Milliseid nurki nimetatakse külgnevateks? Mis on kahe külgneva nurga summa? Vertikaalsed ja külgnevad nurgad Külgnevate nurkade arv

Geomeetriakursuse õppimise käigus tulevad üsna sageli esile mõisted "nurk", "vertikaalsed nurgad", "külgnevad nurgad". Iga termini mõistmine aitab teil probleemist aru saada ja seda õigesti lahendada. Mis on külgnevad nurgad ja kuidas neid määrata?

Külgnevad nurgad - mõiste määratlus

Mõiste "külgnevad nurgad" iseloomustab kahte nurka, mille moodustavad ühine kiir ja kaks täiendavat pooljoont, mis asuvad samal sirgel. Kõik kolm kiirt väljuvad samast punktist. Ühine pooljoon on samaaegselt nii ühe kui ka teise nurga külg.

Külgnevad nurgad - põhiomadused

1. Kõrvuti asetsevate nurkade sõnastuse põhjal on lihtne märgata, et selliste nurkade summa moodustab alati pöördnurga, mille kraadimõõt on 180°:

Kui μ ja η on külgnevad nurgad, siis μ + η = 180°.
Teades ühe külgneva nurga suurust (näiteks μ), saate hõlpsasti arvutada teise nurga (η) kraadi, kasutades avaldist η = 180° – μ.

2. See nurkade omadus võimaldab teha järgmise järelduse: täisnurgaga külgnev nurk on samuti õige.

3. Võttes arvesse trigonomeetrilisi funktsioone (sin, cos, tg, ctg), mis põhinevad külgnevate nurkade μ ja η redutseerimisvalemitel, kehtib järgmine:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Külgnevad nurgad - näited

Näide 1

Antud kolmnurk tippudega M, P, Q – ΔMPQ. Leia nurkadega ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM külgnevad nurgad.

Laiendame kolmnurga mõlemat külge sirgjoonega.
Teades, et külgnevad nurgad täiendavad üksteist kuni vastupidise nurgani, saame teada, et:

nurga ∠QMP kõrval on ∠LMP,

nurga ∠MPQ kõrval on ∠SPQ,

nurga ∠PQM kõrval on ∠HQP.

Näide 2

Ühe külgneva nurga väärtus on 35°. Mis on teise külgneva nurga kraadimõõt?

Kaks kõrvuti asetsevat nurka annavad kokku 180°.
Kui ∠μ = 35°, siis selle kõrval ∠η = 180° – 35° = 145°.

Näide 3

Määrake külgnevate nurkade väärtused, kui on teada, et ühe neist on kolm korda suurem kui teise nurga kraadimõõt.

Tähistame ühe (väiksema) nurga suurust – ∠μ = λ.
Siis vastavalt ülesande tingimustele on teise nurga väärtus võrdne ∠η = 3λ.
Lähenevate nurkade põhiomaduse põhjal järgneb μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

See tähendab, et esimene nurk on ∠μ = λ = 45° ja teine nurk on ∠η = 3λ = 135°.

Terminoloogia kasutamise oskus ja teadmised külgnevate nurkade põhiomadustest aitavad teil lahendada paljusid geomeetrilisi probleeme.

Tere päevast Viimati hakkasime uurima küsimust: "Kuidas mõista 7. klassi geomeetriat?" ja puudutas mitmeid põhimääratlusi, nimelt seda, mis on

Arvan, et see on väga oluline, sest edaspidi geomeetriat 8., 9. klassis ja hiljemgi õppides puutute järjest sagedamini kokku probleemidega külgnevate ja vertikaalsete nurkadega. Seetõttu lahendame taas kord külgnevate nurkadega seotud probleeme.

Ülesanne 1. Kas külgnevate nurkade paar võib koosneda kahest teravnurgast? Lahendus: vaatame ülemist pilti. Siin näeme, et nurk a on väiksem kui 90°. Seda nurka nimetatakse teravaks. Samal ajal on nurk b suurem kui 90° ja väiksem kui nurk c = 180°. Seda nurka nimetatakse nüriks. Seega, kui üks külgnevatest nurkadest on terav, peab teine olema nüri. Ja vastupidi. Erandiks on 90° nurgad. Need. Kui kaks kõrvuti asetsevat nurka on üksteisega võrdsed, on need 90°. Seetõttu pole kahte kõrvuti asetsevat teravnurka.

Ülesanne 2. Üks külgnevatest nurkadest on 56 kraadi väiksem kui teine. Leidke nende nurkade väärtused. Lahendus: Olgu esimene nurk võrdne X-ga, siis teine nurk X+56. Kokku annavad need 180°. Teeme võrrandi: X+X+56 = 180 2X = 180 - 56 2X = 124 X = 124/2 = 62. Vastus: esimene nurk on 62°, teine 62+56 = 118°.

Ülesanne 3. Kui suur on külgnevate nurkade poolitajate vaheline nurk? Lahendus: selle probleemi lahendamiseks peame kasutusele võtma veel ühe mõiste - poolitaja. Poolitaja on kiir, mis läbib nurga seest ja jagab nurga pooleks. Kuidas selline probleem lahendatakse? Kui vaatame joonist, näeme, et nurgad AOB ja BOC on kõrvuti. Nende summa on 180°. Poolitajad OD ja OE jagavad nurgad AOB ja BOC võrdseteks α ja α, samuti β ja β. Siit saame: α+α+β+β=180 ehk 2α +2β = 180 Vähendades võrrandi paremat ja vasakut poolt 2 võrra, saame lõpptulemuse: α +β = 90. Poolitajate vaheline nurk külgnevate nurkade nurk on ALATI 90°.

Ülesanne 4. Leidke kõrvuti asetsevad nurgad, kui nende kraadide mõõtmed on suhtes 4:11. Lahendus: Olgu esimene nurk 4X, siis teine on 11X. Kokku annavad need 180°. Koostame võrrandi: 4X+11X=180 15X = 180 X = 180/15 X=12 4X=412 = 48, 11X=1112 = 132. Vastus: esimene nurk on 48°, teine 132°.

Ülesanne 5. Üks külgnevatest nurkadest on 33 kraadi võrra suurem kui pool teisest külgnevast nurgast. Leidke need nurgad. Lahendus. Olgu pool nurgast võrdne X-ga, seejärel võta kogu nurk 2X. Sellega külgnev on 33° juures võrdne X-ga. Moodustame võrrandi: 2X + X + 33 = 180 3X = 180 - 33 3X = 147 X = 147/3 = 49. Vastus: esimene nurk on 49*2 = 98°, teine 49+33 = 82°. See lõpetab külgnevate nurkadega seotud probleemid. Järgmine kord lahendame ülesandeid vertikaalnurkadega. Kohtumiseni jälle!

Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on täiendavad kiired. Joonisel 20 on nurgad AOB ja BOC kõrvuti.

Külgnevate nurkade summa on 180°

Teoreem 1. Külgnevate nurkade summa on 180°.

Tõestus. Tala OB (vt joonis 1) läbib lahtivolditud nurga külgede vahelt. Sellepärast ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

1. teoreemist järeldub, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende külgnevad nurgad võrdsed.

Vertikaalsed nurgad on võrdsed

Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede täiendavad kiired. Kahe sirge ristumiskohas moodustatud nurgad AOB ja COD, BOD ja AOC on vertikaalsed (joonis 2).

Teoreem 2. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.

Tõestus. Vaatleme vertikaalnurki AOB ja COD (vt joonis 2). Nurk BOD külgneb mõlema nurgaga AOB ja COD. Teoreemi 1 järgi ∠ AOB + ∠ BHT = 180°, ∠ KHT + ∠ BHT = 180°.

Sellest järeldame, et ∠ AOB = ∠ COD.

Järeldus 1. Täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk.

Vaatleme kahte ristuvat sirget AC ja BD (joonis 3). Need moodustavad neli nurka. Kui üks neist on sirge (joon. 3 nurk 1), siis on ka ülejäänud nurgad täisnurgad (nurgad 1 ja 2, 1 ja 4 on kõrvuti, nurgad 1 ja 3 on vertikaalsed). Sel juhul ütlevad nad, et need jooned lõikuvad täisnurga all ja neid nimetatakse risti (või vastastikku risti). Sirgede AC ja BD perpendikulaarsus on tähistatud järgmiselt: AC ⊥ BD.

Lõiguga risti poolitaja on sirge, mis on selle lõiguga risti ja läbib selle keskpunkti.

AN – joonega risti

Vaatleme sirget a ja punkti A, mis sellel ei asu (joonis 4). Ühendame punkti A lõiguga punktiga H sirgjoonega a. Lõigu AN nimetatakse risti, mis on tõmmatud punktist A joonele a, kui sirged AN ja a on risti. Punkti H nimetatakse risti aluseks.

Ruudu joonistamine

Järgmine teoreem on tõene.

Teoreem 3. Igast punktist, mis ei asu sirgel, on võimalik tõmmata sellele sirgele risti ja pealegi ainult üks.

Joonisel punktist sirgjoonele risti joonestamiseks kasutage joonistusruutu (joonis 5).

Kommenteeri. Teoreemi sõnastus koosneb tavaliselt kahest osast. Üks osa räägib sellest, mida antakse. Seda osa nimetatakse teoreemi tingimuseks. Teine osa räägib sellest, mida on vaja tõestada. Seda osa nimetatakse teoreemi järelduseks. Näiteks teoreemi 2 tingimus on, et nurgad on vertikaalsed; järeldus - need nurgad on võrdsed.

Iga teoreemi saab üksikasjalikult väljendada sõnadega nii, et selle tingimus algab sõnaga "kui" ja selle järeldus sõnaga "siis". Näiteks võib teoreemi 2 üksikasjalikult esitada järgmiselt: "Kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed."

Näide 1.Üks külgnevatest nurkadest on 44°. Millega teine on võrdne?

Lahendus. Tähistame teise nurga astmemõõtu x-ga, siis vastavalt teoreemile 1.
44° + x = 180°.
Lahendades saadud võrrandi, leiame, et x = 136°. Seetõttu on teine nurk 136°.

Näide 2. Olgu nurk COD joonisel 21 45°. Mis on nurgad AOB ja AOC?

Lahendus. Nurgad COD ja AOB on vertikaalsed, seetõttu on need teoreemi 1.2 kohaselt võrdsed, st ∠ AOB = 45°. Nurk AOC külgneb nurgaga COD, mis tähendab teoreemi 1 kohaselt.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Näide 3. Leidke külgnevad nurgad, kui üks neist on 3 korda suurem kui teine.

Lahendus. Tähistame väiksema nurga astmemõõtu x-ga. Siis on suurema nurga kraadimõõt 3x. Kuna külgnevate nurkade summa võrdub 180° (teoreem 1), siis x + 3x = 180°, kust x = 45°.
See tähendab, et külgnevad nurgad on 45° ja 135°.

Näide 4. Kahe vertikaalnurga summa on 100°. Leidke iga nelja nurga suurus.

Lahendus. Olgu ülesande tingimustele vastav joonis 2. Vertikaalsed nurgad COD ja AOB on võrdsed (teoreem 2), mis tähendab, et ka nende kraadimõõtmised on võrdsed. Seetõttu ∠ COD = ∠ AOB = 50° (nende summa vastavalt tingimusele on 100°). Nurk BOD (ka nurk AOC) külgneb nurgaga COD ja seetõttu teoreemi 1 järgi
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Nurgad, mille üks külg on ühine ja teised küljed asuvad samal sirgel (joonisel on nurgad 1 ja 2 kõrvuti). Riis. kuni Art. Kõrvuti asetsevad nurgad... Suur Nõukogude entsüklopeedia

KÕRVAL olevad nurgad- nurgad, millel on ühine tipp ja üks ühine külg ning nende kaks ülejäänud külge asuvad samal sirgel... Suur polütehniline entsüklopeedia

Vaata nurk... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

KÕRVALNURGAD, kaks nurka, mille summa on 180°. Kõik need nurgad täiendavad teineteist täisnurgani... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik

Vaata Nurk. * * * KÕRNEVAD NURGAD KÕRNEVAD NURGAD, vt Nurk (vt NURK) ... entsüklopeediline sõnaraamat

- (Nurgid külgnevad) need, millel on ühine tipp ja ühine külg. Enamasti viitab see nimetus sellistele C. nurkadele, mille teised kaks külge asetsevad ühe läbi tipu tõmmatud sirge vastassuunas ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Vaata nurk... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Kaks sirgjoont lõikuvad, et luua paar vertikaalnurka. Üks paar koosneb nurkadest A ja B, teine aga C ja D. Geomeetrias nimetatakse kahte nurka vertikaalseks, kui need on tekitatud kahe ... Wikipedia

Täiendavate nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Täiendavad nurgad on nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Kui kaks komplementaarset nurka on kõrvuti (st neil on ühine tipp ja need on eraldatud ainult... ... Wikipedia

Täiendavate nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi Täiendavad nurgad on nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Kui kaks teineteist täiendavat nurka on koos... Wikipedia

Raamatud

Tõestusest geomeetrias, A. I. Fetisov. Kord, kooliaasta alguses, pidin kuulma kahe tüdruku vestlust. Vanim neist siirdus kuuendasse, noorim viiendasse klassi. Tüdrukud jagasid oma muljeid tundidest...
Geomeetria. 7. klass. Põhjalik märkmik teadmiste kontrollimiseks, I. S. Markova, S. P. Babenko. Käsiraamatus esitatakse geomeetria juhtimis- ja mõõtmismaterjalid (CMM) 7. klassi õpilaste teadmiste voolu-, temaatilise ja lõpliku kvaliteedikontrolli läbiviimiseks. Kasutusjuhendi sisu...

Igal nurgal, sõltuvalt selle suurusest, on oma nimi:

Nurga tüüp	Suurus kraadides	Näide
Vürtsikas	Vähem kui 90°
Otse	Võrdne 90°-ga. Joonisel tähistatakse täisnurka tavaliselt nurga ühest servast teise tõmmatud sümboliga.
Nüri	Üle 90°, kuid alla 180°
Laiendatud	Võrdne 180°-ga Sirgenurk on võrdne kahe täisnurga summaga ja täisnurk on pool sirgnurgast.
Kumer	Üle 180°, kuid alla 360°
Täis	Võrdne 360°-ga

Neid kahte nurka nimetatakse külgnevad, kui neil on üks külg ühine ja ülejäänud kaks külge moodustavad sirge:

Nurgad MOP Ja PON kõrvuti, kuna tala OP- ühine pool ja kaks teist külge - OM Ja PEAL moodustage sirgjoon.

Külgnevate nurkade ühiskülge nimetatakse kaldus sirgeks, millel asuvad kaks ülejäänud külge, ainult juhul, kui külgnevad nurgad ei ole üksteisega võrdsed. Kui külgnevad nurgad on võrdsed, on nende ühine külg risti.

Külgnevate nurkade summa on 180°.

Neid kahte nurka nimetatakse vertikaalne, kui ühe nurga küljed täiendavad teise nurga külgi sirgjoonteks:

Nurgad 1 ja 3, samuti nurgad 2 ja 4 on vertikaalsed.

Vertikaalsed nurgad on võrdsed.

Tõestame, et vertikaalsed nurgad on võrdsed:

∠1 ja ∠2 summa on sirgnurk. Ja ∠3 ja ∠2 summa on sirgnurk. Seega on need kaks summat võrdsed:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Selles võrdsuses on vasakul ja paremal identne termin - ∠2. Võrdsust ei rikuta, kui see vasak- ja parempoolne termin välja jätta. Siis saame selle kätte.