Lihtsamate esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendus. Kuidas lahendada diferentsiaalvõrrandeid
Tavaline diferentsiaalvõrrand Seda nimetatakse võrrandiks, mis seob sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).
Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles sisalduva tuletise kõrgeima järg.
Lisaks tavalistele uuritakse ka osatuletistega diferentsiaalvõrrandeid. Need on sõltumatute muutujate võrrandid, nende muutujate tundmatu funktsioon ja selle osalised tuletised samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse mõttes sõna "tavaline".
Näited diferentsiaalvõrrandid:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.
Diferentsiaalvõrrand n järjestus ei pea selgesõnaliselt sisaldama funktsiooni, kõik selle tuletised algusest kuni n järk ja sõltumatu muutuja. See ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada mõne järgu tuletisi, funktsiooni, sõltumatut muutujat.
Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmanda ja teise järgu tuletised, samuti funktsioonid; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab selgesõnaliselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.
Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega kutsutakse mis tahes funktsiooni y = f(x), asendades selle võrrandiga, muutub see identiteediks.
Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.
Näide 1 Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.
Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletise järgi. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat jaoks, s.o.
Seda see on antud diferentsiaalvõrrandi lahendus . muutumas selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.
Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.
Diferentsiaalvõrrandi lahendus näites 1 on üldine.
Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse selle lahendust, milles suvalistele konstantidele määratakse konkreetsed arvväärtused.
Näide 2 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus 
.
Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad osad nii palju kordi, et diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrdne.
,
.
Selle tulemusena saime üldise lahenduse -
antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrand.
Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendame suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja saame
.
Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Väärtused ja asendatakse võrrandi üldlahendusega ja leitakse suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on lahendus Cauchy probleemile.
Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne näite 1 diferentsiaalvõrrandi jaoks tingimusel .
Lahendus. Asendame üldlahendusse algtingimuse väärtused y = 3, x= 1. Saame
Kirjutame Cauchy ülesande lahenduse antud esimest järku diferentsiaalvõrrandile:
Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine eeldab häid oskusi integreerida ja tuletisi võtta, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.
Näide 4 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.
Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et mõlemad pooled saab kohe integreerida.
.
Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmisega (asendamine). Lase siis.
Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda kompleksfunktsiooni eristamise reeglite järgi, kuna x ja seal on keeruline funktsioon ("õun" - ekstrakt ruutjuur või, mis on sama, tõstmine astmeni "üks sekund" ja "hakkliha" on juure all olev väljend):
Leiame integraali:
Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:
.
See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.
Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg- ehk koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada teadmised proportsioonide kohta, mis pole koolipingist ununenud (samas on kellelgi nii). See on järgmine näide.
6.1. PÕHIMÕISTED JA MÕISTED
Erinevate matemaatika-füüsika, bioloogia ja meditsiini probleemide lahendamisel ei ole üsna sageli võimalik kohe tuvastada funktsionaalset sõltuvust uuritavat protsessi kirjeldavaid muutujaid seostava valemi näol. Tavaliselt tuleb kasutada võrrandeid, mis sisaldavad lisaks sõltumatule muutujale ja tundmatule funktsioonile ka selle tuletisi.
Definitsioon. Nimetatakse võrrandit, mis seob sõltumatu muutuja, tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi diferentsiaal.
Tundmatu funktsioon on tavaliselt tähistatud y(x) või lihtsalt y, ja selle tuletised on y", y" jne.
Võimalikud on ka muud märgid, näiteks: kui y= x(t), siis x"(t), x""(t) on selle tuletised ja t on sõltumatu muutuja.
Definitsioon. Kui funktsioon sõltub ühest muutujast, siis nimetatakse diferentsiaalvõrrandit tavaliseks. Üldine vorm tavaline diferentsiaalvõrrand:
või
Funktsioonid F Ja f ei pruugi sisaldada mõningaid argumente, kuid selleks, et võrrandid oleksid diferentsiaalsed, on tuletise olemasolu hädavajalik.
Definitsioon.Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles sisalduva tuletise kõrgeima järg.
Näiteks, x 2 a"- y= 0, y" + sin x= 0 on esimest järku võrrandid ja y"+ 2 y"+ 5 y= x on teist järku võrrand.
Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel kasutatakse integreerimisoperatsiooni, mis on seotud suvalise konstandi ilmumisega. Kui integreerimistoimingut rakendatakse n korda, siis ilmselt sisaldab lahendus n suvalised konstandid.
6.2. ESIMESE JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRADID
Üldine vorm esimest järku diferentsiaalvõrrand on määratletud väljendiga
Võrrand ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada x Ja y, kuid sisaldab tingimata y".
Kui võrrandit saab kirjutada kujul
siis saame tuletise suhtes lahendatud esimest järku diferentsiaalvõrrandi.
Definitsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandi (6.3) (või (6.4)) üldlahend on lahenduste hulk 
, Kus KOOS on suvaline konstant.
Diferentsiaalvõrrandi lahendamise graafikut nimetatakse integraalkõver.
Suvalise konstandi andmine KOOS erinevad väärtused, on võimalik saada konkreetseid lahendusi. Pinnal xOyüldlahendus on igale konkreetsele lahendusele vastav integraalkõverate perekond.
Kui seate punkti A(x0, y0), millest integraalkõver peab siis reeglina funktsioonide hulgast läbi minema 
välja võib tuua ühe – konkreetse lahenduse.
Definitsioon.Eraldi otsus Diferentsiaalvõrrandi lahendus on selle lahendus, mis ei sisalda suvalisi konstante.
Kui 
on üldlahendus, siis tingimusest
võite leida alalise KOOS. Tingimust nimetatakse esialgne seisund.
Probleem diferentsiaalvõrrandi (6.3) või (6.4) konkreetse lahenduse leidmiseks, mis rahuldab algtingimust 
juures 
helistas Cauchy probleem. Kas sellel probleemil on alati lahendus? Vastus sisaldub järgmises teoreemis.
Cauchy teoreem(lahenduse olemasolu ja kordumatuse teoreem). Sisestage diferentsiaalvõrrand y"= f(x, y) funktsiooni f(x, y) ja tema
osaline tuletis 
mõnes määratletud ja pidev
alad D, sisaldavad punkti 
Siis piirkonnas D on olemas
ainuke algtingimust rahuldav võrrandi lahendus 
juures 
Cauchy teoreem väidab, et teatud tingimustel eksisteerib ainulaadne integraalkõver y= f(x), punkti läbimine 
Punktid, kus teoreemi tingimused ei ole täidetud
Kasse kutsutakse eriline. Nendes punktides katkeb f(x, y) või.
Ainsuse punkti läbib mitu integraalkõverat või mitte ühtegi.
Definitsioon. Kui lahendus (6.3), (6.4) on leitud kujul f(x, y, c)= 0 ei ole y suhtes lubatud, siis kutsutakse seda ühine integraal diferentsiaalvõrrand.
Cauchy teoreem tagab ainult lahenduse olemasolu. Kuna lahenduse leidmiseks pole ühest meetodit, käsitleme ainult teatud tüüpi esimest järku diferentsiaalvõrrandeid, mis on integreeritavad ruudud.
Definitsioon. Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse integreeritav kvadratuuridesse, kui selle lahenduse otsimine taandatakse funktsioonide integreerimisele.
6.2.1. Eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandid
Definitsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse võrrandiks eraldatavad muutujad,
Võrrandi (6.5) parem pool on kahe funktsiooni korrutis, millest igaüks sõltub ainult ühest muutujast.
Näiteks võrrand 
on võrrand eraldamisega
muutujate edastamine 
ja võrrand 
ei saa esitada kujul (6.5).
Arvestades seda 
, kirjutame (6.5) ümber kui 
Sellest võrrandist saame eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi, milles diferentsiaalid sisaldavad funktsioone, mis sõltuvad ainult vastavast muutujast:
Meil on termini kaupa integreerimine
kus C = C 2 - C 1 on suvaline konstant. Avaldis (6.6) on võrrandi (6.5) üldintegraal.
Jagades võrrandi (6.5) mõlemad osad , võime kaotada need lahendid, mille puhul 
Tõepoolest, kui 
juures 
See 
on ilmselgelt võrrandi (6.5) lahendus.
Näide 1 Leidke võrrandile rahuldav lahendus
tingimus: y= 6 kl x= 2 (y(2) = 6).
Lahendus. Asendame kell" selleks ajaks 
. Korrutage mõlemad pooled arvuga
dx, kuna edasises integratsioonis on võimatu lahkuda dx nimetajas:
ja jagades seejärel mõlemad osad arvuga 
saame võrrandi,
mida saab integreerida. Integreerime: 
Siis 
; võimendades saame y = C . (x + 1) - ob-
lahendus.
Lähteandmete põhjal määrame suvalise konstandi, asendades need üldlahendisse
Lõpuks saame y= 2(x + 1) on konkreetne lahendus. Mõelge veel mõnele näitele eraldatavate muutujatega võrrandite lahendamisest.
Näide 2 Leia võrrandile lahendus 
Lahendus. Arvestades seda 
, saame 
.
Integreerides võrrandi mõlemad osad, saame
kus 
Näide 3 Leia võrrandile lahendus Lahendus. Jagame võrrandi mõlemad osad teguritega, mis sõltuvad muutujast, mis ei lange kokku diferentsiaalmärgi all oleva muutujaga, st. 
ja integreerida. Siis saame
ja lõpuks
Näide 4 Leia võrrandile lahendus
Lahendus. Teades, mida me saame. Sektsioon-
lim muutujad. Siis 
Integreerimine, saame
Kommenteeri. Näidetes 1 ja 2 soovitud funktsioon y sõnaselgelt väljendatud (üldlahendus). Näidetes 3 ja 4 - kaudselt (üldintegraal). Edaspidi otsuse vormi ei täpsustata.
Näide 5 Leia võrrandile lahendus Lahendus.
Näide 6 Leia võrrandile lahendus 
rahuldav
tingimus ja(e)= 1.
Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile 
Võrrandi mõlema poole korrutamine arvuga dx ja edasi, saame
Integreerides võrrandi mõlemad pooled (parempoolne integraal võetakse osade kaupa), saame 
Aga tingimuse järgi y= 1 at x= e. Siis
Asendage leitud väärtused KOOSüldiseks lahenduseks:
Saadud avaldist nimetatakse diferentsiaalvõrrandi konkreetseks lahenduseks.
6.2.2. Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid
Definitsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse homogeenne kui seda saab kujutada kui
Esitame homogeense võrrandi lahendamise algoritmi.
1. Selle asemel y Seejärel tutvustage uut funktsiooni 
ja seega 
2. Funktsiooni poolest u võrrand (6.7) saab kuju
st asendus taandab homogeense võrrandi eraldatavate muutujatega võrrandiks.
3. Lahendades võrrandi (6.8), leiame esmalt u ja seejärel y= ux.
Näide 1 lahendage võrrand 
Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile
Teeme asendused: 
Siis 
Asendame 
Korrutage dx-ga: 
Jagage poolt x ja edasi 
Siis
Integreerides võrrandi mõlemad osad vastavate muutujate suhtes, saame
või naastes vanade muutujate juurde, saame lõpuks
Näide 2lahendage võrrand 
Lahendus.Lase 
Siis
Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga x2: 
Avame sulud ja korraldame terminid ümber:
Vanade muutujate juurde liikudes jõuame lõpptulemuseni:
Näide 3Leia võrrandile lahendus 
arvestades seda
Lahendus.Tavalise asendamise teostamine 
saame
või 
või
Seega on konkreetsel lahendusel vorm 
Näide 4 Leia võrrandile lahendus
Lahendus.
Näide 5Leia võrrandile lahendus 
Lahendus.
Iseseisev töö
Leia lahendus eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrranditele (1-9).
Leia lahendus homogeensetele diferentsiaalvõrranditele (9-18).
6.2.3. Mõned esimest järku diferentsiaalvõrrandite rakendused
Radioaktiivse lagunemise probleem
Ra (raadiumi) lagunemiskiirus igal ajahetkel on võrdeline selle olemasoleva massiga. Leidke Ra radioaktiivse lagunemise seadus, kui on teada, et alghetkel oli Ra ja Ra poolväärtusaeg on 1590 aastat.
Lahendus. Olgu hetkel mass Ra x= x(t) g ja 
Siis on Ra lagunemiskiirus
Vastavalt ülesandele 
Kus k
Eraldades muutujad viimases võrrandis ja integreerides, saame
kus 
Määramiseks C kasutame algtingimust: 
.
Siis 
ning seetõttu, 
Proportsionaalsustegur k määratakse lisatingimuse alusel:
Meil on
Siit 
ja soovitud valem
Bakterite paljunemise kiiruse probleem
Bakterite paljunemise kiirus on võrdeline nende arvuga. Algsel hetkel oli 100 bakterit. 3 tunni jooksul nende arv kahekordistus. Leia bakterite arvu sõltuvus ajast. Mitu korda suureneb bakterite arv 9 tunni jooksul?
Lahendus. Lase x- bakterite arv hetkel t. Siis vastavalt olukorrale 
Kus k- proportsionaalsuskoefitsient.
Siit 
Tingimusest on teada, et 
. Tähendab,
Lisatingimusest 
. Siis
Nõutav funktsioon: 
Niisiis, kl t= 9 x= 800, st 9 tunni jooksul suurenes bakterite arv 8 korda.
Ensüümi koguse suurendamise ülesanne
Õllepärmi kultuuris on aktiivse ensüümi kasvukiirus võrdeline selle esialgse kogusega. x. Ensüümi esialgne kogus a kahekordistus tunni jooksul. Leia sõltuvus
x(t).
Lahendus. Tingimuse järgi on protsessi diferentsiaalvõrrandil kuju 
siit
Aga 
. Tähendab, C= a ja siis 
Samuti on teada, et 
Seega
6.3. TEIST JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRADID
6.3.1. Põhimõisted
Definitsioon.Teist järku diferentsiaalvõrrand nimetatakse seoseks, mis ühendab sõltumatut muutujat, soovitud funktsiooni ning selle esimest ja teist tuletist.
Erijuhtudel võib x võrrandis puududa, juures või y". Kuid teist järku võrrand peab tingimata sisaldama y". Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt:
või võimaluse korral teise tuletise jaoks lubatud kujul:
Nagu esimest järku võrrandil, võib ka teist järku võrrandil olla üldine ja konkreetne lahend. Üldine lahendus näeb välja selline:
Privaatse lahenduse leidmine
algtingimustel - antud
number) helistatakse Cauchy probleem. Geomeetriliselt tähendab see, et on vaja leida integraalkõver juures= y(x), antud punkti läbimine 
ja millel on puutuja selles punktis, mis on umbes
positiivse telje suunaga kahvlid Ox antud nurk. e. 
(joonis 6.1). Cauchy probleemil on ainulaadne lahendus, kui võrrandi (6.10) parem pool, 
eel-
on katkendlik ja sellel on pidevad osatuletised sina, sina" mõnes alguspunkti naabruses
Konstantse leidmiseks 
konkreetsesse lahendusse kaasatud, on vaja süsteemi lubada
Riis. 6.1. integraalkõver
Diferentsiaalvõrrandite lahendus. Tänu meie võrguteenus saate lahendada mis tahes tüüpi ja keerukusega diferentsiaalvõrrandeid: ebahomogeensed, homogeensed, mittelineaarsed, lineaarsed, esimest, teist järku, eraldatavate muutujatega või ilma jne. Saate diferentsiaalvõrrandite lahenduse analüütiline vorm Koos Täpsem kirjeldus. Paljud on huvitatud: miks on vaja diferentsiaalvõrrandeid Internetis lahendada? Seda tüüpi võrrandid on väga levinud matemaatikas ja füüsikas, kus paljusid ülesandeid on võimatu lahendada ilma diferentsiaalvõrrandit arvutamata. Samuti on diferentsiaalvõrrandid levinud majanduses, meditsiinis, bioloogias, keemias ja teistes teadustes. Sellise võrrandi lahendus in võrgurežiim hõlbustab oluliselt teie ülesandeid, annab teile võimaluse materjalist paremini aru saada ja ennast proovile panna. Diferentsiaalvõrrandite Internetis lahendamise eelised. Kaasaegne matemaatikateenuste sait võimaldab teil Internetis lahendada mis tahes keerukusega diferentsiaalvõrrandeid. Nagu teate, on olemas suur hulk erinevat tüüpi diferentsiaalvõrrandid ja igaühel neist on oma lahendusmeetodid. Meie teenusest leiate Internetist mis tahes järjestuse ja tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendused. Lahenduse saamiseks soovitame täita algandmed ja vajutada nuppu "Lahendus". Vead teenuse töös on välistatud, seega võite olla 100% kindel, et saite õige vastuse. Lahendage meie teenusega diferentsiaalvõrrandeid. Lahendage diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Vaikimisi on sellises võrrandis funktsioon y muutuja x funktsioon. Kuid saate määrata ka oma muutuja tähistuse. Näiteks kui määrate diferentsiaalvõrrandis y(t), määrab meie teenus automaatselt, et y on muutuja t funktsioon. Kogu diferentsiaalvõrrandi järjekord sõltub võrrandis oleva funktsiooni tuletise maksimaalsest järjestusest. Sellise võrrandi lahendamine tähendab soovitud funktsiooni leidmist. Meie teenus aitab teil lahendada diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Võrrandi lahendamiseks ei pea te palju pingutama. Peate lihtsalt sisestama võrrandi vasak- ja parempoolsed osad nõutavatele väljadele ja klõpsama nuppu "Lahendus". Funktsiooni tuletise sisestamisel on vaja seda tähistada apostroofiga. Mõne sekundiga on teil diferentsiaalvõrrandi jaoks valmis üksikasjalik lahendus. Meie teenus on täiesti tasuta. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid. Kui vasakpoolses diferentsiaalvõrrandis on avaldis, mis sõltub y-st, ja paremal pool on avaldis, mis sõltub x-ist, siis nimetatakse sellist diferentsiaalvõrrandit eraldatavate muutujatega. Vasakpoolsel küljel võib olla y tuletis, seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendus on y funktsiooni kujul, mida väljendatakse võrrandi parempoolse külje integraali kaudu. Kui vasakul küljel on funktsiooni y diferentsiaal, siis on võrrandi mõlemad osad integreeritud. Kui diferentsiaalvõrrandi muutujaid ei eraldata, tuleb need eraldatud diferentsiaalvõrrandi saamiseks jagada. Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui funktsioon ja kõik selle tuletised on esimesel astmel. Võrrandi üldvorm: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ja a1(x) on x pidevad funktsioonid. Seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendus taandatakse kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi integreerimisele. Diferentsiaalvõrrandi järjekord. Diferentsiaalvõrrand võib olla esimest, teist, n-ndat järku. Diferentsiaalvõrrandi järjekord määrab selles sisalduva kõrgeima tuletise järjekorra. Meie teenuses saate lahendada diferentsiaalvõrrandeid kõigepealt võrgus, teine, kolmas jne. tellida. Võrrandi lahenduseks on suvaline funktsioon y=f(x), mille asendamisel võrrandisse saad identiteedi. Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks. Cauchy probleem. Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile endale on määratud ka algtingimus y(x0)=y0, siis nimetatakse seda Cauchy probleemiks. Võrrandi lahendile lisatakse indikaatorid y0 ja x0 ning määratakse suvalise konstandi C väärtus ning seejärel võrrandi konkreetne lahendus sellele C väärtusele. See on Cauchy ülesande lahendus. Cauchy probleemi nimetatakse ka piirtingimuste probleemiks, mis on füüsikas ja mehaanikas väga levinud. Samuti on teil võimalus määrata Cauchy probleem, see tähendab kõigist võimalikud lahendused võrrandist vali jagatis, mis vastab antud algtingimustele.
Kas tuletise suhtes juba lahendatud või saab neid lahendada tuletise suhtes 
.
Intervalli tüüpi diferentsiaalvõrrandite üldlahendus X, mis on antud, saab leida, võttes selle võrdsuse mõlema poole integraali.
Hangi 
.
Vaadates omadusi määramatu integraal, siis leiame soovitud üldlahenduse:
y = F(x) + C,
Kus F(x)- funktsiooni üks antiderivaate f(x) vahel X, A KOOS on suvaline konstant.
Pange tähele, et enamiku ülesannete puhul on intervall Xära näita. See tähendab, et lahendus tuleb leida igaühe jaoks. x, mille jaoks ja soovitud funktsioon y, ja algne võrrand on mõistlik.
Kui teil on vaja arvutada diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimusele y(x0) = y0, siis pärast üldintegraali arvutamist y = F(x) + C, on ikkagi vaja määrata konstandi väärtus C=C0 kasutades algseisundit. See tähendab, et konstant C=C0 võrrandist määratud F(x 0) + C = y 0, ja diferentsiaalvõrrandi soovitud konkreetne lahendus on järgmisel kujul:
y = F(x) + C0.
Kaaluge näidet:
Leidke diferentsiaalvõrrandi üldlahend, kontrollige tulemuse õigsust. Leiame sellele võrrandile konkreetse lahenduse, mis rahuldaks algtingimust .
Lahendus:
Pärast antud diferentsiaalvõrrandi integreerimist saame:
.
Me võtame selle integraali osade kaupa integreerimise meetodil:
See., 
on diferentsiaalvõrrandi üldlahend.
Kontrollime, kas tulemus on õige. Selleks asendame antud võrrandiga leitud lahenduse:
.
See tähendab, kell 
algne võrrand muutub identiteediks:
seetõttu määrati diferentsiaalvõrrandi üldlahend õigesti.
Meie leitud lahendus on argumendi iga reaalväärtuse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus x.
Jääb välja arvutada konkreetne ODE lahendus, mis rahuldaks algtingimust. Teisisõnu on vaja arvutada konstandi väärtus KOOS, mille korral võrdsus on tõene:
.
.
Siis asendamine C = 2 ODE üldlahendisse saame diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse, mis rahuldab algtingimust:
.
Tavaline diferentsiaalvõrrand 
saab tuletise suhtes lahendada, jagades võrrandi 2 osa arvuga f(x). See teisendus on samaväärne, kui f(x) ei lähe ühegi puhul nulli x diferentsiaalvõrrandi integreerimise intervallist X.
Olukorrad on tõenäolised, kui mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X funktsioonid f(x) Ja g(x) keerake samal ajal nulli. Sarnaste väärtuste jaoks x diferentsiaalvõrrandi üldlahend on mis tahes funktsioon y, mis on neis määratletud, sest .
Kui mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud juhul pole ODE-l lahendusi.
Kõigile teistele x intervallist X teisendatud võrrandist määratakse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.
Vaatame näiteid:
Näide 1
Leiame ODE üldise lahenduse: 
.
Lahendus.
Põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal on selge, et naturaallogaritmi funktsioon on määratletud argumendi mittenegatiivsete väärtuste jaoks, seega avaldise domeen log(x+3) on vaheaeg x > -3 . Seega on antud diferentsiaalvõrrand mõttekas x > -3 . Nende argumendi väärtustega avaldis x + 3 ei kao, seega saab ODE lahendada tuletise suhtes, jagades 2 osa arvuga x + 3.
Saame 
.
Järgmisena integreerime saadud diferentsiaalvõrrandi, mis on lahendatud tuletise suhtes: 
. Selle integraali võtmiseks kasutame diferentsiaali märgi alla liitmise meetodit.
Tuletage meelde probleemi, millega me kindlate integraalide leidmisel kokku puutusime:
või dy = f(x)dx. Tema lahendus:
ja see taandub määramata integraali arvutamiseks. Praktikas on tavalisem raskem ülesanne: funktsiooni leidmine y, kui on teada, et see rahuldab vormi seost
See seos seob sõltumatu muutuja x, tundmatu funktsioon y ja selle tuletised kuni järjekorras n kaasa arvatud, nimetatakse .
Diferentsiaalvõrrand sisaldab funktsiooni ühe või teise järgu tuletiste (või diferentsiaalide) märgi all. Kõrgeima järgu nimetatakse järjestuseks (9.1) .
Diferentsiaalvõrrandid:
- esimene tellimus
teine järjekord,
- viies järjekord jne.
Funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit, nimetatakse selle lahenduseks , või integraal . Selle lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist. Kui soovitud funktsiooni jaoks yõnnestus saada valem, mis annab kõik lahendused, siis ütleme, et oleme leidnud selle üldlahenduse , või üldine integraal .
Ühine otsus
sisaldab n suvalised konstandid 
ja näeb välja nagu
Kui saadakse seos, mis seostub x, y Ja n suvalised konstandid kujul, mis ei ole lubatud y -
siis nimetatakse sellist seost võrrandi (9.1) üldintegraaliks.
Cauchy probleem
Iga konkreetne lahendus st iga konkreetset funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit ja ei sõltu suvalistest konstantidest, nimetatakse konkreetseks lahenduseks , või privaatne integraal. Konkreetsete lahenduste (integraalide) saamiseks üldistest lahendustest on vaja konstantidele lisada konkreetsed arvväärtused.
Konkreetse lahenduse graafikut nimetatakse integraalkõveraks. Üldlahendus, mis sisaldab kõiki konkreetseid lahendusi, on integraalkõverate perekond. Esimest järku võrrandi puhul sõltub see perekond ühest suvalisest konstandist; võrrandi puhul n järjekord - alates n suvalised konstandid.
Cauchy ülesanne on leida võrrandile konkreetne lahendus n järjekord, rahuldav n algtingimused:
mis määravad n konstanti с 1 , с 2 ,..., c n.
Esimest järku diferentsiaalvõrrandid
Lahendamata tuletise puhul on esimest järku diferentsiaalvõrrand kujul
või lubatud suhteliselt
Näide 3.46. Leidke võrrandile üldine lahendus
Lahendus. Integreerimine, saame
kus C on suvaline konstant. Kui anname C-le konkreetsed arvväärtused, saame konkreetsed lahendused, näiteks
Näide 3.47. Võtke arvesse pangas hoiustatud raha suurenevat summat, millele lisandub 100 r liitintressi aastas. Olgu Yo esialgne rahasumma ja Yx pärast aegumist x aastat. Kui intresse arvutatakse kord aastas, saame
kus x = 0, 1, 2, 3,.... Kui intressi arvutatakse kaks korda aastas, saame
kus x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Intressi arvutamisel n kord aastas ja kui x võtab järjestikku väärtused 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., siis
Tähistage 1/n = h , siis näeb eelmine võrdsus välja selline:
Piiramatu suurendusega n(at 
) limiidis jõuame rahasumma suurendamise protsessini koos pideva intressi kogumisega:
Seega on näha, et pideva muutusega x rahamassi muutumise seadust väljendatakse 1. järku diferentsiaalvõrrandiga. kus Y x on tundmatu funktsioon, x- sõltumatu muutuja, r- pidev. Lahendame selle võrrandi, kirjutame selle ümber järgmiselt:
kus 
, või 
, kus P tähistab e C .
Algtingimustest Y(0) = Yo leiame P: Yo = Pe o , kust Yo = P. Seetõttu näeb lahendus välja selline:
Mõelge teisele majandusprobleemile. Makromajanduslikke mudeleid kirjeldavad ka I järgu lineaarsed diferentsiaalvõrrandid, mis kirjeldavad tulu või toodangu Y muutust aja funktsioonina.
Näide 3.48. Las rahvatulu Y kasvab proportsionaalselt selle suurusega:
ja olgu, valitsemissektori kulutuste puudujääk on proportsionaalsuskoefitsiendiga otseselt võrdeline tuluga Y q. Kulude puudujääk toob kaasa riigivõla kasvu D:
Algtingimused Y = Yo ja D = Do, kui t = 0. Esimesest võrrandist Y= Yoe kt . Asendades Y saame dD/dt = qYoe kt . Üldlahendusel on vorm
D = (q/ k) Yoe kt +С, kus С = const, mis määratakse algtingimustest. Asendades algtingimused, saame Do = (q/k)Yo + C. Niisiis, lõpuks,
D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),
see näitab, et riigivõlg kasvab sama suhtelise kiirusega k, mis on rahvatulu.
Mõelge lihtsaimatele diferentsiaalvõrranditele n järjekorras, need on vormi võrrandid
Selle üldise lahenduse saab kasutada kasutades n integratsiooni ajad.
Näide 3.49. Vaatleme näidet y """ = cos x.
Lahendus. Integreerimine, leiame
Üldlahendusel on vorm
Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid
Majanduses on neist palju kasu, mõelge selliste võrrandite lahendusele. Kui (9.1) on vorm:
siis nimetatakse seda lineaarseks, kus po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) on antud funktsioonid. Kui f(x) = 0, siis (9.2) nimetatakse homogeenseks, vastasel juhul nimetatakse seda mittehomogeenseks. Võrrandi (9.2) üldlahend on võrdne selle mis tahes konkreetse lahendi summaga y(x) ja sellele vastava homogeense võrrandi üldlahend:
Kui koefitsiendid p o (x), p 1 (x),..., p n (x) on konstandid, siis (9.2)
(9.4) nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks, millel on konstantsed järjekorrakoefitsiendid n .
(9.4) puhul on sellel järgmine vorm:
Saame seada ilma üldistuse kaotamata p o = 1 ja kirjutada (9.5) vormi
Otsime lahendit (9.6) kujul y = e kx , kus k on konstant. Meil on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Asendage saadud avaldised (9.6), saame:
(9.7) on algebraline võrrand, tema tundmatu on k, nimetatakse seda iseloomulikuks. Iseloomulikul võrrandil on aste n Ja n juured, mille hulgas võib olla nii mitut kui ka keerulist. Olgu siis k 1 , k 2 ,..., k n reaalne ja eristatav 
on erilahendused (9.7), samas kui üldine
Vaatleme konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarset homogeenset diferentsiaalvõrrandit:
Selle iseloomulikul võrrandil on vorm
(9.9)
selle diskriminant D = p 2 - 4q, olenevalt D märgist on võimalikud kolm juhtumit.
1. Kui D>0, siis juured k 1 ja k 2 (9.9) on reaalsed ja erinevad ning üldlahend on kujul:
Lahendus. Iseloomulik võrrand: k 2 + 9 = 0, kust k = ± 3i, a = 0, b = 3, üldlahend on:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Teist järku lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid kasutatakse kaubavarudega veebilaadse majandusmudeli uurimiseks, kus hinna P muutumise kiirus sõltub laoseisu suurusest (vt lõik 10). Kui nõudlus ja pakkumine on hinna lineaarsed funktsioonid, siis
a - on konstant, mis määrab reaktsioonikiiruse, siis hinnamuutuse protsessi kirjeldatakse diferentsiaalvõrrandiga:
Konkreetse lahenduse jaoks võite võtta konstanti
millel on tasakaaluhinna tähendus. Hälve 
rahuldab homogeenset võrrandit
(9.10)
Iseloomulik võrrand on järgmine:
Juhul, kui termin on positiivne. Tähistage 
. Karakteristikavõrrandi k 1,2 = ± i w juured, seega on üldlahend (9.10) järgmine:
kus C ja suvalised konstandid, määratakse need algtingimuste põhjal. Oleme saanud ajas hinnamuutuse seaduse:
