Метод заміни площин знайти натуральну величину відрізка. Методи перетворення комплексного креслення. Визначення відстані між паралельними площинами

Л І К Ц І Я 10

СПОСІБ ЗАМІНИ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ

1. Сушіння способу заміни площин

2. Застосування способу заміни площин до відрізка прямої

3. Застосування способу заміни площин до плоскої фігури

1. Сушіння способу заміни площин

Цей спосіб полягає в тому, що задану систему площин проекцій замінюють новою системою так, що предмет (пряма або площина), не змінюючи свого положення в просторі, опиняється у приватному положенні щодо нової системи площин проекцій. Площини проекцій утворюють нову ортогональну систему.

Залежно від умов завдання доводиться замінювати або одну із заданих площин проекцій, або обидві, якщо заміною однієї площини проекцій не вдається отримати необхідного розташування предмета, що проектується щодо площини проекцій.

Візьмемо у системі площин проекцій Ні Vдовільну точку Аі збудуємо її прямокутні проекції аі а"(Рис. 60). Замінимо фронтальну площину V новою площиною V 1 , перпендикулярної площині Н,тобто від системи площинcolor:black"> перейдемо до системиз новою віссю j x 1 . Спроец-

рувавши точку Ана площинуV 1отримаємо нову проекцію а1".Горизонтальна проекція акрапки Аналежить обом системам площин проекцій. З побудов видно, щоa 1 "aXi= Aa =a "ax =zA ,тобто при заміні площини VплощиноюV 1 ,перпендикулярній площині Н,координата точки, що проектується, залишається без зміни.

Для отримання креслення поєднуємо всі три площини – Н, V до V 1- В одну площину (рис. 60). У новій системі проекціїaі a "знаходяться на лінії проекційного зв'язку, перпендикулярної до нової осіх 1 .При цьому відстаньaXia 1 " =axa "=zA.

Замінивши горизонтальну площину проекцій Нновою площиноюH1 , перпендикулярної площини V від системи площин проекційfont-size:14.0pt;color:black"> переходять до нової системи(Рис. 61).

Побудувавши проекції точки Ав обох системах, зауважуємо, що координата узалишається незмінною. На кресленні відрізокoXla 1 =axa =yA ,що дозволяє будувати нову проекцію а1заданої точки Ана перпендикулярі, проведеному з а"до нової осі проx 1.

Послідовна заміна двох площин проекцій показано на рис. 62. Спочатку площина Vзамінена площиноюV1 перпендикулярній площиніH, і збудовано нову проекцію а1крапки А.Потім площина Нзамінена площиною Н1перпендикулярній площиніV1 , та побудовано нову проекцію а1.Таким чином, здійснено послідовний перехід від системи площин проекцій до системи, а потім до системи.

position:relative; z-index:-10">

У системі площин проекціями точки Абудуть а(і а1",послідовна побудова яких визначається незмінністю координатиz в системі площин та координатиy1 у системі площин

Розв'язання задач даним методом розглянемо на двох прикладах.

2. Застосування способу заміни площин

до відрізка прямого

Приклад 1. Визначити довжину відрізка АВпрямий за його проекціямиabі а "Ь"(Рис. 63).

Завдання вирішується шляхом заміни однієї із заданих площин проекцій новою площиною проекцій, паралельною відрізку АВ.На нову площину відрізок проектується справжню величину.

При заміні площини VплощиноюV 1 ,паралельному відрізку АВ,нову вісь про х1проводять паралельно горизонтальній проекціїab(Рис .63 а ). Опустивши з крапок аіbперпендикуляри на вісь про х1і відклавши на нихaXla 1" =axa "і bXib 1" =bxb ",отримують нову проекцію а1" b "1,рівну відрізку АВ,а також кут ан,рівний куту нахилу прямої до площини н.

На рис. 63 б дане рішення тієї ж задачі шляхом заміни площини Нплощиною Н1,паралельному відрізку АВ.В цьому випадку вісь про х1маємо паралельно фронтальну проекціюa "b "та аналогічно попередньому отримуємо проекцію а1 b 1рівному заданому відрізку, і кут α v , ранній куті нахилу прямої до площини. V.

3. Застосування способу заміни площин

до плоскої фігури

Приклад 2. Визначити величину та форму трикутника АВСза його проекціямиabc і а" b"с"(Рис. 64).

Трикутник проектується без спотворення паралельну йому площину проекцій. Загалом однієї заміною площин проекцій цього досягти неможливо, тому послідовно замінюють дві площини проекцій.

Спочатку замінюють плоскість VплощиноюV 1перпендикулярної площині трикутника. Для цього в площині трикутника проводять горизонталь.ADі перпендикулярно до неї мають площинуV 1 .На кресленні побудова зводиться до осі х1,перпендикулярної горизонтальної проекціїadгоризонталі. ГоризонтальADпроектується на площинуV 1в точку a 1" ≡ d 1, а трикутник - у відрізокb 1c 1 .

Потім замінюють площину Нплощиною Н1паралельної площини трикутникаABC.Ось про х2буде паралельна проекціїb 1 "а1"с1",а проекція b 1 а1с1відобразить справжню величину трикутника.

Сутність способу заміни площин проекцій полягає в тому, що задану систему площин проекцій замінюють новою системою так, що геометричні фігури опиняються в окремому положенні щодо нової системи площин проекцій.

Простежимо, як зміняться проекції крапки B, якщо площина Vзамінити на нову площину проекцій V 1(Рис. 5.1, а). Площина V 1проводимо перпендикулярно до площини Н, становище якої залишається без зміни. Площини Ні V 1перетнуться по прямій 0х 1, Що визначає нову вісь проекцій У новій системі площин проекцій замість проекцій bі b"отримаємо нові проекції bі b 1 ′. Легко переконатися, що відстань від нової проекції точки b 1 ′до нової осі 0х 1(координата Z) дорівнює відстані від замінної проекції b"до замінної осі 0х. Щоб перейти від просторового креслення до епюру, потрібно поєднати площину V 1з площиною Н. На епюрі (рис. 5.1, 6 ) для побудови нової проекції b 1 ′використовуємо незмінність координати Zкрапки B. Для цього достатньо із горизонтальної проекції bпровести перпендикуляр до нової осі 0х 1і від точки b X 1відкласти координату Z, що визначається відстанню b"b x (Z B) у колишній системі.

Заміна горизонтальної площини Нновою площиною Н 1(Рис. 5.1, в) виробляється аналогічно, з тією лише різницею, що тепер не змінюється фронтальна проекція точки b", для побудови нової горизонтальної проекції b 1необхідно з фронтальної проекції, що зберігається b"провести лінію зв'язку до нової осі 0х 1і відкласти від нової осі відстань, що дорівнює відстані від замінної проекції bдо замінної осі 0х.

Заміна площин проекцій може здійснюватися лише послідовно, не можна змінювати обидві площини відразу.

Розглянемо на прикладах, як проводиться заміна площин проекцій та будуються нові проекції фігур.

Завдання 1.Визначити довжину відрізка прямої АВзагального становища.

Замінюємо площину Vплощиною V 1 ,паралельному відрізку АВ(Рис. 5.2, а). Проводимо нову вісь Х 1паралельно abта на перпендикулярах, проведених до неї з точок аі b,відкладаємо а X 1 а 1 ′ = а x а"і b X 1 b 1 ′ = b x b".Отримуємо нову проекцію a 1 'b 1 ' = ABі одночасно кут α нахилу прямий до площини н.

Якщо площина Нзамінимо площиною H 1паралельному відрізку АВ(Рис. 5.2, б), то отримаємо а 1 b 1 = АВта кут β нахилу прямий до площини V.

Завдання 2.Визначити натуральну величину та форму трикутника ABC.

Завдання вирішується послідовною заміною двох площин проекцій.

Спочатку площина Vзамінюємо площиною V 1, Перпендикулярна до площини трикутника (рис. 5.3). Для цього в площині трикутника проводимо горизонталь. AD (ad, a"d")і нову вісь Х 1маємо перпендикулярно до ad.На новій площині проекцій трикутник спроектується у пряму b 1 'а 1 'з 1 .На другому етапі площина Нзамінюємо площиною Н 1, паралельної площині трикутника, маючи вісь Х 2паралельно прямий b 1 'а 1 'з 1 '.Побудована проекція a 1 b 1 з 1визначає натуральну величину та форму трикутника ABC.

Сутність способу полягає в тому, що положення фігури, що зображається в просторі залишається незмінним, а вихідна система площин проекцій, щодо якої задана фігура, замінюється новою.

При виборі нової площини проекцій може бути виконаний основний принцип ортогонального проектування (методу Монжа) – взаємної перпендикулярності площин проекцій, тобто. нову площину проекцій необхідно обов'язково розташовувати перпендикулярно до однієї з основних вихідних площин проекцій.

Нехай задана система площин проекцій П 1і П 2(Надалі будемо позначати скорочено). Спроектуємо якусь точку Ана ці площини та знайдемо її проекції А 2і А 1(Рис. 9.5).

Припустимо, що при вирішенні будь-якого завдання ми знайшли доцільним замінити площину П 2іншою фронтальною площиною П 4, перпендикулярної до площини П 1. Лінія перетину площин проекцій П 1і П 4називається новою віссю проекцій і позначається Х 1 .Побудуємо ортогональні проекції крапки Ав системі . Оскільки, площина П 1залишилася колишньою, то й проекція точки Ана цю площину не змінить свого становища.

Для отримання нової передньої проекції точки на нову площину П 4опускаємо перпендикуляр з Ана площину П 4. підстава А 4цього перпендикуляра визначає потрібну фронтальну проекцію точки А.

Встановимо, який зв'язок існує між проекціями А(А 1, А 2)і А(А 1 А 4)однієї й тієї точки в обох системах.

Горизонтальна проекція у них загальна і оскільки відстань точки Авід площини П 1не змінилося, то /АА 1 /=/А 2 А x /=/А 4 А x1 ¹ /,т. е. відстань нової фронтальної проекції до нової осі дорівнює відстані замінної проекції до попередньої осі.

Щоб перейти до епюру, повернемо площину П 4навколо осі Х 1та сумісний з площиною П 1 .Тоді й нова фронтальна проекція А 4поєднається з площиною П 1і при цьому опиниться на одному перпендикулярі до осі х 1з проекцією А 1.

На рис. 9.6 показані ті побудови, які треба зробити на епюрі, щоб від проекцій (А 1, А 2)крапки Ау системі перейти до проекцій A 1 А 4)тієї ж точки в системі необхідно: провести нову вісь проекцій Х 1, Що визначає положення горизонтально-проєкуючої площини П 4, потім з горизонтальної проекції точки А 1 Х 1. На побудованому перпендикулярі відкласти (від нової осі) відрізок А x А 4 = А x А 2.Отримана таким чином точка А 4є проекцією точки Ана площину П 4.

Заміна горизонтальної площини П 1новою площиною П 4та побудова нових проекцій точки Ау системі здійснюється аналогічно розглянутому випадку, з тією різницею, що тепер залишається без зміни фронтальна проекція точки, а для знаходження нової горизонтальної проекції А 4крапки Анеобхідно з фронтальної проекції точки А 2опустити перпендикуляр на нову вісь Х 1і відкласти на ньому від точки перетину з віссю Х 1відрізок А 4 А x ¹ ,рівний відстані старої горизонтальної проекції від старої осі А 1 А х(Рис. 9.7).

Розглянуті приклади дозволяють встановити таке загальне правило: для того, щоб побудувати проекцію точки в новій системі площин проекцій, необхідно з незмінної проекції точки опустити перпендикуляр на нову вісь проекцій і відкласти на ньому від нової осі до нової проекції відстань, що дорівнює відстані від проекції, що замінюється до попередньої осі.

Призначення способів перетворення креслення полягає в тому, щоб геометричну фігуру загального положення розташувати в приватне положення щодо площин проекцій з використання властивостей її проекцій.Наприклад, перетворення площини загального положення на площину рівня дозволить визначити за відповідною проекцією її натуральну величину.

Способи перетворення комплексного креслення поділяють на дві групи за ознакою, що визначає положення фігури та площин проекцій один щодо одного або напрямок проектування:

1. Змінюють положення площин проекцій або напрямок проектування так, щоб нерухома в просторі фігура опинилася в приватному положенні. До цієї групи відносять:

спосіб заміни площин проекцій;

спосіб додаткового проектування.

2. Змінюють положення геометричної фігури у просторі так, щоб вона опинилася у приватному положенні щодо фіксованої системи площин проекцій. До цієї групи включають:

спосіб плоскопаралельного переміщення;

спосіб обертання.

Завдання, які вирішуються за допомогою способів перетворення комплексного креслення, зводяться до наступних основних завдань, в яких необхідно перетворити:

пряму (площину, циліндричну або призматичну поверхні) у проекцію фігуру;

пряму (плоску лінію чи площину) у фігуру рівня.

Розглянемо послідовно всі способи перетворення, крім способу додаткового проектування, з яким рекомендується ознайомитися самостійно за підручником .

Спосіб заміни площин проекцій

Сутність способу полягає у заміні первісної системи взаємно перпендикулярних площин проекцій новою системою взаємно перпендикулярних площин проекцій при незмінному положенні геометричної фігури у просторі.

Для вирішення конкретної задачі виконують одне або два послідовні перетворення способом заміни, наприклад, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 або Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 → Π 5 Π 4 . У другий випадок перетворення називають композицією перетворень. При кожному кроці в цьому способі замінюється лише одна площина проекцій, а інша залишається загальною для двох систем.

Розглянемо механізм та особливості способу заміни площин проекцій на прикладі перетворення комплексного креслення точки (рис. 28).

При заміні, наприклад, фронтальної площини проекцій Π 2 новою вертикальною площиною Π 4 горизонтальна площина Π 1 у цьому випадку є загальною для двох систем площин проекцій, внаслідок чого проекція А 1 крапки Ана цю площину також є спільною для цих систем. При цьому зберігається незмінною величина відстані ( АА 1 ) від заданої точки до цієї площини проекцій і, як наслідок, рівність її проекцій на площині Π 2 і Π 4 , тобто. АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14 що дозволяє виконувати на комплексному кресленні побудову нової проекції А 4 заданої точки (див. рис. 28).

Ще одна особливість способу заміни площин проекцій полягає в тому, що комплексне креслення утворюється поєднанням площин проекцій з тією площиною, яка є загальною для двох систем. У аналізованому на рис. 28 приклад такою площиною є горизонтальна площина проекцій.

Як приклад розглянемо завдання перетворення прямого загального становища на проецирующую. Для досягнення кінцевого результату необхідно провести заміну двох площин проекцій, використовуючи композицію перетворень, тобто два послідовні перетворення (рис. 29).

Заміна однієї площини проекцій, наприклад, Π 2 на Π 4 дозволяє перетворити пряму загального становища лише на пряму рівня, оскільки неможливо відразу розташувати нову вертикальну площину проекцій Π 4 перпендикулярно заданій прямій. Далі, послідовно замінюючи другу площину проекцій Π 1 на Π 5 і маючи її перпендикулярно до прямої АВотримуємо кінцевий результат (див. рис. 29).

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ

Лекція 4

Розв'язання низки завдань у накреслювальній геометрії значно спрощується, коли геометричні фігури займають приватне положення щодо площин проекцій. Завдання визначення взаємного становища фігур і метричні завдання (визначення натуральних величин площин, відрізків тощо.). І тому існують різні способи перетворення комплексного креслення. Кожен із них заснований на одному з наступних принципів:

1. зміні положення площин проекцій щодо нерухомих геометричних фігур;

2. зміні положення заданих геометричних фігур щодо нерухомих площин проекцій;

Розглянемо деякі з них.

Сутність способу полягає в тому, що задані геометричні фігури нерухомі в заданій системі площин проекцій ( П 1 , П 2). Послідовно вводять нові площини проекцій ( П 4, П 5), щодо яких геометричні фігури займуть приватне становище. Нова площина проекцій вибирається з таким розрахунком, щоб вона була перпендикулярна до незамінної площини проекцій.

Більшість завдань вирішується із застосуванням одного або двох послідовних перетворень вихідної системи площин проекцій. Одночасно можна замінювати лише одну площину проекцій П 1(або П 2), інша площина П 2(або П 1) повинна залишатися незмінною.
На малюнку 1 представлено наочне зображення методу заміни площин проекцій. Фронтальна площина П 2замінюється на нову фронтальну площину П 4. Нові проекції точки А (А 1 А 4), при цьому, як видно з малюнка, висота точки А залишилася незмінною.

Необхідно запам'ятати правило побудови нових проекцій точок за методу заміни:

1. лінії зв'язку завжди перпендикулярні до нових осей проекцій;
2. відстань від осі проекцій до нової проекції точки завжди береться з тієї площині, яку замінюють.

Малюнок 1.Наочне зображення методу заміни площин проекцій.

Малюнок 2. Зображення методу заміни площин проекцій на епюрі.

Більшість завдань у накреслювальній геометрії вирішуються на базі чотирьох завдань:

1. Перетворити пряму загального становища на пряму рівня;
2. Перетворити пряму загального становища на проецирующую пряму;
3. Перетворити площину загального становища проецирующую площину;
4. Перетворити площину загального положення на площину рівня.

Завдання №1

Розглянемо рішення завдання №1 . Дана пряма АВ– загального становища, перетворимо їх у пряму рівня (рис.3). Для цього вводимо нову фронтальну площину проекцій П 4вісь Х 1,4проводимо паралельно А 1 В 1 АВ – А 4-4.У новій системі площин проекцій пряма АВ- Фронталь.

Малюнок 3.

Перетворення прямого загального положення на прямий рівень (фронталь)

Завдання №2

Дана пряма АВ– загального становища, перетворимо їх у проецирующую пряму (рис.4). Для вирішення цього завдання необхідно виконати послідовно два перетворення:

1. Перетворити пряму загального становища на пряму рівня, тобто вирішити спочатку завдання №1;
2. Перетворити пряму рівня на проецирующую пряму.

Викреслити умову завдання №1, самостійно вирішити її, потім розпочати виконання другого перетворення. Вводимо нову горизонтальну площину проекцій П 5 Х 4, 5перпендикулярно до проекції А 4 У 4і будуємо нову проекцію прямий А 5-5.У системі площин П 4 ,П 5пряма АВє горизонтально проецирующей прямий.

За підсумками завдань №1 і №2 вирішуються такі:

1. визначення відстані від точки до прямої;

2. визначення відстані між паралельними і схрещуються прямими;

3. визначення натуральної величини прямої;

4. Визначення величини двогранного кута.

Малюнок 4.

Перетворення прямої загального становища на проецирующую пряму.

Завдання №3.

Дана площина АВС– загального становища, перетворимо їх у проецирующую площину (рис.5). Для вирішення цього завдання необхідно в площині провести лінію рівня, якщо така відсутня. Нову вісь проекцій проводимо перпендикулярно до лінії рівня. У трикутнику АВСпроводимо горизонталь h.Вісь проекцій Х 14проводимо перпендикулярно h 1 ,нову проекцію площини А 4 В 4 З 4будуємо за правилами, розібраними у попередніх завданнях.

У системі площин проекцій П 1 П 4,площина трикутника є фронтально-проеціруючою площиною.

Малюнок 5.

Перетворення площини загального становища на проекцію площину.

Завдання №4.

Малюнок 6.

Перетворення площини загального становища на площину рівня.

Дана площина АВС– загального становища, перетворимо їх у площину рівня (рис.6). Для вирішення цього завдання необхідно виконати послідовно два перетворення:

1. Перетворити площину загального становища на проецирующую площину, тобто вирішити спочатку завдання №3;
2. Перетворити проекцію площину на площину рівня.

Викреслити умову завдання №3, самостійно вирішити її, потім розпочати виконання другого перетворення. Вводимо нову горизонтальну площину проекцій П 5, для цього проводимо нову вісь проекцій Х 4, 5паралельно проекції А 4 В 4 З 4і будуємо нову проекцію трикутника А 5 5 З 5.У системі площин П 4 ,П 5, трикутник АВСє горизонтальною площиною рівня.

За підсумками завдань №3 і №4 вирішуються такі:

1. визначення відстані від точки до площини;

2. визначення відстані між паралельними площинами;

3. визначення натуральних (справжніх) величин геометричних постатей;

визначення кутів нахилу площини до площин проекцій

Метод плоскопаралельного переміщення

Усі розглянуті завдання можна вирішити використовуючи метод плоско-паралельного переміщення, у якому площини проекцій залишаються дома, а проекція фігури переміщається (рис.7).

Рисунок 7. Визначення натуральної величини відрізка методом плоско-паралельного переміщення.

Дана пряма АВ– загального становища, перетворимо їх у пряму рівня (рис.7). Для цього переміщуємо проекцію А 1 В 1паралельно осі Х. Будуємо нову проекцію прямий АВ – А 2 `У 2`,яка буде - натуральною величиною відрізка. Цей метод використовується визначення натуральних величин ребер багатогранників при побудові розгортки.

Метод обертання

Приватним випадком плоско-паралельного переміщення є метод обертання навколо прямих і прямих рівня, що проектують.