Ruutjuure sisaldavate avaldiste teisendamise teema seletus. Juurte omaduste kasutamine irratsionaalsete avaldiste, näidete, lahenduste teisendamisel. Vii. Testi kirjutamine

§ 1 Ruutjuure eraldamise operatsiooni sisaldavate avaldiste teisendamine

Tuletame meelde ruutjuurte omadusi: kui a, b on mittenegatiivsed arvud a, b ≥ 0, siis on tõesed järgmised võrrandid:

Neid valemeid kasutades saate teostada ruutjuure ekstraheerimist sisaldavate avaldiste erinevaid teisendusi, kuid tingimusel, et nende avaldiste muutujad võtavad ainult mittenegatiivseid väärtusi. Pärast selle oletuse tegemist kaaluge mõnda näidet.

Näide 1: avaldise lihtsustamine:

Kuna avaldis sisaldab murdosa, kasutame selle teisendamiseks teist omadust:

Nimetaja teisendamiseks kasutati kolmandat omadust:

Selle tulemusena on esialgne avaldis järgmine:

Näide 2: lahutage ruutjuure märgist tegur:

A-tähe all oleva näite lahendamisel kasutame ruutjuure esimest ja kolmandat omadust:

Samamoodi teisendame ülesandes esitatud avaldise tähe B all:

Näide 3: ruutjuure tegur

Juurmärgi arvessevõtmiseks kasutame kolmandat omadust paremalt vasakule:

Lahendame mitmeid ruutjuure eraldamise operatsiooni sisaldavate avaldiste teisendamise ülesandeid, kasutades lühendatud korrutamise valemeid. Kõigepealt meenutame ja kirjutame need üles:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Näide 4: avaldise lihtsustamine:

Ülesande lahendamiseks kujutame arvu kolm ruutjuurena kolmest ruudust:

ja nimetajas kasutame ruutude erinevuse valemit, siis saame:

Näide 5: avaldise lihtsustamine:

Lahendamiseks kaaluge esmalt väljendit:

Eeldades et

siis

kasutades kuubikute summa valemit

Saame

Teeme sobiva asendus.

Teiseks, alates (a - b) jagamise operatsioonist, pöördume pöördarvuga korrutamise operatsiooni poole:

Kolmandaks vähendame sulgudes olevat esimest murdu avaldise abil:

ja seejärel sooritame korrutustehte.

Oletame:

ruutude erinevuse valemit kasutades saame:

Esimese murru lugejas oleva avaldise erinevuse ruudu valemi järgi saab kirjutada:

Teeme vastavad asendused. Esimese murru lugejas ja nimetajas on ühine tegur, seetõttu jääb pärast redutseerimist kokkuvõtteks vaid samade nimetajatega murdude liitmine.

Kui algebralise murru nimetaja sisaldab ruutjuuremärki, siis öeldakse, et nimetaja sisaldab irratsionaalsust. Avaldise teisendamist sellisele kujule, et murru nimetajas pole ruutjuure märke, nimetatakse nimetajas vabanemiseks irratsionaalsusest.

§ 2 Murru nimetaja irratsionaalsusest vabastamise algoritm

1. Tegurida välja murdosa nimetaja;

2. Kui nimetaja on:

Kui nimetaja on:

või sisaldab seda tüüpi tegurit, siis tuleks murdosa lugeja ja nimetaja korrutada vastavalt järgmisega:

3. Teisenda võimalusel murdu lugeja ja nimetaja, seejärel vähenda saadud murdu. Väljendid nagu:

Mõelgem, kuidas näidete abil vabaneda nimetaja irratsionaalsusest:

A) Teisendame avaldise:

Kasutame algoritmi irratsionaalsusest vabanemiseks murdosa nimetajas: korrutage:

lugeja ja nimetaja. Saame:

B) Teisendame avaldise:

Selles näites korrutatakse murdosa lugeja ja nimetaja konjugaadi avaldisega:

Seega oleme ruutjuuri sisaldavate avaldiste lihtsustamiseks analüüsinud mitmeid näiteid.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. klass. Kell 14 1. osa Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. - 9. väljaanne, Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215lk.: Ill.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. klass. Kell 14 2. osa Probleemiraamat haridusasutustele / A.G. Mordkovitš, T.N. Mishustina, E.E. Tultšinskaja. - 8. trükk, - M .: Mnemosina, 2006 .-- 239lk.
3. Algebra. 8. klass. Testitööd õppeasutuste õpilastele L.A. Aleksandrov, toim. A.G. Mordkovich 2. väljaanne, Kustutatud. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 40ndad.
4. Algebra. 8. klass. Iseseisev töö õppeasutuste õpilastele: A.G. õpiku juurde. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, toim. A.G. Mordkovitš. 9. väljaanne, kustutatud. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 112s.

Algebra. 8. klass

Õpetaja: Kulešova Tatjana Nikolajevna

Teema: Ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamine

Tunni tüüp: teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine

Tunni eesmärk: õpilaste oskuste kujundamine ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamiseks

Ülesanded:

Hariduslik:teadma aritmeetilise ruutjuure omadusi; õppida teisendama ruutjuure sisaldavaid avaldisi, näiteks teguri eemaldamist juuremärgi alt, teguri lisamist juuremärgile ja murdu nimetaja irratsionaalsusest vabastamist;

Arendamine: arendada kognitiivseid ja loomingulisi võimeid, mõtlemist, vaatlust, leidlikkust ja iseseisva tegevuse oskusi; matemaatika vastu huvi tekitamine;

Hariduslik: oskus töötada meeskonnas (grupis), soov huviga aktiivselt õppida; selgus ja organiseeritus töös; võimaldada igal õpilasel edu saavutada;

Varustus: Koolitarbed, tahvel, kriit, õpik, jaotusmaterjalid.

Tunniplaan

1. Aja organiseerimine
2. Eesmärkide seadmine
3. Kordamine
4. Iseseisev töö
5. Dikteerimine
6. Test
7. Õpikutöö
8. Kodutöö briifing
9. Tunni kokkuvõte. Peegeldus

Edusammud

1. Aja organiseerimine

Tunni motivatsioon

"Sule silmad, istu mugavalt. Kujutage ette midagi teile väga meeldivat. Tunned end hästi, mugavalt. Sinu ümber on palju sõpru. Nende hulgas on meile väga tuttavad naturaalarvud. Meie sõprade read täienevad ja nendega on lisandunud murdarvud. Kuid negatiivsed numbrid tulid välja. Ja nüüd kohtute ratsionaalsete ja irratsionaalsete numbritega. Aeg möödub ja me õpime teid tundma uute numbritega ja seni, kuni maailmas on matemaatikat, on need arvud lõpmatud.

"Teadmised on teadmised ainult siis, kui need on omandatud inimese enda mõtte, mitte mälu abil." N. Tolstoi.-Need L. N. Tolstoi sõnad on matemaatika uurimisel olulised ja asjakohased, sest matemaatika on üks väheseid teadusi, kus tuleb pidevalt reflekteerida. Sinu ülesandeks on näidata oma teadmisi ja oskusi suulise töö, testimise, tahvli taga töötamise protsessis.

Igaühel teist on laual hindamisleht, iga sooritatud ülesande järel ei unusta me hindeid andmast ning tunni lõpus paneme lõpphinnet.

1. Eesmärkide seadmine

Anagrammi lahendamine (rühmatöö)

TEAVE - ZO - RA - EELMINE - VA KONVERSIOON

NIY – RA – SAMA – SINA AVALDUSED

SHIH - DER - ZHA - SISALDAVAGA

ROT – KV – NYE – PÕRGUSE RUUT

EI - CO - R ROOTS

Pärast anagrammi lahendamist määravad õpilased tunni teema.

Mis te arvate, mida me tunnis teeme?

Sõnastame koos oma tunni eesmärgi.

1. Varem õpitud materjali kordamine

A 1) Sõnaline loendamine:

Teooria testimine: ühendage rida definitsiooni sobivate osadega.

skoor -2 punkti

2). Täielik heakskiit.

a) Mittenegatiivsete tegurite korrutise juur onnende tegurite juurte korrutis.(skoor -2 punkti)

b) Kutsutakse mis tahes lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurduirratsionaalne arv.(skoor -2 punkti)

c) Murru juur, mille lugeja on mittenegatiivne arv ja nimetaja on positiivne, onlugeja juur jagatud nimetaja juurega. ( skoor -2 punkti)

3) vastavuse tagamine (2 punkti)

C. 3 õpilast saavad ruutjuure sisaldavad avaldised vastavalt teisendusalgoritmile. Ülesanne: kujutada, joonistada, kirjutada, näidata jne. ja kaitsta (kõneleja).

3) Tõmmake juur välja

1. Tegutsege murdosa nimetaja.
2. Kui nimetaja onvõi sisaldab tegurit, siis tuleks lugeja ja nimetaja korrutada või aadressil .
3. Võimaluse korral teisendage murdu lugeja ja nimetaja, seejärel vähendage saadud murru.

1. Iseseisev töö

Võtke faktor juurmärgi alt välja:

(2 punkti)

3)

Avaldise lihtsustamine (4 punkti)

1. Test sülearvutis (skoor määratakse automaatselt)

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

1. Dikteerimine:

Iga õigesti täidetud ülesande eest 0,5 punkti.

1. Töö õpiku kallal - töö tahvliga: iga õpilane saab konkreetse näite, otsustab omakorda tahvli kasuks, kirjutab kõik vihikusse. (1 punkt)
2. Kodutööde teave
3. Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus

Hindamine

Hindamispaber. Nimi ja õpilane ______________________________ Hinne _____

Punktide teisendamine hindeks

25 punkti või rohkem - hinne "5"

24–18 punkti – tulemus "4"

17–9 punkti – skoor "3"

0-8 punkti - skoor "2"

Tunni kõigi tööde hindamiseks kasutatakse "Punktide ülekandmine hinnetele" - hindamislehe tagaküljel.

Täitke tulemuskaart. Tunni hinded.

Ma tahan õppetunni lõpetadasuure matemaatiku Sophia Kovalevskaja luuletus.

Kui elus oled kasvõi hetkeks

Tundsin tõde oma südames

Kui valguskiir läbi pimeduse ja kahtluse

Sinu tee säras ereda säraga:

Mis oleks teie otsuses muutmata

Rock ei ole sind ette määranud,

Mälestus sellest pühast hetkest

Hoidke seda igavesti, nagu pühamu rinnus.

Pilved kogunevad ebakõlaliselt,

Taevast katab must udu

Selge sihikindlusega, rahuliku usuga

Tutvuge tormiga ja astuge äikesetormile vastu.

See luuletus väljendab soovi teadmiste järele, võimet ületada kõik teel ette tulevad takistused. Kuidas me täna takistustest üle saime? Mida me tunnis tegime?

- Täna oleme üle korranud aritmeetilise ruutjuure määratlust ja omadusi; teguri võtmine juurmärgist kaugemale, teguri sisestamine juuremärgi alla, lühendatud korrutusvalemid; tutvus ja kinnistas mõned ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamise meetodid.

Kõik töötasid tunni jooksul viljakalt, aktiivselt ja ühiselt.

Õppetund on läbi. Aitäh kõigile õppetunni eest!

Sisestage kordaja juuremärgi alla:

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

F.I test ____________________

Sisestage kordaja juuremärgi alla:

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

Algoritm teguri eemaldamiseks juurmärgist

1) Esitame radikaali avaldise selliste tegurite korrutise kujul, millest ühest saaks eraldada ruutjuure.

2) Rakenda korrutise juurteoreem.

3) Tõmmake juur välja

Algoritm teguri sisestamiseks juurmärgi alla

1) Esitame korrutise aritmeetilise ruutjuure kujul.

2) Teisenda ruutjuurte korrutis radikaalavaldiste korrutiseks.

3) Soorita korrutamine juuremärgi all.

Murru nimetaja irratsionaalsusest vabastamise algoritm:

1) Korrigeerige murdosa nimetaja.

AVATUD KAUGTUNNID

teemal: "Ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamine."

Matemaatikaõpetaja - Vetohina Antonina Sergeevna

Töökoht : OGKOU "Internaatkool № 88 "Naeratus" Uljanovsk, Uljanovsk

piirkond

Üksus: algebra

Klass: 8

Põhiõpetus: « Algebra klass 8" : Õpik haridusasutustele. Yu.N. Makarychev, N.G.

Mindyuk, K.I. Neshkov, S. B. Suvorov. - M .: Haridus, 2011

TDC:

Hariduslik:

jätkake oskuste loomist:

radikaali märgist kaugemale jääva teguri võtmine;

teguri sisseviimine radikaali märgi alla;

faktoriseerimine;

fraktsioonide vähendamine;

õpetada õpilast rakendama algteadmisi: omadused juur.

Areneb : jätka arendamist:

praktilised oskused ja vilumused;

õige matemaatiline kõneoskus;

õpilase tunnetuslik tegevus;

õpilase loogiline mõtlemine ülesannetes arvutamisel.

Hariduslik: jätka moodustamist:

suhtluskultuur ja küsimustele vastamise kultuur;

vaimse töö kultuur;

kujundada positiivset suhtumist ainesse, huvi teadmiste vastu.

Tunni tüüp: kombineeritud.

Õppemeetodid : visuaalne-verbaalne, reproduktiivne.

Kognitiivse tegevuse korraldamise vormid tunnis : iseseisev ja individuaalne töö.

Tunni varustus, kujundus ja tehniline varustus:

i-kooli saidi materjalid « Algebra – II (8. klass) » ( http://iclass.home-edu.ru );

saidi materjalid "YaKlass" ( http://www.yaklass.ru );

arvuti, multimeediaprojektor.

TUNNIPLAAN

1. Aja organiseerimine.

2. Teadmiste värskendus.

3. Kehaline kasvatus silmadele.

4. Uue materjali õppimine.

5. Füüsiline ettevalmistus.

6. Omandatud teadmiste kinnistamine. Praktiline töö.

7. Peegeldus.Õppetunni kokkuvõte.

8. Kodutöö.

TUNNI STRUKTUUR JA PROTSESS

Enne tunni algust logib õpilane saidile sisse i -koolid oma sisselogimise all ja mine kursusele « Algebra – II (8. klass) » .

Siis ta avaneb programm Skype tunnis osaleda.

Selle artikli materjali tuleks käsitleda osana irratsionaalsete väljendite teisendamise teemast. Siin analüüsime näidete abil kõiki peensusi ja nüansse (mida on palju), mis tekivad juurte omadustel põhinevate teisenduste läbiviimisel.

Leheküljel navigeerimine.

Tuletage meelde juurte omadusi

Niipea, kui hakkame tegelema avaldiste teisendamisega juurte omadusi kasutades, ei tee paha peamisi meeles pidada või veelgi parem - need paberile üles kirjutada ja meie ette asetada.

Esiteks uurime ruutjuuri ja nende järgmisi omadusi (a, b, a 1, a 2, ..., a k on reaalarvud):

Ja hiljem laiendatakse juure mõistet, tutvustatakse n-nda juure definitsiooni ja võetakse arvesse selliseid omadusi (a, b, a 1, a 2, ..., ak on reaalarvud, m, n , n 1, n 2, ... , nk on naturaalarvud):

Teisendage avaldised juurmärkide all olevate numbritega

Nagu ikka, õpitakse esmalt töötama arvavaldistega ja alles pärast seda siirdutakse muutujatega avaldiste juurde. Teeme sama ja esmalt käsitleme ainult numbrilisi avaldisi sisaldavate irratsionaalsete avaldiste teisendamist juurte märkide all ja juba järgmises lõigus tutvustame muutujaid juurte märkide all.

Kuidas saab seda kasutada väljendite teisendamiseks? See on väga lihtne: näiteks võime irratsionaalse avaldise asendada väljendiga või vastupidi. See tähendab, et kui teisendatav avaldis sisaldab avaldist, mis ühtib avaldise vormiga mis tahes loetletud juurte omaduse vasakul (paremal) poolel, saab selle asendada vastava avaldisega paremalt (vasakult). pool. See on avaldiste teisendamine juurte omaduste abil.

Siin on veel mõned näited.

Lihtsustame väljendit ... Arvud 3, 5 ja 7 on positiivsed, nii et saame juurte omadusi julgelt rakendada. Siin saate tegutseda erineval viisil. Näiteks atribuudil põhinevat juurt saab kujutada kui atribuuti ja juurt, kasutades atribuuti, mille k = 3 - kuidas selle lähenemisviisi korral lahendus näeb välja järgmine:

Oleks võinud toimida teisiti, asendades ja edasi, sel juhul näeks lahendus välja järgmine:

Võimalikud on ka muud lahendused, näiteks see:

Vaatame veel ühe näite lahendust. Teisendame väljendit. Olles vaadanud juurte omaduste nimekirja, valime sealt välja omadused, mida vajame näite lahendamiseks, on selge, et siin on kasulikud kaks neist ja mis kehtivad mis tahes a puhul. Meil on:

Teise võimalusena oli algul võimalik teisendada avaldisi juurte märkide all kasutades

ja seejärel rakendage juurte omadusi

Seni oleme teisendanud avaldisi, mis sisaldavad ainult ruutjuuri. On aeg töötada juurtega, millel on erinevad näitajad.

Näide.

Teisenda irratsionaalne avaldis .

Lahendus.

Vara järgi antud korrutise esimese teguri saab asendada arvuga −2:

Liigu edasi. Teine tegur vara tõttu saab esitada kui ja 81 asendamine kolmiku neljakordse astmega ei tee haiget, kuna ülejäänud tegurites juurte märkide all ilmub arv 3:

Murru juur on otstarbekas asendada vormi juurte seosega, mida saab edasi teisendada: ... Meil on

Tulemuseks olev avaldis pärast kahega toimingute sooritamist omandab vormi , ja jääb üle juurte korrutis teisendada.

Juuresaaduste muutmiseks vähendatakse need tavaliselt ühe indikaatorini, mille jaoks on soovitatav võtta kõigi juurte näitajad. Meie puhul on LCM (12, 6, 12) = 12 ja sellele indikaatorile tuleb taandada ainult juur, kuna kahel teisel juurel on see indikaator juba olemas. Selle ülesandega toimetulemine võimaldab võrdsust, mida rakendatakse paremalt vasakule. Niisiis ... Seda tulemust arvesse võttes oleme

Nüüd saab juurte korrutise asendada toote juurega ja teha ülejäänud, juba ilmselged teisendused:

Koostame lühilahenduse:

Vastus:

.

Eraldi rõhutame, et juurte omaduste rakendamiseks on vaja arvestada juurte märkide all olevatele arvudele seatud piirangutega (a≥0 jne). Nende ignoreerimine võib põhjustada ebaõigeid tulemusi. Näiteks teame, et omadus kehtib mittenegatiivse a kohta. Selle põhjal võime julgelt minna näiteks alates kuni, kuna 8 on positiivne arv. Aga kui me võtame näiteks negatiivse arvu tähendusliku juure ja asendame selle ülaltoodud omadusega, siis asendame −2 tegelikult 2-ga. Tõepoolest, a. See tähendab, et negatiivse a puhul võib võrdsus olla vale, nagu ka juurte muud omadused võivad olla valed, võtmata arvesse nende jaoks ette nähtud tingimusi.

Kuid eelmises lõigus öeldu ei tähenda sugugi seda, et negatiivsete arvudega avaldisi juuremärkide all ei saaks juurte omadusi kasutades teisendada. Need tuleb lihtsalt kõigepealt "ette valmistada", rakendades numbritega toimimise reegleid või kasutades negatiivse arvu paaritu juure määratlust, mis vastab võrdsusele. , kus −a on negatiivne arv (a on positiivne). Näiteks ei saa te kohe asendada numbriga, kuna −2 ja −3 on negatiivsed arvud, kuid see võimaldab meil liikuda juurest ja seejärel rakendada korrutisest juure omadust: ... Ja ühes eelmises näites ei olnud vaja minna kaheksateistkümnenda astme juurest juureni. ja nii .

Nii et avaldiste teisendamiseks juurte omaduste abil on vaja

• vali nimekirjast sobiv kinnisvara,
• veenduge, et juure all olevad numbrid vastavad valitud atribuudi tingimustele (vastasel juhul peate tegema esialgsed teisendused),
• ja viia läbi kavandatud ümberkujundamine.

Avaldiste teisendamine juurmärkide all olevate muutujatega

Irratsionaalsete avaldiste teisendamiseks, mis sisaldavad mitte ainult numbreid, vaid ka juurmärgi all olevaid muutujaid, tuleb hoolikalt rakendada selle artikli esimeses lõigus loetletud juurte omadusi. Selle põhjuseks on peamiselt tingimused, millele valemites osalevad numbrid peavad vastama. Näiteks valemi põhjal saab avaldise asendada avaldisega ainult nende x väärtuste jaoks, mis vastavad tingimustele x≥0 ja x + 1≥0, kuna määratud valem on määratud a≥0 ja b jaoks ≥0.

Miks on ohtlik neid tingimusi ignoreerida? Järgmine näide illustreerib vastust sellele küsimusele. Oletame, et peame arvutama avaldise väärtuse x = −2. Kui asendada muutuja x asemel kohe arv −2, saame vajaliku väärtuse ... Ja nüüd kujutame ette, et millegipärast teisendasime antud avaldise vormiks ja alles pärast seda otsustasime väärtuse arvutada. Asendage x -2 ja jõuate avaldiseni millel pole mõtet.

Vaatame, mis juhtub muutuja x kehtivate väärtuste vahemikuga (ADV), kui liigume avaldiselt avaldise juurde. Me ei maininud ODZ-d juhuslikult, kuna see on tõsine tööriist tehtud teisenduste lubatavuse kontrollimiseks ja ODZ muutmine pärast avaldise teisendamist peaks vähemalt hoiatama. Määratud avaldiste jaoks pole keeruline ODZ-d leida. ODV väljendamiseks määratakse võrratusest x · (x + 1) ≥0, selle lahendus annab arvulise hulga (−∞, −1] ∪∪)