Là một phương trình vi phân bậc nhất. Phương trình vi phân trực tuyến

Nội dung của bài báo

CÁC YẾU TỐ KHÁC NHAU. Nhiều định luật vật lý, là đối tượng của các hiện tượng nhất định, được viết dưới dạng một phương trình toán học thể hiện mối quan hệ nhất định giữa một số đại lượng. Thông thường chúng ta đang nói về mối quan hệ giữa các giá trị thay đổi theo thời gian, ví dụ, hiệu suất của động cơ, được đo bằng quãng đường mà ô tô có thể đi được trên một lít nhiên liệu, phụ thuộc vào tốc độ của ô tô. Phương trình tương ứng chứa một hoặc nhiều hàm và các đạo hàm của chúng và được gọi là phương trình vi phân. (Tốc độ thay đổi của quãng đường theo thời gian được xác định bởi tốc độ; do đó, tốc độ là đạo hàm của quãng đường; tương tự, gia tốc là đạo hàm của tốc độ, vì gia tốc đặt tốc độ thay đổi của tốc độ theo thời gian.) Tầm quan trọng lớn, mà các phương trình vi phân có cho toán học và đặc biệt là các ứng dụng của nó, được giải thích bởi thực tế là nghiên cứu nhiều vật lý và nhiệm vụ kỹ thuật. Phương trình vi phânđóng một vai trò quan trọng trong các ngành khoa học khác, chẳng hạn như sinh học, kinh tế và kỹ thuật điện; trên thực tế, chúng phát sinh ở bất cứ nơi nào cần mô tả định lượng (bằng số) về các hiện tượng (ngay khi thế giới thay đổi theo thời gian và điều kiện thay đổi từ nơi này sang nơi khác).

Các ví dụ.

Các ví dụ sau giúp bạn hiểu rõ hơn về cách các bài toán khác nhau được xây dựng dưới dạng phương trình vi phân.

1) Quy luật phân rã của một số chất phóng xạ là tốc độ phân rã tỉ lệ với khối lượng sẵn có của chất này. Nếu một x là lượng vật chất tại một thời điểm nhất định t, thì luật này có thể được viết như sau:

ở đâu dx/dt là tốc độ phân rã, và k là một hằng số dương đặc trưng cho chất đã cho. (Dấu trừ ở phía bên phải cho biết rằng x giảm dần theo thời gian; dấu cộng, luôn được ngụ ý khi dấu không được nêu rõ ràng, có nghĩa là x tăng theo thời gian.)

2) Ban đầu thùng chứa 10 kg muối hòa tan trong 100 m 3 nước. Nếu một nước tinh khiếtđổ vào bình với tốc độ 1 m 3 trong một phút và trộn đều với dung dịch, và dung dịch thu được chảy ra khỏi bình với tốc độ như nhau, thì tại thời điểm tiếp theo sẽ có bao nhiêu muối trong bình? Nếu một x- lượng muối (tính bằng kg) trong thùng tại thời điểm t, sau đó bất cứ lúc nào t 1 m 3 dung dịch trong bình chứa x/ 100 kg muối; nên lượng muối giảm với tốc độ x/ 100 kg / phút, hoặc

3) Để khối lượng trên cơ thể mđược treo vào đầu lò xo một lực hồi phục có tác dụng tỉ lệ với lực căng của lò xo. Để cho x- lượng lệch của vật khỏi vị trí cân bằng. Sau đó, theo định luật thứ hai của Newton, phát biểu rằng gia tốc (đạo hàm thứ hai của x trong thời gian, biểu thị d 2 x/dt 2) tỷ lệ với sức mạnh:

Vế phải có dấu trừ vì lực phục hồi làm giảm độ dãn của lò xo.

4) Quy luật làm mát cơ thể nói rằng nhiệt lượng trong cơ thể giảm dần tỷ lệ với sự chênh lệch nhiệt độ cơ thể và Môi trường. Nếu một tách cà phê được làm nóng đến nhiệt độ 90 ° C trong phòng có nhiệt độ 20 ° C, thì

ở đâu T- nhiệt độ cà phê tại thời điểm đó t.

5) Bộ trưởng Bộ Ngoại giao của bang Blefuscu tuyên bố rằng chương trình vũ khí trang bị mà Lilliput áp dụng đang buộc đất nước của ông ta phải tăng chi tiêu quân sự càng nhiều càng tốt. Bộ trưởng Bộ Ngoại giao Lilliput cũng đưa ra tuyên bố tương tự. Tình huống kết quả (theo cách hiểu đơn giản nhất) có thể được mô tả chính xác bằng hai phương trình vi phân. Để cho x và y- chi phí trang bị Lilliput và Blefuscu. Giả sử rằng Lilliputia tăng chi tiêu vũ khí của mình với tốc độ tỷ lệ thuận với tốc độ tăng chi tiêu vũ khí của Blefuscu và ngược lại, chúng ta nhận được:

các thành viên ở đâu cây rìu và - qua mô tả chi tiêu quân sự của mỗi quốc gia, k và l là các hằng số dương. (Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra theo cách này vào năm 1939 bởi L. Richardson.)

Sau khi bài toán được viết bằng ngôn ngữ của phương trình vi phân, người ta nên cố gắng giải chúng, tức là tìm các đại lượng có tốc độ thay đổi được bao gồm trong phương trình. Đôi khi các giải pháp được tìm thấy ở dạng công thức rõ ràng, nhưng thường thì chúng chỉ có thể được biểu diễn ở dạng gần đúng hoặc thu được thông tin định tính về chúng. Thường rất khó để xác định xem một giải pháp có tồn tại hay không, chứ chưa nói đến việc tìm ra một giải pháp. Một phần quan trọng của lý thuyết về phương trình vi phân là cái gọi là "định lý tồn tại", chứng minh sự tồn tại của một nghiệm cho một hoặc một loại phương trình vi phân.

Công thức toán học ban đầu của một vấn đề vật lý thường chứa các giả thiết đơn giản hóa; tiêu chí về tính hợp lý của chúng có thể là mức độ nhất quán của giải pháp toán học với các quan sát có sẵn.

Nghiệm của phương trình vi phân.

Ví dụ: phương trình vi phân dy/dx = x/y, không thỏa mãn một số, mà là một hàm, trong trường hợp cụ thể này sao cho đồ thị của nó tại bất kỳ điểm nào, chẳng hạn, tại một điểm có tọa độ (2,3), có một tiếp tuyến với hệ số góc bằng tỷ số của tọa độ ( trong ví dụ của chúng tôi 2/3). Điều này dễ dàng xác minh nếu một số lượng lớn các điểm được xây dựng và một đoạn ngắn với độ dốc tương ứng được bố trí từ mỗi điểm. Lời giải sẽ là một hàm có đồ thị tiếp xúc với mỗi điểm của nó trên đoạn tương ứng. Nếu có đủ các điểm và phân đoạn, thì chúng ta có thể phác thảo một cách gần đúng quy trình của các đường cong quyết định (ba đường cong như vậy được thể hiện trong Hình 1). Có đúng một đường cong giải pháp đi qua mọi điểm với y Số 0. Mỗi nghiệm riêng biệt được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi phân; nếu có thể tìm thấy một công thức chứa tất cả các nghiệm cụ thể (trừ một số nghiệm đặc biệt có thể xảy ra), thì chúng ta nói rằng một nghiệm tổng quát đã thu được. Một giải pháp cụ thể là một chức năng đơn lẻ, trong khi một giải pháp chung là cả một nhóm chức năng. Để giải một phương trình vi phân có nghĩa là tìm nghiệm cụ thể hoặc tổng quát của nó. Trong ví dụ của chúng tôi, giải pháp chung có dạng y 2 – x 2 = c, ở đâu c- bất kỳ số nào; giải pháp cụ thể đi qua điểm (1,1) có dạng y = x và có được khi c= 0; nghiệm cụ thể đi qua điểm (2.1) có dạng y 2 – x 2 = 3. Điều kiện yêu cầu để đường cong nghiệm đi qua, ví dụ, đi qua điểm (2,1), được gọi là điều kiện ban đầu (vì nó xác định điểm bắt đầu trên đường cong giải pháp).

Có thể chỉ ra rằng trong ví dụ (1) lời giải chung có dạng x = ce –kt, ở đâu c- một hằng số có thể được xác định, ví dụ, bằng cách chỉ ra lượng chất ở t= 0. Phương trình từ ví dụ (2) là một trường hợp đặc biệt của phương trình từ ví dụ (1), tương ứng với k= 1/100. Điều kiện ban đầu x= 10 lúc t= 0 đưa ra một giải pháp cụ thể x = 10e –t/ 100. Phương trình từ ví dụ (4) có một nghiệm tổng quát T = 70 + ce –kt và một giải pháp cụ thể 70 + 130 - kt; để xác định giá trị k, dữ liệu bổ sung là cần thiết.

Phương trình vi phân dy/dx = x/yđược gọi là phương trình bậc nhất, vì nó chứa đạo hàm bậc nhất (thông thường coi bậc của đạo hàm cao nhất có trong nó là bậc của một phương trình vi phân). Đối với hầu hết (mặc dù không phải tất cả) phương trình vi phân loại đầu tiên phát sinh trong thực tế, chỉ có một đường cong nghiệm đi qua mỗi điểm.

Có một số loại phương trình vi phân bậc nhất quan trọng có thể được giải dưới dạng công thức chỉ chứa các hàm cơ bản - lũy thừa, số mũ, logarit, sin và cosin, v.v. Các phương trình này bao gồm những điều sau đây.

Phương trình với các biến có thể phân tách.

Các phương trình có dạng dy/dx = f(x)/g(y) có thể được giải quyết bằng cách viết nó dưới dạng vi phân g(y)dy = f(x)dx và tích hợp cả hai phần. Trong trường hợp xấu nhất, lời giải có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân của các hàm đã biết. Ví dụ, trong trường hợp của phương trình dy/dx = x/y chúng ta có f(x) = x, g(y) = y. Bằng cách viết nó dưới dạng ydy = xdx và tích hợp, chúng tôi nhận được y 2 = x 2 + c. Các phương trình với các biến có thể phân tách bao gồm các phương trình từ các ví dụ (1), (2), (4) (chúng có thể được giải bằng phương pháp mô tả ở trên).

Phương trình trong tổng vi phân.

Nếu phương trình vi phân có dạng dy/dx = M(x,y)/N(x,y), ở đâu M và N là hai hàm đã cho, nó có thể được biểu diễn dưới dạng M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Nếu vế trái là vi phân của một số hàm F(x,y), thì phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng dF(x,y) = 0, tương đương với phương trình F(x,y) = const. Do đó, đường cong nghiệm phương trình là "đường có mức không đổi" của một hàm, hoặc quỹ tích của các điểm thỏa mãn các phương trình F(x,y) = c. Phương trình ydy = xdx(Hình 1) - với các biến có thể phân tách và nó giống nhau - về tổng số chênh lệch: để xác minh điều sau, chúng tôi viết nó dưới dạng ydy – xdx= 0, tức là d(y 2 – x 2) = 0. Chức năng F(x,y) trong trường hợp này bằng (1/2) ( y 2 – x 2); một số đường mức không đổi của nó được thể hiện trong Hình. một.

Các phương trình tuyến tính.

Phương trình tuyến tính là phương trình "bậc một" - hàm chưa biết và các đạo hàm của nó chỉ được đưa vào các phương trình như vậy ở bậc một. Như vậy, phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng dy/dx + P(x) = q(x), ở đâu P(x) và q(x) là các chức năng chỉ phụ thuộc vào x. Lời giải của nó luôn có thể được viết bằng cách sử dụng tích phân của các hàm đã biết. Nhiều loại phương trình vi phân bậc nhất khác được giải bằng các kỹ thuật đặc biệt.

Phương trình của đơn đặt hàng cao hơn.

Nhiều phương trình vi phân mà các nhà vật lý xử lý là phương trình bậc hai (tức là các phương trình chứa đạo hàm cấp hai). Chẳng hạn, đó là phương trình chuyển động điều hòa đơn giản trong ví dụ (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Nói chung, người ta mong đợi một phương trình bậc hai có các nghiệm cụ thể thỏa mãn hai điều kiện; ví dụ, người ta có thể yêu cầu rằng đường cong giải pháp đi qua điểm đã cho Trong hướng này. Trong trường hợp phương trình vi phân có chứa một số tham số (một số có giá trị phụ thuộc vào hoàn cảnh), các nghiệm thuộc loại bắt buộc chỉ tồn tại cho các giá trị nhất định của tham số này. Ví dụ, hãy xem xét phương trình md 2 x/dt 2 = –kx và chúng tôi yêu cầu điều đó y(0) = y(1) = 0. Chức năng yє 0 chắc chắn là một nghiệm, nhưng nếu là bội số nguyên P, I E. k = m 2 N 2 P 2, ở đâu N là một số nguyên và trên thực tế chỉ trong trường hợp này, có các giải pháp khác, đó là: y= tội lỗi npx. Các giá trị tham số mà phương trình có nghiệm đặc biệt được gọi là giá trị đặc trưng hoặc giá trị riêng; chúng đóng một vai trò quan trọng trong nhiều nhiệm vụ.

Phương trình của chuyển động điều hòa đơn giản minh họa cho một loại phương trình quan trọng, đó là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi. Một ví dụ tổng quát hơn (cũng là bậc hai) là phương trình

ở đâu một và b là các hằng số đã cho, f(x) là một hàm đã cho. Các phương trình như vậy có thể được giải những cách khác, ví dụ, sử dụng phép biến đổi Laplace tích phân. Điều tương tự cũng có thể được nói về phương trình tuyến tính của bậc cao hơn với hệ số không đổi. Phương trình tuyến tính với hệ số thay đổi cũng đóng một vai trò quan trọng.

Phương trình vi phân phi tuyến.

Các phương trình có chứa các hàm chưa biết và các đạo hàm của chúng cao hơn bậc nhất hoặc theo một số cách phức tạp hơn được gọi là phi tuyến tính. TẠI những năm trước chúng ngày càng được chú ý nhiều hơn. Vấn đề là các phương trình vật lý thường chỉ tuyến tính trong phép gần đúng đầu tiên; Điều tra sâu hơn và chính xác hơn, như một quy luật, yêu cầu sử dụng các phương trình phi tuyến tính. Ngoài ra, nhiều vấn đề vốn là phi tuyến tính. Vì các nghiệm của phương trình phi tuyến tính thường rất phức tạp và khó biểu diễn công thức đơn giản, phần quan trọng lý thuyết hiện đạiđược dành cho phân tích định tính về hành vi của họ, tức là sự phát triển của các phương pháp làm cho nó có thể, mà không cần giải các phương trình, nói lên điều gì đó có ý nghĩa về bản chất của tổng thể các nghiệm: ví dụ, chúng đều có giới hạn, hoặc có tính chất tuần hoàn, hoặc phụ thuộc vào một cách nhất định vào các hệ số.

Các nghiệm gần đúng của phương trình vi phân có thể được tìm thấy bằng số, nhưng điều này mất rất nhiều thời gian. Với sự ra đời của máy tính tốc độ cao, thời gian này đã giảm đi rất nhiều, điều này đã mở ra những khả năng mới cho giải pháp số của nhiều bài toán mà trước đây không thể giải được.

Các định lý tồn tại.

Định lý tồn tại là một định lý nói rằng trong những điều kiện nhất định, một phương trình vi phân đã cho có nghiệm. Có những phương trình vi phân không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm hơn dự kiến. Mục đích của định lý tồn tại là thuyết phục chúng ta rằng một phương trình đã cho có nghiệm và thường là để đảm bảo rằng nó có đúng một nghiệm thuộc loại bắt buộc. Ví dụ, phương trình chúng ta đã gặp dy/dx = –2y có đúng một nghiệm đi qua mọi điểm của mặt phẳng ( x,y), và vì chúng ta đã tìm được một nghiệm như vậy, nên chúng ta đã hoàn toàn giải được phương trình này. Mặt khác, phương trình ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 có nhiều giải pháp. Trong số đó trực tiếp y = 1, y= –1 và các đường cong y= sin ( x + c). Giải pháp có thể bao gồm một số đoạn của các đường thẳng và đường cong này, truyền vào nhau tại các điểm tiếp xúc (Hình 2).

Phương trình vi phân từng phần.

Một phương trình vi phân thông thường là một phát biểu về đạo hàm của một hàm chưa biết của một biến. Một phương trình đạo hàm riêng chứa một hàm có hai biến trở lên và các đạo hàm của hàm đó trong ít nhất hai biến khác nhau.

Trong vật lý, các ví dụ về các phương trình như vậy là phương trình Laplace

X, y) bên trong vòng tròn nếu các giá trị uđược cho tại mỗi điểm của vòng tròn giới hạn. Vì các bài toán có nhiều hơn một biến trong vật lý là quy luật chứ không phải là ngoại lệ, nên có thể dễ dàng hình dung chủ đề của lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng rộng lớn như thế nào.

Ghi chú bài giảng trên

phương trình vi phân

Phương trình vi phân

Giới thiệu

Khi nghiên cứu một số hiện tượng, một tình huống thường nảy sinh khi không thể mô tả quá trình bằng phương trình y = f (x) hoặc F (x; y) = 0. Ngoài biến x và hàm số chưa biết, phương trình bao gồm cả đạo hàm của hàm số này.

Sự định nghĩa: Phương trình liên hệ giữa biến số x, hàm số chưa biết y (x) và các đạo hàm của nó được gọi là phương trình vi phân. TẠI nhìn chung phương trình vi phân trông giống như sau:

F (x; y (x); ;; ...; y (n)) = 0

Sự định nghĩa: Bậc của một phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất của nó.

-Phương trình vi phân bậc 1

– Phương trình vi phân bậc 3

Sự định nghĩa: Nghiệm của một phương trình vi phân là một hàm mà khi được thay thế vào phương trình, nó sẽ biến nó thành một đồng nhất.

Phương trình vi phân bậc 1

Sự định nghĩa: Loại phương trình = f (x; y) hoặc F (x; y; )=0được gọi là phương trình vi phân bậc 1.

Sự định nghĩa: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc 1 là hàm y = γ (x; c), trong đó (с –const), khi được thay thế vào phương trình, biến nó thành một đồng nhất. Về mặt hình học trên mặt phẳng, nghiệm tổng quát tương ứng với một họ các đường cong tích phân phụ thuộc vào tham số c.

Sự định nghĩa:Đường cong tích phân đi qua một điểm trong mặt phẳng có tọa độ (x 0; y 0) tương ứng với một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu:

Định lý về sự tồn tại duy nhất của nghiệm của phương trình vi phân bậc 1

Cho một phương trình vi phân bậc 1
và hàm số f (x; y) liên tục có đạo hàm riêng trong miền D nào đó của mặt phẳng XOY thì qua điểm M 0 (x 0; y 0) D đi qua đường cong duy nhất tương ứng với một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân tương ứng với điều kiện ban đầu y (x 0) = y 0

Qua điểm thuộc mặt phẳng có tọa độ cho trước đi qua 1 đường cong tích phân.

Nếu không thể lấy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc 1 ở dạng tường minh, tức là
, thì nó có thể được lấy một cách ngầm định:

F (x; y; c) = 0 - dạng ẩn

Giải pháp chung trong hình thức này được gọi là tích phân chung phương trình vi phân.

Liên quan đến phương trình vi phân bậc 1, 2 nhiệm vụ được đặt ra:

1) Tìm một nghiệm tổng quát (tích phân tổng quát)

2) Tìm một nghiệm cụ thể (tích phân từng phần) thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Bài toán này được gọi là bài toán Cauchy cho một phương trình vi phân.

Phương trình vi phân với các biến có thể phân tách

Các phương trình có dạng:
được gọi là một phương trình vi phân với các biến có thể phân tách được.

Thay thế

nhân với dx

chúng tôi tách các biến

chia cho

Lưu ý: Cần xem xét trường hợp đặc biệt khi

các biến được tách biệt

chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình

- quyết định chung

Một phương trình vi phân với các biến phân tách có thể được viết dưới dạng:

trường hợp cá nhân
!

Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình:

1)

2)
sớm điều kiện:

Phương trình vi phân thuần nhất bậc 1

Sự định nghĩa: Hàm số
được gọi là thuần nhất bậc n nếu

Ví dụ: - Hàm thuần nhất bậc n = 2

Sự định nghĩa: Một hàm thuần nhất bậc 0 được gọi là đồng nhất.

Sự định nghĩa: Phương trình vi phân
được gọi là đồng nhất nếu
- chức năng thuần nhất, tức là

Do đó, phương trình vi phân thuần nhất có thể được viết dưới dạng:

Bằng cách thay thế , trong đó t là một hàm của biến x, phương trình vi phân thuần nhất được rút gọn thành một phương trình với các biến có thể phân tách được.

- thay thế vào phương trình

Các biến được tách ra, chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình

Hãy để chúng tôi thay thế ngược lại bằng cách thay thế , chúng tôi có được giải pháp chung ở dạng ngầm định.

Một phương trình vi phân thuần nhất có thể được viết dưới dạng vi phân.

M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0, trong đó M (x; y) và N (x; y) là các hàm thuần nhất cùng bậc.

Chia cho dx và biểu diễn

1)

Nhớ lại vấn đề mà chúng ta gặp phải khi tìm tích phân xác định:

hoặc dy = f (x) dx. Giải pháp của cô ấy:

và nó tổng hợp để tính toán không xác định, không thể thiếu. Trong thực tế, một nhiệm vụ khó khăn hơn phổ biến hơn: tìm một hàm y, nếu biết rằng nó thỏa mãn một quan hệ của biểu mẫu

Mối quan hệ này liên quan đến biến độc lập x, chức năng không xác định y và các dẫn xuất của nó theo thứ tự N bao gồm, được gọi là .

Một phương trình vi phân bao gồm một hàm dưới dấu của đạo hàm (hoặc vi phân) bậc này hay bậc khác. Thứ tự của mức cao nhất được gọi là thứ tự (9.1) .

Phương trình vi phân:

- đơn hàng đầu tiên

đơn hàng thứ hai,

- đơn hàng thứ năm, v.v.

Một hàm thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho được gọi là nghiệm của nó , hoặc tích phân . Để giải quyết nó có nghĩa là tìm tất cả các giải pháp của nó. Nếu cho chức năng mong muốn yđã thành công trong việc thu được một công thức cung cấp tất cả các giải pháp, sau đó chúng tôi nói rằng chúng tôi đã tìm ra giải pháp chung của nó , hoặc tích phân tổng quát .

Quyết định chung chứa N hằng số tùy ý và trông giống như

Nếu thu được một quan hệ có liên quan x, y và N các hằng số tùy ý, ở dạng không được phép đối với y -

thì quan hệ như vậy được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (9.1).

Vấn đề Cauchy

Mỗi giải pháp cụ thể, tức là, mỗi hàm cụ thể thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho và không phụ thuộc vào các hằng số tùy ý được gọi là một nghiệm cụ thể , hoặc tích phân riêng. Để có được các nghiệm cụ thể (tích phân) từ các nghiệm tổng quát, cần phải gắn các giá trị số cụ thể với các hằng số.

Đồ thị của một nghiệm cụ thể được gọi là đường cong tích phân. Giải pháp tổng quát, chứa tất cả các nghiệm cụ thể, là một họ các đường cong tích phân. Đối với phương trình bậc nhất, họ này phụ thuộc vào một hằng số tùy ý; đối với phương trình N thứ tự - từ N hằng số tùy ý.

Vấn đề Cauchy là tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình N thứ tự, đáp ứng Nđiều kiện ban đầu:

xác định n hằng số с 1, с 2, ..., c n.

Phương trình vi phân bậc 1

Đối với một bài toán chưa giải được đối với đạo hàm, phương trình vi phân bậc 1 có dạng

hoặc cho phép một cách tương đối

Ví dụ 3.46. Tìm một nghiệm tổng quát cho phương trình

Dung dịch. Tích hợp, chúng tôi nhận được

trong đó C là một hằng số tùy ý. Nếu chúng ta cung cấp cho C các giá trị số cụ thể, thì chúng ta sẽ nhận được các giải pháp cụ thể, ví dụ:

Ví dụ 3.47. Xem xét số tiền gửi vào ngân hàng ngày càng tăng, tùy thuộc vào khoản tích lũy là 100 r lãi kép mỗi năm. Gọi Yo là số tiền ban đầu và Yx sau khi hết hạn x nhiều năm. Khi tiền lãi được tính mỗi năm một lần, chúng tôi nhận được

trong đó x = 0, 1, 2, 3, .... Khi tính lãi hai lần một năm, chúng ta nhận được

trong đó x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... Khi tính lãi N mỗi năm một lần và nếu x nhận liên tiếp các giá trị 0, 1 / n, 2 / n, 3 / n, ..., sau đó

Ký hiệu 1 / n = h, thì đẳng thức trước đó sẽ giống như sau:

Với độ phóng đại không giới hạn N(tại ) trong giới hạn, chúng tôi đi đến quy trình tăng số tiền với lãi suất tích lũy liên tục:

Như vậy, có thể thấy rằng với sự thay đổi liên tục x Quy luật thay đổi trong cung tiền được biểu diễn bằng một phương trình vi phân bậc 1. Trong đó Y x là một hàm chưa biết, x- biến độc lập, r- không thay đổi. Chúng tôi giải phương trình này, cho điều này chúng tôi viết lại nó như sau:

ở đâu , hoặc , trong đó P là viết tắt của e C.

Từ các điều kiện ban đầu Y (0) = Yo, ta tìm được P: Yo = Pe o, khi đó, Yo = P. Do đó, giải pháp có dạng:

Hãy xem xét vấn đề kinh tế thứ hai. Các mô hình kinh tế vĩ mô cũng được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính bậc 1, mô tả sự thay đổi trong thu nhập hoặc sản lượng Y như một hàm của thời gian.

Ví dụ 3.48. Để thu nhập quốc dân Y tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với giá trị của nó:

và giả sử, thâm hụt trong chi tiêu của chính phủ tỷ lệ thuận với thu nhập Y với hệ số tỷ lệ thuận q. Thâm hụt trong chi tiêu dẫn đến tăng nợ quốc gia D:

Điều kiện ban đầu Y = Yo và D = Do lúc t = 0. Từ phương trình đầu tiên Y = Yoe kt. Thay Y ta được dD / dt = qYoe kt. Giải pháp chung có dạng
D = (q / k) Yoe kt + С, trong đó С = const, được xác định từ các điều kiện ban đầu. Thay các điều kiện ban đầu, chúng ta thu được Do = (q / k) Yo + C. Vì vậy, cuối cùng,

D = Do + (q / k) Yo (e kt -1),

điều này cho thấy nợ quốc gia đang tăng với cùng một tốc độ tương đối k, là thu nhập quốc dân.

Xét các phương trình vi phân đơn giản nhất N thứ tự, đây là những phương trình có dạng

Giải pháp chung của nó có thể được lấy bằng cách sử dụng N thời hội nhập.

Ví dụ 3.49. Hãy xem xét ví dụ y "" "= cos x.

Dung dịch. Tích hợp, chúng tôi thấy

Giải pháp chung có dạng

Phương trình vi phân tuyến tính

Trong kinh tế học, chúng được sử dụng rất nhiều, hãy xem xét nghiệm của những phương trình như vậy. Nếu (9.1) có dạng:

thì nó được gọi là tuyến tính, trong đó po (x), p1 (x), ..., pn (x), f (x) là các hàm đã cho. Nếu f (x) = 0 thì (9.2) được gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình (9.2) bằng tổng của bất kỳ nghiệm cụ thể nào của nó y (x) và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với nó:

Nếu các hệ số p o (x), p 1 (x), ..., p n (x) là hằng số thì (9.2)

(9.4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số bậc không đổi N .

Đối với (9.4) nó có dạng:

Chúng ta có thể đặt mà không mất tính tổng quát p o = 1 và viết (9.5) dưới dạng

Chúng ta sẽ tìm một nghiệm (9.6) ở dạng y = e kx, với k là hằng số. Chúng ta có: ; y "= ke kx, y" "= k 2 e kx, ..., y (n) = kx. Thay các biểu thức thu được vào (9.6), ta sẽ có:

(9.7) là một phương trình đại số, ẩn số của nó là k, nó được gọi là đặc tính. Phương trình đặc trưng có độ N và N rễ, trong đó có thể có cả nhiều và phức tạp. Để k 1, k 2, ..., k n là thực và phân biệt, khi đó là các giải pháp cụ thể (9,7), trong khi các giải pháp chung

Xét một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số không đổi:

Phương trình đặc trưng của nó có dạng

(9.9)

phân biệt D = p 2 - 4q của nó, tùy thuộc vào dấu của D, ba trường hợp có thể xảy ra.

1. Nếu D> 0 thì nghiệm nguyên k 1 và k 2 (9,9) là thực và khác nhau, nghiệm tổng quát có dạng:

Dung dịch. Phương trình đặc trưng: k 2 + 9 = 0, khi k = ± 3i, a = 0, b = 3, nghiệm tổng quát là:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai được sử dụng để nghiên cứu mô hình kinh tế giống như web với các kho hàng hóa, trong đó tốc độ thay đổi của giá P phụ thuộc vào quy mô của hàng hóa (xem đoạn 10). Nếu cung và cầu là hàm tuyến tính của giá cả, nghĩa là

a - là hằng số xác định tốc độ phản ứng, khi đó quá trình thay đổi giá được mô tả bằng phương trình vi phân:

Đối với một giải pháp cụ thể, bạn có thể lấy một hằng số

có nghĩa là giá cân bằng. Độ lệch thỏa mãn phương trình thuần nhất

(9.10)

Phương trình đặc trưng sẽ như sau:

Trong trường hợp, thuật ngữ là số dương. Chứng tỏ . Căn của phương trình đặc trưng k 1,2 = ± i w nên nghiệm tổng quát (9.10) có dạng:

trong đó C và các hằng số tùy ý, chúng được xác định từ các điều kiện ban đầu. Chúng ta đã có được quy luật thay đổi giá theo thời gian:

Các máy tính trực tuyến cho phép bạn giải các phương trình vi phân trực tuyến. Chỉ cần nhập phương trình của bạn vào trường thích hợp, biểu thị "đạo hàm của hàm" bằng dấu nháy đơn và nhấp vào nút "giải phương trình" Và hệ thống được thực hiện trên cơ sở trang web WolframAlpha phổ biến sẽ cung cấp thông tin chi tiết giải phương trình vi phân hoàn toàn miễn phí. Bạn cũng có thể đặt vấn đề Cauchy để từ toàn bộ tập hợp phương pháp khả thi chọn một thương tương ứng với các điều kiện ban đầu đã cho. Bài toán Cauchy được nhập vào một trường riêng biệt.

Phương trình vi phân

Theo mặc định, trong phương trình, hàm y là một hàm của một biến x. Tuy nhiên, bạn có thể đặt ký hiệu biến của riêng mình, ví dụ: nếu bạn viết y (t) trong một phương trình, máy tính sẽ tự động nhận ra rằng y là một hàm của một biến t. Với máy tính, bạn có thể giải phương trình vi phân thuộc bất kỳ độ phức tạp và kiểu nào: đồng nhất và không đồng nhất, tuyến tính hoặc không tuyến tính, bậc nhất hoặc bậc hai trở lên, phương trình với các biến có thể phân tách hoặc không phân tách được, v.v. Giải pháp khác. phương trình được đưa ra trong dạng phân tích, Nó có miêu tả cụ thể. Phương trình vi phân rất phổ biến trong vật lý và toán học. Nếu không có sự tính toán của họ, không thể giải quyết được nhiều vấn đề (đặc biệt là trong vật lý toán học).

Một trong những bước giải phương trình vi phân là tính tích phân của các hàm. Có các phương pháp tiêu chuẩn để giải phương trình vi phân. Cần đưa phương trình về dạng với các biến y, x có thể phân tách được và tích phân riêng các hàm đã tách được. Để làm được điều này, đôi khi bạn cần thực hiện một sự thay thế nhất định.

Phương trình vi phân (DE) là phương trình,
trong đó là các biến độc lập, y là một hàm và là các đạo hàm riêng.

Phương trình vi phân thường là một phương trình vi phân chỉ có một biến độc lập,.

Phương trình vi phân từng phần là một phương trình vi phân có hai hoặc nhiều biến độc lập.

Các từ "thông thường" và "đạo hàm riêng" có thể được bỏ qua nếu rõ ràng phương trình nào đang được xem xét. Trong những gì sau đây, các phương trình vi phân thông thường được coi là.

Thứ tự của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất.

Đây là một ví dụ về phương trình bậc nhất:

Đây là một ví dụ về phương trình bậc 4:

Đôi khi một phương trình vi phân bậc nhất được viết dưới dạng vi phân:

Trong trường hợp này, các biến x và y bằng nhau. Tức là, biến độc lập có thể là x hoặc y. Trong trường hợp đầu tiên, y là một hàm của x. Trong trường hợp thứ hai, x là một hàm của y. Nếu cần, chúng ta có thể đưa phương trình này về dạng trong đó đạo hàm y ′ đi vào một cách rõ ràng.
Chia phương trình này cho dx, ta được:
.
Kể từ và, nó theo sau đó
.

Giải pháp của phương trình vi phân

Đạo hàm của các hàm sơ cấp được biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp. Tích phân của các hàm cơ bản thường không được thể hiện dưới dạng các hàm cơ bản. Với phương trình vi phân, tình hình thậm chí còn tồi tệ hơn. Theo kết quả của giải pháp, bạn có thể nhận được:

• sự phụ thuộc rõ ràng của một hàm vào một biến;

  Giải phương trình vi phân là hàm y = u (x), được xác định, có thể phân biệt n lần, và.

• sự phụ thuộc ngầm định dưới dạng một phương trình loại Φ (x, y) = 0 hoặc các hệ phương trình;

  Tích phân của phương trình vi phân là một nghiệm của một phương trình vi phân có dạng không tường minh.

• sự phụ thuộc thể hiện qua các hàm cơ bản và tích phân từ chúng;

  Lời giải của một phương trình vi phân trong hệ số bốn - đây là việc tìm kiếm một giải pháp dưới dạng kết hợp của các hàm cơ bản và tích phân của chúng.

• giải pháp có thể không được thể hiện dưới dạng các chức năng cơ bản.

Vì nghiệm của phương trình vi phân được rút gọn thành phép tính tích phân, nên nghiệm bao gồm một tập hợp các hằng số C 1, C 2, C 3, ... C n. Số hằng số bằng bậc của phương trình. Tích phân từng phần của một phương trình vi phân là tích phân tổng quát cho các giá trị đã cho của các hằng số C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Người giới thiệu:
V.V. Stepanov, Khóa học về phương trình vi phân, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các vấn đề trong toán học cao hơn, Lan, 2003.