Hoàn thành việc thăm dò và vẽ đồ thị của một hàm khả vi. Khám phá các chức năng và âm mưu

Tiến hành nghiên cứu đầy đủ và vẽ đồ thị hàm số

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Phạm vi chức năng. Vì hàm là một phân số nên bạn cần tìm các số 0 của mẫu số.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Chúng tôi loại trừ điểm duy nhất x=1x=1 khỏi vùng định nghĩa hàm và nhận được:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Chúng ta hãy nghiên cứu hành vi của hàm trong vùng lân cận của điểm gián đoạn. Tìm giới hạn một bên:

Vì các giới hạn bằng vô cực nên điểm x=1x=1 là điểm gián đoạn loại hai, đường thẳng x=1x=1 là một tiệm cận đứng.

3) Hãy xác định giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

Hãy tìm các giao điểm với trục tung OyOy, tại đó ta có phương trình x=0x=0:

Như vậy giao điểm với trục OyOy có tọa độ (0;8)(0;8).

Hãy tìm các giao điểm với trục hoành OxOx mà tại đó chúng ta đặt y=0y=0:

Phương trình không có nghiệm nên không có giao điểm với trục OxOx.

Lưu ý rằng x2+8>0x2+8>0 cho mọi xx. Do đó, với x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), hàm số y>0y>0 (nhận giá trị dương, đồ thị nằm trên trục x), với x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) hàm y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Hàm số không chẵn không lẻ vì:

5) Chúng tôi điều tra các chức năng cho chu kỳ. Hàm này không tuần hoàn, vì nó là một hàm hữu tỉ phân số.

6) Chúng tôi điều tra chức năng cho các cực trị và tính đơn điệu. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm đầu tiên của hàm:

Chúng ta hãy đánh giá đạo hàm đầu tiên bằng 0 và tìm các điểm dừng (tại đó y′=0y′=0):

Ta có ba điểm tới hạn: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Chúng tôi chia toàn bộ miền của hàm thành các khoảng bằng các điểm đã cho và xác định dấu của đạo hàm trong mỗi khoảng:

Với x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) đạo hàm y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Với x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) đạo hàm y′>0y′>0, hàm số tăng trên các khoảng này.

Trong trường hợp này, x=−2x=−2 là điểm cực tiểu cục bộ (hàm số giảm rồi tăng), x=4x=4 là điểm cực đại cục bộ (hàm số tăng rồi giảm).

Hãy tìm các giá trị của hàm tại các điểm sau:

Do đó, điểm cực tiểu là (−2;4)(−2;4), điểm cực đại là (4;−8)(4;−8).

7) Chúng tôi kiểm tra các chức năng cho kinks và lồi. Hãy tìm đạo hàm cấp hai của hàm:

Cân bằng đạo hàm thứ hai bằng 0:

Phương trình thu được không có nghiệm nên không có điểm uốn. Hơn nữa, khi x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 thỏa mãn, nghĩa là hàm lõm khi x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Chúng tôi điều tra hành vi của hàm tại vô cực, nghĩa là tại .

Vì các giới hạn là vô hạn nên không có tiệm cận ngang.

Hãy thử xác định các tiệm cận xiên có dạng y=kx+by=kx+b. Chúng tôi tính toán các giá trị của k,bk,b theo các công thức đã biết:

Ta thấy rằng hàm có một tiệm cận xiên y=−x−1y=−x−1.

9) Điểm bổ sung. Hãy tính giá trị của hàm số tại một số điểm khác để dựng đồ thị chính xác hơn.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Dựa trên dữ liệu thu được, chúng tôi sẽ xây dựng biểu đồ, bổ sung cho nó các tiệm cận x=1x=1 (màu xanh lam), y=−x−1y=−x−1 (màu xanh lá cây) và đánh dấu các điểm đặc trưng (giao điểm với trục tọa độ màu tím, cực trị màu cam, các điểm bổ sung màu đen):

Nhiệm vụ 4: Các bài toán Hình học, Kinh tế (Tôi không biết là gì, đây là tuyển tập gần đúng các bài toán có lời giải và công thức)

Ví dụ 3.23. một

Dung dịch. x và y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Vì x = a/4 là điểm tới hạn duy nhất, hãy kiểm tra xem dấu của đạo hàm có đổi không khi đi qua điểm này. Đối với xa/4 S "> 0 và đối với x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ví dụ 3.24.

Dung dịch.
R=2, H=16/4=4.

Ví dụ 3.22. Tìm cực trị của hàm số f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Dung dịch. Vì f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) nên các điểm cực trị của hàm số x 1 \u003d 2 và x 2 \u003d 3. Điểm cực trị có thể chỉ tồn tại tại các điểm này.Vậy khi đi qua điểm x 1 \u003d 2 thì đạo hàm đổi dấu cộng thành dấu trừ thì lúc này hàm số có cực đại.Khi đi qua điểm x 2 \u003d 3 thì đạo hàm đổi dấu trừ thành dấu cộng nên tại điểm x 2 \u003d 3 hàm số có cực tiểu Tính các giá trị của hàm số theo điểm
x 1 = 2 và x 2 = 3, ta tìm được cực trị của hàm số: cực đại f(2) = 14 và cực tiểu f(3) = 13.

Ví dụ 3.23. Cần phải xây dựng một khu vực hình chữ nhật gần bức tường đá để nó được rào bằng lưới thép ở ba mặt và tiếp giáp với bức tường ở mặt thứ tư. Đối với điều này có một mét tuyến tính của lưới điện. Ở tỷ lệ khung hình nào thì trang web sẽ có diện tích lớn nhất?

Dung dịch. Biểu thị các mặt của trang web thông qua x và y. Diện tích của trang web là S = xy. Để cho y là chiều dài cạnh tiếp giáp với tường. Khi đó, theo điều kiện, đẳng thức 2x + y = a phải đúng. Do đó y = a - 2x và S = x(a - 2x), trong đó
0 ≤ x ≤ a/2 (chiều dài và chiều rộng của diện tích không được âm). S" = a - 4x, a - 4x = 0 với x = a/4, từ đâu
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Vì x = a/4 là điểm tới hạn duy nhất, hãy kiểm tra xem dấu của đạo hàm có đổi không khi đi qua điểm này. Đối với xa/4 S "> 0 và đối với x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ví dụ 3.24. Cần làm một bể hình trụ kín có dung tích V=16p ≈ 50 m 3 . Kích thước của bể (bán kính R và chiều cao H) nên là bao nhiêu để sử dụng ít vật liệu nhất cho sản xuất?

Dung dịch. Diện tích toàn phần của hình trụ là S = 2pR(R+H). Ta biết thể tích của hình trụ V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Do đó, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Ta tìm đạo hàm của hàm này:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 cho R 3 \u003d 8, do đó,
R=2, H=16/4=4.

Thông tin tương tự.

Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của phép tính vi phân là phát triển các ví dụ chung về nghiên cứu hành vi của các hàm.

Nếu hàm y \u003d f (x) liên tục trên khoảng và đạo hàm của nó dương hoặc bằng 0 trên khoảng (a, b), thì y \u003d f (x) tăng thêm (f "(x) 0). Nếu hàm y \u003d f (x) liên tục trên đoạn , và đạo hàm của nó âm hoặc bằng 0 trên khoảng (a,b) thì y=f(x) giảm đi (f"( x)0)

Các khoảng mà hàm số không giảm hoặc không tăng gọi là các khoảng tính đơn điệu của hàm số. Tính chất đơn điệu của một hàm số chỉ có thể thay đổi tại những điểm thuộc miền xác định của hàm số mà tại đó dấu của đạo hàm cấp một thay đổi. Các điểm tại đó đạo hàm bậc nhất của một hàm biến mất hoặc bị phá vỡ được gọi là các điểm tới hạn.

Định lý 1 (điều kiện đủ thứ nhất để tồn tại một cực trị).

Cho hàm số y=f(x) xác định tại điểm x 0 và tồn tại một lân cận δ>0 sao cho hàm số liên tục trên đoạn , khả vi trên khoảng (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , và đạo hàm của nó giữ nguyên dấu không đổi trên mỗi khoảng này. Khi đó, nếu trên x 0 -δ, x 0) và (x 0, x 0 + δ) dấu của đạo hàm khác nhau thì x 0 là điểm cực trị và nếu chúng trùng nhau thì x 0 không phải là điểm cực trị . Hơn nữa, nếu khi đi qua điểm x0 thì đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ (bên trái x 0 thực hiện f”(x) > 0 thì x 0 là điểm cực đại; nếu đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng (bên phải của x 0 được thực hiện bởi f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Các điểm cực đại và cực tiểu gọi là các điểm cực trị của hàm số, còn các cực đại và cực tiểu của hàm số gọi là các giá trị cực trị của nó.

Định lý 2 (tiêu chí cần cho một cực trị địa phương).

Nếu hàm y=f(x) có cực trị tại x=x 0 hiện tại, thì f'(x 0)=0 hoặc f'(x 0) không tồn tại.
Tại các điểm cực trị của hàm số khả vi, tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó song song với trục Ox.

Thuật toán nghiên cứu một hàm đối với một cực trị:

1) Tìm đạo hàm của hàm số.
2) Tìm các điểm tới hạn, tức là điểm tại đó hàm số liên tục và đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3) Xét lân cận của mỗi điểm, và kiểm tra dấu của đạo hàm bên trái và bên phải của điểm này.
4) Xác định tọa độ các điểm cực trị, đối với giá trị các điểm tới hạn này, thế vào hàm này. Sử dụng đủ điều kiện cực trị, rút ​​ra kết luận thích hợp.

Ví dụ 18. Khảo sát hàm số y=x 3 -9x 2 +24x

Dung dịch.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Lấy đạo hàm bằng 0, ta tìm được x 1 = 2, x 2 = 4. Trong trường hợp này, đạo hàm được xác định ở mọi nơi; do đó ngoài hai điểm tìm được không còn điểm tới hạn nào khác.
3) Dấu của đạo hàm y”=3(x-2)(x-4) đổi dấu theo từng khoảng như hình 1. Khi đi qua điểm x=2 thì đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ, và khi đi qua điểm x=4 - từ điểm trừ đến điểm cộng.
4) Tại điểm x=2 hàm số có cực đại y max =20 và tại điểm x=4 - cực tiểu y min =16.

Định lý 3. (Điều kiện đủ thứ 2 để tồn tại cực trị).

Cho f "(x 0) và f "" (x 0) tồn tại tại điểm x 0. Khi đó nếu f "" (x 0) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu, còn nếu f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Trên đoạn, hàm y \u003d f (x) có thể đạt giá trị nhỏ nhất (ít nhất) hoặc lớn nhất (nhiều nhất) tại các điểm tới hạn của hàm nằm trong khoảng (a; b) hoặc tại các điểm cuối của phân khúc.

Thuật toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục y=f(x) trên đoạn :

1) Tìm f”(x).
2) Tìm các điểm tại đó f "(x) = 0 hoặc f" (x) - không tồn tại và chọn từ chúng những điểm nằm bên trong đoạn thẳng.
3) Tính giá trị của hàm y \u003d f (x) tại các điểm thu được trong đoạn 2), cũng như tại các điểm cuối của đoạn và chọn điểm lớn nhất và nhỏ nhất trong số chúng: chúng lần lượt là điểm lớn nhất ( cho lớn nhất) và giá trị nhỏ nhất của hàm số (cho nhỏ nhất) trên khoảng .

Ví dụ 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số liên tục y=x 3 -3x 2 -45+225 trên đoạn .

1) Ta có y"=3x 2 -6x-45 trên đoạn
2) Đạo hàm y" tồn tại với mọi x. Hãy tìm các điểm tại đó y"=0; chúng tôi nhận được:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Tính giá trị của hàm số tại các điểm x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Chỉ có điểm x=5 thuộc đoạn thẳng. Giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được của hàm số là 225 và nhỏ nhất là số 50. Vậy lúc max = 225, lúc max = 50.

Khảo sát hàm lồi

Hình bên là đồ thị của hai hàm số. Cái đầu tiên trong số chúng được quay với phần phình lên, cái thứ hai - với phần phình xuống.

Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn và khả vi trên khoảng (a;b), được gọi là lồi lên (xuống) trên đoạn này, nếu với axb, đồ thị của nó không cao hơn (không thấp hơn) tiếp tuyến được vẽ tại bất kỳ điểm M 0 (x 0 ;f(x 0)), trong đó axb.

Định lý 4. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai tại điểm x bất kỳ trong đoạn thẳng và liên tục tại hai điểm cuối của đoạn thẳng này. Khi đó nếu bất đẳng thức f""(x)0 thỏa mãn trên khoảng (a;b) thì hàm số lồi xuống trên đoạn ; nếu bất đẳng thức f""(x)0 thỏa mãn trên khoảng (а;b) thì hàm số lồi lên trên .

Định lý 5. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) và đổi dấu khi đi qua điểm x 0 , thì M(x 0 ;f(x 0)) là một điểm uốn.

Quy tắc tìm điểm uốn:

1) Tìm những điểm tại đó f""(x) không tồn tại hoặc không tồn tại.
2) Kiểm tra dấu f""(x) ở bên trái và bên phải của mỗi điểm được tìm thấy ở bước đầu tiên.
3) Dựa vào Định lý 4, hãy rút ra kết luận.

Ví dụ 20. Tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị hàm số y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Ta có f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Rõ ràng, f"(x)=0 với x 1 =0, x 2 =1. Đạo hàm khi đi qua điểm x=0 thì đổi dấu từ âm sang cộng và khi đi qua điểm x=1 thì không đổi dấu. Điều này có nghĩa là x=0 là điểm cực tiểu (y min =12) và không có điểm cực trị tại điểm x=1. Tiếp theo, chúng tôi tìm thấy . Đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại các điểm x 1 =1, x 2 =1/3. Dấu của đạo hàm cấp hai biến đổi như sau: Trên tia (-∞;) ta có f""(x)>0, trên khoảng (;1) ta có f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Do đó x= là điểm uốn của đồ thị hàm số (chuyển từ lồi xuống đến lồi lên) và x=1 cũng là điểm uốn (chuyển từ lồi lên sang lồi xuống). Nếu x= thì y= ; nếu thì x=1, y=13.

Thuật toán tìm tiệm cận của đồ thị

I. Nếu y=f(x) là x → a , thì x=a là một tiệm cận đứng.
II. Nếu y=f(x) khi x → ∞ hoặc x → -∞ thì y=A là tiệm cận ngang.
III. Để tìm đường tiệm cận xiên, ta sử dụng thuật toán sau:
1) Tính . Nếu tồn tại giới hạn và bằng b thì y=b là tiệm cận ngang; nếu , sau đó chuyển sang bước thứ hai.
2) Tính . Nếu giới hạn này không tồn tại, thì không có tiệm cận; nếu nó tồn tại và bằng k thì chuyển sang bước thứ ba.
3) Tính . Nếu giới hạn này không tồn tại, thì không có tiệm cận; nếu nó tồn tại và bằng b thì chuyển sang bước thứ tư.
4) Viết phương trình đường tiệm cận xiên y=kx+b.

Ví dụ 21: Tìm đường tiệm cận của hàm số

1)
2)
3)
4) Phương trình tiệm cận xiên có dạng

Sơ đồ nghiên cứu hàm số và cách xây dựng đồ thị của nó

I. Tìm miền xác định của hàm số.
II. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.
III. Tìm tiệm cận.
IV. Tìm các điểm cực trị có thể.
V. Tìm điểm tới hạn.
VI. Sử dụng hình vẽ phụ, khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất và bậc hai. Xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số, tìm hướng lồi của đồ thị, các điểm cực trị, điểm uốn.
VII. Vẽ một biểu đồ, lưu ý đến cuộc học hỏi được thực hiện ở đoạn 1-6.

Ví dụ 22: Vẽ đồ thị hàm số theo sơ đồ trên

Dung dịch.
I. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, trừ x=1.
II. Vì phương trình x 2 +1=0 vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có giao điểm với trục Ox mà cắt trục Oy tại điểm (0; -1).
III. Hãy để chúng tôi làm rõ câu hỏi về sự tồn tại của tiệm cận. Chúng tôi điều tra hành vi của hàm gần điểm gián đoạn x=1. Vì y → ∞ với x → -∞, y → +∞ với x → 1+ nên đường thẳng x=1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Nếu x → +∞(x → -∞) thì y → +∞(y → -∞); do đó đồ thị không có tiệm cận ngang. Hơn nữa, từ sự tồn tại của giới hạn

Giải phương trình x 2 -2x-1=0, ta được hai điểm thuộc một cực trị khả dĩ:
x 1 =1-√2 và x 2 =1+√2

V. Để tìm các điểm tới hạn, ta tính đạo hàm cấp hai:

Vì f""(x) không biến nên không có điểm tới hạn.
VI. Ta khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất và bậc hai. Các điểm cực trị có thể xét: x 1 =1-√2 và x 2 =1+√2, chia khoảng tồn tại của hàm số thành các khoảng (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) và (1+√2;+∞).

Trong mỗi khoảng này, đạo hàm giữ nguyên dấu của nó: ở lần thứ nhất - cộng, ở lần thứ hai - trừ, ở lần thứ ba - cộng. Dãy các dấu của đạo hàm bậc nhất sẽ được viết như sau: +, -, +.
Ta nhận được rằng hàm trên (-∞;1-√2) tăng, trên (1-√2;1+√2) nó giảm và trên (1+√2;+∞) nó lại tăng. Điểm cực trị: cực đại tại x=1-√2, hơn nữa f(1-√2)=2-2√2 cực tiểu tại x=1+√2, hơn nữa f(1+√2)=2+2√2. Trên (-∞;1) đồ thị lồi lên trên và trên (1;+∞) - lồi xuống dưới.
VII Hãy lập bảng giá trị thu được

VIII Dựa vào dữ liệu thu được, ta dựng đồ thị của hàm số

Các điểm tham chiếu trong nghiên cứu các hàm và xây dựng đồ thị của chúng là các điểm đặc trưng - điểm gián đoạn, cực trị, điểm uốn, giao điểm với các trục tọa độ. Với sự trợ giúp của phép tính vi phân, có thể thiết lập các tính năng đặc trưng của sự thay đổi trong các hàm: tăng và giảm, cực đại và cực tiểu, hướng lồi và lõm của đồ thị, sự hiện diện của các tiệm cận.

Có thể (và nên) vẽ phác đồ thị hàm số sau khi tìm được các tiệm cận và điểm cực trị, đồng thời thuận tiện để điền vào bảng tóm tắt nội dung nghiên cứu về hàm số trong quá trình học.

Thông thường, sơ đồ nghiên cứu chức năng sau đây được sử dụng.

1.Tìm miền, khoảng liên tục và điểm ngắt của hàm.

2.Kiểm tra hàm chẵn hay lẻ (đối xứng qua trục hoặc tâm của đồ thị.

3.Tìm tiệm cận (dọc, ngang hoặc xiên).

4.Tìm và khảo sát các khoảng tăng, giảm của hàm số, các điểm cực trị của hàm số.

5.Tìm khoảng lồi và lõm của đường cong, các điểm uốn của nó.

6.Tìm các giao điểm của đường cong với các trục tọa độ nếu có.

7.Lập bảng tóm tắt nghiên cứu.

8.Xây dựng một biểu đồ, có tính đến việc nghiên cứu chức năng, được thực hiện theo các điểm trên.

Thí dụ. Khám phá chức năng

và vẽ nó.

7. Hãy lập một bảng tóm tắt nghiên cứu về hàm, trong đó chúng ta sẽ nhập tất cả các điểm đặc trưng và khoảng giữa chúng. Cho tính chẵn lẻ của hàm, ta có bảng sau:

Hôm nay mời các bạn khám phá và vẽ đồ thị hàm số cùng chúng tôi. Sau khi nghiên cứu kỹ bài viết này, bạn sẽ không phải đổ mồ hôi trong một thời gian dài để hoàn thành loại nhiệm vụ này. Không dễ để khám phá và xây dựng đồ thị của hàm số, công việc rất đồ sộ, đòi hỏi sự chú ý và độ chính xác tối đa của các phép tính. Để tạo điều kiện cho nhận thức về vật liệu, chúng tôi sẽ dần dần nghiên cứu chức năng tương tự, giải thích tất cả các hành động và tính toán của chúng tôi. Chào mừng bạn đến với thế giới toán học tuyệt vời và hấp dẫn! Đi!

Miền

Để khám phá và vẽ đồ thị của một hàm, bạn cần biết một số định nghĩa. Một chức năng là một trong những khái niệm cơ bản (cơ bản) trong toán học. Nó phản ánh sự phụ thuộc giữa một số biến (hai, ba hoặc nhiều hơn) với những thay đổi. Hàm cũng chỉ ra sự phụ thuộc của các tập hợp.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có hai biến có một phạm vi thay đổi nhất định. Vì vậy, y là một hàm của x, với điều kiện là mỗi giá trị của biến thứ hai tương ứng với một giá trị của biến thứ hai. Trong trường hợp này, biến y phụ thuộc và nó được gọi là một hàm. Người ta thường nói rằng các biến x và y nằm trong Để hiểu rõ hơn về sự phụ thuộc này, một đồ thị của hàm số được xây dựng. Đồ thị hàm số là gì? Đây là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ, trong đó mỗi giá trị của x tương ứng với một giá trị của y. Đồ thị có thể khác nhau - một đường thẳng, hyperbola, parabola, sin, v.v.

Không thể vẽ đồ thị hàm số nếu không thăm dò. Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu cách tiến hành nghiên cứu và vẽ đồ thị hàm số. Việc ghi chép trong quá trình học là rất quan trọng. Vì vậy, nó sẽ dễ dàng hơn nhiều để đối phó với nhiệm vụ. Kế hoạch học tập thuận tiện nhất:

1. Miền.
2. Liên tục.
3. Chẵn hoặc lẻ.
4. tính chu kỳ.
5. Tiệm cận.
6. Số không.
7. Sự kiên định.
8. Tăng dần và giảm dần.
9. Cực đoan.
10. Độ lồi và độ lõm.

Hãy bắt đầu với điểm đầu tiên. Hãy tìm miền xác định, tức là hàm số của chúng ta tồn tại trên những khoảng nào: y \u003d 1/3 (x^3-14x^2 + 49x-36). Trong trường hợp của chúng ta, hàm tồn tại với bất kỳ giá trị nào của x, nghĩa là miền xác định là R. Điều này có thể được viết là xОR.

Liên tục

Bây giờ chúng ta sẽ khám phá chức năng gián đoạn. Trong toán học, thuật ngữ "sự liên tục" xuất hiện do kết quả của việc nghiên cứu các định luật chuyển động. Vô hạn là gì? Không gian, thời gian, một số phụ thuộc (ví dụ là sự phụ thuộc của các biến S và t trong các bài toán chuyển động), nhiệt độ của vật được nung nóng (nước, chảo rán, nhiệt kế, v.v.), một đường liên tục (nghĩa là một có thể được vẽ mà không cần lấy nó ra khỏi tờ giấy bút chì).

Một đồ thị được coi là liên tục nếu nó không bị đứt tại một số điểm. Một trong những ví dụ rõ ràng nhất của đồ thị như vậy là sóng hình sin mà bạn có thể thấy trong hình trong phần này. Hàm số liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn một số điều kiện:

• một chức năng được xác định tại một điểm nhất định;
• giới hạn bên phải và bên trái tại một điểm bằng nhau;
• giới hạn bằng giá trị của hàm số tại điểm x0.

Nếu ít nhất một điều kiện không được đáp ứng, chức năng được cho là bị hỏng. Và những điểm mà hàm bị gãy gọi là điểm gãy. Một ví dụ về hàm sẽ "ngắt" khi được hiển thị bằng đồ thị là: y=(x+4)/(x-3). Hơn nữa, y không tồn tại tại điểm x = 3 (vì không thể chia hết cho 0).

Trong hàm mà chúng ta đang nghiên cứu (y \u003d 1/3 (x^3-14x^2 + 49x-36)) mọi thứ trở nên đơn giản vì đồ thị sẽ liên tục.

Chẵn lẻ

Bây giờ kiểm tra chức năng cho tính chẵn lẻ. Hãy bắt đầu với một lý thuyết nhỏ. Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn điều kiện f(-x) = f(x) với mọi giá trị của biến x (thuộc khoảng giá trị). Ví dụ là:

• mô-đun x (biểu đồ trông giống như một jackdaw, đường phân giác của phần tư thứ nhất và phần thứ hai của biểu đồ);
• x bình phương (parabol);
• cosin x (sóng cosin).

Lưu ý rằng tất cả các đồ thị này đều đối xứng khi được xem đối với trục y.

Khi đó cái gì được gọi là hàm số lẻ? Đây là những hàm thỏa mãn điều kiện: f (-x) \u003d - f (x) với bất kỳ giá trị nào của biến x. Ví dụ:

• đường hypebol;
• parabol lập phương;
• hình sin;
• tiếp tuyến và như vậy.

Xin lưu ý rằng các hàm này đối xứng qua điểm (0:0), tức là gốc tọa độ. Dựa trên những gì đã nói trong phần này của bài viết, một hàm chẵn và lẻ phải có thuộc tính: x thuộc tập xác định và -x cũng vậy.

Hãy để chúng tôi kiểm tra các chức năng cho tính chẵn lẻ. Chúng ta có thể thấy rằng cô ấy không phù hợp với bất kỳ mô tả nào. Do đó, hàm của chúng ta không chẵn cũng không lẻ.

đường tiệm cận

Hãy bắt đầu với một định nghĩa. Đường tiệm cận là một đường cong càng gần đồ thị càng tốt, nghĩa là khoảng cách từ một số điểm có xu hướng bằng không. Có ba loại tiệm cận:

• thẳng đứng, nghĩa là song song với trục y;
• nằm ngang, tức là song song với trục x;
• xiên.

Đối với loại đầu tiên, những dòng này nên được tìm kiếm ở một số điểm:

• khoảng cách;
• các đầu cuối của miền.

Trong trường hợp của chúng ta, hàm số liên tục và miền xác định là R. Do đó, không có tiệm cận đứng.

Đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang, thỏa mãn yêu cầu sau: nếu x tiến tới vô cực hoặc âm vô cực và giới hạn bằng một số nào đó (chẳng hạn a). Trong trường hợp này, y=a là tiệm cận ngang. Không có tiệm cận ngang nào trong hàm mà chúng ta đang nghiên cứu.

Một tiệm cận xiên chỉ tồn tại nếu hai điều kiện được đáp ứng:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Sau đó, nó có thể được tìm thấy theo công thức: y=kx+b. Một lần nữa, trong trường hợp của chúng tôi không có tiệm cận xiên.

chức năng số không

Bước tiếp theo là kiểm tra đồ thị của hàm số không. Cũng cần lưu ý rằng nhiệm vụ liên quan đến việc tìm các điểm không của hàm số không chỉ xảy ra trong nghiên cứu và xây dựng đồ thị hàm số mà còn là một nhiệm vụ độc lập và là một cách để giải bất phương trình. Bạn có thể được yêu cầu tìm các điểm không của một hàm trên biểu đồ hoặc sử dụng ký hiệu toán học.

Việc tìm ra các giá trị này sẽ giúp bạn vẽ đồ thị hàm chính xác hơn. Nói một cách đơn giản, số 0 của hàm là giá trị của biến x, tại đó y \u003d 0. Nếu bạn đang tìm các điểm không của một hàm trên đồ thị, thì bạn nên chú ý đến các điểm mà đồ thị giao với trục x.

Để tìm các điểm không của hàm, bạn cần giải phương trình sau: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Sau khi thực hiện các tính toán cần thiết, chúng tôi nhận được câu trả lời sau:

ký hằng số

Giai đoạn tiếp theo trong việc nghiên cứu và xây dựng một hàm (đồ thị) là tìm các khoảng không đổi dấu. Điều này có nghĩa là chúng ta phải xác định khoảng nào hàm nhận giá trị dương và khoảng nào hàm nhận giá trị âm. Số không của các chức năng được tìm thấy trong phần trước sẽ giúp chúng tôi thực hiện việc này. Vì vậy, chúng ta cần dựng một đường thẳng (tách biệt với đồ thị) và phân phối các điểm không của hàm dọc theo nó theo đúng thứ tự từ nhỏ nhất đến lớn nhất. Bây giờ, bạn cần xác định khoảng nào trong số các khoảng kết quả có dấu “+” và khoảng nào có dấu “-”.

Trong trường hợp của chúng ta, hàm nhận giá trị dương trên các khoảng:

• từ 1 đến 4;
• từ 9 đến vô cực.

Câu khẳng định:

• từ âm vô cùng đến 1;
• từ 4 đến 9.

Điều này là khá dễ dàng để xác định. Thay thế bất kỳ số nào trong khoảng vào hàm và xem dấu hiệu của câu trả lời là gì (trừ hoặc cộng).

Hàm tăng và giảm

Để khám phá và xây dựng một hàm, chúng ta cần biết đồ thị sẽ tăng lên ở đâu (đi lên trên Oy) và đi xuống ở đâu (đi xuống dọc theo trục y).

Hàm chỉ tăng nếu giá trị lớn hơn của biến x tương ứng với giá trị lớn hơn của y. Nghĩa là, x2 lớn hơn x1, và f(x2) lớn hơn f(x1). Và chúng tôi quan sát thấy một hiện tượng hoàn toàn ngược lại trong một hàm giảm (x càng nhiều, y càng ít). Để xác định khoảng thời gian tăng và giảm, bạn cần tìm như sau:

• phạm vi (chúng tôi đã có nó);
• đạo hàm (trong trường hợp của chúng ta: 1/3(3x^2-28x+49);
• giải phương trình 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Sau khi tính toán ta được kết quả:

Ta được: hàm số tăng trên các khoảng từ âm vô cực đến 7/3 và từ 7 đến vô cực, và giảm trên các khoảng từ 7/3 đến 7.

thái cực

Hàm số đã khảo sát y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) liên tục và tồn tại với mọi giá trị của biến x. Điểm cực trị thể hiện giá trị cực đại và cực tiểu của hàm này. Trong trường hợp của chúng tôi, không có cái nào, giúp đơn giản hóa rất nhiều nhiệm vụ xây dựng. Mặt khác, chúng cũng được tìm thấy bằng cách sử dụng hàm đạo hàm. Sau khi tìm thấy, đừng quên đánh dấu chúng trên biểu đồ.

Độ lồi và độ lõm

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu hàm y(x). Bây giờ chúng ta cần kiểm tra độ lồi và độ lõm của nó. Các định nghĩa của các khái niệm này khá khó hiểu, tốt hơn là phân tích mọi thứ bằng các ví dụ. Đối với kiểm định: một hàm lồi nếu nó là một hàm không giảm. Đồng ý, điều này thật khó hiểu!

Ta cần tìm đạo hàm của hàm bậc hai. Ta được: y=1/3(6x-28). Bây giờ chúng ta đánh đồng vế phải bằng 0 và giải phương trình. Trả lời: x=14/3. Ta đã tìm được điểm uốn, tức là nơi đồ thị chuyển từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Trên khoảng từ âm vô cực đến 14/3, hàm lồi và từ 14/3 đến cộng vô cực, hàm lõm. Một điều cũng rất quan trọng cần lưu ý là điểm uốn trên đồ thị phải nhẵn và mềm, không được có bất kỳ góc nhọn nào.

Định nghĩa về điểm bổ sung

Nhiệm vụ của chúng ta là khám phá và vẽ đồ thị hàm số. Chúng tôi đã hoàn thành nghiên cứu, bây giờ sẽ không khó để vẽ đồ thị của chức năng. Để tái tạo chính xác và chi tiết hơn đường cong hoặc đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ, bạn có thể tìm thấy một số điểm phụ trợ. Nó khá dễ dàng để tính toán chúng. Ví dụ, chúng ta lấy x=3, giải phương trình kết quả và tìm y=4. Hoặc x=5 và y=-5, v.v. Bạn có thể lấy bao nhiêu điểm bổ sung mà bạn cần để xây dựng. Ít nhất 3-5 trong số chúng được tìm thấy.

âm mưu

Chúng tôi cần điều tra hàm (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Tất cả các điểm cần thiết trong quá trình tính toán được thực hiện trên mặt phẳng tọa độ. Tất cả những gì còn lại phải làm là xây dựng một biểu đồ, nghĩa là kết nối tất cả các điểm với nhau. Kết nối các điểm trơn tru và chính xác, đây là vấn đề của kỹ năng - một chút luyện tập và lịch trình của bạn sẽ hoàn hảo.