Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt. Esimerkkejä ratkaisuista. Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen verkossa

6.1. PERUSKÄSITTEET JA MÄÄRITELMÄT

Erilaisia ​​matematiikan ja fysiikan, biologian ja lääketieteen ongelmia ratkaistaessa ei useinkaan pystytä heti muodostamaan toiminnallista suhdetta tutkittavaa prosessia kuvaavia muuttujia yhdistävän kaavan muodossa. Yleensä tulee käyttää yhtälöitä, jotka sisältävät riippumattoman muuttujan ja tuntemattoman funktion lisäksi myös sen derivaatat.

Määritelmä. Kutsutaan yhtälöä, joka yhdistää riippumattoman muuttujan, tuntemattoman funktion ja sen eri asteiset derivaatat ero.

Tuntematon funktio on yleensä merkitty y(x) tai yksinkertaisesti y, ja sen johdannaiset - y", y" jne.

Myös muut nimitykset ovat mahdollisia, esimerkiksi: jos y= x(t), sitten x"(t), x""(t)- sen johdannaiset ja t- itsenäinen muuttuja.

Määritelmä. Jos funktio riippuu yhdestä muuttujasta, niin differentiaaliyhtälöä kutsutaan tavalliseksi. Yleinen muoto tavallinen differentiaaliyhtälö:

tai

Toiminnot F Ja f Ei välttämättä sisällä joitain argumentteja, mutta jotta yhtälöt olisivat differentiaalisia, derivaatan läsnäolo on välttämätöntä.

Määritelmä.Differentiaaliyhtälön järjestys kutsutaan siihen sisältyvän korkeimman derivaatan järjestykseksi.

Esimerkiksi, x 2 v"- y= 0, y" + sin x= 0 ovat ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä ja y"+ 2 y"+ 5 y= x- toisen asteen yhtälö.

Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa käytetään integrointioperaatiota, joka liittyy mielivaltaisen vakion esiintymiseen. Jos integrointitoimintoa käytetään n kertaa, niin ratkaisu tietysti sisältää n mielivaltaisia ​​vakioita.

6.2. ENSIMMÄISEN ÄÄRÄN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Yleinen muoto ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö määräytyy lausekkeen mukaan

Yhtälö ei välttämättä sisällä eksplisiittisesti x Ja y, mutta sisältää välttämättä y".

Jos yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

sitten saadaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka on ratkaistu derivaatan suhteen.

Määritelmä. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön (6.3) (tai (6.4)) yleinen ratkaisu on ratkaisujen joukko , Missä KANSSA- mielivaltainen vakio.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä.

Satunnaisen vakion antaminen KANSSA erilaisia ​​arvoja, voidaan saada osaratkaisuja. Pinnalla xOy yleinen ratkaisu on kutakin yksittäistä ratkaisua vastaava integraalikäyrien perhe.

Jos asetat pisteen A (x 0, y 0), jonka läpi integraalikäyrän täytyy kulkea sitten pääsääntöisesti funktiojoukosta Voidaan mainita yksi - yksityinen ratkaisu.

Määritelmä.Yksityinen päätös differentiaaliyhtälön ratkaisu on sen ratkaisu, joka ei sisällä mielivaltaisia ​​vakioita.

Jos on yleinen ratkaisu, sitten ehdosta

voit löytää vakion KANSSA. Tilaa kutsutaan alkutila.

Ongelma tietyn ratkaisun löytämisestä differentiaaliyhtälölle (6.3) tai (6.4), joka täyttää alkuehdon klo nimeltään Cauchy ongelma. Onko tähän ongelmaan aina ratkaisu? Vastaus sisältyy seuraavaan lauseeseen.

Cauchyn lause(ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden lause). Sisällytetään differentiaaliyhtälö y"= f(x,y) toiminto f(x,y) ja hän

osittainen johdannainen joissakin määritellyt ja jatkuvat

alueella D, sisältää pisteen Sitten alueella D olemassa

ainoa ratkaisu yhtälöön, joka täyttää alkuehdon klo

Cauchyn lause sanoo, että tietyissä olosuhteissa on olemassa ainutlaatuinen integraalikäyrä y= f(x), kulkee pisteen läpi Pisteet, joissa lauseen ehdot eivät täyty

Cauchiesia kutsutaan erityistä. Näissä kohdissa se katkeaa f(x, y) tai.

Joko useita integraalikäyriä tai ei yksikään käy yksittäisen pisteen läpi.

Määritelmä. Jos ratkaisu (6.3), (6.4) löytyy muodossa f(x, y, C)= 0, ei sallittu suhteessa y:ään, niin sitä kutsutaan yleinen integraali differentiaaliyhtälö.

Cauchyn lause takaa vain ratkaisun olemassaolon. Koska ei ole olemassa yhtä ainoaa menetelmää ratkaisun löytämiseen, tarkastelemme vain tietyntyyppisiä ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan integroida kvadratuurit

Määritelmä. Differentiaaliyhtälöä kutsutaan integroitavissa kvadratuuriin, jos sen ratkaisun löytäminen rajoittuu toimintojen integrointiin.

6.2.1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Määritelmä. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä kutsutaan yhtälöksi kanssa erotettavissa olevat muuttujat,

Yhtälön (6.5) oikea puoli on kahden funktion tulo, joista jokainen riippuu vain yhdestä muuttujasta.

Esimerkiksi yhtälö on yhtälö erotuksen kanssa

sekoitettuna muuttujien kanssa
ja yhtälö

ei voida esittää muodossa (6.5).

Ottaen huomioon , kirjoitamme (6.5) uudelleen muotoon

Tästä yhtälöstä saadaan erotettuja muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö, jossa differentiaalit ovat funktioita, jotka riippuvat vain vastaavasta muuttujasta:

Integroimme termi kerrallaan

missä C = C 2 - C 1 - mielivaltainen vakio. Lauseke (6.6) on yhtälön (6.5) yleinen integraali.

Jakamalla yhtälön (6.5) molemmat puolet, voimme menettää ne ratkaisut, joille Todellakin, jos klo

Että on ilmeisesti ratkaisu yhtälöön (6.5).

Esimerkki 1. Etsi yhtälöön ratkaisu, joka tyydyttää

kunto: y= 6 klo x= 2 (y(2) = 6).

Ratkaisu. Me korvaamme y" sitten . Kerro molemmat puolet

dx, koska jatkointegraation aikana on mahdotonta lähteä dx nimittäjässä:

ja jaa sitten molemmat osat saamme yhtälön,

jotka voidaan integroida. Integroidaan:

Sitten ; tehostamalla saamme y = C. (x + 1) - ob-

yleinen ratkaisu.

Alkutietojen avulla määritämme mielivaltaisen vakion ja korvaamme ne yleisellä ratkaisulla

Lopulta saamme y= 2(x + 1) on erityinen ratkaisu. Katsotaanpa vielä muutama esimerkki yhtälöiden ratkaisemisesta erotettavissa olevilla muuttujilla.

Esimerkki 2. Etsi yhtälön ratkaisu

Ratkaisu. Ottaen huomioon , saamme .

Integroimalla yhtälön molemmat puolet, meillä on

missä

Esimerkki 3. Etsi yhtälön ratkaisu Ratkaisu. Jaamme yhtälön molemmat puolet niihin tekijöihin, jotka riippuvat muuttujasta, joka ei ole sama kuin differentiaalimerkin alla oleva muuttuja, ts. ja integroida. Sitten saamme

ja lopuksi

Esimerkki 4. Etsi yhtälön ratkaisu

Ratkaisu. Tietäen mitä saamme. osio

lim muuttujia. Sitten

Integroimalla saamme

Kommentti. Esimerkeissä 1 ja 2 vaadittu funktio on y nimenomaisesti ilmaistuna (yleinen ratkaisu). Esimerkeissä 3 ja 4 - implisiittisesti (yleinen integraali). Jatkossa päätöksen muotoa ei täsmennetä.

Esimerkki 5. Etsi yhtälön ratkaisu Ratkaisu.

Esimerkki 6. Etsi yhtälön ratkaisu , tyydyttävä

kunto y(e)= 1.

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö muotoon

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet dx ja edelleen, saamme

Integroimalla yhtälön molemmat puolet (oikean puolen integraali otetaan osilla), saadaan

Mutta tilanteen mukaan y= 1 klo x= e. Sitten

Korvataan löydetyt arvot KANSSA yleiseen ratkaisuun:

Tuloksena olevaa lauseketta kutsutaan differentiaaliyhtälön osittaiseksi ratkaisuksi.

6.2.2. Homogeeninen differentiaaliyhtälöt ensimmäinen tilaus

Määritelmä. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä kutsutaan homogeeninen, jos se voidaan esittää muodossa

Esitetään algoritmi homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi.

1. Sen sijaan y esitellään uusi toimintoSitten ja siksi

2. Toiminnan kannalta u yhtälö (6.7) saa muodon

eli korvaaminen pelkistää homogeenisen yhtälön yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

3. Ratkaisemme yhtälön (6.8), etsimme ensin u ja sitten y= ux.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö muotoon

Teemme vaihdon:
Sitten

Me korvaamme

Kerro dx:llä: Jaettuna x ja edelleen Sitten

Kun yhtälön molemmat puolet on integroitu vastaavien muuttujien päälle, meillä on

tai palaamalla vanhoihin muuttujiin, saamme vihdoin

Esimerkki 2.Ratkaise yhtälö Ratkaisu.Antaa Sitten

Jaetaan yhtälön molemmat puolet x2: Avataan sulut ja järjestellään termit uudelleen:

Vanhoihin muuttujiin siirryttäessä pääsemme lopputulokseen:

Esimerkki 3.Etsi yhtälön ratkaisu olettaen että

Ratkaisu.Suoritetaan vakiovaihto saamme

tai

tai

Tämä tarkoittaa, että tietyllä ratkaisulla on muoto Esimerkki 4. Etsi yhtälön ratkaisu

Ratkaisu.

Esimerkki 5.Etsi yhtälön ratkaisu Ratkaisu.

Itsenäinen työ

Etsi ratkaisuja erotettavilla muuttujilla varustettuihin differentiaaliyhtälöihin (1-9).

Etsi ratkaisu homogeenisille differentiaaliyhtälöille (9-18).

6.2.3. Jotkut ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden sovellukset

Radioaktiivisen hajoamisen ongelma

Ra:n (radium) hajoamisnopeus kullakin ajanhetkellä on verrannollinen sen käytettävissä olevaan massaan. Etsi Ra:n radioaktiivisen hajoamisen laki, jos tiedetään, että alkuhetkellä Ra oli olemassa ja Ra:n puoliintumisaika on 1590 vuotta.

Ratkaisu. Olkoon massa Ra tällä hetkellä x= x(t) g ja Sitten vaimenemisnopeus Ra on yhtä suuri kuin

Ongelman ehtojen mukaan

Missä k

Erottamalla muuttujat viimeisessä yhtälössä ja integroimalla saamme

missä

Määrittämistä varten C käytämme alkuehtoa: milloin .

Sitten ja siksi,

Suhteellisuustekijä k määräytyy lisäehdosta:

Meillä on

Täältä ja vaadittava kaava

Bakteerien lisääntymisnopeusongelma

Bakteerien lisääntymisnopeus on verrannollinen niiden lukumäärään. Alussa oli 100 bakteeria. Kolmessa tunnissa heidän lukumääränsä kaksinkertaistui. Selvitä bakteerien määrän riippuvuus ajasta. Kuinka monta kertaa bakteerien määrä kasvaa 9 tunnin sisällä?

Ratkaisu. Antaa x- bakteerien lukumäärä kerrallaan t. Sitten tilanteen mukaan

Missä k- suhteellisuuskerroin.

Täältä Tilanteesta se tiedetään . tarkoittaa,

Lisäehdosta . Sitten

Etsimäsi toiminto:

Joten kun t= 9 x= 800, eli 9 tunnin sisällä bakteerien määrä kasvoi 8-kertaiseksi.

Entsyymimäärän lisäämisen ongelma

Panimohiivaviljelmässä aktiivisen entsyymin kasvunopeus on verrannollinen sen alkuperäiseen määrään x. Entsyymin alkumäärä a tuplaantui tunnissa. Etsi riippuvuus

x(t).

Ratkaisu. Ehdon mukaan prosessin differentiaaliyhtälöllä on muoto

täältä

Mutta . tarkoittaa, C= a ja sitten

Se on myös tiedossa

Siten,

6.3. TOISEN kertaluvun DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

6.3.1. Peruskonseptit

Määritelmä.Toisen asteen differentiaaliyhtälö kutsutaan relaatioksi, joka yhdistää riippumattoman muuttujan, halutun funktion ja sen ensimmäisen ja toisen derivaatan.

Erikoistapauksissa x voi puuttua yhtälöstä, klo tai y". Toisen asteen yhtälön on kuitenkin välttämättä sisällettävä y." Yleisessä tapauksessa toisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

tai, jos mahdollista, siinä muodossa, joka on ratkaistu suhteessa toiseen johdannaiseen:

Kuten ensimmäisen kertaluvun yhtälön tapauksessa, toisen kertaluvun yhtälölle voi olla yleisiä ja erityisiä ratkaisuja. Yleinen ratkaisu on:

Erityisen ratkaisun löytäminen

alkuolosuhteissa - annettu

numerot) kutsutaan Cauchy ongelma. Geometrisesti tämä tarkoittaa, että meidän on löydettävä integraalikäyrä klo= y(x), kulki tietyn pisteen läpi ja jolla on tangentti tässä kohdassa, joka on

linjassa positiivisen akselin suunnan kanssa Härkä määrätty kulma. e. (Kuva 6.1). Cauchyn ongelmalla on ainutlaatuinen ratkaisu, jos yhtälön (6.10) oikea puoli, lakkaamaton

on epäjatkuva ja sillä on jatkuvia osittaisia ​​johdannaisia ​​suhteessa uh, uh" jossain lähtöpisteen naapurustossa

Etsimään vakioita sisällytetään yksityiseen ratkaisuun, järjestelmä on ratkaistava

Riisi. 6.1. Integraalikäyrä

The online-laskin voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä verkossa. Riittää, kun syötät yhtälösi sopivaan kenttään, joka merkitsee funktion johdannaista heittomerkillä ja napsautat "ratkaise yhtälö" -painiketta. Ja suositun WolframAlpha-sivuston perusteella toteutettu järjestelmä antaa yksityiskohtaisia ​​tietoja. ratkaisemaan differentiaaliyhtälön täysin ilmainen. Voit myös määritellä Cauchyn ongelman niin, että koko sarjasta mahdolliset ratkaisut valitse annettuja alkuehtoja vastaava osamäärä. Cauchyn ongelma syötetään erilliseen kenttään.

Differentiaaliyhtälö

Oletuksena yhtälön funktio y on muuttujan funktio x. Voit kuitenkin määrittää muuttujalle oman nimesi; jos kirjoitat yhtälöön esimerkiksi y(t), laskin tunnistaa sen automaattisesti y muuttujasta on funktio t. Laskurin avulla voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä minkä tahansa monimutkaisuuden ja tyypin: homogeeniset ja epähomogeeniset, lineaariset tai epälineaariset, ensimmäisen kertaluvun tai toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt, joissa on erotettavia tai erottamattomia muuttujia jne. Ratkaisu ero. yhtälöt on annettu analyyttinen muoto, Sillä on Yksityiskohtainen kuvaus. Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin yleisiä fysiikassa ja matematiikassa. Ilman niiden laskemista on mahdotonta ratkaista monia ongelmia (etenkin matemaattisessa fysiikassa).

Yksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisun vaiheista on funktioiden integrointi. On olemassa standardimenetelmiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. On tarpeen pelkistää yhtälöt muotoon, jossa on erotettavissa olevat muuttujat y ja x, ja integroida erotetut funktiot erikseen. Tätä varten on joskus suoritettava tietty vaihto.

Joko ne on jo ratkaistu johdannaisen suhteen tai ne voidaan ratkaista johdannaisen suhteen .

Tyypin differentiaaliyhtälöiden yleinen ratkaisu välille X, joka on annettu, voidaan löytää ottamalla tämän yhtälön kummankin puolen integraali.

Saamme .

Jos katsot ominaisuuksia epämääräinen integraali, niin löydämme halutun yleisratkaisun:

y = F(x) + C,

Missä F(x)- yksi primitiivisistä toiminnoista f(x) välissä X, A KANSSA- mielivaltainen vakio.

Huomaa, että useimmissa ongelmissa väli Xälä ilmoita. Tämä tarkoittaa, että ratkaisu on löydettävä kaikille. x, jolle ja haluttu toiminto y, ja alkuperäinen yhtälö on järkevä.

Jos sinun on laskettava tietty ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka täyttää alkuehdon y(x 0) = y 0, sitten yleisen integraalin laskemisen jälkeen y = F(x) + C, on silti tarpeen määrittää vakion arvo C = C 0, käyttämällä alkuehtoa. Eli vakio C = C 0 määritetään yhtälöstä F(x 0) + C = y 0, ja haluttu differentiaaliyhtälön osaratkaisu on muotoa:

y = F(x) + C 0.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Etsitään yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön ja tarkistetaan tuloksen oikeellisuus. Etsitään tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttäisi alkuehdon.

Ratkaisu:

Kun olemme integroineet annetun differentiaaliyhtälön, saamme:

.

Otetaan tämä integraali käyttämällä osien integrointimenetelmää:

Että., on yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Varmista, että tulos on oikea, tarkista. Tätä varten korvaamme löytämämme ratkaisun annettuun yhtälöön:

.

Eli milloin alkuperäinen yhtälö muuttuu identiteetiksi:

siksi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritettiin oikein.

Löysimme ratkaisun on yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön argumentin jokaiselle todelliselle arvolle x.

On vielä laskettava tietty ratkaisu ODE:lle, joka täyttäisi alkuehdon. Toisin sanoen on tarpeen laskea vakion arvo KANSSA, jossa yhtäläisyys on totta:

.

.

Sitten vaihtamalla C = 2 ODE:n yleisratkaisuun saamme differentiaaliyhtälön erityisen ratkaisun, joka täyttää alkuehdon:

.

Tavallinen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista derivaatalle jakamalla yhtälön 2 puolta f(x). Tämä muunnos on vastaava, jos f(x) ei muutu nollaan missään olosuhteissa x differentiaaliyhtälön integrointivälistä X.

On todennäköisiä tilanteita, joissa joillekin argumentin arvoille x ∈ X toimintoja f(x) Ja g(x) muuttua samalla nollaksi. Samanlaisia ​​arvoja varten x differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on mikä tahansa funktio y, joka on määritelty niissä, koska .

Jos joillekin argumenttiarvoille x ∈ X ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että tässä tapauksessa ODE:llä ei ole ratkaisuja.

Kaikille muille x väliltä X differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritetään muunnetusta yhtälöstä.

Katsotaanpa esimerkkejä:

Esimerkki 1.

Etsitään yleinen ratkaisu ODE: lle: .

Ratkaisu.

Peruselementaaristen funktioiden ominaisuuksista on selvää, että luonnollinen logaritmifunktio on määritelty argumentin ei-negatiivisille arvoille, joten lausekkeen määritelmäalue ln(x+3) on väliaika x > -3 . Tämä tarkoittaa, että annettu differentiaaliyhtälö on järkevä x > -3 . Näille argumenttiarvoille lauseke x+3 ei katoa, joten voit ratkaista derivaatan ODE:n jakamalla 2 osaa x + 3.

Saamme .

Seuraavaksi integroimme tuloksena olevan differentiaaliyhtälön, joka on ratkaistu derivaatan suhteen: . Ottaaksemme tämän integraalin, käytämme menetelmää, jossa se lasketaan differentiaalimerkin alle.

I. Tavalliset differentiaaliyhtälöt

1.1. Peruskäsitteet ja määritelmät

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka suhteuttaa riippumattoman muuttujan x, tarvittava toiminto y ja sen johdannaiset tai differentiaalit.

Symbolisesti differentiaaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Differentiaaliyhtälöä kutsutaan tavalliseksi, jos vaadittava funktio riippuu yhdestä riippumattomasta muuttujasta.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen kutsutaan funktioksi, joka muuttaa tämän yhtälön identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön järjestys on tähän yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestys

Esimerkkejä.

1. Tarkastellaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä

Tämän yhtälön ratkaisu on funktio y = 5 ln x. Todellakin, korvaaminen y" yhtälöön, saamme identiteetin.

Ja tämä tarkoittaa, että funktio y = 5 ln x– on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön.

2. Tarkastellaan toisen asteen differentiaaliyhtälöä y" - 5y" + 6y = 0. Funktio on ratkaisu tähän yhtälöön.

Todella, .

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön, saadaan: , – identiteetti.

Ja tämä tarkoittaa, että funktio on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön.

Differentiaaliyhtälöiden integrointi on prosessi, jossa etsitään ratkaisuja differentiaaliyhtälöihin.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kutsutaan muodon funktioksi , joka sisältää yhtä monta riippumatonta mielivaltaista vakiota kuin yhtälön järjestys.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu on ratkaisu, joka saadaan yleisestä ratkaisusta mielivaltaisten vakioiden lukuisille arvoille. Mielivaltaisten vakioiden arvot löytyvät tietyistä argumentin ja funktion alkuarvoista.

Differentiaaliyhtälön tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä.

Esimerkkejä

1. Etsi tietty ratkaisu ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöön

xdx + ydy = 0, Jos y= 4 klo x = 3.

Ratkaisu. Integroimalla yhtälön molemmat puolet, saamme

Kommentti. Integroinnin tuloksena saatu mielivaltainen vakio C voidaan esittää missä tahansa muodossa, joka on sopiva lisämuunnoksille. Tässä tapauksessa, kun otetaan huomioon ympyrän kanoninen yhtälö, on kätevää esittää mielivaltainen vakio C muodossa .

- differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Erityinen yhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdot y = 4 klo x = 3 saadaan yleisestä korvaamalla alkuehdot yleiseen ratkaisuun: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C = 5.

Korvaamalla yleisen ratkaisun C=5, saadaan x 2 + y 2 = 5 2 .

Tämä on erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka saadaan yleisestä ratkaisusta tietyissä alkuolosuhteissa.

2. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

Tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa muodon funktio, jossa C on mielivaltainen vakio. Todellakin, korvaamalla yhtälöitä, saamme: , .

Näin ollen tällä differentiaaliyhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja, koska vakion C eri arvoille yhtälö määrittää erilaisia ​​ratkaisuja yhtälöt

Esimerkiksi suoraan korvaamalla voit varmistaa, että toiminnot toimivat ovat yhtälön ratkaisuja.

Ongelma, jossa sinun on löydettävä tietty ratkaisu yhtälöön y" = f(x,y) tyydyttää alkuperäisen ehdon y(x 0) = y 0, kutsutaan Cauchyn ongelmaksi.

Yhtälön ratkaiseminen y" = f(x,y), joka täyttää alkuperäisen ehdon, y(x 0) = y 0, kutsutaan ratkaisuksi Cauchyn ongelmaan.

Cauchyn ongelman ratkaisulla on yksinkertainen geometrinen merkitys. Todellakin, näiden määritelmien mukaan Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi y" = f(x,y) olettaen että y(x 0) = y 0, tarkoittaa yhtälön integraalikäyrän löytämistä y" = f(x,y) joka kulkee tietyn pisteen läpi M 0 (x 0,v 0).

II. Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt

2.1. Peruskonseptit

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö F(x,y,y") = 0.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö sisältää ensimmäisen derivaatan, eikä se sisällä korkeamman kertaluvun derivaattoja.

Yhtälö y" = f(x,y) kutsutaan ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi, joka on ratkaistu derivaatan suhteen.

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muodon funktio, joka sisältää yhden mielivaltaisen vakion.

Esimerkki. Tarkastellaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä.

Tämän yhtälön ratkaisu on funktio.

Todellakin, korvaamalla tämän yhtälön sen arvolla, saamme

tuo on 3x = 3x

Siksi funktio on yleinen ratkaisu yhtälöön mille tahansa vakiolle C.

Etsi tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdon y(1)=1 Alkuehtojen korvaaminen x = 1, y = 1 Yhtälön yleiseen ratkaisuun saamme mistä C = 0.

Siten saamme tietyn ratkaisun yleisestä korvaamalla tähän yhtälöön tuloksena olevan arvon C = 0– yksityinen ratkaisu.

2.2. Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Erotettavia muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö on muotoa: y"=f(x)g(y) tai differentiaalien kautta, missä f(x) Ja g(y)– määritetyt toiminnot.

Niille y, jolle , yhtälö y"=f(x)g(y) vastaa yhtälöä, jossa muuttuja y on vain vasemmalla puolella ja muuttuja x on vain oikealla puolella. He sanovat: "Eq. y"=f(x)g(y Erottelemme muuttujat."

Muodon yhtälö kutsutaan erotetuksi muuttujayhtälöksi.

Integroi yhtälön molemmat puolet Tekijä: x, saamme G(y) = F(x) + C on yhtälön yleinen ratkaisu, jossa G(y) Ja F(x)– jotkin funktioiden ja vastaavasti antijohdannaiset f(x), C mielivaltainen vakio.

Algoritmi ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi erotettavilla muuttujilla

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö y" = xy

Ratkaisu. Johdannainen funktiosta y" korvaa se

erotetaan muuttujat

Yhdistetään tasa-arvon molemmat puolet:

Esimerkki 2

2yy" = 1-3x 2, Jos y 0 = 3 klo x 0 = 1

Tämä on erotettu muuttujayhtälö. Kuvitellaanpa se differentiaaleissa. Tätä varten kirjoitamme tämän yhtälön uudelleen muotoon Täältä

Integroimme viimeisen tasa-arvon molemmat puolet, löydämme

Alkuarvojen korvaaminen x 0 = 1, y 0 = 3 löydämme KANSSA 9=1-1+C, eli C = 9.

Siksi vaadittu osaintegraali on tai

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle käyrälle M(2;-3) ja tangentti, jolla on kulmakerroin

Ratkaisu. Ehdon mukaan

Tämä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Jakamalla muuttujat, saamme:

Integroimalla yhtälön molemmat puolet, saamme:

Alkuehtoja käyttämällä x = 2 Ja y = -3 löydämme C:

Siksi vaaditulla yhtälöllä on muoto

2.3. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö y" = f(x)y + g(x)

Missä f(x) Ja g(x)- joitain määriteltyjä toimintoja.

Jos g(x) = 0 silloin lineaarista differentiaaliyhtälöä kutsutaan homogeeniseksi ja sen muoto on: y" = f(x)y

Jos sitten yhtälö y" = f(x)y + g(x) kutsutaan heterogeeniseksi.

Lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu y" = f(x)y saadaan kaavalla: missä KANSSA– mielivaltainen vakio.

Varsinkin jos C = 0, sitten ratkaisu on y = 0 Jos lineaarisella homogeenisella yhtälöllä on muoto y" = ky Missä k on jokin vakio, niin sen yleinen ratkaisu on muotoa: .

Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu y" = f(x)y + g(x) annetaan kaavalla ,

nuo. on yhtä suuri kuin vastaavan lineaarisen homogeenisen yhtälön yleisratkaisun ja tämän yhtälön erityisratkaisun summa.

Lineaariselle epähomogeeniselle muodon yhtälölle y" = kx + b,

Missä k Ja b- Jotkut luvut ja tietty ratkaisu ovat vakiofunktio. Siksi yleisellä ratkaisulla on muoto .

Esimerkki. Ratkaise yhtälö y" + 2y +3 = 0

Ratkaisu. Esitetään yhtälö muodossa y" = -2y - 3 Missä k = -2, b = -3 Yleinen ratkaisu annetaan kaavalla.

Siksi missä C on mielivaltainen vakio.

2.4. Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Bernoullin menetelmällä

Yleisen ratkaisun löytäminen ensimmäisen asteen lineaariseen differentiaaliyhtälöön y" = f(x)y + g(x) pelkistyy ratkaisemaan kaksi differentiaaliyhtälöä erotetuilla muuttujilla käyttämällä substituutiota y=uv, Missä u Ja v- tuntemattomat toiminnot x. Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan Bernoullin menetelmäksi.

Algoritmi ensimmäisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi

y" = f(x)y + g(x)

1. Syötä korvaus y=uv.

2. Erota tämä tasa-arvo y" = u"v + uv"

3. Korvaava y Ja y" tähän yhtälöön: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) tai u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Ryhmittele yhtälön ehdot siten, että u ota se pois suluista:

5. Etsi funktio hakasulkeesta ja laske se nollaan

Tämä on erotettava yhtälö:

Jaetaan muuttujat ja saadaan:

Missä . .

6. Korvaa tuloksena oleva arvo v yhtälöön (vaiheesta 4):

ja etsi funktio Tämä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia:

7. Kirjoita yleinen ratkaisu muotoon: , eli .

Esimerkki 1

Etsi yhtälölle tietty ratkaisu y" = -2y +3 = 0 Jos y = 1 klo x = 0

Ratkaisu. Ratkaistaan ​​se substituutiolla y=uv,.y" = u"v + uv"

Korvaaminen y Ja y" tähän yhtälöön, saamme

Ryhmittelemällä toinen ja kolmas termi yhtälön vasemmalle puolelle, poistamme yhteisen tekijän u pois suluista

Yhdistämme suluissa olevan lausekkeen nollaan ja ratkaistuamme tuloksena olevan yhtälön löydämme funktion v = v(x)

Saamme yhtälön, jossa on erotetut muuttujat. Integroidaan tämän yhtälön molemmat puolet: Etsi funktio v:

Korvataan saatu arvo v yhtälöön saamme:

Tämä on erotettu muuttujayhtälö. Integroidaan yhtälön molemmat puolet: Etsitään funktio u = u(x,c) Etsitään yleinen ratkaisu: Etsitään yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdot y = 1 klo x = 0:

III. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt

3.1. Peruskäsitteet ja määritelmät

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää enintään toisen kertaluvun derivaattoja. Yleisessä tapauksessa toisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti: F(x,y,y,y") = 0

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muodon funktio, joka sisältää kaksi mielivaltaista vakiota C 1 Ja C 2.

Erityinen ratkaisu toisen asteen differentiaaliyhtälöön on ratkaisu, joka saadaan yleisestä ratkaisusta tietyille mielivaltaisten vakioiden arvoille C 1 Ja C 2.

3.2. Lineaariset homogeeniset differentiaaliyhtälöt toisen kertaluvun kanssa vakiokertoimet.

Toisen asteen lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla kutsutaan muodon yhtälöksi y" + py" +qy = 0, Missä s Ja q- vakioarvot.

Algoritmi homogeenisten toisen asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi vakiokertoimilla

1. Kirjoita differentiaaliyhtälö muotoon: y" + py" +qy = 0.

2. Luo sen ominaisyhtälö, joka merkitsee y" kautta r 2, y" kautta r, y kohdassa 1: r 2 + pr + q = 0

Muistakaamme tehtävä, joka kohtasi, kun etsimme varmoja integraaleja:

tai dy = f(x)dx. Hänen ratkaisunsa:

ja se laskee määrittelemättömän integraalin. Käytännössä kohdataan useammin monimutkaisempi tehtävä: funktion löytäminen y, jos tiedetään, että se täyttää muodon suhteen

Tämä suhde liittyy riippumattomaan muuttujaan x, tuntematon toiminto y ja sen johdannaiset järjestyksen mukaan n mukaan lukien, kutsutaan .

Differentiaaliyhtälö sisältää funktion, joka on yhden tai toisen asteen derivaattojen (tai differentiaalien) merkin alla. Korkeinta järjestystä kutsutaan järjestykseksi (9.1) .

Differentiaaliyhtälöt:

- ensimmäinen tilaus,

Toinen tilaus

- viides tilaus jne.

Funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön, kutsutaan sen ratkaisuksi , tai integraali . Sen ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä. Jos vaadittavalle toiminnolle y onnistui saamaan kaavan, joka antaa kaikki ratkaisut, niin sanomme, että olemme löytäneet sen yleisen ratkaisun , tai yleinen integraali .

Yhteinen päätös sisältää n mielivaltaisia ​​vakioita ja näyttää siltä

Jos saadaan relaatio, joka liittyy x, y Ja n mielivaltaisia ​​vakioita muodossa, jota ei sallita suhteessa y -

silloin tällaista suhdetta kutsutaan yhtälön (9.1) yleiseksi integraaliksi.

Cauchy ongelma

Jokainen erityinen ratkaisu eli jokaista tiettyä funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön ja joka ei riipu mielivaltaisista vakioista, kutsutaan tietyksi ratkaisuksi , tai osittainen integraali. Jotta saadaan tietyt ratkaisut (integraalit) yleisistä, vakioille on annettava tietyt numeeriset arvot.

Tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Yleinen ratkaisu, joka sisältää kaikki osaratkaisut, on integraalikäyrien perhe. Ensimmäisen kertaluvun yhtälölle tämä perhe riippuu yhtälön mielivaltaisesta vakiosta n-th tilaus - alkaen n mielivaltaisia ​​vakioita.

Cauchyn ongelma on löytää tietty ratkaisu yhtälölle n- järjestyksessä, tyydyttävä n alkuolosuhteet:

jolla määritetään n vakiota c 1, c 2,..., c n.

1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle, joka on ratkaisematon derivaatan suhteen, sen muoto on

tai suhteellisesti sallittua

Esimerkki 3.46. Etsi yhtälön yleinen ratkaisu

Ratkaisu. Integroimalla saamme

jossa C on mielivaltainen vakio. Jos annamme C:lle tiettyjä numeerisia arvoja, saamme tiettyjä ratkaisuja, esim.

Esimerkki 3.47. Harkitse kasvavaa pankkiin talletettua rahamäärää, jota kertyy 100 r korkokorkoa vuodessa. Olkoon Yo alkuperäinen rahasumma ja Yx lopussa x vuotta. Jos korko lasketaan kerran vuodessa, saamme

jossa x = 0, 1, 2, 3,.... Kun korko lasketaan kahdesti vuodessa, saadaan

jossa x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Korkoa laskettaessa n kerran vuodessa ja jos x ottaa peräkkäiset arvot 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., sitten

Määritä 1/n = h, niin edellinen yhtälö näyttää tältä:

Rajoittamattomalla suurennuksella n(at ) rajassa tulemme rahamäärän kasvattamiseen jatkuvalla koronkertymällä:

On siis selvää, että jatkuvalla muutoksella x rahan tarjonnan muutoslaki ilmaistaan ​​1. asteen differentiaaliyhtälöllä. missä Y x on tuntematon funktio, x- itsenäinen muuttuja, r- vakio. Ratkaistaan ​​tämä yhtälö, kirjoitetaan se uudelleen seuraavasti:

missä , tai , jossa P on e C .

Alkuehdoista Y(0) = Yo saadaan P: Yo = Pe o, josta Yo = P. Siksi ratkaisulla on muoto:

Tarkastellaanpa toista taloudellista ongelmaa. Makrotaloudellisia malleja kuvataan myös ensimmäisen asteen lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä, jotka kuvaavat tulon tai tuotoksen Y muutoksia ajan funktioina.

Esimerkki 3.48. Kasvakoon kansantulo Y sen arvoon suhteutettua tahtia:

ja olkoon julkisten menojen alijäämä suoraan verrannollinen tuloihin Y suhteellisuuskertoimella q. Menoalijäämä johtaa valtionvelan kasvuun D:

Alkuehdot Y = Yo ja D = Do, kun t = 0. Ensimmäisestä yhtälöstä Y= Yoe kt. Korvaamalla Y saadaan dD/dt = qYoe kt . Yleisellä ratkaisulla on muoto
D = (q/ k) Yoe kt +С, missä С = const, joka määritetään alkuehdoista. Korvaamalla alkuehdot, saamme Do = (q/ k)Yo + C. Joten lopuksi,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

Tämä osoittaa, että valtionvelka kasvaa samaa suhteellista vauhtia k, sama kuin kansantulo.

Tarkastellaan yksinkertaisimpia differentiaaliyhtälöitä n järjestyksessä, nämä ovat muodon yhtälöitä

Sen yleinen ratkaisu voidaan saada käyttämällä n kertaa integraatiot.

Esimerkki 3.49. Tarkastellaan esimerkkiä y """ = cos x.

Ratkaisu. Integrointi, löydämme

Yleisellä ratkaisulla on muoto

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Niitä käytetään laajalti taloustieteessä; harkitaan tällaisten yhtälöiden ratkaisemista. Jos (9.1):llä on muoto:

silloin sitä kutsutaan lineaariseksi, missä рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) on annettu funktioita. Jos f(x) = 0, niin (9.2) kutsutaan homogeeniseksi, muuten sitä kutsutaan epähomogeeniseksi. Yhtälön (9.2) yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen yksittäisen ratkaisun summa y(x) ja sitä vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Jos kertoimet р o (x), р 1 (x),..., р n (x) ovat vakioita, niin (9.2)

(9.4) kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi, jolla on vakiokertoimet n .

Sillä (9.4) on muoto:

Yleisyyttä menettämättä voidaan asettaa p o = 1 ja kirjoittaa (9.5) muotoon

Etsimme ratkaisua (9.6) muodossa y = e kx, jossa k on vakio. Meillä on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Kun tuloksena saadut lausekkeet korvataan lausekkeella (9.6), saadaan:

(9.7) on algebrallinen yhtälö, sen tuntematon on k, sitä kutsutaan ominaispiirteeksi. Ominaisuusyhtälöllä on aste n Ja n juuret, joiden joukossa voi olla sekä useita että monimutkaisia. Olkoon k 1 , k 2 ,..., k n siis todellinen ja erillinen - erityiset ratkaisut (9.7) ja yleiset

Tarkastellaan lineaarista homogeenista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla:

Sen tunnusomaisella yhtälöllä on muoto

(9.9)

sen diskriminantti D = p 2 - 4q, riippuen D:n merkistä, kolme tapausta on mahdollista.

1. Jos D>0, niin juuret k 1 ja k 2 (9.9) ovat todellisia ja erilaisia, ja yleisratkaisulla on muoto:

Ratkaisu. Ominaisuusyhtälö: k 2 + 9 = 0, jolloin k = ± 3i, a = 0, b = 3, yleisratkaisu on muotoa:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Toisen asteen lineaarisia differentiaaliyhtälöitä käytetään tutkittaessa verkkotyyppistä taloudellista mallia tavaravarastoilla, joissa hinnan P muutosnopeus riippuu varaston koosta (katso kappale 10). Jos kysyntä ja tarjonta ovat lineaarisia hinnan funktioita, se on

a on vakio, joka määrittää reaktionopeuden, niin hinnanmuutosprosessia kuvaa differentiaaliyhtälö:

Tietylle ratkaisulle voimme ottaa vakion

järkevä tasapainohinta. Poikkeama täyttää homogeenisen yhtälön

(9.10)

Ominaisuusyhtälö on seuraava:

Jos termi on positiivinen. Merkitään . Ominaistayhtälön k 1,2 = ± i w juuret, joten yleisratkaisu (9.10) on muotoa:

missä C ja ovat mielivaltaisia ​​vakioita, ne määritetään alkuehdoista. Saimme hinnanmuutoslain ajan myötä: