganyo huu unafafanua penseli ya mistari inayopita kwenye nukta A(x 1 , y 1), ambayo inaitwa kituo cha boriti.

2. Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili: A(x 1 , y 1) na B(x 2 , y 2), imeandikwa kama hii:

Mgawo wa angular wa mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizopewa imedhamiriwa na formula

3. Pembe kati ya mistari iliyonyooka A Na B ni pembe ambayo mstari wa kwanza wa moja kwa moja lazima uzungushwe A karibu na sehemu ya makutano ya mistari hii kinyume cha saa hadi inalingana na mstari wa pili B. Ikiwa mistari miwili iliyonyooka inatolewa na milinganyo yenye mteremko

y = k 1 x + B 1 ,

Milinganyo ya kisheria ya mstari katika nafasi ni milinganyo ambayo hufafanua mstari unaopita kwenye sehemu fulani ya kolinear hadi kwa vekta ya mwelekeo.

Hebu uhakika na vector ya mwelekeo itolewe. Hatua ya kiholela iko kwenye mstari l ikiwa tu vekta na ni collinear, i.e., hali imeridhika kwao:

Milinganyo ya hapo juu ni milinganyo ya kisheria ya mstari ulionyooka.

Nambari m , n Na uk ni makadirio ya vekta ya mwelekeo kwenye shoka za kuratibu. Kwa kuwa vekta sio sifuri, basi nambari zote m , n Na uk haiwezi kuwa sawa na sifuri kwa wakati mmoja. Lakini moja au mbili kati yao zinaweza kugeuka kuwa sifuri. Katika jiometri ya uchambuzi, kwa mfano, kiingilio kifuatacho kinaruhusiwa:

ambayo ina maana kwamba makadirio ya vector kwenye mhimili Oy Na Oz ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, vekta na mstari uliofafanuliwa na milinganyo ya kisheria ni ya kawaida kwa shoka. Oy Na Oz, yaani ndege yOz .

Mfano 1. Andika milinganyo kwa mstari katika nafasi perpendicular kwa ndege na kupita sehemu ya makutano ya ndege hii yenye mhimili Oz .

Suluhisho. Wacha tupate hatua ya makutano ya ndege hii na mhimili Oz. Kwa kuwa hatua yoyote iko kwenye mhimili Oz, ina kuratibu , basi, ikizingatiwa katika equation iliyotolewa ya ndege x = y = 0, tunapata 4 z- 8 = 0 au z= 2 . Kwa hiyo, hatua ya makutano ya ndege hii na mhimili Oz ina viwianishi (0; 0; 2). Kwa kuwa mstari unaohitajika ni perpendicular kwa ndege, ni sawa na vector yake ya kawaida. Kwa hiyo, vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja inaweza kuwa vector ya kawaida kupewa ndege.

Sasa hebu tuandike milinganyo inayohitajika ya mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua A= (0; 0; 2) kwa mwelekeo wa vekta:

Milinganyo ya mstari unaopita pointi mbili ulizopewa

Mstari wa moja kwa moja unaweza kufafanuliwa na pointi mbili zilizolala juu yake Na Katika kesi hii, vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja inaweza kuwa vector . Kisha milinganyo ya kisheria ya mstari huchukua fomu

Equations hapo juu huamua mstari kupita pointi mbili zilizotolewa.

Mfano 2. Andika mlingano wa mstari katika nafasi unaopitia pointi na .

Suluhisho. Wacha tuandike hesabu zinazohitajika za mstari wa moja kwa moja katika fomu iliyotolewa hapo juu kwenye kumbukumbu ya kinadharia:

Tangu , basi mstari wa moja kwa moja unaohitajika ni perpendicular kwa mhimili Oy .

Moja kwa moja kama mstari wa makutano ya ndege

Mstari wa moja kwa moja angani unaweza kufafanuliwa kama mstari wa makutano ya ndege mbili zisizo sambamba na, i.e., kama seti ya alama zinazokidhi mfumo wa milinganyo miwili ya mstari.

Milinganyo ya mfumo pia huitwa milinganyo ya jumla ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi.

Mfano 3. Tunga milinganyo ya kisheria ya mstari katika nafasi iliyotolewa na milinganyo ya jumla

Suluhisho. Kuandika hesabu za kisheria za mstari au, ni kitu gani sawa, usawa wa mstari unaopitia pointi mbili zilizotolewa, unahitaji kupata kuratibu za pointi mbili kwenye mstari. Wanaweza kuwa pointi za makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege zozote mbili za kuratibu, kwa mfano yOz Na xOz .

Sehemu ya makutano ya mstari na ndege yOz ina abscissa x= 0 . Kwa hiyo, kudhani katika mfumo huu wa equations x= 0, tunapata mfumo na vigezo viwili:

Uamuzi wake y = 2 , z= 6 pamoja na x= 0 inafafanua uhakika A(0; 2; 6) mstari unaotakiwa. Kisha kudhani katika mfumo uliopeanwa wa equations y= 0, tunapata mfumo

Uamuzi wake x = -2 , z= 0 pamoja na y= 0 inafafanua uhakika B(-2; 0; 0) makutano ya mstari na ndege xOz .

Sasa hebu tuandike milinganyo ya mstari unaopitia pointi A(0; 2; 6) na B (-2; 0; 0) :

au baada ya kugawanya madhehebu kwa -2: