Bách khoa toàn thư về an toàn cháy nổ

Đáy của hình nón là. hình nón. Các khái niệm cơ bản. Diện tích bề mặt của một hình nón. Máy phát điện hình nón nghiêng






















Quay lại phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Mục tiêu bài học:

  • giáo dục: giới thiệu khái niệm về hình nón và các phần tử của nó; xét việc dựng một hình nón thẳng; xét việc tìm toàn bộ bề mặt của hình nón; phát triển khả năng giải các bài toán tìm phần tử của hình nón.
  • Phát triển: phát triển khả năng nói toán học, tư duy logic.
  • giáo dục: trau dồi hoạt động nhận thức, văn hóa giao tiếp, văn hóa đối thoại.

Hình thức bài học: bài học về hình thành kiến ​​thức, kỹ năng mới.

Hình thức hoạt động giáo dục: hình thức làm việc tập thể.

Các phương pháp được sử dụng trong bài học: giải thích-minh họa, hiệu quả.

Tài liệu giáo khoa: vở, sách giáo khoa, bút mực, bút chì, thước kẻ, bảng, phấn và bút màu, máy chiếu và bài thuyết trình “Hình nón. Các khái niệm cơ bản. Diện tích bề mặt của một hình nón.

Kế hoạch bài học:

  1. Thời điểm tổ chức (1 phút).
  2. Giai đoạn chuẩn bị (động lực) (5 phút).
  3. Học tài liệu mới (15 phút).
  4. Giải bài toán tìm phần tử của hình nón (15 phút).
  5. Tóm tắt bài học (2 phút).
  6. Bài tập về nhà (2 phút).

TRONG LỚP HỌC

1. Thời điểm tổ chức

Mục tiêu: chuẩn bị học bài mới.

2. Giai đoạn chuẩn bị

Hình thức: nói miệng.

Mục tiêu: làm quen với một cơ thể luân chuyển mới.

Nón dịch từ tiếng Hy Lạp “konos” có nghĩa là “quả thông”.

Có những vật có dạng hình nón. Chúng có thể được nhìn thấy trong nhiều đồ vật khác nhau, từ kem thông thường đến đồ công nghệ, cũng như trong đồ chơi trẻ em (kim tự tháp, bánh quy giòn, v.v.), trong tự nhiên (vân sam, núi, núi lửa, lốc xoáy).

(Sử dụng Slide 1-7)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động sinh viên

3. Giải thích tài liệu mới

Mục tiêu: giới thiệu các khái niệm và tính chất mới của hình nón.
1. Có thể thu được một hình nón bằng cách xoay một hình tam giác vuông quanh một chân của nó. (Trang trình bày 8)
Bây giờ chúng ta hãy xem một hình nón được xây dựng như thế nào. Đầu tiên ta vẽ đường tròn tâm O và đường thẳng OP vuông góc với mặt phẳng của đường tròn này. Chúng ta nối từng điểm của đường tròn với một đoạn thẳng thành điểm P (giáo viên từng bước dựng hình nón). Bề mặt được hình thành bởi các phân đoạn này được gọi là bề mặt hình nón và chính các phân đoạn đó – hình thành bề mặt hình nón. 		Trong sổ ghi chép họ xây dựng một hình nón.
(Nêu định nghĩa) (Slide 9) Một vật thể giới hạn bởi một mặt nón và một đường tròn có giới hạn L được gọi là hình nón. Viết ra định nghĩa.
Mặt hình nón được gọi là mặt bên của hình nón, và đường tròn là cơ sở của hình nón. Đường thẳng OP đi qua tâm đáy và đỉnh gọi là trục hình nón. Trục của hình nón vuông góc với mặt phẳng đáy. Đoạn OP được gọi là chiều cao hình nón. Điểm P được gọi là đỉnh của hình nón, và các máy phát điện của bề mặt hình nón là hình thành một hình nón. Các phần tử của hình nón được dán nhãn trên bản vẽ.
Kể tên hai phương trình sinh của hình nón và so sánh chúng? PA và PB bằng nhau.
Tại sao máy phát điện lại bằng nhau? Hình chiếu của các mặt nghiêng bằng bán kính của đường tròn, nghĩa là bản thân các máy phát cũng bằng nhau.
Viết vào vở: Tính chất của hình nón: (Trang trình bày 10)
1. Tất cả các phần tử sinh của hình nón đều bằng nhau.

Các góc nghiêng của máy phát điện với đế là bao nhiêu? So sánh chúng.
Tại sao, chứng minh điều đó?

Các góc: PCO, PDO. Họ đều bình đẳng.
Vì tam giác PAB là tam giác cân.
2. Góc nghiêng của máy sinh với đáy bằng nhau.

Các góc giữa trục và máy phát điện là gì?
Bạn có thể nói gì về những góc độ này?

SRO và DPO
Họ đều bình đẳng.
3. Các góc giữa trục và máy phát bằng nhau.

Góc giữa trục và đáy là bao nhiêu?
Các góc này bằng bao nhiêu?

POC và POD.
90 giờ
4. Các góc giữa trục và đáy đều vuông.

Chúng ta sẽ chỉ xét một hình nón thẳng.
2. Xét phần hình nón theo các mặt phẳng khác nhau.
Mặt phẳng cắt đi qua trục của hình nón là gì?		 Tam giác.
Đây là hình tam giác gì? Nó là cân.
Tại sao? Hai bên của nó là máy phát điện và chúng bằng nhau.
Đáy của tam giác này là gì? Đường kính đáy của hình nón.
Phần này được gọi là trục. (Trang trình bày 11) Vẽ phần này vào sổ tay của bạn và dán nhãn cho nó.
Mặt phẳng cắt vuông góc với trục OP của hình nón là mặt phẳng nào?		 Vòng tròn.
Tâm của vòng tròn này nằm ở đâu? Trên trục của hình nón.
Phần này được gọi là phần tròn (Thang 12)
Vẽ phần này vào sổ tay của bạn và dán nhãn cho nó.
Có những loại mặt cắt hình nón khác không hướng trục và không song song với đáy hình nón. Hãy xem xét chúng với các ví dụ. (Trang trình bày 13)		 Họ viết nguệch ngoạc vào sổ tay.
3. Bây giờ chúng ta rút ra công thức tính tổng bề mặt của hình nón. (Trang trình bày 14)
Để làm điều này, bề mặt bên của hình nón, giống như bề mặt bên của hình trụ, có thể được biến thành một mặt phẳng bằng cách cắt nó dọc theo một trong các đường sinh.
Sự phát triển của bề mặt bên của hình nón là gì? (vẽ lên bảng) Lĩnh vực tuần hoàn.
Bán kính của khu vực này là bao nhiêu? Máy phát điện hình nón.
Còn chiều dài cung của khu vực thì sao? Đường tròn.
Diện tích bề mặt bên của hình nón được coi là diện tích phát triển của nó. (Trang trình bày 15) , đâu là số đo độ của cung.
Diện tích của khu vực hình tròn là gì?
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là bao nhiêu?

Hãy thể hiện nó thông qua và . (Trang trình bày 16)
Độ dài của cung là bao nhiêu?
Mặt khác, cùng một cung đó biểu thị chu vi của đáy hình nón. Nó bằng gì?
Thay thế bề mặt bên của hình nón vào công thức chúng ta nhận được, .
Tổng diện tích bề mặt của hình nón là tổng diện tích của bề mặt bên và đáy. .
Viết ra các công thức này.

Viết ra: , .h

(Trang trình bày 21)
L=5

6. Bài tập về nhà. P.55, 56, Số 548(b), 549(b). (Trang trình bày 22)

bề mặt hình nón là bề mặt được hình thành bởi tất cả các đường thẳng đi qua từng điểm của một đường cong cho trước và một điểm nằm ngoài đường cong (Hình 32).

Đường cong này được gọi là hướng dẫn , thẳng - hình thành , chấm - đứng đầu bề mặt hình nón.

Mặt nón tròn thẳng là bề mặt được hình thành bởi tất cả các đường thẳng đi qua mỗi điểm của một đường tròn cho trước và một điểm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của đường tròn và đi qua tâm của nó. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ gọi ngắn gọn bề mặt này bề mặt hình nón (Hình 33).

hình nón (nón tròn thẳng ) là một khối hình học được giới hạn bởi một bề mặt hình nón và một mặt phẳng song song với mặt phẳng của đường tròn dẫn hướng (Hình 34).


Cơm. 32 Hình. 33 Hình. 34

Một hình nón có thể được coi là một vật thể thu được bằng cách quay một tam giác vuông quanh một trục chứa một trong các cạnh của tam giác đó.

Vòng tròn bao quanh một hình nón được gọi là nền tảng . Đỉnh của mặt nón gọi là đứng đầu hình nón Đoạn nối đỉnh của hình nón với tâm của đáy nó được gọi là chiều cao hình nón Các đoạn tạo thành bề mặt hình nón được gọi là hình thành hình nón Trục của hình nón là đường thẳng đi qua đỉnh và tâm của hình nón. Phần trục gọi là tiết diện đi qua trục của hình nón. Phát triển bề mặt bên Hình nón được gọi là một hình nón, bán kính của nó bằng chiều dài của đường sinh của hình nón và chiều dài cung của hình nón bằng chu vi của đáy hình nón.

Các công thức sau đây đúng cho hình nón:

Ở đâu R- bán kính đáy;

H- chiều cao;

tôi- chiều dài của máy phát;

Đế chữ S- vùng cơ sở;

bên S

đầy đủ

V.- thể tích của hình nón.

Nón cụt gọi là phần hình nón nằm giữa đế và mặt phẳng cắt song song với đáy hình nón (Hình 35).


Một hình nón cụt có thể được coi là một vật thể thu được bằng cách quay một hình thang chữ nhật quanh một trục chứa cạnh của hình thang vuông góc với các đáy.

Hai đường tròn bao quanh một hình nón được gọi là lý do . Chiều cao của một hình nón cụt là khoảng cách giữa các đáy của nó. Các đoạn tạo thành bề mặt hình nón của hình nón cụt được gọi là hình thành . Đường thẳng đi qua tâm của các đáy gọi là trục nón cụt. Phần trục gọi là phần đi qua trục của hình nón cụt.

Đối với hình nón cụt, công thức đúng là:

(8)

Ở đâu R- bán kính của đáy dưới;

r- bán kính của đáy trên;

H– chiều cao, l – chiều dài của máy phát;

bên S- diện tích bề mặt bên;

đầy đủ- Tổng diện tích bề mặt;

V.- thể tích của hình nón cụt.

Ví dụ 1. Tiết diện của hình nón song song với đáy chia chiều cao theo tỷ lệ 1:3 tính từ trên xuống. Tìm diện tích xung quanh của một hình nón cụt nếu bán kính đáy và chiều cao của hình nón là 9 cm và 12 cm.

Giải pháp. Hãy vẽ một bức tranh (Hình 36).

Để tính diện tích bề mặt bên của hình nón cụt, chúng ta sử dụng công thức (8). Hãy tìm bán kính của các căn cứ Khoảng 1 A Và Khoảng 1 V và hình thành AB.

Xét các tam giác đồng dạng SO2B Và SO 1 A, hệ số tương tự thì

Từ đây

Kể từ đó

Diện tích xung quanh của hình nón cụt bằng:

Trả lời: .

Ví dụ 2. Một phần tư đường tròn bán kính được gấp lại thành một bề mặt hình nón. Tìm bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

Giải pháp. Góc phần tư của hình tròn là sự phát triển của bề mặt bên của hình nón. Hãy biểu thị r- bán kính đáy của nó, H – chiều cao. Hãy tính diện tích xung quanh bằng công thức: . Nó bằng diện tích của một phần tư hình tròn: . Ta được phương trình với hai ẩn số r Và tôi(tạo thành hình nón). Trong trường hợp này, đường sinh bằng bán kính của một phần tư hình tròn R, nghĩa là ta thu được phương trình sau: , từ đó Biết bán kính đáy và đạo hàm, ta tìm được chiều cao của hình nón:

Trả lời: 2cm, .

Ví dụ 3. Một hình thang chữ nhật có góc nhọn 45 O, cạnh đáy nhỏ hơn 3 cm, cạnh nghiêng bằng , quay quanh một cạnh vuông góc với hai đáy. Tìm thể tích của vật quay thu được.

Giải pháp. Hãy vẽ một bức tranh (Hình 37).

Kết quả của phép quay, chúng ta thu được một hình nón cụt; để tìm thể tích của nó, chúng ta tính bán kính của đáy và chiều cao lớn hơn. Trong hình thang O 1 O 2 AB chúng tôi sẽ tiến hành AC^O 1 B. B ta có: điều này có nghĩa là tam giác này cân AC.=BC= 3 cm.

Trả lời:

Ví dụ 4. Một tam giác có các cạnh 13 cm, 37 cm và 40 cm quay quanh một trục ngoài song song với cạnh lớn hơn và cách nó 3 cm (trục nằm trong mặt phẳng của tam giác). Tìm diện tích bề mặt của vật xoay.

Giải pháp . Hãy vẽ một bức tranh (Hình 38).

Bề mặt của thân quay bao gồm các bề mặt bên của hai hình nón cụt và bề mặt bên của hình trụ. Để tính các diện tích này cần biết bán kính đáy của các hình nón và hình trụ ( LÀ Và OC), tạo thành nón ( BC Và AC.) và chiều cao hình trụ ( AB). Điều chưa biết duy nhất là CO. đây là khoảng cách từ cạnh của tam giác đến trục quay. Chúng ta sẽ tìm thấy DC. Diện tích tam giác ABC có một cạnh bằng tích của nửa cạnh AB và đường cao vẽ lên nó DC, mặt khác, khi biết tất cả các cạnh của tam giác, chúng ta tính diện tích của nó bằng công thức Heron.

Hãy lấy một hình nón tùy ý và vẽ một mặt phẳng cắt vuông góc với trục của nó (Hình 72). Mặt phẳng này cắt hình nón theo một đường tròn và chia hình nón thành hai phần. Một trong những phần là hình nón và phần còn lại được gọi là hình nón cụt. Đáy của hình nón ban đầu và đường tròn thu được trong phần hình nón này bằng một mặt phẳng được gọi là đáy của một hình nón cụt, và đoạn nối tâm của chúng là chiều cao hình nón cụt.

Phần bề mặt hình nón bao quanh hình nón cụt được gọi là bề mặt bên và các đoạn sinh của bề mặt hình nón được bao bọc giữa các đáy được gọi là tạo thành một hình nón cụt. Tất cả các phần tử sinh của một hình nón cụt đều bằng nhau.


Một hình nón cụt có thể thu được bằng cách xoay một hình thang hình chữ nhật quanh cạnh của nó vuông góc với các đáy. Hình vẽ thể hiện một hình nón cụt thu được bằng cách quay hình thang chữ nhật ABCO quanh cạnh CO vuông góc với các đáy AO và BC (Hình 73). Trong trường hợp này, mặt bên được hình thành do sự quay của cạnh bên AB, và đáy của hình nón cụt bằng phép quay của các đáy CB và OA của hình thang.

Cơm. 73 Hình74

Chúng ta hãy tìm công thức tính diện tích bề mặt bên của hình nón cụt khi biết bán kính r, r 1 của các đáy và tọa độ của hình nón cụt l (Hình 74).

Diện tích bề mặt bên của hình nón cụt là sự chênh lệch giữa diện tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ được hình thành bởi mặt cắt ngang.

Tổng diện tích bề mặt của hình nón cụt bằng tổng diện tích bề mặt bên, diện tích đáy dưới và diện tích đáy trên

) - một vật thể trong không gian Euclide thu được bằng cách kết hợp tất cả các tia phát ra từ một điểm ( đỉnh cao nón) và đi qua một mặt phẳng. Đôi khi hình nón là một phần của vật thể có thể tích hạn chế và thu được bằng cách kết hợp tất cả các đoạn nối đỉnh và các điểm của một mặt phẳng (phần sau trong trường hợp này được gọi là nền tảng hình nón và hình nón được gọi là nghiêng trên cơ sở này). Nếu đáy của hình nón là một đa giác thì hình nón đó là hình chóp.

YouTube bách khoa toàn thư

    1 / 4

    ✪ Cách làm hình nón bằng giấy.

  • phụ đề

Các định nghĩa liên quan

  • Đoạn nối đỉnh và biên của đáy gọi là máy sinh của hình nón.
  • Sự kết hợp của các nguồn sinh của hình nón được gọi là máy phát điện(hoặc bên) bề mặt hình nón. Bề mặt hình thành của hình nón là bề mặt hình nón.
  • Một đoạn thẳng rơi vuông góc từ đỉnh đến mặt phẳng đáy (cũng như chiều dài của đoạn đó) được gọi là chiều cao hình nón.
  • góc hình nón- góc giữa hai đường sinh đối diện (góc ở đỉnh hình nón, bên trong hình nón).
  • Nếu đáy của hình nón có tâm đối xứng (ví dụ là hình tròn hoặc hình elip) và hình chiếu trực giao của đỉnh hình nón lên mặt phẳng của đáy trùng với tâm này thì hình nón được gọi là trực tiếp. Trong trường hợp này, đường thẳng nối đỉnh và tâm của đế được gọi là trục hình nón.
  • Xiên (nghiêng) hình nón - một hình nón có hình chiếu trực giao của đỉnh lên đáy không trùng với tâm đối xứng của nó.
  • nón tròn- một hình nón có đáy là hình tròn.
  • Hình nón tròn thẳng(thường được gọi đơn giản là hình nón) có thể thu được bằng cách xoay một tam giác vuông quanh đường thẳng chứa chân (đường này biểu thị trục của hình nón).
  • Một hình nón nằm trên một hình elip, parabol hoặc hyperbol lần lượt được gọi là hình elip, parabol Và nón hyperbol(hai cái cuối cùng có khối lượng vô hạn).
  • Phần của hình nón nằm giữa đáy và mặt phẳng song song với đáy và nằm giữa đỉnh và đáy được gọi là nón cụt, hoặc lớp hình nón.

Của cải

  • Nếu diện tích đáy là hữu hạn thì thể tích của hình nón cũng hữu hạn và bằng 1/3 tích chiều cao và diện tích đáy.
V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

Ở đâu S- vùng cơ sở, H- chiều cao. Do đó, tất cả các hình nón nằm trên một đáy cho trước (có diện tích hữu hạn) và có một đỉnh nằm trên một mặt phẳng cho trước song song với đáy đều có thể tích bằng nhau vì chiều cao của chúng bằng nhau.

  • Trọng tâm của bất kỳ hình nón nào có thể tích hữu hạn nằm ở một phần tư chiều cao tính từ đáy.
  • Góc đặc ở đỉnh của hình nón tròn vuông bằng
2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) trong đó α là góc mở của hình nón.
  • Diện tích bề mặt bên của hình nón như vậy bằng
S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

và tổng diện tích bề mặt (nghĩa là tổng diện tích của bề mặt bên và đáy)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),)Ở đâu R- bán kính cơ sở, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- chiều dài của máy phát điện.
  • Thể tích của hình nón tròn (không nhất thiết phải thẳng) bằng
V = 1 3 π R 2 H . (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)
  • Đối với một hình nón cụt (không nhất thiết phải thẳng và tròn), thể tích bằng:
V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

trong đó S 1 và S 2 lần lượt là diện tích của đáy trên (gần đỉnh nhất) và đáy dưới, h Và H- khoảng cách từ mặt phẳng của đáy trên và đáy tương ứng đến đỉnh.

  • Giao điểm của mặt phẳng với hình nón tròn bên phải là một trong các phần hình nón (trong trường hợp không suy biến - hình elip, parabol hoặc hyperbol, tùy thuộc vào vị trí của mặt phẳng cắt).

phương trình nón

Công thức xác định mặt bên của hình nón tròn đứng có góc mở bằng 2Θ, có đỉnh tại gốc và trục trùng với trục Oz :

  • Trong hệ tọa độ cầu có tọa độ ( r, φ, θ) :
θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)
  • Trong hệ tọa độ trụ có tọa độ ( r, φ, z) :
z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatorname (ctg) \Theta ) hoặc r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operatorname (tg) \Theta .)
  • Trong hệ tọa độ Descartes có tọa độ (x, y, z) :
z = ± x 2 + y 2 ⋅ cot ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .) Phương trình này ở dạng chính tắc được viết là

các hằng số ở đâu Một, Với xác định theo tỷ lệ c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .)Điều này chứng tỏ rằng mặt bên của hình nón tròn đứng là mặt có bậc hai (gọi là bề mặt hình nón). Nói chung, một bề mặt hình nón bậc hai nằm trên một hình elip; trong hệ tọa độ Descartes thích hợp (trục Ồ Và OU song song với các trục của hình elip, đỉnh của hình nón trùng với gốc tọa độ, tâm của hình elip nằm trên trục Oz) phương trình của nó có dạng

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

Và AC Và b/c bằng các bán trục của elip. Trong trường hợp tổng quát nhất, khi một hình nón nằm trên một mặt phẳng tùy ý, có thể chứng minh rằng phương trình mặt bên của hình nón (với đỉnh của nó ở gốc tọa độ) được cho bởi phương trình f (x , y , z) = 0 , (\displaystyle f(x,y,z)=0,) chức năng ở đâu f (x , y , z) (\displaystyle f(x,y,z))đồng nhất, tức là thỏa mãn điều kiện f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) với mọi số thực α.

Quét

Một hình nón tròn bên phải làm vật quay được tạo thành bởi một tam giác vuông quay quanh một trong các chân, trong đó h- chiều cao của hình nón từ tâm đế đến đỉnh - là chân của một tam giác vuông xung quanh xảy ra chuyển động quay. Chân thứ hai của tam giác vuông r- Bán kính đáy hình nón. Cạnh huyền của một tam giác vuông là tôi- tạo thành hình nón.

Chỉ có thể sử dụng hai đại lượng để tạo quét hình nón r Và tôi. Bán kính cơ sở r xác định đường tròn của đáy hình nón trong quá trình phát triển và diện tích bề mặt bên của hình nón được xác định bởi đường sinh của bề mặt bên tôi, là bán kính của hình cung của bề mặt bên. Góc ngành φ (\displaystyle \varphi ) trong sự phát triển của bề mặt bên của hình nón được xác định theo công thức:

φ = 360° ( r/tôi) .

Cơm. 1. Những đồ vật trong cuộc sống có hình nón cụt

Bạn nghĩ những hình dạng mới đến từ đâu trong hình học? Mọi thứ rất đơn giản: một người bắt gặp những đồ vật tương tự trong cuộc sống và nghĩ ra tên cho chúng. Hãy xem xét một cái giá mà những con sư tử ngồi trong rạp xiếc, một miếng cà rốt thu được khi chúng ta chỉ cắt một phần của nó, một ngọn núi lửa đang hoạt động và, chẳng hạn như ánh sáng từ đèn pin (xem Hình 1).

Cơm. 2. Hình dạng hình học

Chúng ta thấy rằng tất cả những hình này đều có hình dạng giống nhau - cả bên dưới và bên trên đều bị giới hạn bởi các vòng tròn, nhưng chúng thuôn dần lên trên (xem Hình 2).

Cơm. 3. Cắt bỏ phần trên của nón

Nó trông giống như một hình nón. Phần trên chỉ bị thiếu. Chúng ta hãy tưởng tượng trong đầu rằng chúng ta lấy một hình nón và cắt phần trên của nó bằng một nhát kiếm sắc bén (xem Hình 3).

Cơm. 4. Nón cụt

Kết quả chính xác là hình của chúng tôi, nó được gọi là hình nón cụt (xem Hình 4).

Cơm. 5. Mặt cắt song song với đáy hình nón

Hãy để một hình nón được đưa ra. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy của hình nón này và cắt hình nón (xem Hình 5).

Nó sẽ chia hình nón thành hai phần: một trong số đó là hình nón nhỏ hơn và phần thứ hai được gọi là hình nón cụt (xem Hình 6).

Cơm. 6. Thân kết quả có tiết diện song song

Vì vậy, hình nón cụt là một phần của hình nón được bao bọc giữa đáy của nó và một mặt phẳng song song với đáy. Giống như hình nón, hình nón cụt có thể có một hình tròn ở đáy, trong trường hợp đó nó được gọi là hình tròn. Nếu hình nón ban đầu thẳng thì hình nón cụt được gọi là hình nón thẳng. Như trong trường hợp hình nón, chúng ta sẽ chỉ xem xét các hình nón cụt hình tròn thẳng, trừ khi có tuyên bố cụ thể rằng chúng ta đang nói về một hình nón cụt gián tiếp hoặc các đáy của nó không phải là hình tròn.

Cơm. 7. Phép quay hình thang chữ nhật

Chủ đề toàn cầu của chúng tôi là các vật thể quay. Hình nón cụt cũng không ngoại lệ! Chúng ta hãy nhớ rằng để có được một hình nón, chúng ta đã coi một tam giác vuông và xoay nó quanh một cái chân? Nếu hình nón thu được bị cắt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì tam giác sẽ vẫn là hình thang chữ nhật. Việc nó quay quanh cạnh nhỏ hơn sẽ cho chúng ta một hình nón cụt. Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng, tất nhiên, chúng ta chỉ đang nói về một hình nón tròn thẳng (xem Hình 7).

Cơm. 8. Đế của hình nón cụt

Hãy đưa ra một vài ý kiến. Đáy của một hình nón hoàn chỉnh và đường tròn tạo thành từ một phần của hình nón bằng một mặt phẳng được gọi là các đáy của hình nón cụt (dưới và trên) (xem Hình 8).

Cơm. 9. Máy tạo hình nón cụt

Các đoạn sinh của một hình nón hoàn chỉnh, được bao bọc giữa các đáy của hình nón cụt, được gọi là các phần sinh của hình nón cụt. Vì tất cả các phần tử sinh của hình nón ban đầu đều bằng nhau và tất cả các phần tử sinh của hình nón bị cắt đều bằng nhau, nên các phần tử sinh của hình nón cụt đều bằng nhau (đừng nhầm lẫn giữa phần tử bị cắt và phần bị cắt cụt!). Điều này ngụ ý rằng mặt cắt trục của hình thang là hình cân (xem Hình 9).

Đoạn trục quay nằm trong một hình nón cụt được gọi là trục của hình nón cụt. Tất nhiên, đoạn này kết nối các trung tâm của các đế của nó (xem Hình 10).

Cơm. 10. Trục của hình nón cụt

Chiều cao của hình nón cụt là đường vuông góc kẻ từ một điểm của một đáy tới đáy kia. Thông thường, chiều cao của hình nón cụt được coi là trục của nó.

Cơm. 11. Mặt cắt trục của hình nón cụt

Tiết diện dọc trục của hình nón cụt là tiết diện đi qua trục của nó. Nó có dạng hình thang; lát sau chúng ta sẽ chứng minh rằng nó là hình cân (xem Hình 11).

Cơm. 12. Hình nón với các ký hiệu được giới thiệu

Chúng ta hãy tìm diện tích bề mặt bên của hình nón cụt. Giả sử các đáy của hình nón cụt có bán kính và , và đường sinh bằng nhau (xem Hình 12).

Cơm. 13. Ký hiệu đường sinh của hình nón cắt

Chúng ta hãy tìm diện tích bề mặt bên của hình nón cụt là hiệu giữa diện tích các bề mặt bên của hình nón ban đầu và diện tích các bề mặt bên của hình nón bị cắt. Để làm điều này, chúng ta hãy biểu thị bằng ma trận của hình nón bị cắt (xem Hình 13).

Sau đó, những gì bạn đang tìm kiếm.

Cơm. 14. Tam giác đồng dạng

Tất cả những gì còn lại là thể hiện.

Lưu ý rằng từ sự giống nhau của các hình tam giác (xem Hình 14).

Có thể biểu thị , chia cho hiệu bán kính, nhưng chúng ta không cần điều này, vì tích mà chúng ta đang tìm sẽ xuất hiện trong biểu thức mà chúng ta đang tìm kiếm. Thay vào , cuối cùng ta có: .

Bây giờ dễ dàng có được công thức tính tổng diện tích bề mặt. Để làm điều này, chỉ cần thêm diện tích của hai hình tròn của các căn cứ: .

Cơm. 15. Minh họa bài toán

Để có được một hình nón cụt bằng cách xoay một hình thang hình chữ nhật xung quanh chiều cao của nó. Đường giữa của hình thang bằng , và cạnh bên lớn bằng (xem Hình 15). Tìm diện tích bề mặt bên của hình nón cụt thu được.

Giải pháp

Từ công thức chúng ta biết rằng .

Đường sinh của hình nón sẽ là cạnh lớn hơn của hình thang ban đầu, tức là bán kính của hình nón là các đáy của hình thang. Chúng tôi không thể tìm thấy chúng. Nhưng chúng ta không cần nó: chúng ta chỉ cần tổng của chúng, và tổng hai đáy của một hình thang lớn gấp đôi đường trung bình của nó, tức là bằng . Sau đó .

Xin lưu ý rằng khi nói về hình nón, chúng ta đã vẽ những điểm tương đồng giữa nó và hình chóp - các công thức tương tự nhau. Ở đây cũng vậy, vì hình nón cụt rất giống với hình chóp cụt, nên công thức tính diện tích các mặt bên và tổng diện tích của hình nón cụt và hình chóp cụt (và sẽ sớm có công thức tính thể tích) là tương tự nhau.

Cơm. 1. Minh họa bài toán

Bán kính các đáy của hình nón cụt bằng và , và đường sinh bằng . Tìm chiều cao của hình nón cụt và diện tích phần trục của nó (xem Hình 1).

Chia sẻ với bạn bè:
Ấn phẩm liên quan