Похила площина і сили, що діють на ній. Рух тіла по похилій площині вгору. Розв'язання задачі про рух по похилій площині

До простих механізмів крім важеля та блоку відносяться також похила площина та її різновиди: клин та гвинт.

НАКЛОННА ПЛОЩИНА

Похила площина застосовується для переміщення важких предметів більш високий рівень без їх безпосереднього підняття.
До таких пристроїв належать пандуси, ескалатори, звичайні сходи та конвеєри.

Якщо потрібно підняти вантаж на висоту, завжди легше скористатися пологим підйомом, ніж крутим. Причому, чим схил, тим легше виконати цю роботу. Коли час і відстань не мають великого значення, а важливо підняти вантаж із найменшим зусиллям, похила площина виявляється незамінною.

За допомогою цих малюнків можна пояснити, як працює простий механізм НАКЛОННА ПЛОЩИНА.
Класичні розрахунки дії похилої площини та інших простих механізмів належать видатному античному механіку Архімед з Сіракуз.

При будівництві храмів єгиптяни транспортували, піднімали та встановлювали колосальні обеліски та статуї, вага яких становила десятки та сотні тонн! Все це можна було зробити, використовуючи серед інших простих механізмів похилу площину.

Головним підйомним пристосуванням єгиптян була похила площина – рампа. Остів рампи, тобто її бічні сторони та перегородки. У міру зростання піраміди рампа надбудовувалася. За цими рампами камені тягли на санках. Кут нахилу рампи був дуже незначним – 5 або 6 градусів.

Колони стародавнього єгипетського храму у Фівах.

Кожну з цих величезних колон раби втягували по рампе-похилій площині. Коли колона вповзала в яму, через лаз вигрібали пісок, а потім розбирали цегляну стінку та прибирали насип. Таким чином, наприклад, похила дорога до піраміди Хафра при висоті підйому 46 метрів мала довжину близько півкілометра.

Тіло на похилій площині утримується силою, яка за величиною у стільки разів менша за вагу цього тіла, у скільки разів довжина похилої площини більша за її висоту”.
Цю умову рівноваги сил на похилій площині сформулював вчений голландський Симон Стевін (1548-1620).

Малюнок на титульному аркуші книги С. Стевіна, яким він підтверджує своє формулювання.

Дуже дотепно використано похилу площину на Красноярській ГЕС. Тут замість шлюзів діє суднозна камера, що рухається похилою естакадою. Для її пересування необхідно тягове зусилля 4000 кН.

А чому гірські дороги в'ються пологим "серпантином"?

Клин - один з різновидів простого механізму під назвою "похила площина". Клин складається з двох похилих площин, основи яких стикаються. Його застосовують, щоб отримати виграш у силі, тобто за допомогою меншої сили протидіяти більшій силі.

При рубанні дров, щоб полегшити роботу, в тріщину поліна вставляють металевий клин і б'ють обухом сокири.

Ідеальний виграш у силі, що дається клином, дорівнює відношенню його довжини до товщини на тупому кінці. Через велике тертя його ККД настільки малий, що ідеальний виграш не має особливого значення

Іншим різновидом похилої площини є гвинт.
Гвинт – похила площина, навита на вісь. Різьблення гвинта - це похила площина, багаторазово обернена навколо циліндра.

Через велике тертя його ККД настільки малий, що ідеальний виграш не має особливого значення. Залежно від напрямку підйому похилої площини гвинтове різьблення може бути лівим або правим.
Приклади простих пристроїв з гвинтовим різьбленням - домкрат, болт з гайкою, мікрометр, лещата.

Рух тіла по похилій площині – це класичний приклад руху тіла під дією кількох несоннаправлених сил. Стандартний метод розв'язання завдань про такого роду рух полягає у розкладанні векторів усіх сил по компонентах, спрямованих уздовж координатних осей. Такі компоненти є лінійно незалежними. Це дозволяє записати другий закон Ньютона для компонентів уздовж кожної осі окремо. Таким чином другий закон Ньютона, що є векторним рівнянням, перетворюється на систему з двох (трьох для тривимірного випадку) алгебраїчних рівнянь.

Сили, що діють на брусок,
випадок прискореного руху вниз

Розглянемо тіло, яке зісковзує вниз по похилій площині. У цьому випадку на нього діють такі сили:

Сила тяжіння m g , Спрямована вертикально вниз;
Сила реакції опори N , Спрямована перпендикулярно площині;
Сила тертя ковзання F тр, спрямована протилежно швидкості (вгору вздовж похилої площини при зісковзуванні тіла)

При вирішенні завдань, у яких фігурує похила площину, часто зручно ввести похилу систему координат, вісь OX якої спрямована вздовж площини вниз. Це зручно, тому що в цьому випадку доведеться розкладати на компоненти лише один вектор – вектор сили тяжіння m g а вектора сили тертя F три сили реакції опори N вже спрямовані вздовж осей. При такому розкладанні x-компонента сили тяжіння дорівнює mg sin( α ) і відповідає «тягне силі», відповідальної за прискорений рух вниз, а y-компонента - mg cos( α ) = Nврівноважує силу реакції опори, оскільки вздовж осі OY рух тіла відсутній.
Сила тертя ковзання Fтр = µNпропорційна силі реакції опори. Це дозволяє отримати такий вираз для сили тертя: Fтр = µmg cos( α ). Ця сила протиспрямована «тягнучому» компоненті сили тяжіння. Тому для тіла, що сковзає вниз , отримуємо вирази сумарної рівнодіючої сили та прискорення:

F x = mg(sin( α ) – µ cos( α ));
a x = g(sin( α ) – µ cos( α )).

Не важко бачити, що якщо µ < tg(α ), вираз має позитивний знак і ми маємо справу з рівноприскореним рухом вниз по похилій площині. Якщо ж µ > tg( α ), то прискорення матиме негативний знак і рух буде рівноуповільненим. Такий рух можливий лише у випадку, якщо тілу додано початкову швидкість у напрямку вниз схилом. У цьому випадку тіло поступово зупинятиметься. Якщо за умови µ > tg( α ) предмет спочатку спочиває, то він не буде починати зісковзувати вниз. Тут сила тертя спокою повністю компенсуватиме «тягнучу» компоненту сили тяжіння.

Коли коефіцієнт тертя точно дорівнює тангенсу кута нахилу площини: µ = tg ( α ), ми маємо справи із взаємною компенсацією всіх трьох сил. У цьому випадку, згідно з першим законом Ньютона тіло може або лежати, або рухатися з постійною швидкістю (При цьому рівномірний рух можливий тільки вниз).

Сили, що діють на брусок,
ковзний по похилій площині:
випадок сповільненого руху нагору

Однак тіло може і заїжджати вгору похилою площиною. Прикладом такого руху є рух хокейної шайби вгору крижаною гіркою. Коли тіло рухається вгору, то і сила тертя і компонента, що «тягне», сили тяжіння спрямовані вниз уздовж похилої площини. У цьому випадку ми завжди маємо справу з рівноуповільненим рухом, оскільки сумарна сила спрямована на протилежну швидкість сторону. Вираз для прискорення цієї ситуації виходить аналогічним чином і відрізняється лише знаком. Отже для тіла, що ковзає вгору по похилій площині , маємо.

Похила площина є плоскою поверхнею, розташованою під тим чи іншим кутом до горизонталі. Вона дозволяє підняти вантаж із меншою силою, ніж якби цей вантаж піднімався вертикально вгору. На похилій площині вантаж піднімається вздовж цієї площини. При цьому він долає більшу відстань, ніж коли б піднімався вертикально.

Примітка 1

Причому у скільки разів відбувається виграш у силі, у стільки разів буде більша відстань, яка подолає вантаж.

Малюнок 1. Похила площина

Якщо висота, на яку треба підняти вантаж, дорівнює $h$, і при цьому витрачається сила $F_h$, а довжина похилої площини $l$, і при цьому витрачається сила $F_l$, то $l$ так відноситься до $h $, як $F_h$ відноситься до $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... Однак $F_h$ - це вага вантажу ($P$). Тому зазвичай записують так: $l/h = P/F$, де $F$ - сила, що піднімає вантаж.

Величина сили $F$, яку треба прикласти до вантажу вагою $Р$, щоб тіло знаходилося в рівновазі на похилій площині, дорівнює $F_1 = Р_h/l = Рsin(\mathbf \alpha )$, якщо сила $Р$ прикладена паралельно похилій площині (рис.2, а), і $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, якщо сила $Р$ прикладена паралельно підставі похилої площини (рис.2, б).

Малюнок 2. Рух вантажу по похилій площині

а) сила паралельна площині б) сила паралельна основи

Похила площина дає виграш у силі, за її допомогою можна легше підняти вантаж на висоту. Чим менший кут $ \ alpha $, тим більше виграш у силі. Якщо кут $ \ alpha $ менше кута тертя, то вантаж мимовільно не рухатиметься, і потрібно зусилля, щоб тягнути його вниз.

Якщо врахувати сили тертя між вантажем і похилою площиною, то $F_1$ і $F_2$ виходять такі значення: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi)$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Знак плюс відноситься до пересування нагору, знак мінус - до опускання вантажу. Коефіцієнт корисної дії похилої площини $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi) )$), якщо сила $Р$ спрямована паралельно площині, і $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi) )$), якщо сила $Р$ спрямована паралельно підставі похилої площини.

Похила поверхня підпорядковується «золотому правилу механіки». Чим менший кут між поверхнею і похилою площиною (тобто чим вона пологіша, не круто піднімається вгору), тим менше треба прикладати сил для підйому вантажу, але й більшу відстань необхідно буде подолати.

За відсутності сил тертя виграш у силі $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. В реальних умовах через дію сили тертя ККД похилої площини менше 1, виграш в силі менше відношення $l/h$.

Приклад 1

Вантаж масою 40 кг піднімають по похилій площині на висоту 10 м, при цьому прикладаючи силу 200 Н (рис.3). Яка довжина похилої площини? Тертям знехтувати.

$(\mathbf \eta)$ = 1

При русі тіла по похилій площині відношення сили, що додається, до ваги тіла дорівнює відношенню довжини похилої площини до її висоті: $\frac(F)(P)=\frac(l)(h)=\frac(1)((sin (\) mathbf \alpha )\ ))$. Отже, $ l = \ frac (Fh) (mg) = \ frac (200 cdot 10) (40 cdot 9,8) = 5,1 м $.

Відповідь: Довжина похилої площини 5,1 м

Приклад 2

Два тіла з масами $m_1$ = 10 г і $m_2$ = 15 г пов'язані ниткою, перекинутою через нерухомий блок, встановлений на похилій площині (рис. 4). Площина утворює з обрієм кут $\alpha$ = 30$()^\circ$. Знайти прискорення, з яким рухатимуться ці тіла.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 градусів

$g$ = 9.8 $м/c_2$

Направимо вісь ОХ вздовж похилої площини, а вісь ОY - перпендикулярно їй, і спроектуємо на ці осі вектора $\(\overrightarrow(Р))_1\ і\(\overrightarrow(Р))_2$. Як видно з малюнка, рівнодіюча сил, прикладених до кожного з тіл, дорівнює різниці проекцій векторів $\(\overrightarrow(Р))_1\ і\(\overrightarrow(Р))_2$ на вісь ОХ:

Відповідь: Прискорення тіл $a_1=2,45\frac(м)(с^2); \ a \\ a_2=1,63 м/с^2$

Тіло, яке зісковзує вниз по похилій площині. У цьому випадку на нього діють такі сили:

Сила тяжіння mg, спрямована вертикально донизу;

Сила реакції опори N, спрямована перпендикулярно до площини;

Сила тертя ковзання Fтр спрямована протилежно швидкості (вгору вздовж похилої площини при зісковзуванні тіла).

Введемо похилу систему координат, вісь OX якої спрямована вздовж площини донизу. Це зручно, тому що в цьому випадку доведеться розкладати на компоненти лише один вектор - вектор сили тяжіння mg, а вектора сили тертя Fтр і сили реакції опори N вже спрямовані вздовж осей. При такому розкладанні x-компонента сили тяжіння дорівнює mg sin(α) і відповідає «тягне силі», відповідальної за прискорений рух вниз, а y-компонента - mg cos(α) = N врівноважує силу реакції опори, оскільки вздовж осі OY рух тіла Відсутнє.

Сила тертя ковзання Fтр = µN пропорційна силі реакції опори. Це дозволяє отримати такий вираз для сили тертя: Fтр = µmg cos(α). Ця сила протиспрямована «тягнучому» компоненті сили тяжіння. Тому для тіла, що сковзає вниз, отримуємо вирази сумарної рівнодіючої сили та прискорення:

Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));

ax = g(sin(α) – µ cos(α)).

прискорення:

швидкість дорівнює

v = ax * t = t * g (sin (α) - µ cos (α))

через t=0.2 з

швидкість дорівнює

v=0.2*9.8(sin(45)-0.4*cos(45))=0.83 м/с

Силу, з якою тіло притягується до Землі під впливом поля тяжіння Землі, називають силою тяжкості. За законом всесвітнього тяжіння на поверхні Землі (або поблизу цієї поверхні) на тіло масою m діє сила тяжіння

Fт=GMm/R2 (2.28)

де М – маса Землі; R – радіус Землі.

Якщо тіло діє лише сила тяжкості, проте інші сили взаємно врівноважені, тіло робить вільне падіння. Згідно з другим законом Ньютона та формулою (2,28) модуль прискорення вільного падіння g знаходять за формулою

g=Fт/m=GM/R2. (2.29)

З формули (2.29) слід, що прискорення вільного падіння залежить від маси m падаючого тіла, тобто. всім тіл у цьому місці Землі воно однаково. З формули (2.29) випливає, що Fт = mg. У векторному вигляді

У § 5 було зазначено, що оскільки Земля не куля, а еліпсоїд обертання, її полярний радіус менший за екваторіальний. З формули (2.28) видно, що з цієї причини сила тяжкості і прискорення вільного падіння, що викликається нею, на полюсі більше, ніж на екваторі.

Сила тяжіння діє попри всі тіла, що у полі тяжіння Землі, проте в повному обсязі тіла падають Землю. Це тим, що руху багатьох тіл перешкоджають інші тіла, наприклад опори, нитки підвісу тощо. п. Тіла, що обмежують рух інших тіл, називають зв'язками. Під впливом сили тяжкості зв'язку деформуються і сила реакції деформованого зв'язку за третім законом Ньютона врівноважує силу тяжкості.

У § 5 зазначалося також, що у прискорення вільного падіння впливає обертання Землі. Цей вплив пояснюється так. Системи відліку, пов'язані з поверхнею Землі (крім двох, пов'язаних з полюсами Землі), не є, строго кажучи, інерційними системами відліку - Земля обертається навколо своєї осі, а разом з нею рухаються по колам з доцентровим прискоренням і такі системи відліку. Ця неінерціальність систем відліку проявляється, зокрема, у тому, що значення прискорення вільного падіння виявляється різним у різних місцях Землі та залежить від географічної широти того місця, де знаходиться пов'язана із Землею система відліку, щодо якої визначається прискорення вільного падіння.

Вимірювання, проведені різних широтах, показали, що числові значення прискорення вільного падіння мало відрізняються друг від друга. Тому при не дуже точних розрахунках можна знехтувати неінерційністю систем відліку, пов'язаних з поверхнею Землі, а також відмінністю форми Землі від сферичної, і вважати, що прискорення вільного падіння в будь-якому місці Землі однаково 9,8 м/с2.

З закону всесвітнього тяжіння випливає, що сила тяжкості та прискорення вільного падіння, що викликається нею, зменшуються при збільшенні відстані від Землі. На висоті від поверхні Землі модуль прискорення вільного падіння визначають за формулою

Встановлено, що у висоті 300 км над поверхнею Землі прискорення вільного падіння менше, ніж в Землі, на 1 м/с2.

Отже, поблизу Землі (до висот кількох кілометрів) сила тяжкості мало змінюється, тому вільне падіння тіл поблизу Землі є рухом рівноприскореним.

Вага тіла. Невагомість та перевантаження

Силу, в якій внаслідок тяжіння до Землі тіло діє свою опору чи підвіс, називають вагою тіла. На відміну від сили тяжіння, що є гравітаційною силою, прикладеною до тіла, вага - це пружна сила, прикладена до опори або підвісу (тобто зв'язку).

Спостереження показують, що вага тіла Р, що визначається на пружинних вагах, дорівнює силі тяжкості Fт, що діє на тіло, тільки в тому випадку, якщо ваги з тілом щодо Землі спочивають або рухаються рівномірно і прямолінійно; В цьому випадку

Якщо ж тіло рухається прискорено, його вага залежить від значення цього прискорення і його напряму щодо напрями прискорення вільного падіння.

Коли тіло підвішене на пружинних терезах, на нього діють дві сили: сила тяжіння Fт=mg і сила пружності Fyп пружини. Якщо при цьому тіло рухається по вертикалі вгору або вниз щодо напрямку прискорення вільного падіння, то векторна сума сил Fт і Fуп дає рівнодіючу, що викликає прискорення тіла, тобто.

Fт + Fуп = mа.

Згідно з наведеним вище визначенням поняття "вага", можна написати, що Р=-Fyп. з огляду на те, що Fт=mg, слід, що mg-mа=-Fyп. Отже, Р = m (g-а).

Сили Fт і Fуп спрямовані по одній вертикальній прямій. Тому якщо прискорення тіла а спрямоване вниз (тобто збігається у напрямку із прискоренням вільного падіння g), то за модулем

Якщо ж прискорення тіла спрямоване вгору (тобто протилежне напрямку прискорення вільного падіння), то

Р = m = m(g+а).

Отже, вага тіла, прискорення якого збігається у напрямку з прискоренням вільного падіння, менше ваги тіла, що спокою, а вага тіла, прискорення якого протилежне напрямку прискорення вільного падіння, більше ваги тіла, що спокою. Збільшення ваги тіла, спричинене його прискореним рухом, називають перевантаженням.

При вільному падінні a = g. слід, що у разі Р=0, т. е. вага відсутня. Отже, якщо тіла рухаються лише під дією сили тяжіння (тобто вільно падають), вони перебувають у стані невагомості. Характерною ознакою цього стану є відсутність у вільно падаючих тіл деформацій і внутрішніх напруг, які викликаються у тіл, що покоїться, силою тяжіння. Причина невагомості тіл полягає в тому, що сила тяжіння повідомляє тілу, що вільно падає, і його опорі (або підвісу) однакові прискорення.