Diferentsiaalvõrrandid Internetis. Diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Näited lahendustest.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid (DE). Need kaks sõna tekitavad tavainimesel tavaliselt hirmu. Diferentsiaalvõrrandid näivad olevat paljude õpilaste jaoks üle jõu käivad ja raskesti omandatavad. Uuuuuu... diferentsiaalvõrrandid, kuidas ma seda kõike üle elan?!

See arvamus ja suhtumine on põhimõtteliselt vale, sest tegelikult DIFERENTSIVÕRRADID – SEE ON LIHTNE JA ISEGI LÕBUS. Mida peate teadma ja oskama, et õppida diferentsiaalvõrrandeid lahendama? Difuuside edukaks õppimiseks peate olema osav integreerimises ja eristamises. Mida paremini teemasid õpitakse Ühe muutuja funktsiooni tuletis Ja Määramatu integraal, seda lihtsam on diferentsiaalvõrranditest aru saada. Ütlen veel, kui sul on enam-vähem korralik lõimumisoskus, siis on teema peaaegu omandatud! Mida rohkem integraale erinevat tüüpi sa tead, kuidas otsustada – seda parem. Miks? Peate palju integreerima. Ja eristada. Samuti väga soovitadaõppida leidma.

95% juhtudest sisse testid Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on kolme tüüpi: eraldatavad võrrandid mida me selles õppetükis vaatleme; homogeensed võrrandid Ja lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Neil, kes hakkavad difuusoreid õppima, soovitan teil lugeda õppetükke täpselt selles järjekorras ja pärast kahe esimese artikli lugemist ei tee haiget oma oskusi täiendavas töötoas kinnistada - võrrandid taandades homogeenseks.

On veelgi haruldasemaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe: diferentsiaalvõrrandid, Bernoulli võrrandid ja mõned teised. Kahest viimasest tüübist kõige olulisemad on summaarsete diferentsiaalide võrrandid, kuna lisaks sellele diferentsiaalvõrrandile arvestan uus materjal – osaline integratsioon.

Kui teil on jäänud vaid päev või kaks, See ülikiireks valmistamiseks Seal on välkkursus pdf formaadis.

Niisiis, maamärgid on seatud – lähme:

Kõigepealt meenutagem tavalisi algebralisi võrrandeid. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Lihtsaim näide: . Mida tähendab tavalise võrrandi lahendamine? See tähendab leidmist numbrite komplekt, mis vastavad sellele võrrandile. Lihtne on märgata, et laste võrrandil on üks juur: . Lõbu pärast kontrollime leitud juurt ja asendame selle võrrandiga:

– saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et lahendus leiti õigesti.

Hajutid on disainitud umbes samamoodi!

Diferentsiaalvõrrand esimene tellimusüldiselt sisaldab:
1) sõltumatu muutuja;
2) sõltuv muutuja (funktsioon);
3) funktsiooni esimene tuletis: .

Mõnes esimest järku võrrandis ei pruugi olla "x" ja/või "y", kuid see ei ole oluline - oluline juhtimisruumi minema oli esimene tuletis ja ei olnud kõrgema järgu tuletised – jne.

Mida tähendab ? Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist kõigi funktsioonide komplekt, mis vastavad sellele võrrandile. Sellisel funktsioonide komplektil on sageli vorm (– suvaline konstant), mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Täis laskemoon. Kust alustada lahendus?

Kõigepealt peate tuletise veidi teistsugusel kujul ümber kirjutama. Tuletame meelde tülikat määratlust, mis ilmselt tundus paljudele naeruväärne ja tarbetu. See kehtib hajutites!

Teises etapis vaatame, kas see on võimalik eraldi muutujad? Mida tähendab muutujate eraldamine? Jämedalt öeldes, vasakul pool me peame lahkuma ainult "kreeklased", A paremal pool korraldada ainult "X". Muutujate jagamine toimub “kooli” manipulatsioonide abil: sulgudest välja jätmine, terminite ülekandmine osast osasse märgivahetusega, tegurite ülekandmine osast osasse proportsioonireegli järgi jne.

Diferentsiaalid ja on täielikud kordistajad ja aktiivsed vaenutegevuses osalejad. Vaadeldavas näites on muutujad hõlpsasti eraldatavad, visates tegurid vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud. Vasakul pool on ainult "Y", paremal - ainult "X".

Järgmine etapp - diferentsiaalvõrrandi integreerimine. See on lihtne, paneme integraalid mõlemale poole:

Muidugi peame võtma integraalid. Sel juhul on need tabelid:

Nagu mäletame, määratakse igale antiderivaadile konstant. Siin on kaks integraali, kuid konstandi kirjutamisest piisab üks kord (kuna konstant + konstant on ikkagi võrdne teise konstandiga). Enamikul juhtudel asetatakse see paremale küljele.

Rangelt võttes loetakse diferentsiaalvõrrand pärast integraalide võtmist lahendatuks. Ainus asi on see, et meie "y" ei väljendata "x" kaudu, see tähendab, et lahendus on esitatud implitsiitses vormi. Diferentsiaalvõrrandi lahendust kaudsel kujul nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal. See tähendab, et see on üldine integraal.

Vastus sellisel kujul on üsna vastuvõetav, kuid kas on paremat võimalust? Proovime saada ühine otsus.

Palun, mäleta esimest tehnikat, on see väga levinud ja seda kasutatakse sageli praktilistes ülesannetes: kui pärast integreerimist ilmub paremale poole logaritm, siis on paljudel juhtudel (aga mitte alati!) soovitatav kirjutada ka konstant logaritmi alla.

See on, SELLE ASEMEL kirjed kirjutatakse tavaliselt .

Miks see vajalik on? Ja selleks, et "mängu" väljendamine oleks lihtsam. Logaritmide omaduse kasutamine . Sel juhul:

Nüüd saab logaritme ja mooduleid eemaldada:

Funktsioon on selgelt esitatud. See on üldine lahendus.

Vastus: ühine otsus: .

Paljude diferentsiaalvõrrandite vastuseid on üsna lihtne kontrollida. Meie puhul tehakse seda üsna lihtsalt, võtame leitud lahenduse ja eristame seda:

Seejärel asendame tuletise algse võrrandiga:

– saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et üldlahend rahuldab võrrandit, mida oli vaja kontrollida.

Konstanti andmine erinevaid tähendusi, võite saada lõpmatult palju privaatsed lahendused diferentsiaalvõrrand. On selge, et mis tahes funktsioonid , jne. rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Mõnikord nimetatakse üldist lahendust funktsioonide perekond. IN selles näitesühine otsus on lineaarsete funktsioonide perekond või täpsemalt otsese proportsionaalsuse perekond.

Pärast esimese näite põhjalikku läbivaatamist on asjakohane vastata mitmele naiivsele küsimusele diferentsiaalvõrrandite kohta:

1)Selles näites saime muutujad eraldada. Kas seda saab alati teha? Ei mitte alati. Ja veelgi sagedamini ei saa muutujaid eraldada. Näiteks sisse homogeensed esimest järku võrrandid, peate selle esmalt välja vahetama. Teist tüüpi võrrandites, näiteks esimest järku lineaarses mittehomogeenses võrrandis, peate üldlahenduse leidmiseks kasutama erinevaid tehnikaid ja meetodeid. Eraldatavate muutujatega võrrandid, mida käsitleme esimeses õppetükis - lihtsaim tüüp diferentsiaalvõrrandid.

2) Kas diferentsiaalvõrrandit on alati võimalik integreerida? Ei mitte alati. Väga lihtne on välja mõelda “väljamõeldud” võrrand, mida ei saa integreerida, lisaks on integraale, mida ei saa võtta. Kuid selliseid DE-sid saab ligikaudu lahendada spetsiaalsete meetodite abil. D’Alembert ja Cauchy garanteerivad... ...uh, lurkmore.et just praegu palju lugeda, lisasin peaaegu "teisest maailmast".

3) Selles näites saime lahenduse üldintegraali kujul . Kas üldintegraalist on alati võimalik leida üldist lahendust, st väljendada "y" eksplitsiitselt? Ei mitte alati. Näiteks: . No kuidas saab siin "kreeka keelt" väljendada?! Sellistel juhtudel tuleks vastus kirjutada üldise integraalina. Lisaks on mõnikord võimalik leida üldine lahendus, kuid see on nii kohmakalt ja kohmakalt kirjutatud, et parem on jätta vastus üldise integraali kujul

4) ... ehk praegu piisab. Esimeses näites, millega me kokku puutusime Veel üks oluline punkt , kuid selleks, et mitte katta "mannekeenid" laviiniga uut teavet, jätan selle järgmise õppetunnini.

Me ei kiirusta. Veel üks lihtne kaugjuhtimispult ja teine tüüpiline lahendus:

Näide 2

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust

Lahendus: vastavalt seisukorrale tuleb leida privaatne lahendus DE, mis vastab antud algtingimusele. Seda küsimuse sõnastust nimetatakse ka Cauchy probleem.

Kõigepealt leiame üldise lahenduse. Võrrandis pole muutujat “x”, kuid see ei tohiks segadusse ajada, peaasi, et sellel oleks esimene tuletis.

Kirjutame tuletise ümber õigel kujul:

Ilmselgelt saab muutujaid eraldada, poisid vasakule, tüdrukud paremale:

Integreerime võrrandi:

Üldine integraal saadakse. Siia olen joonistanud tärniga konstandi, tõsiasi on see, et varsti muutub see teiseks konstandiks.

Nüüd proovime muuta üldise integraali üldlahenduseks (väljendage "y" selgesõnaliselt). Meenutagem vanu häid asju kooliajast: . Sel juhul:

Indikaatori konstant näeb kuidagi ebakosher välja, nii et see on tavaliselt maa peale toodud. Üksikasjalikult see juhtub nii. Kasutades kraadide omadust, kirjutame funktsiooni ümber järgmiselt:

Kui on konstant, siis on ka mingi konstant, nimetame selle ümber tähega:

Pidage meeles, et konstandi "lammutamine" on teine tehnika, mida kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Seega on üldine lahendus: . See on kena eksponentsiaalsete funktsioonide perekond.

Viimases etapis peate leidma konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele. See on ka lihtne.

Mis on ülesanne? Vaja korjata selline konstandi väärtus, et tingimus oleks täidetud.

Seda saab vormindada erineval viisil, kuid see on ilmselt kõige selgem viis. Üldlahenduses asendame "X" asemel nulliga ja "Y" asemel kahega:

See on,

Standardse disaini versioon:

Nüüd asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendusega:
– see on konkreetne lahendus, mida me vajame.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollime. Privaatse lahenduse kontrollimine hõlmab kahte etappi:

Kõigepealt peate kontrollima, kas leitud lahendus vastab tõesti algtingimusele? "X" asemel asendame nulliga ja vaatame, mis juhtub:
- jah, tõepoolest, kahene saadi, mis tähendab, et esialgne tingimus on täidetud.

Teine etapp on juba tuttav. Võtame saadud konkreetse lahenduse ja leiame tuletise:

Asendame algsesse võrrandisse:

– saavutatakse õige võrdsus.

Järeldus: konkreetne lahendus leiti õigesti.

Liigume edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 3

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: Kirjutame tuletise ümber meile vajalikul kujul:

Hindame, kas muutujaid on võimalik eraldada? Saab. Teisaldame teise liikme märgivahetusega paremale:

Ja me kanname kordajad üle vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud, integreerime mõlemad osad:

Pean teid hoiatama, et kohtupäev läheneb. Kui sa pole hästi õppinud määramata integraalid, on lahendanud vähe näiteid, siis pole enam kuhugi minna – peate need nüüd selgeks tegema.

Vasaku külje integraali on lihtne leida, me käsitleme kotangensi integraali standardtehnikas, mida tunnis vaatlesime Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine eelmisel aastal:

Paremal pool on meil logaritm ja minu esimese tehnilise soovituse kohaselt tuleks logaritmi alla kirjutada ka konstant.

Nüüd proovime üldist integraali lihtsustada. Kuna meil on ainult logaritmid, siis on täiesti võimalik (ja vajalik) neist lahti saada. Kasutades tuntud omadused"Pakime" logaritme nii palju kui võimalik. Panen selle väga üksikasjalikult kirja:

Pakend on viimistletud barbaarselt räbaldunud:

Kas on võimalik väljendada "mängu"? Saab. Mõlemad osad on vaja ruudukujuliseks muuta.

Kuid te ei pea seda tegema.

Kolmas tehniline nõuanne: kui üldlahenduse saamiseks on vaja tõsta võimule või juurduda, siis Enamikel juhtudel peaksite nendest tegevustest hoiduma ja jätma vastuse üldise integraali kujul. Fakt on see, et üldine lahendus näeb lihtsalt kohutav välja - suurte juurte, siltide ja muu prügiga.

Seetõttu kirjutame vastuse üldise integraali kujul. Heaks tavaks peetakse selle esitamist kujul , st paremale küljele jätke võimalusel ainult konstant. Seda pole vaja teha, kuid alati on kasulik professorile meeldida ;-)

Vastus:üldine integraal:

! Märge: Mis tahes võrrandi üldintegraali saab kirjutada rohkem kui ühel viisil. Seega, kui teie tulemus ei kattu varem teadaoleva vastusega, ei tähenda see, et lahendasite võrrandi valesti.

Üldintegraali on ka üsna lihtne kontrollida, peaasi, et leiaks kaudselt määratud funktsiooni tuletis. Eristagem vastust:

Korrutame mõlemad terminid arvuga:

Ja jagage:

Algne diferentsiaalvõrrand on saadud täpselt, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 4

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust. Tehke kontroll.

See on näide sõltumatu otsus.

Lubage mul teile meelde tuletada, et algoritm koosneb kahest etapist:
1) üldlahenduse leidmine;
2) vajaliku konkreetse lahenduse leidmine.

Kontrollimine toimub samuti kahes etapis (vt näidist näites nr 2), peate:
1) veenduma, et leitud lahendus vastab algtingimusele;
2) kontrollida, kas konkreetne lahendus üldiselt rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 5

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus , mis rahuldab esialgset tingimust. Tehke kontroll.

Lahendus: Esiteks leiame üldlahenduse, see võrrand sisaldab juba valmis diferentsiaale ja seetõttu on lahendus lihtsustatud. Eraldame muutujad:

Integreerime võrrandi:

Vasakpoolne integraal on tabelikujuline, parempoolne integraal on võetud funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetod:

Üldintegraal on saadud, kas üldlahendit on võimalik edukalt väljendada? Saab. Me riputame logaritmid mõlemale küljele. Kuna need on positiivsed, pole moodulmärgid vajalikud:

(Loodan, et kõik saavad transformatsioonist aru, selliseid asju peaks juba teadma)

Seega on üldine lahendus järgmine:

Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele.
Üldlahenduses asendame “X” asemel nulli ja “Y” asemel kahe logaritmi:

Tuntum disain:

Asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollige: kõigepealt kontrollime, kas esialgne tingimus on täidetud:
- kõik on hästi.

Nüüd kontrollime, kas leitud konkreetne lahendus diferentsiaalvõrrandit üldse rahuldab. Tuletise leidmine:

Vaatame algset võrrandit: – see esitatakse diferentsiaalidena. Kontrollimiseks on kaks võimalust. Diferentsiaali leitud tuletisest on võimalik väljendada:

Asendame leitud konkreetse lahenduse ja saadud diferentsiaali algse võrrandiga :

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:

Saavutatakse õige võrdsus, mis tähendab, et konkreetne lahendus leiti õigesti.

Teine kontrollimeetod on peegeldatud ja tuttavam: võrrandist Avaldame tuletist, selleks jagame kõik tükid järgmisega:

Ja teisendatud DE-sse asendame saadud osalahendi ja leitud tuletise. Lihtsustuste tulemusena tuleks saavutada ka õige võrdsus.

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Esitage vastus üldise integraali kujul.

See on näide, mida saate ise lahendada, lõpetage lahendus ja vastake tunni lõpus.

Millised raskused seisavad ees eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel?

1) Alati pole (eriti „teekannu“ puhul) ilmne, et muutujaid saab eraldada. Vaatleme tingimuslikku näidet: . Siin tuleb sulgudest välja võtta tegurid: ja eraldada juured: . On selge, mida edasi teha.

2) Integratsiooni endaga seotud raskused. Integraalid ei ole sageli kõige lihtsamad ja kui leidmise oskustes on vigu määramatu integraal, siis on see paljude difuusoritega keeruline. Lisaks on kogumike ja koolituskäsiraamatute koostajate seas populaarne loogika “kuna diferentsiaalvõrrand on lihtne, siis olgu integraalid vähemalt keerulisemad”.

3) Teisendused konstandiga. Nagu kõik on märganud, saab diferentsiaalvõrrandites konstandiga üsna vabalt hakkama ja mõni teisendus pole algajale alati selge. Vaatame veel ühte tingimuslikku näidet: . Soovitatav on kõik terminid korrutada 2-ga: . Saadud konstant on ka mingi konstant, mida saab tähistada järgmiselt: . Jah, ja kuna paremal küljel on logaritm, on soovitatav konstant ümber kirjutada teise konstandi kujul: .

Probleem on selles, et nad sageli ei näe vaeva indeksite pärast ja kasutavad sama tähte. Selle tulemusena on otsuse protokoll järgmisel kujul:

Missugune ketserlus? Seal on vigu! Rangelt võttes jah. Sisulisest küljest aga vigu pole, sest muutujakonstandi teisendamise tulemusena saadakse ikkagi muutuvkonstant.

Või teine näide, oletame, et võrrandi lahendamise käigus saadakse üldine integraal. See vastus näeb kole välja, seetõttu on soovitatav iga termini märki muuta: . Vormiliselt on siin veel üks viga – see tuleks kirjutada paremale. Kuid mitteametlikult antakse mõista, et "miinus ce" on ikkagi konstant ( mis võib sama lihtsalt võtta mis tahes tähenduse!), seega pole miinuse panemine mõttekas ja võite kasutada sama tähte.

Püüan vältida hoolimatut lähenemist ja siiski määran konstantidele nende teisendamisel erinevad indeksid.

Näide 7

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Tehke kontroll.

Lahendus: See võrrand võimaldab muutujaid eraldada. Eraldame muutujad:

Integreerime:

Siin ei ole vaja konstanti defineerida logaritmina, sest sellest ei tule midagi kasulikku.

Vastus:üldine integraal:

Kontrollige: eristage vastust (kaudne funktsioon):

Murdudest vabaneme, korrutades mõlemad terminid arvuga:

Saadud on algne diferentsiaalvõrrand, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 8

Leidke DE konkreetne lahendus.
,

See on näide, mille saate ise lahendada. Ainus vihje on see, et siit saate üldise integraali ja õigemini öeldes peate leidma mitte konkreetse lahenduse, vaid osaline integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Rakendus

Diferentsiaalvõrrandite lahendamine veebis veebisaidil õpilastele käsitletud materjali koondamiseks. Ja treenige oma praktilisi oskusi. Diferentsiaalvõrrandid Internetis. Difurs võrgus, matemaatika lahendamine võrgus. Samm-sammult lahendus matemaatikaülesanded võrgus. Diferentsiaalvõrrandi järjekord või aste on selles sisalduvate tuletiste kõrgeim järk. Diferentsiaalvõrrandid Internetis. Diferentsiaalvõrrandi lahendamise protsessi nimetatakse integreerimiseks. Diferentsiaalvõrrandi integreerimise probleem loetakse lahendatuks, kui tundmatu funktsiooni leidmine on võimalik viia kvadratuurini, sõltumata sellest, kas saadud integraal on väljendatud lõplikul kujul teadaolevate funktsioonide kaudu või mitte. Diferentsiaalvõrrandite samm-sammult lahendamine võrgus. Kõik diferentsiaalvõrrandid võib jagada tavalisteks diferentsiaalvõrranditeks (ODE), mis sisaldavad ainult ühe argumendi funktsioone (ja nende tuletisi) ja osalisteks diferentsiaalvõrranditeks (PDE), milles sisendfunktsioonid sõltuvad paljudest muutujatest. Diferentsiaalvõrrandid Internetis. Samuti on olemas stohhastilised diferentsiaalvõrrandid (SDE), mis hõlmavad juhuslikke protsesse. Diferentsiaalvõrrandite samm-sammult lahendamine võrgus. Sõltuvalt tuletiste, funktsioonide ja sõltumatute muutujate kombinatsioonidest jagatakse diferentsiaalvõrrandid lineaarseteks ja mittelineaarseteks, konstantsete või muutuvate koefitsientidega, homogeenseteks või mittehomogeenseteks. Seoses rakenduste tähtsusega liigitatakse kvaasilineaarsed (kõrgemate tuletiste suhtes lineaarsed) osadiferentsiaalvõrrandid omaette klassi. Diferentsiaalvõrrandite lahendused jagunevad üld- ja erilahendusteks. Diferentsiaalvõrrandid Internetis. Üldlahendusteks on määratlemata konstandid, osadiferentsiaalvõrrandite puhul aga sõltumatute muutujate suvalised funktsioonid, mida saab täpsustada lisaintegratsioonitingimustest (tavaliste diferentsiaalvõrrandite algtingimused, osadiferentsiaalvõrrandite alg- ja piirtingimused). Diferentsiaalvõrrandite samm-sammult lahendamine võrgus. Pärast näidatud konstantsete ja määramata funktsioonide tüübi määramist muutuvad lahendused konkreetseks. Lahenduste otsimine tavalistele diferentsiaalvõrranditele viis erifunktsioonide klassi loomiseni - funktsioonid, mida sageli kohtab rakendustes ja mida ei saa väljendada tuntud elementaarfunktsioonide kaudu. Diferentsiaalvõrrandid Internetis. Nende omadusi uuriti üksikasjalikult, koostati väärtustabeleid, määrati kindlaks omavahelised seosed jne. Loendatud arvude komplekti saab uurida. Parim vastus antud probleemile. Kuidas leida esimese lähendusena diferentsiaalvõrrandite konvergentsipiirkonda väljuv vektor ilma leitud ülempiiri välja selgitamata. Valik on ilmne matemaatiliste funktsioonide suurendamiseks. Uurimistasemest kõrgemal on progressiivne meetod. Ülesande algseisundi joondamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisega aitab teil leida ainulaadselt valitud väärtuse. Võib juhtuda, et ta suudab kohe tundmatu tuvastada. Nagu eelmises näites, märkides lahenduse matemaatiline probleem, on lineaarsed diferentsiaalvõrrandid vastus konkreetsele probleemile, mis on püstitatud kindlaksmääratud aja jooksul. Uurimisprotseduuri säilitamine ei ole lokaalselt kindlaks määratud. Iga õpilase jaoks leitakse näide ja diferentsiaalvõrrandite lahenduse määrab vastutavale isikule määratud isik vähemalt kahe väärtuse põhjal. Võtke teatud lõigul üldise väärtuse funktsioon ja hoiatage, millisel teljel on tühimik. Internetis diferentsiaalvõrrandeid uurides on võimalik üheselt näidata, kui oluline on tulemus, kui see on lähtetingimustega ette nähtud. Funktsiooni definitsioonist ala välja lõikamine on võimatu, kuna ülesande jaoks pole kohapeal definitsiooni. Võrrandisüsteemist leitud vastus sisaldab muutujat, mis on üldises mõttes loendatav, kuid diferentsiaalvõrrandi lahendamine võrgus on loomulikult võimalik ilma selle tingimuse määramise toiminguta. Segmendi intervalli kõrval on näha, kuidas diferentsiaalvõrrandite veebipõhine lahendamine võib õpilaste teadmiste katkemise hetkel uurimistulemust positiivses suunas edasi viia. Üldtunnustatud lähenemisest ettevõtlusele ei tule alati parim. 2x tasemel on kasulik läbi vaadata kõik vajalikud lineaarsed diferentsiaalvõrrandid loomulikus esituses, kuid arvulise väärtuse arvutamise oskus annab tulemuseks paremad teadmised. Mis tahes matemaatika meetodi kohaselt on diferentsiaalvõrrandid, mis esitatakse sisuliselt erinevates avaldistes, näiteks homogeensetes või komplekssetes. Pärast kulutamist üldine analüüs funktsiooni uurides selgub, et diferentsiaalide kui võimaluste kogumi lahendamine kujutab endast selget viga väärtustes. Tõde selles peitub ruumis abstsissjoonte kohal. Kusagil kompleksfunktsiooni definitsiooni valdkonnas, mingil hetkel selle definitsioonis suudavad lineaarsed diferentsiaalvõrrandid esitada vastust analüütiline vorm. see tähendab sisse üldine vaade kui olemus. Muutuja muutmisel ei muutu midagi. Vastust tuleb aga erilise huviga vaadata. Sisuliselt muudab kalkulaator lõpuks seost, st seda, kuidas diferentsiaalvõrrandite lahendus on võrdeline globaalse väärtusega ja on määratud soovitud lahenduse piirides. Mõnel juhul on tohutu veahoiatus vältimatu. Diferentsiaalvõrrandite veebipõhine rakendamine üldine ideeülesande kohta, kuid lõpuks peate selle võimalikult kiiresti pakkuma positiivseid külgi vektorprodukt. Matemaatikas ei ole arvuteoorias väärarusaamade juhud haruldased. Tšekki läheb kindlasti vaja. Loomulikult on parem anda see õigus oma ala professionaalidele ja nad aitavad teil diferentsiaalvõrrandit Internetis lahendada, kuna nende kogemus on kolossaalne ja positiivne. Jooniste pindade ja pindala erinevus on selline, et mitte diferentsiaalvõrrandite võrgus lahendamine ei võimalda näha, vaid mittelõikuvate objektide kogum on selline, et joon on teljega paralleelne. Selle tulemusena saate kaks korda rohkem väärtusi. Kuigi see pole selgesõnaline, hõlmab meie arusaam formaalse tähise õigsusest lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid nii vaatepiirkonnas kui ka seoses tulemuse kvaliteedi tahtliku ülehindamisega. Paneeldiskussioon kõigile õpilastele huvipakkuval teemal vaadatakse mitu korda üle. Kogu loengukursuse õppimise vältel teritame oma tähelepanelik diferentsiaalvõrrandite ja nendega seotud teadusuuringute valdkondade kohta, kui see ei ole tõega vastuolus. Teekonna alguses saab palju samme vältida. Kui diferentsiaalvõrrandite lahendamine on õpilaste jaoks veel põhimõtteliselt uus asi, siis vana ei unune sugugi, vaid edeneb suure arengutempoga tulevikku. Esialgu on matemaatika ülesande tingimused erinevad, kuid see on näidatud parempoolses lõigus. Pärast definitsiooniga määratud aja möödumist ei saa välistada proportsionaalse sõltuva tulemuse võimalust vektori liikumise erinevatel tasanditel. Sellist lihtsat juhtumit saab parandada samamoodi, nagu kirjeldatakse kalkulaatoril lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid üldkujul, see on kiirem ja arvutuste nihe ei too kaasa ekslikku arvamust. Vaid viis teooria järgi nimetatud juhtumit võivad nihutada toimuva piire. Meie diferentsiaalvõrrandite lahendus aitab teil juba lagunemise esimestel etappidel käsitsi arvutada väärtuse arvudes funktsionaalne ruum. Õigetes kohtades on vaja kujutada nelja joone kokkupuutepunkti üldine tähendus. Kuid kui peate ülesande ümber tõrjuma, on keerukust lihtne samastada. Algandmed on piisavad külgneva jala kujundamiseks ja diferentsiaalvõrrandid näevad välja vasakule joondatud ning pind on ühekülgne vektori rootori poole suunatud. Üle ülemise piiri on võimalikud numbrilised väärtused, mis ületavad määratud tingimust. Võimalik on arvestada matemaatilist valemit ja lahendada diferentsiaalvõrrandi võrgus, kasutades proportsiooni üldväärtuses kolme tundmatut. Kohalik arvutusmeetod tunnistatakse kehtivaks. Tasapinna suhtelises liikumises on koordinaatsüsteem ristkülikukujuline. Diferentsiaalvõrrandite veebipõhine üldlahendus võimaldab meil teha ühemõtteliselt järelduse maatriksdefinitsioonide arvutusliku läbimise kasuks tervel sirgel, mis asub selgelt määratletud funktsiooni graafiku kohal. Lahendus on selgelt nähtav, kui rakendada liikumisvektorit kolme poolkera kokkupuutepunkti. Silinder saadakse ristküliku pööramisel ümber külje ja lineaarsed diferentsiaalvõrrandid suudavad näidata punkti liikumissuunda vastavalt selle liikumisseaduse antud avaldistele. Algandmed on õiged ja matemaatika ülesanne on ühe lihtsa tingimusega asendatav. Kuid asjaolude tõttu, tulenevalt püstitatud alamülesande keerukusest, lihtsustavad diferentsiaalvõrrandid numbriliste ruumide arvutamise protsessi kolmemõõtmelise ruumi tasemel. Vastupidist on lihtne tõestada, kuid seda saab vältida, nagu toodud näites. Kõrgemas matemaatikas on ette nähtud järgmised punktid: kui ülesanne taandatakse lihtsustatud kujule, tuleks õpilastel rakendada sellele võimalikult suur pingutus. Arvesse võetakse üksteise peale asetatud jooni. Diferentsiaalide lahendamine taastab nimetatud meetodi eelise kõverjooneliselt. Kui tunnete esmalt ära midagi, mis pole see, mida te vajate, loob matemaatiline valem väljendile uue tähenduse. Eesmärk on optimaalne lähenemine professori seatud ülesannete lahendamisele. Te ei tohiks eeldada, et lineaarsed diferentsiaalvõrrandid lihtsustatud kujul ületavad oodatud tulemust. Asetame kolm vektorit lõplikult koostatud pinnale. üksteise suhtes risti. Arvutame toote. Teeme lisamise rohkem sümbolid ja kirjutada saadud avaldisest kõik funktsiooni muutujad. On proportsioon. Mitmed arvutuse lõpule eelnevad toimingud ei anna diferentsiaalvõrrandite lahendamisele ühemõttelist vastust kohe, vaid alles siis, kui y-teljel on möödas määratud aeg. Funktsioonist kaudselt määratud katkestuspunktist vasakule joonistame telje, mis on ortogonaalne parima kasvava vektori suhtes ja asetame diferentsiaalvõrrandid mööda matemaatilise objekti alumise külje väikseimat piirväärtust. Lisame lisaargumendi funktsiooni katkestusalasse. Punktidest, kus kõverjoon asub, paremal asuvad valemid, mille oleme kirjutanud ühise nimetaja taandamiseks, aitavad teil diferentsiaalvõrrandit võrgus lahendada. Kasutame ainuõiget lähenemist, mis valgustab lahendamata probleeme teooriast praktikasse, üldiselt üheselt. Antud punktide koordinaatide suunalised jooned ei sulgenud kunagi ruudu äärmist asendit, kuid diferentsiaalvõrrandite veebipõhine lahendamine aitab matemaatika õppimisel nii õpilasi, meid kui ka sellel alal alles algajaid. Me räägime võimalusest asendada väärtusargument ühe välja kõigi oluliste ridadega. Põhimõtteliselt, nagu arvata võib, on meie lineaarsed diferentsiaalvõrrandid midagi, mis on eraldatud antud tähendusega ühte mõistesse. Õpilaste abistamiseks üks parimaid kalkulaatoreid sarnaste teenuste hulgas. Läbige kõik kursused ja valige endale sobivaim.

Tuletagem meelde ülesannet, mis kindlate integraalide leidmisel silmitsi seisis:

või dy = f(x)dx. Tema lahendus:

ja see taandub arvutamisele määramatu integraal. Praktikas tuleb sagedamini ette keerulisem ülesanne: funktsiooni leidmine y, kui on teada, et see rahuldab vormi seost

See seos on seotud sõltumatu muutujaga x, tundmatu funktsioon y ja selle tuletised kuni järjekorras n kaasa arvatud, nimetatakse .

Diferentsiaalvõrrand sisaldab funktsiooni ühe või teise järgu tuletiste (või diferentsiaalide) märgi all. Kõrgeimat järku nimetatakse järjestuseks (9.1) .

Diferentsiaalvõrrandid:

- esimene tellimus,

Teine järjekord

- viies järjekord jne.

Funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit, nimetatakse selle lahenduseks , või integraal . Selle lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist. Kui vajaliku funktsiooni jaoks yõnnestus saada valem, mis annab kõik lahendused, siis ütleme, et oleme leidnud selle üldlahenduse , või üldine integraal .

Ühine otsus sisaldab n suvalised konstandid ja näeb välja nagu

Kui saadakse seos, mis seostub x, y Ja n suvalised konstandid kujul, mis ei ole lubatud y -

siis nimetatakse sellist seost võrrandi (9.1) üldintegraaliks.

Cauchy probleem

Iga konkreetne lahendus st iga konkreetset funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit ja mis ei sõltu suvalistest konstantidest, nimetatakse konkreetseks lahenduseks , või osaline integraal. Konkreetsete lahenduste (integraalide) saamiseks üldistest tuleb konstantidele anda konkreetsed arvväärtused.

Konkreetse lahenduse graafikut nimetatakse integraalkõveraks. Üldlahendus, mis sisaldab kõiki osalahendusi, on integraalkõverate perekond. Esimest järku võrrandi puhul sõltub see perekond võrrandi puhul ühest suvalisest konstandist n-th order - alates n suvalised konstandid.

Cauchy ülesanne on leida võrrandile konkreetne lahendus n- järjekord, rahuldav n algtingimused:

mille abil määratakse n konstanti c 1, c 2,..., c n.

1. järku diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi puhul, mis on tuletise suhtes lahendamata, on sellel kujul

või lubatud suhteliselt

Näide 3.46. Leidke võrrandi üldlahend

Lahendus. Integreerimine, saame

kus C on suvaline konstant. Kui omistame C-le konkreetsed arvväärtused, saame konkreetsed lahendused, näiteks

Näide 3.47. Kaaluge pangas deponeeritud raha suurenemist, millele lisandub 100 r liitintressi aastas. Olgu Yo esialgne rahasumma ja Yx - lõpus x aastat. Kui intresse arvutatakse kord aastas, saame

kus x = 0, 1, 2, 3,.... Kui intressi arvutatakse kaks korda aastas, saame

kus x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Intressi arvutamisel n kord aastas ja kui x võtab järjestikused väärtused 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., siis

Määrake 1/n = h, siis näeb eelmine võrdsus välja selline:

Piiramatu suurendusega n(at ) limiidis jõuame rahasumma suurendamise protsessini koos pideva intresside kogumisega:

Seega on selge, et pideva muutumisega x rahapakkumise muutumise seadust väljendatakse 1. järku diferentsiaalvõrrandiga. kus Y x on tundmatu funktsioon, x- sõltumatu muutuja, r- pidev. Lahendame selle võrrandi, kirjutame selle ümber järgmiselt:

kus , või , kus P tähistab e C .

Algtingimustest Y(0) = Yo leiame P: Yo = Pe o, kust Yo = P. Seetõttu on lahendus järgmine:

Vaatleme teist majandusprobleemi. Makromajanduslikke mudeleid kirjeldavad ka I järgu lineaarsed diferentsiaalvõrrandid, mis kirjeldavad tulu või toodangu Y muutusi aja funktsioonidena.

Näide 3.48. Las rahvatulu Y kasvab proportsionaalselt selle väärtusega:

ja olgu valitsemissektori kulutuste puudujääk proportsionaalsuskoefitsiendiga otseselt proportsionaalne tuluga Y q. Kulude puudujääk toob kaasa riigivõla suurenemise D:

Algtingimused Y = Yo ja D = Do, kui t = 0. Esimesest võrrandist Y = Yoe kt. Asendades Y saame dD/dt = qYoe kt . Üldlahendusel on vorm
D = (q/ k) Yoe kt +С, kus С = const, mis määratakse algtingimustest. Asendades algtingimused, saame Do = (q/ k)Yo + C. Niisiis, lõpuks,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

see näitab, et riigivõlg kasvab sama suhtelise kiirusega k, sama mis rahvatulu.

Vaatleme lihtsamaid diferentsiaalvõrrandeid n järjekorras, need on vormi võrrandid

Selle üldise lahenduse saab kasutada kasutades n korda integratsioonid.

Näide 3.49. Vaatleme näidet y """ = cos x.

Lahendus. Integreerimine, leiame

Üldlahendusel on vorm

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Neid kasutatakse majanduses laialdaselt; kaalume selliste võrrandite lahendamist. Kui (9.1) on vorm:

siis nimetatakse seda lineaarseks, kus рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) on antud funktsioonid. Kui f(x) = 0, siis (9.2) nimetatakse homogeenseks, vastasel juhul ebahomogeenseks. Võrrandi (9.2) üldlahend on võrdne selle mis tahes konkreetse lahendi summaga y(x) ja sellele vastava homogeense võrrandi üldlahend:

Kui koefitsiendid р o (x), р 1 (x),..., р n (x) on konstantsed, siis (9.2)

(9.4) nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks, millel on konstantsed järjekorrakoefitsiendid n .

Sest (9.4) on vorm:

Üldisust kaotamata saame seada p o = 1 ja kirjutada (9.5) vormi

Otsime lahendit (9.6) kujul y = e kx, kus k on konstant. Meil on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Asendades saadud avaldised (9.6), saame:

(9.7) on algebraline võrrand, tema tundmatu on k, nimetatakse seda iseloomulikuks. Iseloomulikul võrrandil on aste n Ja n juured, mille hulgas võib olla nii mitut kui ka keerulist. Olgu siis k 1 , k 2 ,..., k n reaalne ja eristatav - erilahendused (9.7) ja üldised

Vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset homogeenset teist järku diferentsiaalvõrrandit:

Selle iseloomulikul võrrandil on vorm

(9.9)

selle diskriminant D = p 2 - 4q, olenevalt D märgist on võimalikud kolm juhtumit.

1. Kui D>0, siis juured k 1 ja k 2 (9.9) on reaalsed ja erinevad ning üldlahend on kujul:

Lahendus. Iseloomulik võrrand: k 2 + 9 = 0, kust k = ± 3i, a = 0, b = 3, on üldlahend järgmine:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

2. järku lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid kasutatakse kaupade laovarudega veebitüüpi majandusmudeli uurimisel, kus hinna muutumise määr P sõltub laoseisu suurusest (vt lõik 10). Kui nõudlus ja pakkumine on hinna lineaarsed funktsioonid, siis see tähendab

a on konstant, mis määrab reaktsioonikiiruse, siis hinnamuutuse protsessi kirjeldatakse diferentsiaalvõrrandiga:

Konkreetse lahenduse jaoks võime võtta konstanti

mõttekas tasakaaluhind. Hälve rahuldab homogeenset võrrandit

(9.10)

Iseloomulik võrrand on järgmine:

Juhul, kui termin on positiivne. Tähistame . Karakteristikavõrrandi k 1,2 = ± i w juured, seega on üldlahend (9.10) järgmine:

kus C ja on suvalised konstandid, määratakse need algtingimuste põhjal. Saime aja jooksul hinnamuutuse seaduse:

Sisestage oma diferentsiaalvõrrand, tuletise sisestamiseks kasutatakse apostroat "", lahenduse saamiseks vajutage esitamisklahvi

Tavaline diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord nimetatakse selles sisalduva kõrgeima tuletise järguks.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on võrrandid, mis seostavad sõltumatuid muutujaid, nende muutujate tundmatut funktsiooni ja selle osalisi tuletisi samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse huvides sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjekord ei pea tingimata sisaldama selgesõnalist funktsiooni, kõiki selle tuletisi esimesest kuni n-th järk ja sõltumatu muutuja. See ei tohi selgesõnaliselt sisaldada teatud järjestuste, funktsiooni või sõltumatu muutuja tuletisi.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmandat ja teist järku tuletised, samuti funktsioon; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab eksplitsiitselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine kutsutakse iga funktsioon y = f(x), kui võrrandisse asendada, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1. Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletisest. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat, s.o.

Seda see on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus . Muutumine selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Näite 1 diferentsiaalvõrrandi lahendus on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse lahendust, kus suvalistele konstantidele antakse konkreetsed arvväärtused.

Näide 2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad pooled mitu korda, mis on võrdne diferentsiaalvõrrandi järjekorraga.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrandist.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendage suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja hankige

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Asendage väärtused ja võrrandi üldlahendisse ning leidke suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on Cauchy probleemi lahendus.

Näide 3. Lahendage näite 1 diferentsiaalvõrrandi Cauchy ülesanne objektiga .

Lahendus. Asendame algtingimuse väärtused üldlahendusega y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame selle esimest järku diferentsiaalvõrrandi Cauchy probleemi lahenduse:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine nõuab häid integreerimis- ja tuletamisoskusi, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et saate kohe integreerida mõlemad pooled.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmise teel (asendamine). Las siis olla.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda vastavalt kompleksfunktsiooni eristamise reeglitele, kuna x ja seal on keeruline funktsioon ("õun" - ekstrakt ruutjuur või mis on sama asi - "pooleks" tõstmine ja "hakkliha" on juure all olev väljend):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldine lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg-, st koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada koolist saadud teadmised proportsioonide kohta, mis pole (olenevalt aga kes) koolist unustatud. See on järgmine näide.

Kas need on tuletise suhtes juba lahendatud või saab neid lahendada tuletise suhtes .

Intervalli tüüpi diferentsiaalvõrrandite üldlahendus X, mis on antud, saab leida, võttes selle võrdsuse mõlema poole integraali.

Saame .

Kui vaatame määramata integraali omadusi, leiame soovitud üldlahenduse:

y = F(x) + C,

Kus F(x)- üks primitiivsetest funktsioonidest f(x) vahel X, A KOOS- suvaline konstant.

Pange tähele, et enamiku probleemide korral on intervall Xära näita. See tähendab, et lahendus tuleb leida igaühe jaoks. x, mille jaoks ja soovitud funktsioon y, ja algne võrrand on mõistlik.

Kui teil on vaja arvutada diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimusele y(x 0) = y 0, siis pärast üldintegraali arvutamist y = F(x) + C, on ikkagi vaja määrata konstandi väärtus C = C 0, kasutades algtingimust. See tähendab, et konstant C = C 0 võrrandist määratud F(x 0) + C = y 0, ja diferentsiaalvõrrandi soovitud osalahend on järgmine:

y = F(x) + C 0.

Vaatame näidet:

Leiame diferentsiaalvõrrandile üldlahenduse ja kontrollime tulemuse õigsust. Leiame sellele võrrandile konkreetse lahenduse, mis rahuldaks algtingimust.

Lahendus:

Pärast antud diferentsiaalvõrrandi integreerimist saame:

Võtame selle integraali osade kaupa integreerimise meetodil:

See., on diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Veendumaks, et tulemus on õige, teeme kontrolli. Selleks asendame leitud lahendi antud võrrandiga:

See tähendab, millal algne võrrand muutub identiteediks:

seetõttu määrati diferentsiaalvõrrandi üldlahend õigesti.

Meie leitud lahendus on argumendi iga reaalväärtuse diferentsiaalvõrrandi üldine lahendus x.

Jääb välja arvutada konkreetne ODE lahendus, mis rahuldaks algtingimust. Teisisõnu on vaja arvutada konstandi väärtus KOOS, mille korral võrdsus on tõene:

Siis asendamine C = 2 ODE üldlahendisse saame diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse, mis rahuldab algtingimust:

Tavaline diferentsiaalvõrrand saab tuletise jaoks lahendada, jagades võrrandi kaks külge f(x). See teisendus on samaväärne, kui f(x) ei muutu mingil juhul nulliks x diferentsiaalvõrrandi integreerimisvahemikust X.

On tõenäolisi olukordi, kus mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X funktsioonid f(x) Ja g(x) muutuda samal ajal nulliks. Sarnaste väärtuste jaoks x diferentsiaalvõrrandi üldlahend on mis tahes funktsioon y, mis on neis määratletud, sest .

Kui mõne argumendi väärtuste puhul x ∈ X tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud juhul pole ODE-l lahendusi.

Kõigile teistele x intervallist X teisendatud võrrandist määratakse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Vaatame näiteid:

Näide 1.

Leiame ODE-le üldise lahenduse: .

Lahendus.

Põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal on selge, et naturaallogaritmi funktsioon on defineeritud argumendi mittenegatiivsete väärtuste jaoks, seega avaldise määratluspiirkond ln(x+3) on vaheaeg x > -3 . See tähendab, et antud diferentsiaalvõrrand on loogiline x > -3 . Nende argumendi väärtuste jaoks avaldis x+3 ei kao, nii et saate tuletise ODE lahendada, jagades 2 osa arvuga x + 3.